投資組合績效評估與選取 報告：林威辰

投資組合績效評估與選取 投資績效評估的意義 四種積效評估指標 Sharpe 指標 Treynor 指標 Jensen 指標 評估比例(Appraisal ratio)

投資績效評估 比較不同投資組合或基金的績效表現，除了應考慮其報酬率外，亦應納入考慮其所隱藏的風險大小，進而綜合評估其投資組合或基金的績效。 衡量基金績效必須同時考量基金的實現報酬率與基金的風險程度，而基金的風險指標有基金的 Beta 係數(系統性風險)與基金報酬率的標準差(總風險)兩種。 Sharpe的績效指標、Treynor的績效指標和Jensen的績效指標的設計，均建立在資本資產定價模式(Capital Asset Pricing Model，CAPM)上。

Sharpe績效指標 Sharpe 利用下列指標，評估基金的績效： 　　　投資組合P在某段期間的平均報酬率， 　　　同期間無風險資產的平均報酬率， 　　　投資組合P的報酬率變異數。 分子　　　 部份是衡量風險貼水(Risk Premium) 。 分母　　部份是衡量投資組合的總風險。 Sharpe 績效指標是衡量每單位風險的風險貼水補償額。

Sharpe績效指標(續) Sharpe 指標可用以評比基金相對於大盤的投資績效。 若基金的 Sharp指標高於大盤指數的Sharpe指標，則可宣稱基金經理人擊敗大盤；反之，則可宣稱基金經理人的績效較市場為差。 Sharpe的績效指標，就是直線的斜率值，在同一條直線上的投資組合，其績效不相上下，若任一投資組合所在的直線是落在市場投資組合的上方時，則該投資組合的績效優於市場投資組合。

Sharpe績效指標(續) 資料來源：謝劍平，「財務管理新觀念與本土化(再版)」 統計量 投資組合 A B C D 報酬率 20.0% 15.0% 10.0% 8.0% 無風險報酬率 4.0% 風險貼水 16.0% 11.0% 6.0% 標準差 Sharpe 指標 1.07 1.10 0.75 1.00 資料來源：謝劍平，「財務管理新觀念與本土化(再版)」

CAPM 在市場均衡中，投資者只能獲取承受系統風險的報償－無法被分散的風險類型。 夏普談資本資產定價模式(CAPM) 「但基本概念還是一樣的：只是承擔風險是無法獲得報償的。否則，你將在拉斯維加斯賺大錢。如果風險有報酬，它必須是特別的。一定有一些經濟理論在支撐它，否則這就是個瘋狂的世界。對於這個基本概念，我的想法一直沒變」。 －夏普 ( 1998 )

CAPM(續) 假設 完全市場 完全相同的投資者 完全競爭－每位投資者都假設自己無法影響證券價格 沒有稅款 沒有交易成本 全部資產公開交易、完全可分割 沒有放空交易的限制條件 借款和貸款具同樣的無風險比率 完全相同的投資者 短視 相同的持有期間 常態或平均偏差的效用 預期同質性

CAPM(續) 均衡市場投資組合和效率前緣

Risk aversion 效用函數U=E(r)-0.5*A*var(r)..          其中A<0 為風險愛好者                  A=0 為風險中立者                  A>0 為風險趨避者

A>0 風險趨避者 U U0 E(U) W U0>E(U) 其中 U0:不玩公平賭局的效用 E(U):玩公平賭局的效用

A=0 風險中立者 U W

A<0 風險愛好者 U W

小結 A>0 為風險趨避者，為極大值存在的狀況 。 A=0 為風險中立者，圖形為一條直線像右上方延伸(假設市場投資組合期望報酬率大於rf)。 而A<0 為風險愛好者，僅存在極小值，因為圖形二次項係數為負的 以上兩種狀況說明，A=0 不存在極值(或可以說無限大)，A<0 僅能極小化utiltiy

風險的市場價格 在經濟結構中有N個最佳投資組合的投資者，每個有1美元。 則我們可以定義總財富恆等式

風險的市場價格(續) 其中，在市場參與者中風險規避的總計量為： 表示： (1)

個別風險資產的定價 市場投資組合由個別的風險資產組成： 其中 為總市場財富投資在第 i 資產的部份。 讓我們聚焦在一位具平均風險規避的代表性投資者身上： 其投資組合持有為： (2) (3) (4)

個別風險資產的定價(續) 在均衡市場中， 是這位投資者的最佳解。這表示： 保持其他項固定，如果我們稍微改變一下 ，會變成什麼？

個別風險資產的定價(續) 整理後為 由(1)和(5) ，我們可以推導出 其中 (5) (6) (7)

證券市場線

個別證券的期望報酬 假定以 GM 的股票為例，我們要估算它的投資組合風險。 所以我們可以知道 GM 對變異數的影響 =

個別證券的期望報酬(續) 為了更精準證明，我們把 上 式再套入，因此 GM 和市場投資組合報酬的共變異數是 如果現在有一個投資人百分之百投資在市場投資組合，並假設他將要小幅增加他在市場投資組合的部位，增加幅度為 ，以無風險利率舉債進行融資。則新的投資組合是三樣資產的結合：市場的原始部位，報酬為 ；求其期望值，並和原先的期望報酬作比較，新增的期望報酬率會是 (8)

pf

個別證券的期望報酬(續) 為衡量投資組合變動對風險的影響，我們要計算一個新的投資組合變異數。 然而，如果 非常小，則 對於 而言，是可忽略的。所以投資組合變異數增加了 總結結果，則增加的風險貼水和增加的風險兩者之間的取捨關係，即風險的邊際價格，可用以下的比率表示：

個別證券的期望報酬(續) 現在假設投資人欲另行增加GM股票的投資 ，同時以無風險利率舉債進行融資。平均超額報酬的增量是： 所以其變異數增量為： 去掉趨近於0的 項，則GM的風險邊際價格是：

pf

個別證券的期望報酬(續) 在均衡的情況下，GM股票的風險邊際價格必須和市場投資組合的相等。所以我們可以得到： 同樣的，因為 (7) 式 ，可得到相同的結果。

Treynor績效指標 Treynor 的績效指標為： 　　投資組合 P 在某段期間的平均報酬率， 同期間無風險資產的平均報酬率， 　　投資組合 P 的系統風險指標。 Treynor 的績效指標是同時考量投資組合的期望報酬率與風險。Treynor 指標假設投資組合是風險完全分散，即表示其總風險只包括系統性風險。

Treynor績效指標(續) Treynor 指標考慮多餘超額報酬與其系統性風險之間的抵換關係。 此指標較適合應用於評估風險分散效果較佳的投資組合或基金。 由於Treynor 指標的計算涉及 Beta 係數的估算，因此，投資者必須先挑選一個市場投資組合指標；值得注意的是，若市場投資組合指標挑選錯誤，則利用 Treynor 指標比較投資組合的績效時，可能會有錯誤發生。

Treynor績效指標(續) 資料來源：謝劍平，「財務管理新觀念與本土化(再版)」 統計量 投資組合 A B C D 報酬率 20.0% 15.0% 10.0% 8.0% 無風險報酬率 4.0% 風險貼水 16.0% 11.0% 6.0% Beta 係數 1.60 1.00 0.80 Treynor 指標 5.0% 資料來源：謝劍平，「財務管理新觀念與本土化(再版)」

Matlab Example 景順主流(CS09)成份股：南亞(1303) 、永大(1507) 、正隆(1904) 、華紙(1905) 、光寶科(2301) 、矽品(2325) 、台積電(2330) 、友訊(2332) 、敬鵬(2355) 、華碩(2357) 、致茂(2360) 、昆盈(2365) 、瑞昱(2379) 、廣達(2382) 、合勤(2391) 、思源(2473) 和欣興(3037) 。 投資股數(千股)：350，2038，1401，548，629，340，766，1115，819，400，1670，1271，1090，512，682，150，743。

Matlab Example (續) Load資料 指定範圍

Matlab Example (續) 將目標資產作年化報酬部份 將Beta 目標作年化資產報酬率動作(台股加權指數)

將無風險利率從檔案讀取出來，並計算其淨報酬率 利用迴歸公式跑出 Beta 值

補充 作迴歸分析 解此方程式 因此使用解Ax=b之方程組解法，因為A不是正方矩陣，故無法讓x=inv(A)b。

Matlab Example (續) 計算結果：