3.4 等比数列

（一）关于国际象棋的一段传说 国际象棋的棋盘上共有 8  8 = 64 个格子，关于国际象棋，有这样一个传说，国际象棋发明以后，当时的国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第 1 个格子里放上 1 颗麦粒，在第 2 个格子里放上 2 颗麦粒，在第 3 个格子里放上 4 颗麦粒，在第 4 个格子里放上 8 颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍，直到第 64 个格子，请给我足够的粮食来实现上述要求”.国王觉得这并不是难办到的事，就同意了他的要求. 究竟国王能不能满足发明者上述要求呢？今天暂不讨论. 我们先看各个格子里的麦粒数，构成下列数列： 1 ，2 ，4 ，8 ，· · · ，263 .

（二）等比数列的概念： 再观察几个数列： 2000，2000×1.1，2000 ×1.12，· · ·，2000 ×1.19 ； 10，10 × 0.85，10 × 0.852，10 × 0.853 ， · · · ； 5 ，25 ， 125 ， 625 ，· · · ； 1 ，-3 ，9 ，-27 ， · · · . 特点：从第二项起，每一项与它前一项的比都 等于同一个常数. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就 叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公 比通常用字母 q 来表示.

（三）等比数列的通项公式： 设等比数列 { a n } 的首项是 a 1，公比是 q ，那么，根据等比数列的定义， 从第二项起，每一项与它前一项的比都等于公比 q，所以每一项都等于它的前一项乘以公比 q， 所以，a 2 = a 1 q ， a 3 = a 2 q = ( a 1 q) q = a 1 q 2 a 4 = a 3 q = ( a 1 q 2) q = a 1 q 3 a 5 = a 4 q = ( a 1 q 3 ) q = a 1 q 4 · · · · · · 等比数列的通项公式： a n = a 1 q n –1 .

注意： （1）由等比数列的定义，可以知道，等比数列的各项 a n  0，公比 q  0 . （2）如果等比数列的公比 q = 1，则这个数列是常数列 ； （3）等比数列的图 象，以数列 1，2，4，8，· · · ，263 为例.

例 1 培育水稻新品种，如果第一代得到 120 粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的 120 粒种子，到第 5 代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？ 分析：由于每一代的种子数都是它的前一代种子数的 120 倍，所以，逐代的种子数构成等比数列，记为 { a n } . 已知 a 1 = 120，q = 120，利用通项公式求出 a 5 即可. 例 2 一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18，求它的第 1 项与第 2 项 . 分析：利用题设条件和通项公式，先求出 a 1 和公比 q，再求 a 2 .

例 3 已知 { a n }、{ b n } 是项数相同的等比数列，求证 { a n · b n } 是等比数列 . 注： （1）要判断一个数列是否是等比数列，只要考查它的第 n +1 项与它的第 n 项的比即可，如果这个比等于一个与 n 无关的常数，那么这个数列就是等比数列 .这是证明一个数列是等比数列的常用的方法. （2）由例 3，我们发现关于等比数列的两个结论： ①如果两个数列项数相同，且都是等比数列，则它们的对应项相乘得到的数列仍然是等比数列； ②如果 { a n } 是等比数列，c 是不等于 0 的常数，那么数列 { c · a n } 是等比数列 .

（四）等比中项： 定义：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 . 注：( 1 ) 在一个等比数列中，从第 2 项起，每 一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等比中项 . ( 2 ) 只有当两个数同号时，这两个数才有等比 中项 .