福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第八次研讨会 实二次型的合同标准形与正交标准形 莆田学院数学系 杨忠鹏　陈智雄　晏瑜敏　林志兴 2007年6月30日

一、二次型的基本问题 （1） （1）可被唯一表示为 （2） 基本问题： 其中 , 可逆 （3）

常用的实二次型化简 1） （4） 称（4）为实二次型的合同标准形. 其中 , 可逆, , 为正、负惯性指数. 2） （5） （5）中 为实二次型的正交标准形.

二、目前的教材处理情况 1. 北大教材[1] 将基本知识分散处理于三部分 第五章 二次型 五节内容 基本问题：合同标准形 第五章 二次型 五节内容 基本问题：合同标准形 第九章 欧几里得空间 §9.6 实对称矩阵的标准形 基本问题：正交标准形 距离远、联系差 第十章 双线性函数与辛空间 §10.3 双线性函数

2. 张禾瑞、郝鈵新：高等代数（第四版）[2] 第八章 欧氏空间和酉空间 §8.4 对称变换和对称矩阵 基本问题：正交标准形 第九章 二次型 §9.1-§9.3 基本问题：合同标准形 §9.4 主轴问题、正交标准形 福师大所编教材[3]的处理与[2]相似（只讲 第六章 二次型，第七章 欧氏空间），[3]另一个特点是二次型从简单的线性函数和双线性函数入门（也综合[1]的较高的起点）.

3. 非数学专业教材 两种标准形是紧密出现的 居余马[4] 第五章 特征值和特征向量、矩阵的对角化 §5.3 实对称矩阵的对角化（正交标准形） 第六章 二次型（主要是实二次型） 同济线性代数[5] 第五章 相似矩阵及二次型 §5.4 对称矩阵的对角化 §5.5 二次型及其标准型 §5.6 用配方法化二次型成标准型 §5.7 正定二次型

中国人大 线性代数[6] 第四章 矩阵的特征值 §4.4 实对称矩阵的对角化 第五章 二次型

4. 新出版的一些高等代数教材 邱维声[7] 第五章 矩阵的相抵分类与相似分类 第六章 二次型、矩阵的合同分类 这样可将正交标准形同时纳入教学内容

姚慕生[8] 实对称矩阵的正交相似标准型是比一般合同标准型更强有力的工具.（见[8,P246]） 第八章 二次型 §8.1 正交相似标准形 §8.2 合同标准形 第九章 内积空间 第十章 双线性型

张贤科[9] 结构有较大变化，分三部分： Ⅰ 基础内容 多项式 线性代数 线性空间 线性变换 Ⅱ 深入内容 第七章 方阵相似标准形与空间分解 第八章 双线性型、二次型与方阵相合 第九章 欧几里德空间与酉空间 Ⅲ 选学内容

三、几点看法 1. 实二次型两种标准形的重要性 数学专业教材 非数学专业教材 2007年国家教育部颁布的考研大纲，变化最大的部分是 二次型的两种标准形 作为高数四的新增内容. 现在高数一、二、三、四的线性代数考纲基本相同. 新编教材

2. 要注重讨论的几何背景 合同标准形可给出二次曲面的仿射分类 [9,§8.8 二次曲面的仿射分类, 定理8.13] 定理8.13 对 中二次超曲面 记 分别为 的秩、正惯性指数、负惯性指数、符号差； 分别为 相应的值. 则可经仿射变换化此二次超曲面的方程为 当 1） 2） 3）

定理9.12 设欧几里得空间 中二次超曲面在一标准正交基下的方程为 实对称方阵 的非零特征值 ，则可经过正交 变换化此曲面为下列情形之一： [9, §9.5 二次曲面的正交分解, 定理9.12] 定理9.12 设欧几里得空间 中二次超曲面在一标准正交基下的方程为 实对称方阵 的非零特征值 ，则可经过正交 变换化此曲面为下列情形之一： 1） （当 为 的秩 ） 2） （当 ） （ ） 3） （当 ）

3. 要加强对正交矩阵相关性质的教学 运算性质 结构性质 i) 行(列)向量标准基 ii) 元素与代数余子式 iii) 特征值 与正交标准形相关的矩阵分解

设 , 如果 ,则有唯一的正交矩阵 和正上三角矩阵 使得 . i) 分解 设 , 如果 ,则有唯一的正交矩阵 和正上三角矩阵 使得 . 应用: （文献[1] 第九章 习题14） ① 设 为 阶正定矩阵,则有正上三角矩阵 使 （文献[1] 第九章 习题20） ② 设 证明存在正交矩阵 , 使 为三角阵的 充分必要条件是 的特征多项式的根全部是实的.

设 都是实对称矩阵且 是正定的,证明存在实可逆 矩阵 , 使 与 同时为对角矩阵. ⅱ) 矩阵偶 (文献[1] 第九章 补充题10) 设 都是实对称矩阵且 是正定的,证明存在实可逆 矩阵 , 使 与 同时为对角矩阵. ⅲ) 正定矩阵的正定平方根 设 是一个正定矩阵, 证明存在一个正定矩阵 ,使得 . ① 可以证明 是唯一的, 因此可记 ② 你能否证明: 对任意正整数 ,正定矩阵 有唯一的 次 正定方根 使得 ? ③ 正定矩阵的乘积是否还是正定矩阵？ ④ 正定矩阵乘积的特征值都是正实数？

ⅳ) 极分解（北师大高等代数第四版§9.4习题２） 设 为可逆矩阵, 证明存在正定矩阵 和正交 矩阵 , 使得 . ① 这种分解是唯一的吗? ② 是否有分解形式 ?

ⅴ) 奇异值分解 设 为可逆矩阵, 证明存在正交矩阵 和 使 得 ① 当 时,上述分解形式有什么变化? ② 称 为 的奇异值, 与 的特征值是什么关系?

参考文献： [1] 北京大学编, 高等代数（第三版）, 高等教育出版社, 2003年. [1] 北京大学编, 高等代数（第三版）, 高等教育出版社, 2003年. [2] 张禾瑞, 郝鈵新编, 高等代数(第四版), 高等教育出版社, 1999年. [3] 陈昭木,陈清华,王华雄,林亚南编著, 高等代数(下), 福建教育出版社, 1992年. [4] 居余马, 线性代数(第二版), 清华大学出版社, 2002年. [5] 同济大学应用数学系编, 线性代数(第四版), 高等教育出版社, 2003年. [6] 吴赣昌 主编, 线性代数(理工类), 中国人民大学出版社, 2006年. [7] 邱维声, 高等代数(上册), 高等教育出版社, 北京, 2002年. [8] 姚慕生, 高等代数(大学数学学习方法指导丛书), 复旦大学出版社, 2002年. [9] 张贤科,许甫华, 高等代数学(第二版), 清华大学出版社, 2004年.

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