等比数列.

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1 等比数列

2 一、温故知新： an－an－１=d(d为常数) 1、等差数列定义： 2、等差数列单调性： 用什么方法如推出的呢？图像怎样？

3 二、课题引入：

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7 1.定义： 一般地，如果一个数列从第二项起每 一项与它的前一项的比等于同一个常数，那 么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做
等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 。 问：数列a, a, a, a, …(a∈R)是否为等比数列？ 如果是,a必须满足什么条件？ (1) a＝0; 它只是等差数列。 (2) a≠0; 它既是等差数列又是等比数列。

8 注：对定义的认识 1.等比数列的首项不为0, 即a1≠0。 2.等比数列的每一项都不为0，即an≠0。 3.公比不为0，即q≠0。
数学语言：an+1:an=q (q≠0的常数)。

9 2、等比中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列： （1）1， ， 9 （2）-1， ，-4
（1）1， ， （2）-1， ，-4 （3）-12， ， （4）1， ，1 ±3 ±2 ±6 ±1 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

10 思考： 问题1：如果在a与b中间插入一个数Ｇ，使 a,Ｇ,b成等比数列，那么Ｇ应满足 什么条件？ 问题2： 是a,Ｇ,b成等比数列的 充要条件吗？ 问题３： 是a,Ｇ,b成等比数列的 充要条件吗？

11 3.由定义归纳通项公式 问：如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法（累乘法） 2.不完全归纳法 a2/a1=q a3/a2=q
… an/an-1=q 2.不完全归纳法 a2=a1q a3=a2q=a1q2 a4=a3q=a1q3 … 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 所以 an=a1qn-1 an=a1qn-1 其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。

12 等比数列的通项公式： an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0） 特别地，等比数列{an}中，a1≠0,q≠0

13 分类： q>1 0<q<1 q=1 q<0 a1>0 递增 递减 常数列 a1<0 递减 递增 常数列

14 · · · · an=2 n－1 若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是： ＿＿＿＿＿＿ 上式还可以写成
8 7 6 5 4 3 2 1 上式还可以写成 可见，表示这个等比数列 的各点都在函数 的图象上，如右图所示。 n

15 例题讲解 分析：可由等比数列的知识求解

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17 例３．一个等比数列的第３项和第４项分别是１２和１８，求它的第１项和第２项．
(分析：要求第１项和第２项，必先求公比q. 可利用方程的思想进行求解。)

18 例３．一个等比数列的第３项和第４项分别是１２和１８，求它的第１项和第２项．
解 ：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有 解得 因此， 答：这个数列的第1项与第2项分别是

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20 它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq为公比的等比数列．
　　结论：如果　　　是项数相同的等比数列，那么　　　也是等比数列． 证明：设数列 的公比为p， 的公比为q，那么数列 的第n项与第n+1项分别为 与 ，即 与 ． 因为 它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq为公比的等比数列． 特别地，如果是 等比数列，c是不等于０的常数，那么数列 也是等比数列．

21 探究 　对于例４中的等比数列　　与　　，数 列　　　也一定是等比数列吗？ 是

22 知识拓展 一、通项公式的推广

23 二、等比数列的性质 4、等比数列所有奇数项符号相同； 所有偶数项符号相同。

24 三、判断等比数列的方法 定义法: 中项法: 三个数a,b,c成等比数列

25 1.定义 等比数列 等差数列 2.公比(差) q不可以是0, d可以是0 3.等比(差) 中项 等比中项 等差中项 4.通项公式 5.性质
(若m+n=p+q)

26 课 后 作 业