博弈论 主讲 施锡铨 2004年3月

第一章 引论 应用及例题 基本理论

博弈论关注的是互相依存（interdependence） 每一个体猜测其他个体的选择是什么？ 每个人将采取什么样的行动？(当最优的行动依赖于 其他人的所作所为时，这个问题尤其令人关注。)  这些行动产生什么样的结局？对于整个群体，这个 结局好吗？ 如果群体不止一次地互相作用，会有任何差异吗？ 如果每一个体对群体内其他个体的特性没有把握， 答案将发生怎样的变化？

取自经济学，政治学，财政金融，法律，甚至日常生活中的若干相互依存性事例 艺术品拍卖 (诸如在克里斯蒂（Christie） 或索士比（Sotheby）拍卖行，那里待售出 自布拉克（Braque）直至维罗内塞 （Veronese）的艺术品)和债券拍卖（美国 财政部为筹措联邦预算支出，以这种方式 出售政府公债） 。 联合国的选举（ 例如，选举新的联合国秘 书长） 。

动物争斗（争夺良好的栖息地以及种类中 稀少的发情期雌性动物，等等）。 自然资源的可持续使用（像石油那样的可 耗尽资源或像森林那样的可重建资源的提 取形式） 。 运动会和工作场所的随机药物检测（选取 少量运动员和工作人员进行核实使用违禁 药物的测试） 。 破产法（详细说明在什么时候和有多少债 权人可以从已破产的公司那儿收账） 。

“毒药”条款（该条款给予管理部门一定的权限 以抵制不受欢迎者试图接管或兼并他们的公司） R&D开支（譬如，制药公司的研究开发费用） 第一次世界大战的壕沟战（在法德之间的边界 地区，当军队连续数月地互相对峙时，掘进到 敌方的战壕里去） OPEC（石油卡特尔，控制着世界石油产量的 一半，因此，在决定人们支付油价方面拥有重 要的发言权 群体项目（诸如为你们的博弈论课程准备案例 研究）

分析在一群举止行为颇具 策略的理性人之间的相互 作用的正规方法。 博弈论—— 分析在一群举止行为颇具 策略的理性人之间的相互 作用的正规方法。

博弈论是考虑以下每一项条款的正规方法： 群体——在任何博弈中有不止一个决策者； 每一个决策者称为局中人 相互作用——任何单个局中人的行为直接 影响到群体内至少一个其他的局中人。 策略——单个局中人在决定自己所取的行 动时，会考虑到相互依存性。 理性——在考虑到这种相互依存性时，每 一个局中人会选择自己的最优行动。

来自日常生活中的例子 致力于一项群体项目，为博弈论课程准备 案例研究：“群体”包括一起做案例的学 生。他们之间的“相互作用”来自于这样 的事实：为了写一篇论文，需要付出一定 的工作量；因此，如果一个学生偷懒，另 外的某个人在论文到期前的夜晚不得不投 入额外的几个小时。“策略”运用包含了 估计群体内总想占别人便宜者的可能性， “理性”参与需要对较好分数的好处与额 外工作的成本仔细地进行比较。

（奥林匹克运动会中）中随机药物检测： “群体”由比赛运动员和国际奥林匹克委员 会（IOC）组成。“相互作用”是两方面的， 一方面是运动员之间的相互作用——他们做 出在训练安排中和不管什么情况下一样服禁 药的决策；另一方面是在运动员与IOC之间的 相互作用，后者需要维护运动的声誉。“理 性策略”的应用需要运动员根据获胜的机会 以及如果服用了兴奋剂之后被逮到的机会之 间进行比较而作出决策。类似地，它要求IOC 根据检测成本和清白声誉的价值而制定药物 检测的程序和相应的惩罚措施。

经济与财政金融的例子 制药公司的R&D效果：某些评估表明，研究与 开发（R&D）经费支出占美国制药公司年销售 额的20%之多。以及平均来说，一种新药的开 发成本大约为3亿5千万美元。公司自然关心诸 如资金投入哪一条生产线，新药定价应多高， 如何缩减与新药开发相伴的风险，等等问题。 在这个例子中，“群体”是药物公司全体组成 的集合。“相互作用”起因于药的最先开发者 将获得最大的收益（由于专利权的缘故）。如 果R&D经费的选取大小使得在确知竞争者对这 条新药生产线进行投资的前提下能最大化从新 药开发中得到收益，那么 “R&D” 经费是策略 性的和是理性的。

债券拍卖：正常情况下，美国财政部通过拍卖形式处 理政府证券 债券拍卖：正常情况下，美国财政部通过拍卖形式处 理政府证券*。主要的投标人是投资银行，如莱曼兄 弟（Lehman Brothers） 或摩里尔林奇（Merrill Lynch）等（他们转而将证券出售给他们的客户）。 因此，“群体”就是投资银行组成的集合。（实际上， 从一次拍卖到又一次拍卖，这些投标人极少发生改 变。）他们“互相作用和影响”着，因为其他人的标 价决定了一个投标人是否分配到任何债券，也可能决 定了投标人支付的价钱。如果投标基于可能的竞争上 和在支付太多与得不到任何债券的风险之间达到适当 的平衡，那么，“出价”是“理性的”和“策略的”。 * 这些证券是公债和国库债券，以及公共部门（或者他们的代理人，例 如共同基金信托公司或养老基金等）所拥有的准金融债券。这些证券 承诺在一个固定的周期（譬如，三个月，一年，或五年）后支付一笔 钱。另外，他们也可能承诺在证券有效期内定期地支付固定额的钱款。

来自生物学与法律方面的例子 动物习性：刚过去的25年里，博弈论更吸引人的应用 之一已经深入生物学领域，特别是关于动物之间争斗 和竞争的分析。通常野生动物不得不为了稀少资源 （诸如具繁殖能力的雌性动物或者动物的尸体）而竞 争；于是，为了发现这些资源——或者为了从发现者 那儿夺取资源，它们会有所付出。问题在于这种做法 会导致代价昂贵的争斗。这里，“局中人群体”是眼 睛盯着同一猎物的所有动物。由于资源的有限性，它 们互相影响着。假如它们考虑竞争对手做出反应，选 择就是“策略”，如果由于这种“策略”满足了它们 的短期目标，譬如解决了饥饿，或者满足了它们的长 期目标，譬如保持了物种的繁衍不绝，这样的选择是 “理性的”。

破产法：在美国，一旦公司宣告破产，它的 财产不再由单独的债权人扣押，而代之以安 全保管，直至公司与它的债权人达成某种程 度的谅解。但是，债权人可以在破产宣告之 前促使法庭去收帐 (虽然通过这种做法债权人 可能逼迫公司陷入破产)。这里，债权人“群 体”内的“相互作用”来自于这样的事实： 个别债权人能够成功地依法占有的钱就不再 可能属于其他任何一个人。“策略”的选取 需要估计其他债权人可能有多大耐心，而 “理性的”选择包含了在早收账与逼迫公司 不必要的破产之间的权衡。

例题 1. 拿子游戏 (Nim和Marienbad) 这是两个室内游戏，玩法如下。有两堆火柴，和两 个局中人。游戏从局中人1开始，此后局中人轮 流行动。在每个局中人的轮次里，他可以从两 堆火柴的任一堆中拿走任何数量的火柴。只要 任何一堆中尚有剩余的火柴，则要求每个局中 人拿走一定数量且不能空手而返，但每个轮次 只能从一堆中取火柴。 在“拿子游戏”Nim中，无论那个局中人，取走最 後火柴者算赢。而在Marienbad，谁拿走最后 的火柴，那么这个局中人就算输。

2. 投票 假设有两个竞争议案，这里表示为Ａ与Ｂ，3个议员， 投票人1，2和3，他们投票决定是否通过这些议案。 结局可能会是两种中的某一个：要么通过Ａ和Ｂ中的 一个，要么议员们没有通过任何一项议案（延缓而以 原来法律代替）。投票过程如下：首先，让议案A与 议案B互相竞争；然后，竞争的获胜方与原来法律互 相竞争，为简便起见，我们将原法律称为“都不赞成” （或者N）。在两轮投票中的每一轮，获多数票的法 案算胜出。三个议员在可适用的选择中有如下偏好：  投票人1： 投票人2： 投票人3： （这里， 表示“喜欢议案A甚于喜欢议案B”）

3. 囚徒困境 克雷＼卡尔文 认罪 不认罪 认罪 5，5 0，15 不认罪 15，0 1，1

总 结 博弈论是研究相互依存性的。它研究局中人群体中 的互相作用，这些局中人根据策略地分析群体内其他 人可能做什么而进行理性的选择。 博弈论可以应用于诸如自然资源的使用，选取联合 国秘书长，动物习性，和OPEC的生产策略等广泛不 同的问题。 博弈论的创建追溯到150年前。但是，学科的主要 发展是近代的，大约在最近50年期间，使得博弈论成 为经济学与数学范围内最年轻的学科之一。 如拿子游戏和囚徒困境这种博弈的策略分析可以揭 示理性局中人将达到的结局。对于整个局中人群体来 说，这些结局并不总是称心的。

博弈的规则： “谁”（Who）在参与——策略地互相作用的局 中人群体。 每个博弈通过一组规则进行，规则必须说明四件事： “谁”（Who）在参与——策略地互相作用的局 中人群体。   他们以“什么”（What）来参与——每个局中人 可使用的策略供替代的行动或选择。          每个局中人“何时”（When）行动（以什么顺序） 从参与博弈所作的选择中，他们得到（或失去） “多少”（How much） 关于规则的共同知识 每一个局中人知道博弈的规则，并且这一现象是众所 周知的。

“谁”，“什么”，和“何时”：展开型 展开型 规则的一种图形表示式。主要的画图形式称 为博弈树，是由一个根和若干枝依次排列 组成。

信息集和策略 信息集 决策结的集合，局中人不能区分这些决策结 在展开型里怎样表示同时行动 策略 局中人的策略是指在局中人需要做出选择的信息集处可采取的行动。 在展开型里怎样表示同时行动 局中人1 局中人2 c n 策略是行动的蓝图，在每一个决策结告诉局中人如何去选择。由于局中人在任何一个信息集里不能区分决策结，策略详细说明了在每一个结所做的行动。

正则（或策略）型 博弈规则中另一种表示方式称为正则型或策略型 策略型 有关“局中人，他们每一个人可使用的策略，和每人 的得益”的完整的一览表。 sss ssb ssc bbs … ccb ccs ccc b N, T N, T N, T T, N N, T N, T N, T c T, N T, N T, N T, N T, N T, N T, N s T, N T, N N, T T, N T, N T, N N, T 局中人2 局中人1

冯诺伊曼——摩根斯坦效用函数 拿子游戏 Nim 假设在一堆中有2根火柴，在另一堆中有1根火柴。记这 个布局为（2，1）。与赢相联的盈利数必定高于对应 于输的盈利数；假设这些数分别为1与-1。 局中人1 1, -1 -1, 1 局中人2 (0, 0) (2, 1) (0, 1) l (1, 0) (1, 1) (2, 0) r L u R d m

策略型表示式如下： 1 / 2 lL lR rL rR u 1, -1 1, -1 1,-1 1, -1 m -1, 1 -1, 1 -1, 1 -1, 1 d 1, -1 -1, 1 1, -1 -1, 1

投票博弈 假如一个投票人所赞成的议案通过，她得到的盈 利为1。如果她的第二个选择通过，则盈利为0， 如果她最不赞同的抉择通过，此时她的盈利是-1。 投票人3 A 投票人3 N A 投票人2 B B A A 投票人2 1, 0, 0 N A B B 投票人1 投票人1 A B A A B N A 0, -1, 1 B

囚徒困境 c -5, -5 0, -15 n -15, 0 -1, -1 博弈的展开型 1 \ 2 c n 局中人2 n c -5, -5 局中人1 c -15, 0 n n 策略型 1 \ 2 c n c -5, -5 0, -15 n -15, 0 -1, -1 -1, -1

总 结 1．博弈规则必须明确说明局中人是“谁”，每个局中人 可使用的选择是“什么”，和从局中人群体所作的一组选 择中，每个局中人得到“多少”。 2．博弈规则有两种主要的表示式，展开型和策略型。  3．展开型是博弈的图形表示，它明确地说明了局中人选 择的顺序，每个局中人有多少次选择（以及每次她可适用 的选择），和对于任何选择序列每个局中人最终的盈利。  4．策略型是这样的表示式，其中明确地说明了局中人的 选择（策略）和每组选择集带来的的盈利。你可以把策略 型视为博弈型式，局中人对所有的策略只做一次选择的。  5．博弈中的盈利应当被视为冯诺伊曼-摩根斯坦效用。对 于不确定情况，盈利应当在不确定性的所有可能解上取期 望值而计算得到。