幂函数
宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学。 我国著名数学家华罗庚教授在其《数学的用场与发展》中指出: 宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学。
我们先看下面几个具体问题： 如果正方形的边长为a， 那么正方形的面积 S=a2，这里S是a的函数； V=a3，这里V是a的函数； (3) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长 ,这里a是S的函数； 思考：上述函数有何共同特征?
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 它们有以下共同特点： (1)都是函数； (2) 指数为常数. (3) 均是以自变量为底的幂； 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 注意：幂函数中α的可以为任意实数. 议一议：幂函数与指数函数共同点与不同点是什么?
幂函数与指数函数的对比 式子 指数函数: y=a x 底数 指数 幂值 指数 底数 幂值 判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 名称 a x y 指数函数: y=a x 幂函数: y= x a 底数 指数 幂值 指数 底数 幂值 判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看看未知数x是指数还是底数 指数函数 幂函数
例1 判断下列函数是否为幂函数. (1) y=x4 (3) y= -x2 (5) y=2x2 (6) y=x3+2
作出下列函数的图象:
x -2 -1 1 2 y=x
x -2 -1 -1/2 1/2 1 2 y=x2 4 1/4
x -2 -1 -1/2 1/2 1 2 y=x2 4 1/4
x -3/2 -1 -1/2 1/2 1 3/2 y=x3 -27/8 -1/8 1/8 27/8
x -3/2 -1 -1/2 1/2 1 3/2 y=x3 -27/8 -1/8 1/8 27/8
x 1/9 1/4 1 4 9 1/3 1/2 2 3
x 1/9 1/4 1 4 9 1/3 1/2 2 3
x -3 -2 -1 -1/2 -1/3 1/3 1/2 1 2 3
x -3 -2 -1 -1/2 -1/3 1/3 1/2 1 2 3
4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6 6 y= x y=x (1,1)
常见幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3 y=x-1 Ｒ Ｒ Ｒ [0,+∞) R [0,+∞) R [0,+∞) 奇 偶 奇 非奇非偶 定义域 Ｒ Ｒ Ｒ [0,+∞) 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 [0,+∞)增 增 增 (0,+∞)减 (-∞,0]减 (-∞,0)减 公共点 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1)
探究：幂函数的性质 (1)幂函数的图象都通过点 (1,1) (2) 如果α＞０， 在 区间[0,+∞)上是 增函数 如果a＜０， 在 区间[0,+∞)上是 增函数 如果a＜０， 在区间(0,+∞)上是 减函数 (3) 当α为奇数时， 幂函数为 奇函数 当α为偶数时， 幂函数为 偶函数；
a > 0 a < 0 （1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点； （1）图象都过（1，1）点； （2）在第一象限内，函数值随 y y=x3 y y=x-1 y=x2 y=x-2 1 y=x1/2 1 y=x-1/2 1 X 1 X a > 0 a < 0 （1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点； （1）图象都过（1，1）点； （2）在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，即在 （0，+∞）上是减函数。 （2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即 在[0，+∞)上是增函 数。 （3）在第一象限，图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。
练习3 如图所示，曲线是幂函数 y = xa 在第一象限内的图象，已知a分别取 四个值，则相应图象依次为： C4 C2 C3 C1 一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，在y轴与直线x=1之间正好相反。 1
例 3.证明幂函数 在[0,+∞)上是增函数． 证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则