八年级数学（上册） 15.4.2因式分解公式法

课前小测： D D 1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1) 1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ） 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y² -4a² +1分解因式的结果应是 （ ） -(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1) -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 D D 1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)

运用公式法 因式分解的基本方法2 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法. (2) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法. 　 (1) 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2

平方差公式： 整式乘法 a² - b² = (a+b)(a-b) 因式分解 平方差公式反过来就是说：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 平方差公式： (a+b)(a-b) = a² - b² a² - b² = (a+b)(a-b) 整式乘法 因式分解

4x² - 9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y) 将下面的多项式分解因式 1) m² - 16 2) 4x² - 9y² m² - 16= m² - 4² =( m + 4)( m - 4) a² - b² = ( a + b)( a - b ) 4x² - 9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)

例1.把下列各式分解因式 （1）16a²- 1 ( 2 ) 4x²- m²n² ( 3 ) — x² - — y² 解：1）16a²-1=(4a)² - 1 =(4a+1)(4a-1) 9 1 25 16 ( 4 ) –9x² + 4 解：2） 4x²- m²n² =(2x)² - (mn)² =（2x+mn)(2x-mn)

例2.把下列各式因式分解 ( x + z )²- ( y + z )² 4( a + b)² - 25(a - c)² 4a³ - 4a 解： 4.原式=[(x+y+z)+(x-y-z)] ×[(x+y+z)- (x-y-z)] =2 x ( 2 y + 2 z) =4 x ( y + z ) 例2.把下列各式因式分解 ( x + z )²- ( y + z )² 4( a + b)² - 25(a - c)² 4a³ - 4a (x + y + z)² - (x – y – z )² 5)—a² - 2 解： 1.原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)] =(x+y+2z)(x-y) 解： 2.原式=[2(a+b)]²-[5(a-c)]² =[2(a+b)+ 5(a-c)][2(a+b)- 5(a-c)] =(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c) 解： 3.原式=4a(a²-1)=4a(a+1)(a-1) 1 2

D D 巩固练习： 1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ） 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ） 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y² -4a² +1分解因式的结果应是 （ ） -(4a+1)(4a-1) B. -( 2a –1)(2a –1) -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1) 2. 把下列各式分解因式： 1）18-2b² 2) x4 –1 D D 1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)

完全平方公式

现在我们把这个公式反过来 很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”

我们把以上两个式子叫做完全平方式 “头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾”两倍中间放.

判别下列各式是不是完全平方式 是 是 是 是

完全平方式的特点： 1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍

下列各式是不是完全平方式 是 是 是 否 是 否

请补上一项，使下列多项式成为完全平方式

我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因式 我们称之为：运用完全平方公式分解因式

例题：把下列式子分解因式 4x2+12xy+9y2 =(首±尾)2

请运用完全平方公式把下列各式分解因式：

练习题： 1、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ） A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2 1、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ） A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2 C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2 2、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ） A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2 D C

3、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ） A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2 C、 D、 3、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ） A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2 C、 D、 4、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ） A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4 D D

5、把 分解因式得 （ ） A、 B、 6、把 分解因式得 B A

7、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ ） A、20 B、-20 C、10 D、-10 8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ） A、6 B、±6 C、3 D、±3 B B

9、把 分解因式得（ ） A、 B、 C、 D、 10、计算 的结果是（ ） A、 1 B、-1 C、 2 D、-2 C A

(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗? 思考题: 1、多项式: (x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗? 2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式： X4+4x2+( )

小结： 完全平方式具有： 1、是一个二次三项式 2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍 3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解

1.利用因式分解计算： 1002-992+982-972+962-952+… +22-12 【解析】原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97） +… +(2+1)(2-1) =199+195+191 +… +3 =5050

2.(2010·江西中考)因式分解:2a2－8＝___________. 【解析】 原式= 答案： 3.(2010·珠海中考)因式分解: =______. 【解析】先提公因式，再利用平方差公式分解因式； 即a（x2－y2）=a（x+y）（x－y） 答案:a(x+y)(x－y)

4.（2010·东阳中考） 因式分解：x3-x=___. 【解析】x3-x=x(x2-1)=x(x+1)(x-1) 答案: x(x+1)(x-1) 5.（2010·盐城中考）因式分解: =______. 【解析】 原式=（x+3）(x-3). 答案:（x+3）(x-3).

6.（2010·杭州中考）分解因式 m3 – 4m = . 【解析】m3 – 4m =m(m+2)(m-2). 答案：m(m+2)(m-2) 7.（2010·黄冈中考）分解因式:x2-x=_____. 【解析】原式=x（x-1）. 答案: x（x-1）.

8. 计算: 7652×17－2352 ×17 【解析】7652×17－2352 ×17 =17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235) =17 ×1000 ×530=9010000 9.20102+2010能被2011整除吗? 【解析】∵20102+2010=2010(2010+1)=2010 ×2011 ∴ 20102+2010能被2011整除.

10.（2010·眉山中考）把代数式 分解因式，下列结果中正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】选D . =m（x2－6x＋9)=m(x－3)2. 11.（2010·黄冈中考）分解因式：2a2–4a+2 【解析】2a2–4a+2=2（a2–2a +1）=2（a–1）2 答案：2（a–1）2

12.（2010·杭州中考）因式分解：9x2－y2－4y－4＝_____． 【解析】 9x2－y2－4y－4=9x2－（y2+4y+4）= 答案： 13.（2010·常德中考）分解因式： 【解析】原式是一个完全平方式，所以x2+6x+9= 答案：

动手实践 将一个正方形的一角剪去一个小正方形，观察剪剩下的部分，你能在只能剪一刀的情况下，将剩余部分重新拼接成一个特殊四边形吗？ b a a2-b2 = (a+b) (a-b)

a b a+b a-b a2 - b2= (a+b)(a-b)

a b a2 - b2= (a+b)(a-b) a-b a+b

a b a2 - b2= (a+b)(a-b) a-b a+b

a b a2 - b2= (2a+2b)(a-b) =(a+b)(a-b) 1 2 2b a-b 2a

应用性作业 14、用平方差公式进行简便计算: （1）999²-998² （2）229²-171² （3）91×89 （4）把9991分解成两个整数的积。

15、找规律 延伸性作业 32-12=8×1， 52-32=8×2， （1） 72-52=_________， （2） 92-72=_________ （3）（ ）2-92=8×5;… 请归纳上述各式所反映的一般规律，并加以说明理由。 8×3 8×4 11 （2n+1)2-(2n-1)2=8n

应用性作业 知识解密 16、（2005年浙江省）在日常生活中如上网等都需要密码，有一种因式分解法产生的密码方便记忆又不易破译。 例如用多项式x4-y4因式分解的结果 （x-y)(x+y)(x2+y2)来设置密码，当取x=9,y=9时，可得一个六位数的密码“018162”。你知道这是怎么来的吗? 小明选用多项式4x3-xy2，取x=10,y=10时。用上述方法产生的密码是什么?(写出一个即可)

选做题： 课后作业: 1、分解因式： 2、计算： 25 × 2652－1352 × 25 3、1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除? 4、已知x+y=7,x-y=5,求代数式 x2-y2-2y+2x的值. 5、若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数. 6、英国数学家狄摩根在青年时代,曾有人问他:“今年多大年龄？”狄摩根想了想说：“今年，我的年龄和我弟弟年龄的平方差是141，你能算出我的年龄和我弟弟的年龄吗？”假设狄摩根的年龄为x岁，他弟弟的年龄为 y岁，你能算出他们的年龄吗？