第九章 投资组合理论 portfolio selection theory 第一节 单种证券的收益与风险衡量 第二节 投资组合的收益与风险 第三节 投资组合理论 第四节 无风险借贷的引入对有效边界的影响

引言：投资组合理论的发展（一） 分散投资的理念早已存在，如我们平时所说的“不要把所有的鸡蛋放在同一个篮子里”。但传统的投资管理尽管管理的也是多种证券构成的组合，但其关注的是证券个体，是个体管理的简单集合。投资组合管理将组合作为一个整体，关注的是组合整体的收益与风险的权衡。 Hicks（1935）提出资产选择问题，投资有风险，风险可以分散；

投资组合理论的发展（二） Harry Markowiz（1952）：Portfolio Selection，标志着现代投资组合理论（the modern portfolio theory，MPT）的开端； William Sharpe（1963）提出了均值-方差模型的简化方法-----单指数模型（single-index model）； William Sharpe（1964）、John Lintner及（1965）Jan Mossin（1966）提出了市场处于均衡状态条件下的定价模型—CAPM；

投资组合理论的发展（三） Richard Roll（1976）对CAPM提出了批评，认为这一模型永远无法实证检验； Stephen Ross（1976）突破了CAPM，提出了套利定价模型（arbitrage pricing model , APT)； Fama（1970）提出了有效市场假说。 资本市场的混沌（Chaos）(分形）假说。

现代投资组合理论的框架体系

第一节 单种证券的收益与风险衡量 1.1 历史收益率 1.2 预期收益率 1.3 投资风险的衡量 1.4 单只证券投资收益的概率分布

1.1 历史收益率 1.1.1 单期历史收益率 1.1.2 多期：历史平均收益率

1.2 预期收益率 投资者在作投资决策时，一般无法事先确切地知道期末财富值的大小，因此投资收益率存在着一定的不确定性。 预期收益率的衡量：收益率的期望值、中值、众数。目前，期望值的使用最为广泛。 情景分析（scenario analysis）

1.3 风险的衡量 方差、标准差、半方差（应用较少）

资料：证券投资风险的来源与分类 一、市场风险：这是金融投资中最常见，也是最普通的风险。市场风险涉及股票、债券、期货期权、票据、外币、基金等有价证券及衍生品，也涉及房地产、贵金属、国际贸易等有形投资，资产投资及项目投资。这种风险来自于市场买卖双方供求不平衡引起的价格波动，这种波动使得投资者在投资到期时可能得不到投资决策时所预期的收益，甚至造成本金损失。

二、 偶然事件风险：这种风险可归入系统性风险，是绝大多数投资者所必须承担的，且剧烈程度和时效性因事而异。偶然事件涉及自然灾害、异常气候、战争危险，也有各种政策，法律法规的出台所致； 三、 贬值风险。这种风险通过通货膨胀反映出来。在通货膨胀率高企的时候，投资者所得的名义收益和实际收益有一差别，这种差别越大，投资者的损失也越大。一般的浮动利率债券和短期债券所受影响要小些，而长期的固定利率债券、股票、权证等证券受影响要大些。 四、破产风险。这是典型的公司风险，是持有中小型公司或新兴产业公司的股票或债券的投资者所必须面对的。由于企业经营不善倒闭，有股票下跌，甚至清盘退市等结果。

五、流通风险。流通风险常与偶然事件相关联。当有关公司的坏消息进入市场时，有时会立即引起轩然大波，投资者争先恐后抛售股票，致使投资者无法及时脱手持有的股票。 六、违约风险。一般发生在投资“固定收入证券”上。发行时都承诺在规定的期限内支付约定的利息或股息，并约定还本事宜。然而当公司现金周转不灵，财务出现危机时，这种事先的承诺可能就无法兑现了。 七、利率风险。利率变化对股票，债券的价格都有影响。相对而言债券价格更多地受到利率的影响。如1998年12月7日降息，当天债市高开高走，债券价格最多上涨了2.6元多，而股票因处于弱市，仅在开盘半小时内有表现，以后一路走低。

八、汇率风险。任何投资于国际贸易，对外交易或外汇交易及与外资有关公司的股票、债券的投资者都会面临这种风险。因汇率变化使投资者的外汇收益与本国货币收益的价格发生变化，对投资成本亦有影响。另外，汇率变化对关股票、债券发行公司的业绩也会有较大影响。 九、政治风险。金融市场与一个国家的政治局而是息息相关的，政治变动，政策的出台或更改等事件都会影响到证券市场的价格被动。 以上提及的是几类较具体的风险，更多时候，人们把证券市场的风险分为系统风险与非系统风险两大块。

1.4 投资收益的概率分布 单只股票的投资收益用正态分布来描述不是很合适。但可以假设连续复利年收益率服从正态分布。 设r为股票投资的连续复利年收益率，则有效年收益率 ， ， 服从对数正态分布，且排除了负价格的可能性。

第二节 投资组合的收益与风险 2.1 历史收益率 2.2 期望收益率 2.3 组合的风险 2.4 组合收益率的概率分布 第二节 投资组合的收益与风险 2.1 历史收益率 2.2 期望收益率 2.3 组合的风险 2.4 组合收益率的概率分布 2.5 相关系数对投资组合风险的影响

定义：证券投资组合（Portfolio） 一、证券组合的含义:证券组合由一种以上的有价证券组成，如包含各种股票、债券、存款单等，是指个人或机构投资者所持有的各种有价证券的总称。 二、构建证券投资组合的原因 (1)降低风险。 (2)实现收益最大化 三、如何确定不同证券或资产上的投资比例，以使资金稳定快速增长并控制投资风险，这就是投资组合理论要解决的问题。

2.1 历史收益率 设 为股票 的历史收益率，则投资组合P的历史收益率为：

2.2 期望收益率 投资组合的期望收益率是构成组合的各种证券的期望收益率的加权平均数，权数为各证券在组合中的市场价值比重。

2.3 组合的风险 投资组合的风险（方差或标准差）并非是构成组合的各种证券的风险（方差或标准差）的加权平均数。

两种证券组合的风险：(n=2)

2.4 组合收益率的概率分布 即使单只股票的投资收益率不服从正态分布，根据中心极限定理，一个有效分散化的投资组合的投资收益率近似地服从正态分布。（但中心极限定理要求各随机变量互不相关，然而组合中各股票存在一定程度的相关性。） 但实证发现，对于一个有效分散化的投资组合，若持有时间不长，其收益率近似地服从正态分布；当持有期限在1个月以上时，其收益率近似地服从对数正态分布。

2.5 相关系数对投资组合风险的影响 两种证券组合

一般意义下的两证券最小风险组合 该组合的投资比例为xA,xB，则有：

第三节 Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ投资组合理论 ３.1 假设条件 ３.2 可行集或机会集 ３.3 有效边界 ３.4 投资者效用与无差异曲线 第三节 　Ｍａｒｋｏｗｉｔｚ投资组合理论 ３.1　假设条件 ３.2　可行集或机会集 ３.3　有效边界 ３.4　投资者效用与无差异曲线 ３.5　最优投资组合

３.１投资组合理论的假设条件 一、投资组合理论的基本假设 投资组合理论（马科雅茨）基于下述的假设发展而成： （一）假设证券市场是有效的，投资者能得知证券市场上多种证券收益与风险的变动及其原因。 （二）假设投资者都是风险厌恶者，都希望得到较高的收益率，如果要他们随承受较大的风险则必须以得到较高的预期收益作为补偿；

投资组合理论的基本假设（续) （三）风险以预期收益率的方差或标准差表示； （四）假定投资者根据证券的预期收益率和标准差事选择证券组合，则在风险一定的情况下，他们希望预期利益率最高，或在预期收益率一定的情况下，希望风险最小； （五）假定多种证券之间的收益是相关的，在得知一证券与其它各证券的相关系数的前提，可以选择得最低风险的证券组合

3.2 投资的“可行集”或“机会集” 所谓投资组合，是指由一系列资产所构成的集合。可供投资的资产众多，可供选择的投资组合无穷。把所有可供选择的投资组合所构成的集合，称为投资的“可行集”（feasible set）或“机会集”（opportunity set）。 投资组合的两种替代表示（1）不同资产的投资比重 ；（2）“期望收益率-标准差”图上的一个点。 以（2）的表示方式，证券组合收益风险可能的构成点，组成曲线（或面积）即为可行域。

可行域与有效边界 二种证券组合时，可靠集为一条曲线；三种或三种以上证券组合的可行集的形状呈伞形的曲面，所有可能的组合位于可行集的内部或边界上。证券组合投资的可行域

3.3 “有效集”(efficient set) 或“有效边界” (efficient frontier) 有效组合的优势法则（dominance rules） 投资者从满足如下条件的可行集里选择其最优的投资组合：1、在给定的各种风险条件下，提供最大预期收益率；2、在给定的各种预期收益率的水平条件下，提供最小的风险。(同时成立） 满足上述条件的投资组合集合称为投资的“有效集”或“有效边界”。 可行域包含了有效组合，最后有效组合的集合为有效边界. 有效边界：最小方差集中位于整体最小方差组合上方的部分。最小方差集中位于整体最小方差组合下方的的相应部分，对于给定的风险，有最小的收益。

有效边界的构建

有效边界的形状 1. 有效边界是一条向右上方倾斜的曲线，反映“高风险、高收益”。 2. 有效边界是一条上凸的曲线。 3. 有效边界不可能有凹陷的地方。为什么？ 4.构成组合的证券间的相关系数越小，投资的有效边界就越是弯曲得厉害。

３.4 投资者效用与无差异曲线（一） 3.4.1 效用是是一个主观范畴，指人们从某事或某物上所得到的主观上的满足程度。 3.4.2效用函数 常用的效用函数： 对该投资者来说，该投资与4.66%的无风险收益率等价：确定等价收益率（certainty equivalent rate）

无差异分析与最佳组合 对于投资者来说，不同的收益风险点构成相同的效用时，称这些收益风险组合的效用无差异。无差异的点的轨迹就是无差异曲线。 不同的投资者无差异曲线的形状是不同的，主要决定于投资者的风险态度。 无差异曲线与有效边界的结合，可以得到投资者的最佳组合。

无差异曲线的形状（一） 1. 无差异曲线向右上方倾斜，或者说无差异曲线上各点的斜率为正值。即随着风险的增加，要想保持相同的效用期望值，只有增加期望收益率，也就是说，必须给这增加的风险提供风险补偿。 2. 风险厌恶者的无差异曲线凸向横轴。即随着风险的增加，对于相同幅度的风险增加额，投资者所要求的风险补偿不断增加，即随着风险的增加，无差异曲线上的各点的斜率越来越大。 上述两个性质是由投资者的永不满足及风险厌恶的特性所导致的。为什么？

无差异曲线的形状（二） 3. 无差异曲线是密集的。即任何两条无差异曲线中间，必然有另外一条无差异曲线：无差异曲线群。4. 任何两条无差异曲线不可能相交。 5. 在无差异曲线群中，越往左上方的无差异曲线，其效用期望值越大。 无差异曲线的上述性质可以保证对某一个投资者来说，必然有一条无差异曲线与投资的有效边界相切。 每个投资者都有一条自己的无差异曲线，而且对每个投资者来说，这条无差异曲线是唯一的。

3.5 最优投资组合（optimal portfolio）的选择

投资者的共同偏好准则 （1）如果两种证券组合具有具有相同的收益率标准差，和不同的预期收益率，投资者肯定选择预期收益率高的那种组合； （2）若两种组合预期收益率相等，则选择风险小的那种组合； （3）若一组合比另一组合有较小的风险和较高的预期收益率，则肯定选择这一组合。 投资者偏好与最优投资组合

第四节 无风险借贷的引入对有效边界的影响 4.1 无风险资产 4.2 存在无风险借贷机会时组合的收益与风险 4.1 无风险资产 4.2 存在无风险借贷机会时组合的收益与风险 4.3 存在无风险借贷机会时的有效边界 4.4 借贷利率不同对有效边界的影响 4.5 存在无风险借贷机会的最佳组合

背景 前述Markowitz模型中可供选择的都是风险资产，且不允许投资者使用金融杠杆或进行保证金交易。 然而现实经济生活中，投资者不仅购买风险证券，也经常对无风险资产进行投资。此外，投资者不仅可以用自有资金进行投资，也可以使用借入的资金来进行投资。 因此，有必要对Markowitz模型作一些修正并在理论上加以扩展。

4.1 无风险资产（risk-free-asset） 无风险资产是指具有确定的收益率，并且不存在违约风险的资产。 从数理统计的角度看，无风险资产是指投资收益的方差或标准差为零的资产。当然，无风险资产的收益率与风险资产的收益率之间的协方差及相关系数也为零。 从理论上看，只有由中央政府发行的、期限与投资者的投资期长度相匹配的、完全指数化的债券才可视作无风险资产。 为什么？ 在现实经济中，完全符合上述条件的流通中的有价证券非常少。故在投资实务中，一般把无风险资产看作是货币市场工具，如国库券利率LIBOR。

4.1 无风险资产（续） 在我国，以国债利率或银行间同业拆借利率作为无风险利率的条件还不成熟。一般选用一年期定期存款利率作为无风险收益率。因为定期存款是我国居民的主要金融资产，由国家信用以予保证，扣除通货膨胀的因素，定期存款可以看作是无风险的。 投资于无风险资产又称作“无风险贷出”（risk-free lending），卖空无风险资产又称为“无风险借入”（risk-free borrowing）。 无风险利率（risk-free rate）：投资于无风险资产所获得的收益率。 无风险资产的买卖只不过是手段，实质是存在无风险的借贷市场。

4.2存在无风险借贷机会时组合的收益与风险 设组合P是有一无风险资产与一风险组合（由（n-1）种风险证券构成）所构成，则： 从而

4.3 存在无风险借贷机会的有效边界 无风险借贷机会的存在，增加了新的投资机会，大大地扩展了投资组合的空间。更为重要的是，它大大地改变了Markowitz有效边界的位置，从原先的曲线变为直线。

允许无风险借款的投资组合

存在无风险借贷机会时的最优风险资产组合的构建

两证券风险组合的情形

4.4 借贷利率不同对投资有效边界的影响 在现实经济中，只有政府有可能以无风险利率借入资金，而其他的个人投资者和机构投资者一般只能以高于无风险利率的利率来借入资金。 当借贷利率不等时有效边界有三个相互连接的部分构成。 4.5 存在无风险借贷机会时的最佳投资组合

本章小结：组合的构建过程 1. 界定适合选择的证券范围。证券类型有限，但每类证券数目相当巨大。 2. 估计各证券的期望收益率、标准差、各证券两两间的协方差（或相关系数）。组合的价值很大程度上取决于这些输入变量的质量。 3. 构建风险资产组合的有效边界。 4.将资金在无风险资产与最优风险资产组合进行分配。

作业 一、课后作业 1、课本P332习题1、3、4 2、股票A、B的收益与风险如表，其相关系数为0.5。已知无风险利率为4%，求最优风险资产组合。 二、课内： 课本2、5、6、7、8 股票 期望收益（%） 标准差（%） A 15 20 B 7 8