第二章 控制系统的数学模型 2-0 引言 2-1 微分方程的建立及线性化 2-2 传递函数 2-3 结构图 2-4 信号流图

2.0 引言 要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。 数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。 2.0 引言 要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。 数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。 物理量：高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流 。 数学表达式：代数方程、微分方程 静态数学模型 ：系统变量之间与时间无关的静态关系 动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性 控制系统数学模型的类型 时域模型 微分方程 频域模型 频率特性 结构图=方框图 ＋数学模型 复（S）域模型 传递函数

2.1 线性微分方程的建立及求解 建模方法 ：分析法、实验法 2.1 线性微分方程的建立及求解 建模方法 ：分析法、实验法 ◆实验法（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型。 方法--频率特性法;最小二乘法 (曲线拟合) 分析法：根据系统运动规律（定律、经验公式） 和结构参数，推导系统输入输出之间数学 关系。 ------适用于简单的系统。 黑匣子 输入（充分激励） 输出（测量结果）

微分方程是控制系统最基本的数学模型。 一.微分方程的建立 1、计算分析法步骤 （1）确定输入、输出及中间变量。 （2）根据各个元件的物理规律、定律，列写各个元件的微分方程，得到一个微分方程组。若总变量数为n，应列写n-1个独立方程。（忽略次要因素，使问题简化。） （3）解方程组：消去中间变量，即得控制系统的输出和输入的微分方程。（输出量放在方程的左边，输入量放在右边；各导数项按降阶排列。）

m m 例1.机械平移系统。求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。 F1(弹簧的拉力) F(t)外力 弹簧 k F(t) x(t)位移 阻尼器 弹簧 m F1(弹簧的拉力) F(t)外力 F2阻尼器的阻力 忽略重力因素

m 解：首先确定：输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据 1.牛顿第二定律：物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积； 2.牛顿第三定律；作用力等于反作用力。 单独取出m进行分析，这里不考虑重力的影响。 m F1(弹簧的拉力) F(t)外力 F2阻尼器的阻力

例2. RLC电路。分析在输入电压ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。 机械平移系统的微分方程为： 例2. RLC电路。分析在输入电压ur(t)作用下，电容上电压uc(t)的变化。 R L C ur(t) uc(t) i(t) 解： 设中间变量为 i(t)，ur(t) 、uc(t)分别为 输入、输出变量。 依据：电学中的基尔霍夫定律

由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)，整理得： 两个例子的式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统。可见，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。

例3：下图是具有转动惯量为J的转子，与弹性系数为K 的弹性轴和阻尼系数为 的阻尼器连接。假设施加的外扭矩为 ，则系统产生偏离平衡位置的角位移 。试写出角位移 与扭矩 的微分方程。

解： 应与阻力矩总和平衡，即 假设初始状态 在平衡位置，扭矩 牛顿定律 （） 式中，M1——惯性体所产生的阻力矩，为 M2——阻尼器所产生的阻尼力矩，为 M3——弹性轴所产生的弹性阻力矩，为 将M1、 M2、 M3代入式（  ），得到描述系统输出输入关系的运动方程式为

二.非线性元件的线性化 1.几种常见的非线性 非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，可以近似地转化为线性微分方程。

2.线性化的方法 （1）忽略弱非线性环节（如果元件的非线性因素较弱或者不在系统线性工作范围以内，则它们对系统的影响很小，就可以忽略）。 （2）偏微法（小偏差法，切线法，增量线性化法） 偏微法基于一种假设，就是控制系统只是在平衡点附近作微小变化。这符合闭环控制系统，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件工作在平衡点附近。

A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数

书P28例（电感部分直接用总的磁链分析，更易于理解） 忽略二次以上的各项，上式可以写成 得到非线性元件的线性化数学模型 书P28例（电感部分直接用总的磁链分析，更易于理解） 在平衡工作点附近有：

注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性，如： 不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。

练习题1：两级RC 电路，研究以ur(t)为输入电压，电容C2上电压uc(t)为输出的微分方程。

练习题2：电枢控制式直流电动机 电枢回路： — 克希霍夫 电枢反电势： — 楞次定律 电磁力矩： — 安培定律 力矩平衡： — 牛顿定律 电枢回路： — 克希霍夫 电枢反电势： — 楞次定律 电磁力矩： — 安培定律 力矩平衡： — 牛顿定律 消去中间变量 i, Mm , Eb 可得： 电机时间常数 电机传递系数

线性微分方程的求解 线性微分方程的求解方法： 解析法、拉普拉斯变换法、计算机辅助求解 拉普拉斯变换法求解微分方程基本步骤： （1）考虑初始条件，对微分方程中的各项进行拉式变换， 变成变量s的代数方程。 （2）由变量s的代数方程求出系统输出输出量的拉式变换式。 （3）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微 分方程的解。

回顾：数学工具——拉普拉斯变换与反变换 ⑴ 拉氏变换定义： 设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0 ② t>0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作： 控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限 ⑵拉氏变换基本定理 线性定理 位移定理 延迟定理

终值定理： 初值定理： 微分定理： 积分定理：

工程上典型函数的拉氏变换 时域上函数：f(t) 脉冲 (t) 单位阶跃 速度 加速度 指数 正弦 复数（S）域：F（s） 1

⑶ 拉氏反变换 F(s)化成下列因式分解形式： F(s)中具有不同的极点时，可展开为

F(s)含有多重极点时，可展开为 其余各极点的留数确定方法与上同。 对于三阶以下的系统也可以用待定系数法 （解方程）

例1 设线性微分方程为 式中， 为单位阶跃函数，初始条件为 ， ，试求该微分方程的解。 解： （1）对微分方程中的各项进行拉式变换得 （） 例1 设线性微分方程为 式中， 为单位阶跃函数，初始条件为 ， ，试求该微分方程的解。 解： （1）对微分方程中的各项进行拉式变换得 （） （2）将初始条件代入式（  ），得

（3）对式（2.1.3）进行分解： 式中 对Y（S）进行拉式反变换 什么是运动的模态？（P29）

2.2 传递函数 2.2.1 传递函数的定义和主要性质 解微分方程分析系统的输出响应很麻烦。 能否不解微分方程进行系统分析？ --引申出新的概念---传递函数。 定义：线性定常系统的传递函数，在零初始条件下，系 统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述： 在零初始条件下，并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]， 可得s的代数方程为：

性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n， 且具有复变量函数的所有性质。（物理可实现） 性质2 G(s)取决于系统的结构和参数，与输入量的形式 和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效 地描述了系统的固有特性。 性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提 供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理 系统具有完全相同的传递函数。 性质4 传递函数与微分方程之间有关系。 如果将 置换

性质5 只能反映零初始条件下输入信号引起的输出， 不能反映非零初始条件引起的输出。 传递函数G(s)的零点极点形式。 零点 极点 传递函数G(s)的时间常数形式： 传递函数G(s)的零点和极点对输出的影响。（见P32） 有什么影响？

2.2.2 典型元件的传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。 2.2.2 典型元件的传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成的。

一、典型环节的传递函数 1、比例环节：成比例的复现输入信号 微分方程：c(t)=K r(t) 传递函数： 实例有：放大器、减速机、杠杆机构等

2、惯性环节：输出量延缓地反应输入量的变化规律 微分方程： 传递函数： 为惯性环节时间常数。 零、极点图： RC滤波网络属于惯性环节。

3.积分环节：输出量为输入量的积分--具有记忆功能，用来改善系统的稳态性能。 微分方程为： 传递函数为： 为积分时间常数。 零、极点图：

4、微分环节：输出量为输入量的微分—预示输入信号的变化趋势，监测系统的动态行为。 微分方程为： 零、极点图： 传递函数为： 一阶微分方程为：

5.振荡环节：有两个储能元件，在运动过程中能量相互交换，输出带有振荡特性。 R L C ur(t) uc(t) i(t) 微分方程为： 传递函数为： 令： 称为自然振荡（无阻尼）角频率 为阻尼系数。

零、极点图: 振荡环节有一对位于S左半平面的共轭极点: 弹簧－质量－阻尼器串联系统也属于这一类:

6.延迟环节：输出端要隔一定时间后才能复现输入信号 微分方程为： 传递函数为： 为延迟时间 当延迟时间很小时可得： 特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一段时间。 实例：管道压力、流量、皮带运输等物理量的控制，其数 学模型就包含有延迟环节。

二、实例： 1.电位器 K1是单个电位器的传递系统， 是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。 电位器的负载效应，一般要求 θ 1 2 U ( 图 电 位 器 θ 1 2 U ( t ) q K 1.电位器 K1是单个电位器的传递系统， 是两个电位器电刷角位移之差，称误差角。 电位器的负载效应，一般要求

2.测速发电机－测量角速度并将它转换成电压量的装置 ω ω 直流测速发电机 交流测速发电机 T G U ( t ) T G 激 磁 绕 组 ～ ～ 永 磁 铁 输 出 绕 组 、 相 互 垂 直 ( a ) （ b ) U ( t ) 图 测 速 发 电 机 转子角速度（rad/s） 输出斜率（v/rad/s） 传递函数 图

例1.RC电路如图所示，求传递函数 解：依据：基尔霍夫定律 消去中间变量 则微分方程为：

对上式进行零初始条件下的拉氏变换得： 可用方框图表示： 例2.双T网络，求传递函数

解：方法一：根据基尔霍夫定理列出下列微分方程组： 方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：

消去中间变量得：

方法二：用复阻抗比：

注意：双T网络不可看成两个RC网络的串联，即： 与双T网络相比少一个交叉项R1C2S，这就是负载效应。只有当第一个RC网络的负载阻抗为无穷大时，双T网络的传递函数才等于两个RC网络的串联。

Rf if Ri i0 ir - ur uε uc + R 解： 即： 例3：求下图所示运算放大器的传递函数。图中Rf是反馈电阻，if是反馈电流，Ri是输入电阻，ur和ir是输入电压和电流，uc是输出电压,i0是进入放大器的电流。 ur uc Rf Ri R uε i0 ir if - + 解： 即：

由此导出： 这个结论可以推广为：当负反馈端作为输入时，运算放大器的传递函数等于负的反馈复阻抗与输入复阻抗之比（自动控制中常用负极性端作为输入端） 。

2-4 结构图 一.结构图的概念和组成 X(s) Y(s) G(s) 1.概念 2-4 结构图 一.结构图的概念和组成 1.概念 将方框图中各时间域中的变量用其拉氏变换代替，各元件的名称换成各元件的传递函数，这时方框图就变成了结构图。 2. 组成 (1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。 G(s) X(s) Y(s)

X(s) Y(s) G(s) (2)比较点： 综合点，相加点 加号常省略 负号必须标出 (3)引出点（线）： (2)比较点： 综合点，相加点 加号常省略 负号必须标出 (3)引出点（线）： 一条传递线上的信号处处相等 ，引出点的信号与原信号相等。箭头表示信号传递的方向。 G(s) X(s) Y(s) X(S)

二.结构图的绘制 1、绘制步骤 （1）将系统中每个环节的方程或传函列出来 （2）将每个环节的结构图绘出来 （3）按信号传递的方向将方框连起来 例1：绘制双T网络的结构图

从左向右列方程组 画图时，每个环节写成如下形式： G(s) R(s) C(s)

绘图：ur(s)为输入，画在最左边。 若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？(刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为I,I1,I2)

绘图： 选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。

例2 电枢控制式直流电动机 电枢回路： 电枢反电势： 电磁力矩： 力矩平衡：

Ur 直流电动机结构图

例3.分析P66习题2-15

三.结构图的等效变换 1、三种基本连接形式 （1）串联 X1(s) G1(s) G2(s) X(s) Y(s) G(s) X(s) Y(s) （2）并联 X(s) G2(s) G1(s) Y1(s) Y2(s) Y(S) G(s) X(s) Y(s)

(3)反馈 C(s) G(s) H(s) E(s) R(s) R(s) C(s) 证明： 单位负反馈时：

(前例2) 电枢控制式直流电动机 传递函数： Ur 直流电动机结构图

2、结构图的变位变换（见P47表2-1） （1） 分支点的移动(前乘，后除）

（2）比较点的移动(前除，后乘） （3）相邻比较点位置可以交换（注意相邻） 相邻引出点位置可以交换 （4）负号可以在支路上移动

补充结论：控制系统方块图简化的原则 1.利用串联、并联和反馈的结论进行简化 即：三种典型结构可直接用公式 2.解除交叉环，即变成大环路套小环路 比较点移向比较点：相邻比较点之间可以互移 即：相邻综合点可互换位置、可合并… 引出点移向引出点：相邻引出点之间可以互移 即：相邻引出点可互换位置、可合并… 注：若比较点和引出点相邻，之间不能互移。

综合点移动1 G1 G2 G3 H1 错！ 综合点越过引出点了！ G1 G2 G3 H1 综合点不能向引出点移动， 切记：要向同类移动！

综合点移动2 错！ G2 H1 G1 G3 向同类移动 综合点移动3 1并联 2反馈 3串联 G1

b a H2 b G1 G2 G3 G4 a H3 H1 引出点移动 H2 G2 G3 G4 G1 H3 H1 引出点向引出点移动 将引出点a移到引出点b 1 H2 G4 b G1 G2 G3 G4 a H3 H1

相邻引出点互换位置 1 H2 G4 反馈2 G1 G3 G4 G2 反馈1 反馈3 H3 H1

例: 将系统方块图简化。 分支点A后移，比较点B前移。比较点1和2交换。

用小圆圈表示变量，带箭头的连线上标上增益值。 2-5 信号流图及梅逊公式 1、概念：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图，描绘了信号从系统中一点流向另一点的情况，且表明了信号之间的关系。包含了结构图所包含的全部信息，与结构图一一对应。 例： 用小圆圈表示变量，带箭头的连线上标上增益值。

2.术语： 输入节点：具有输出支路的节点。图中的 点。 输出节点（阱，坑）：仅有输入支路的节点。有时信号流图中没有这样的节点，可从某节点变量引出一条增益为1的支路，即可形成一输出节点，如图中的 。 混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。 如图中的 前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。

前向通路上各支路增益之乘积，称为前向通路总增益 用 表示。 回路：起点和终点在同一节点，并与其它节点相遇仅一次的通路。 回路中所有支路的乘积称为回路增益，用 表示。 不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路叫做不接触回路。 在信号流图中，可以有两个或两个以上不接触回路。

3.信号流图的性质: 信号流图适用于线性系统。 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，信号只能沿支路上的箭头指向传递。 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并把相加后的信号送到所有的输出支路。 具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路把它作为输出节点来处理。 对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，由于描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。

4.信号流图的绘制: ⑴ 由微分方程绘制，这与画方块图差不多。 ⑵ 由系统方块图绘制。 例1:绘制下图所示系统方块图的信号流图。

解：①用小圆圈表示各变量对应的节点 ②在比较点之后的引出点 ，只需在比较点后设置一个节点便可。也即可以与它前面的比较点共用一个节点。 ③在比较点之前的引出点B，需设置两个节点，分别表示引出点和比较点，注意图中的 。

5.梅逊公式：任一结构图中，某输入对某输出的传函为 式中：n：为前向通路的条数； Pk ：为第k条前向通路增益； Δ ：为系统特征式， Δ=1-（所有单独回路增益之和）+（所有每两个互不接触回路增益乘积之和）-（所有三个互不接触回路增益乘积之和）+…… Δk ：为第k条前向通路特征式的余子式。即将Δ中与第k条前向通路相接触的所在项去掉后，余下部分。

梅逊公式练习 = 1 – + (1 g) e h f g a b c d 例：用梅逊公式求下图的传函 R(s) C(s) 注：可用梅逊公式直接对结构图或信号流图求传函。

例：求下图所示系统的传递函数 f

6.闭环系统的传递函数： (1)前向通路传递函数--假设N(s)=0 输出信号C(s)与误差信号E(s)之比, 控制对象 控制器 + + E ( s ) + C ( s ) R ( s ) ) ( 1 s G ) ( 2 s G B ( s ) C ( s ) H ( s ) 反馈信号 图: 反 馈 控 制 系 统 方 块 图 (1)前向通路传递函数--假设N(s)=0 输出信号C(s)与误差信号E(s)之比, (2)反馈回路传递函数--假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与C(s)之比,

(3)开环传递函数,假设N(s)=0 B(s)与E(s)之比, + H ( s ) － R E B N 1 G 2 C (3)开环传递函数,假设N(s)=0 B(s)与E(s)之比, (4)闭环传递函数,假设N(s)=0 C(s)与输入信号R(s)之比,

(5)误差传递函数 假设N(s)=0 E(s)与R(s)之比 。 + － + － R E B N E ( s ) R ( s ) B ( s H ( s ) － R E B N 1 G 2 C (5)误差传递函数 假设N(s)=0 E(s)与R(s)之比 。 E ( s ) + C ( s ) R ( s ) ) ( 1 s G ) ( 2 s G － B ( s ) H ( s )

* (6)输出对扰动的传递函数 假设R(s)=0 利用公式*，直接可得： 输出对扰动的结构图

+ H ( s ) － R E B N 1 G 2 C （7）误差对扰动的传递函数 假设R(s)=0 利用公式*，直接可得：

例：用梅逊公式求 C(s) 解：（1）先求 ， 令N(s) =0 单回路有： 两两互不接触回路有L1L2 ： N(s) G3(s) R(s) E(s) G1(s) G1(s) G1(s) G1(s) G1(s) G1(s) G1(s) G2(s) G2(s) G2(s) G2(s) G2(s) G2(s) G2(s) H2(s) H2(s) H2(s) H2(s) H2(s) H2(s) H2(s) H1(s) H1(s) H1(s) H1(s) H1(s) H1(s) H1(s) H3(s) H3(s) H3(s) H3(s) H3(s) H3(s) H3(s) 解：（1）先求 ， 令N(s) =0 单回路有： 两两互不接触回路有L1L2 ：

特征式： (2).在G2输入端有一点干扰N(s),求C(s)/N(s)，令R(s)=0； 单回路有： 两两互不接触回路仍为L1L2 。对于同一个结构图， 无论输入输出是什么，回路是不变的，所以Δ不变

（3）求R(s),N(s) 同时作用下的总输出，则有 （4）若以E(s) 为输出，R(s) 为输入，求E(s)/R(s) ：