第22课时　梯形

1.了解：平行四边形、梯形之间的关系;等腰梯形的有关性质. 2.掌握：梯形的概念和性质;梯形中位线的概念与性质. 3.探索并了解多边形的内角和与外角和公式,了解正多边形的概念.

一、梯形的相关概念 1.梯形：一组对边平行而另一组对边_______的四边形. 2.梯形相关定义 (1)梯形的底：_____的两边. (2)梯形的腰：_______的两边. (3)梯形的高：两底的_________. 不平行 平行 不平行 公垂线段

二、等腰梯形的性质与判定 性 质 判 定 等 腰 梯 形 1.两底_____，两腰_____ 2.同一底上的两个___相等. 性　质 判　定 等 腰 梯 形 1.两底_____，两腰_____ 2.同一底上的两个___相等. 即∠A=____，____=∠C 3.等腰梯形的对角线_____. 即AC=___ 4.是轴对称图形，对称轴是___________ _______ 1.两腰_____的梯形是等腰梯形 2.在同一底上的___________的梯形是等腰梯形 3.两条对角线_____的梯形是等腰梯形 平行 相等 角 相等 ∠D ∠B 两个角相等 相等 相等 BD 过两底中点 的直线

1.等腰梯形两底之差为4,高为2,则等腰梯形的钝角为　( ) A.150°　　　B.105°　　　C.120°　　　D.135° 2.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AE∥DC,AB=6cm, 则AE=__cm. D 6

108° 3.在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=72°,∠C=48°,则∠A=_____, ∠D=_____. 4.等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,BC=BD,则∠A=_____. 5.已知梯形的上底长为3 cm,下底长为7 cm,则中位线长为_cm. 6.一个五边形的内角和为_____. 7.若一个正n边形的每一个外角均为36°,则n=___. 8.若一个多边形的内角和为外角和的3倍,则这个多边形的边 数为__. 9.若一个多边形共有9条对角线,则这个多边形的边数为__. 132° 108° 5 540° 10 8 6

热点考向一 等腰梯形的性质  【例1】(2013·杭州中考)如图,在等腰 梯形ABCD中,AB∥DC,线段AG,BG分别交 CD于点E,F,DE=CF. 求证：△GAB是等腰三角形.

【思路点拨】 证△DAE≌△CBF → ∠DAE=∠CBF → ∠GAB=∠GBA → △GAB是等腰三角形

【自主解答】∵在等腰梯形ABCD中,AD=BC,∠D=∠C,而DE=CF,∴△DAE≌△CBF(SAS),则∠DAE=∠CBF. 又∵等腰梯形ABCD中,∠DAB=∠CBA, ∴∠EAB=∠FBA, ∴GA=GB,则△GAB为等腰三角形.

【名师助学】梯形中常用的九类辅助线

热点考向二 等腰梯形的判别  【例2】(2012·襄阳中考)如图,在 梯形ABCD中,AD∥BC,E为BC的中点, BC=2AD,EA=ED=2,AC与ED相交于点F. (1)求证：梯形ABCD是等腰梯形. (2)当AB与AC具有什么位置关系时,四边形AECD是菱形?请说明理由.

【思路点拨】(1) →△AEB≌△DEC→ AB=DC→等腰梯形 (2)AD∥BC，EB=EC=AD→平行四边形AECD→菱形AECD

【自主解答】(1)如图,∵AD∥BC,∴∠1=∠DAE,∠2=∠3. ∵EA=ED,∴∠DAE=∠3.∴∠1=∠2. 又∵EB=EC,∴△AEB≌△DEC. ∴AB=DC,∴梯形ABCD是等腰梯形.

(2)当AB⊥AC时四边形AECD是菱形. 证明：∵AD∥BC,EB=EC=AD, ∴四边形ABED和四边形AECD都是平行四边形. ∴AB=DE. ∵AB⊥AC,EB=EC,∴AE=EB=EC. ∴四边形AECD是菱形.

【互动探究】在(1)(2)的条件下,四边形ABED是菱形吗? 提示：是,由(2)的证明得四边形AECD是菱形,四边形ABED是平行四边形,∴DC=EC,又∵梯形ABCD是等腰梯形,∴AB=DC,∵E为BC的中点,∴BE=EC,∴AB=BE,∴四边形ABED是菱形.

【名师助学】等腰梯形的三种判定方法 1.定义：梯形→两腰相等→等腰梯形. 2.角：梯形→同一底上的两个内角相等→等腰梯形. 3.对角线：梯形→对角线相等→等腰梯形.

热点考向三 梯形的有关计算  【例3】(1)(2013·临沂中考)如图, 等腰梯形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC, BD⊥DC,垂足分别为E,D,DE=3,BD=5, 则腰长AB=________.

(2)(2012·巴中中考)如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC, BD⊥CD,点E是BC的中点且DE∥AB,则∠BCD的度数是　　　　. 【思路点拨】(1)先求BE,设EC=x,在Rt△DEC和Rt△BDC中分别表示CD2,列出方程求出x,再求CD,最后求AB. (2)先证明四边形AECD是平行四边形,四边形ABED是菱形,再证明△CDE是等边三角形.

【自主解答】(1)因为DE⊥BC,DE=3,BD=5,所以BE=4. 设EC=x,则DC2=DE2+x2=9+x2. 又因为BD⊥DC,所以BC2-BD2=DC2, 即(4+x)2-52=x2+9,解得x= , 所以DC= . 又∵在等腰梯形ABCD中AB=CD,∴AB= . 答案：

(2)连结AE, ∵AD∥BC,DE∥AB, ∴四边形ABED是平行四边形, ∴AD=BE,AB=ED. ∵E是BC的中点, ∴BE=CE,∴AD=CE. ∵AD∥BC,∴四边形AECD是平行四边形, ∴AE∥DC,∵BD⊥CD,∴BD⊥AE,

∴四边形ABED是菱形,∴DE=BE, ∵BE=CE,∴DE=CE. ∵AB=DE,AB=CD,∴DE=DC,∴DE=EC=CD, ∴△CDE是等边三角形,∴∠BCD=60°. 答案：60°

【名师助学】解决梯形的有关计算的三种思路 1.作梯形的高线,将梯形转化为矩形和直角三角形,利用矩形 和直角三角形的知识去解答,特别是在等腰梯形中,上底为a, 下底为b,腰为c,高为h时,四个量满足关系式：b-a=2 . 2.平移一腰,将梯形转化为三角形和平行四边形,特别是在等 腰梯形中,有一个底角为60°时,可转化为等边三角形和平行 四边形. 3.平移对角线.当对角线互相垂直时,通过平移对角线可将梯 形问题转移到直角三角形中.

【知识拓展】梯形面积的三种算法 1.梯形的面积：S= (a+b)h(a,b分别为梯形的上底与下底,h 是梯形的高). 2.梯形的面积：S=lh(l是梯形的中位线,h是梯形的高). 3.梯形的两条对角线互相垂直时,梯形的面积等于梯形的两条 对角线乘积的一半.

梯形中的中位线问题 【典例】(2012·滨州中考)我们知道“连 结三角形两边中点的线段叫作三角形的中 位线”,“三角形的中位线平行于三角形的 第三边,且等于第三边的一半”.类似地,我们连结梯形两腰中点的线段叫作梯形的中位线.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线.通过观察、测量,猜想EF和AD,BC有怎样的位置和数量关系?并证明你的结论.

【思路点拨】 创新点 通过三角形中位线定理证明梯形中位线定理 突破口 (1)通过作辅助线把梯形的上下底转化到三角形中 (2)证三角形全等,类似于割补法把梯形中位线转化为三角形中位线 (3)再由三角形中位线定理转化为梯形中位线定理

【自主解答】EF∥AD∥BC，EF= (AD+BC). 证明：连结AF并延长交BC的延长线于点G. ∵AD∥BG，∴∠DAF=∠G， 在△ADF和△GCF中， ∠DAF=∠G, ∠DFA=∠CFG, DF=FC,

∴△ADF≌△GCF.∴AF=FG，AD=CG. 又∵AE=EB，∴EF∥BG，EF= BG, 即EF∥AD∥BC，EF= (AD+BC).

【思考点评】 1.方法感悟：梯形的中位线定理有两个结论,一个结论是表明位置关系的,另一个是表明数量关系的,所以既可以解决计算型题,也可以解决说明型题. 2.技巧提升： (1)过梯形一腰的中点,作底边的平行线,必平分另一腰. (2)如果把三角形看作是上底为零的梯形,这时的梯形的中位线就变成了三角形的中位线.

【学以致用】 1.(2013·巴中中考)如图,在梯形ABCD中, AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点且EF=6, 则AD+BC的值是(　　) A.9 B.10.5 C.12 D.15 【解析】选C.因为梯形的中位线的长等于两底和长的一半,所以AD+BC=2EF=12.

2.(2012·达州中考)如图,在梯形 ABCD中,AD∥BC,E,F分别是AB,CD 的中点,则下列结论：①EF∥AD; ②S△ABO=S△DCO; ③△OGH是等腰三角形;④BG=DG;⑤EG=HF.其中正确的个数是 (　　) A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个

【解析】选D.根据梯形的中位线可推出①正确. △ABD和△ACD是同底等高的两个三角形,所以面积相等,都减去△AOD的面积,即S△ABO=S△DCO,故②正确. ∵EF∥BC,∴∠OGH=∠OBC,∠OHG=∠OCB,已知四边形ABCD是梯形,不一定是等腰梯形,可知∠OBC和∠OCB不一定相等,即∠OGH和∠OHG不一定相等,∠GOH和∠OGH或∠OHG也不能证出相等,

∴△OGH不是等腰三角形,∴③错误. ∵EF∥BC,AE=BE,DF=FC(E,F分别为AB,CD的中点),∴BG=DG,AH=HC,EG,HF分别是△ABD与△ACD的中位线,∴EG= AD=HF,∴④⑤正确.