第三章 数列极限 郇中丹 2006-2007学年第一学期

基本内容 §1 数列的基本概念 §2 数列极限 §3 数列收敛条件和列紧性

§1. 数列的基本概念 常用关系式和不等式 归纳法和二项式 数列的定义和运算 数列的有界性 无穷小数列 无穷小数列举例 习题五

常用关系式和不等式 对于a, b, c  R: 1. sn(a)x<sn(a) + 10^{-n}; 特别, [a]  a < [a] +1 2. |a| - |b|  |a+b|  |a| + |b| 3. |ab|=|a| |b|, |a/b|=|a|/|b| 4. 若a  b, 则a+c  b+c 5. 若a  b, c  0, 则ac  bc 6. inf A+inf Binf A+Bsup A+Bsup A+sup B inf(-A)=-sup A, 其中A={aa|aI}, B={ba|aI}为非空实数集, A+B={aa+ba |aI}. -A={-aa|aI}.

归纳法和二项式 归纳法: 验证与自然数有关命题P(n)的程序: 例子: (1) 二项式公式: 一般形式: (2) 假定P(k)或P(j), jk,成立, 证明P(k+1)成立; 则命题P(n)对任何自然数都成立. 例子: (1) 二项式公式: 一般形式: Bernulli不等式: 设x> -1, x0, 自然数n>1.则 (1+x)^n>1+nx.

数列的定义和运算 定义1. 映射f: NR叫作实数值数列, 简称数列. 记号: xn:=f(n)叫作数列的第n项; f有时也记作x1, x2, x3, …, f={xn}或{xn}. 例子: 常数列、几何数列: xn=ar^n、差分数列: xn= yn-yn+1、部分和数列: xn= y1+…+yn. 定义2 (级数的算术运算). 设f ={xn}和g={yn}是两各级数.其算术运算就是通常的数值函数算术运算.fg={xn yn}, fg={xn yn}, f/g={xn/yn}.

数列的有界性 定义3. 数列{xn}分别叫作是有上界的、有下界的、或有界的, 如果存在常数c, 使得nN, 分别有xnc xnc,或|xn|c. 相应地可以定义无上界的、无下界的、或无界的. 定义4.无穷大数列:c>0,{n||xn|c}有限,验证上: c>0,n0=n0(c),使得n>n0有|xn|>c; 无穷小数列: e>0,{n||xn|e}有限,验证上: e>0, n0=n0(e),使得n>n0有|xn|<e. 例子： xn =n, n!, 1/n 定理. 无穷大数列和无穷小数列的倒数关系.

无穷小数列 无穷小数列的初等性质: 设{xn}和{yn}是无穷小数列. (1) {xn} 是无穷小数列,当且仅当{|xn|}是无穷小数列; (2) {xnyn}是无穷小数列; (3) {xnyn}是无穷小数列; (4) 若{xn}是常数列, 则{xn}是零数列. 证明: 基本论证方式. # 命题: 实数x=0当切仅当e>0, |x|e.# 这是讨论一些问题时需要用到的常用手段.

无穷小数列举例 例1. 当|q|<1时, {q^n}是无穷小数列. 只要考虑0<q<1的情形. 此时1/q=1+h, 其中h>0.则n>1时, (1+h)^n>1+nh. 因此, q^n<1/(1+nh) <1/(nh).以下按定义写. 例2.当|q|<1时, {nq^n}是无穷小数列. 同样只考虑0<q<1的情形. 此时1/q=1+h, 其中h>0.则n>2时, (1+h)^n>n(n-1)h^2/2. 因此, nq^n<2/((n-1)h^2).以下按定义写.

习题五 (I) 1. 证明: 2. 证明: 对于自然数n>0, 3. 证明:

习题五 (II) 4. 证明: 对于任何正实数b,和自然数n>1, 存在惟一的正实数a使得a^n=b. 这个a叫作b的n次算术方根, 记作 5. 写出一个数列为无上界, 无下界,及无界的定义. 6. 证明书上29页上的三个推论. 7. 证明下列数列是无穷小数列:

习题五 (III) 8. 思考任意多个无穷小和或积的意义应当是什么? 你能够说清楚吗? 如果能够讲清楚, 相关的与有限和的关系如何? 9. 根据对于bR, b>0, nN, n>1, 存在惟一的正实数a使得a^n=b. 记a=b^{1/n}. (1) 请定义正实数的有理数次幂, 并且证明你定义的有理次幂满足你熟悉的运算律; (2) 请证明有理次幂关于幂的单调性; (3) 请定义正实数的实数次幂, 并证明实数次幂满足同样的运算律和单调性.

§2 数列极限 数列极限的定义 收敛数列的性质 几何级数和循环小数 收敛数列的序性质 举例 Stolz定理

数列极限的定义 定义: 数列{an}叫作收敛的,如果存在LR,使得an=an-L是无穷小数列.也说{an}收敛到或有极限L. 记作limn an =L, 或 anL (n+), 读作an当n趋于+时的极限是L. -n0叙述: e>0, n0 =n0(e)使得n>n0, 有|an-L|<e. 如果一个数列不收敛, 就说概数列发散. 发散到无穷的数列: +: c>0,n0 =n0(c),使得n >n0,有an>c; -:c>0,n0 =n0(c),使得n>n0,有an< -c; : c>0,n0 =n0(c),使得n >n0, 有|an|>c.

收敛数列的性质 设{an}和{bn}是收敛数列,极限分别为L和L. 极限的惟一性:收敛数列的极限是惟一的. 无穷小数列的极限为0. 有界性: 收敛数列是有界数列. 保号性: 若L0, 则n0 使得n>n0, |an|>|L|/2. 算术性质: l,mR (1)线性性质: lan+mbn  lL+m L, (n+); (2) an bn  L L, (n+); (3) 若L0, 则an/bn  L/L,(n +)

几何级数和循环小数 几何级数Saq^n : 设a,qR, {aq^n}叫作几何数列; 数列sn=a+aq+…+a^{n-1}叫作几何级数的前n项和数列. 若a=0, sn是0数列; 下面设a>0,若q=1, sn= na; 否则sn=a(1-q^n)/(1-q). |q|<1时, sn  =a/(1-q), (n  +); q1时, sn +, (n  +); q=-1时, {sn}发散但有界; q<-1时, sn , (n  +). 考虑循环小数x: x(0)=0, x(km+j)=aj, 1jm, kN. 此时x=a1…am/(10^m-1).

收敛数列的序性质 保序性质1. 设{an}收敛,极限为L. 若n, anc, 则 Lc. 类似地,若n, anc, 则Lc. (注意: 即使n, an>c, 也只能保证Lc.) 保序性质2.设{an}和{bn}收敛,极限分别为L和L.若n, anbn, 则LL. 夹逼性质1: 设{an}是无穷小数列.若n,|bn|an, 则{bn}也是无穷小数列. 夹逼性质2:设{an}和{bn}的极限都是L. 若n, an cnbn, 则{cn}的极限也是L. 注: 这里n可以换成nm (m是固定的自然数)

举例 (I) 1. 设a>0, 则 证明: 先考虑a>1,则 由 2. 证明:类似地,n>1时, 在注意

举例 (II) 3. 证明: 任取e>0, n0, 使得n>n0, |an-a|<e/2. 记c=max{|ak-a| | k=1,…,n0}. 则n>max{n0,2cn0/e},

Stolz定理 (I) 证明: 由条件(3), ,因此 证明: 由条件(3), ,因此 其中an是无穷小数列. 则e>0, m, 使得nm,有|an|<e/2. 在(*)是两端对k由m至n求和就有

Stolz定理 (II) 对上式两边取绝对值,再利用条件(1)yk+1>yk和|an|<e/2就得到 取n1使得当n>n2时, |xm-Lym|/yn+1<e/2. 则当n>max {n1, m}时,

习题六 (I) 1. 证明下列数列收敛, 并且计算其极限: 2.证明:

习题六 (II) 3.证明: 若在保序性质和夹逼性质中, 将n换成nm, 则相应的结论仍然成立. 4. 证明对于L=+或-, 夹逼性质仍然成立. 5. 证明Stolz定理在L=+或-时也成立. 6. 设n, an>0. 证明: 如果 , 则an  0. 7. 计算下列数列极限:

§3 数列收敛条件和列紧性 单调数列及其收敛准则 单调数列举例 子列和数列极限点(部分极限) 列紧性: Bolzano-Weierstrass定理 数列收敛的充要条件: Cauchy准则 Cauchy准则应用举例 习题七

单调数列及其收敛准则 定义:满足下列条件之一的数列{xn}叫作单调的. (1) 如果n,xn+1xn(记作xn), 就说{xn}是不增的; (2)如果n,xn+1xn(记作xn), 就说{xn}是不减的; (3)如果n,xn+1<xn(记作xn), 就说{xn}是(严格)减的; (4)如果n,xn+1xn(记作xn), 就说{xn}是(严格)增的. 定理(Weierstrass) 单调不减数列的极限是其上确界, 特别单调不减有上界的数列收敛. 同样地,单调不增数列的极限是其下确界, 特别单调不增有下界的数列收敛. #

单调数列举例 (I) 1. Heron迭代公式: 当n>1时, {xn}递减,有下界 , 且xn  (n  ). 证明: (1) xn+1- 0; (2) xn-xn+1 0, (3) xn  . 收敛速度: xn+1 =(xn )^2/(2xn). 由此得到: 假设x1> ,就有

单调数列举例 (II) 2. 数列 的极限e. {an}单调递增: 收敛速度: bn=an(1+1/n) e. e-an<bn-an< 3/n. e的新表达式: . 由对于

单调数列举例 (III) 以e为底的指数函数叫自然指数函数,以e为底的对数函数叫自然对数函数. e是无理数. 由e-cn<1/(nn!). 3. Euler常数g: gn=1+1/2+…+1/n - ln n  g. 递减: gn+1 - gn =1/(n+1)-ln(1+1/n)<0, 这由e<bn. 有下界: 由an<e可知 ln an<1, 即ln[(n+1)/n]<1/n. 则gn=1+1/2+…+1/n - ln n>ln(2/1)+ln(3/2)+…+ ln[(n+1)/n]-ln n=ln[(n+1)/n]>0. Euler常数的前15位小数: g =0.577215664901532… 至今还不知道是代数数还是超越数.

单调数列举例 (IV) 4. 存在实数a>1,使得若定义a0=a,an+1=2^an,nN. 有n>0, pn=[an]为素数. 其证明基于Chebyshev定理:xR,x>1,素数p (x, 2x). 归纳构造数列pn=[an]. 取p1=3.设构造出了pn.则存在素数pn+1:2^pn<pn+1<pn+1+12^{pn+1}. 必有pn+1+1<2^{pn+1}, 否则pn+1=2^{pn+1}-1不是素数. 记 . 则 由此就得到un<un+1<vn+1<vn.则存在a(un, vn),n 令 . 则pn<an<pn+1, 即pn=[an].#

子列和数列极限点(部分极限) 子列: 设{an}是数列, {kn}是严格增的自然数列.数列bn=akn叫作an的一个子列. 极限点(部分极限): 若bn l(n), 则{bn}叫作的{an}收敛子列, 而l叫作{an}的一个极限点或部分极限. 上极限和下极限: 数列的最大部分极限叫作数列的上极限, 最小的叫数列的下极限. 分别记作

列紧性: Bolzano-Weierstrass定理 1. 定理: 任何有界数列都有收敛子列. 证明: 方法1. 利用闭区间套递归构造. 方法2. 确界原理. # 2. 有界数列的上下极限的存在性. 3.有界数列的上下极限的表达式: 4. 基本列(Cauchy列): e>0, n0=n0(e),使得m, n>n0, |am-an|<e.

数列收敛的充要条件: Cauchy准则 Cauchy准则: 数列{an}收敛的充分和必要条件是{an}为基本列. 证明: 1.必要性. 设{an}收敛.an l. 任取e>0, n0 =n0(e),使得n>n0, |an-l|<e/2.则当m,n>n0时,|am-an|  |am-l|+| l-an| <e. 因此{an}为基本列. 2. 充分性. 设{an}为基本列. 则{an}有界:对于e=1.存在n0=n0(1), 使得当m>n0时, |am-an0|<1, 就有|am|< |an0|+1. 令M=max{|a1|,…,|an0-1|, |an0|+1}. 则m, |am|<M.

Cauchy准则 (II) 由Bolzano-Weierstrass定理, {an}有收敛子列{ank}收敛到l. 要证明{an}收敛到l. 任取e>0, 存在n1,使得kn1, |ank-l|<e/2; 还存在n2,使得m,nn2, |am-an|<e/2. 取n0=max{n1, n2}. 当n>n0时, 注意k>n0时,nk>n0,因此取定这样的一个nk就有,|an-l||an-ank|+|ank-l|<e. 所以{an}收敛到l.# 数列的发散准则: {an}不是基本列, 即, e>0, n0, m, n>n0,使得|am-an| e. #

Cauchy准则应用举例 (I) 1. 数列an=1+1/2+…+1/n是发散的. 这是由于m, a2m-am=1/(m+1)+…+1/(2m)m/(2m)=1/2. 2. 求解Kepler方程: x- a sin x = y, 其中0<a<1为给定参数. 证明: 迭代方法 x0=y, xn+1=y+a sin xn, n=0,1,… 给出Kepler方程的惟一解. 证明: 要证明{xn}的极限x是Kepler方程的解. 1. 由正弦的差化积公式和|sin a||a|可得: a, bR, |sin a-sin b||a-b|.

Cauchy准则应用举例 (II) 2. {xn}是Cauchy列. 任取自然数n和p, p>0, |xn+p-xn|=a|sin xn+p-1 -sin xn-1|a|xn+p-1-xn-1|a^n|xp-x0| =a^n|sin xp-1|a^n. 3. 设xnx. 由xn+1=y+a sin xn和a, bR, |sin a-sin b||a-b|就得到x=y+a sin x. 4. Kepler方程的解惟一: 设h是另一个解.则x-h=a (sin x- sin h). 这样,|x-h|a|x-h|. 因此x=h.#

习题七 (I) 1. 用单调数列收敛准则计算下列数列的极限: 2. 用Cauchy准则证明下列数列的收敛性:

习题七 (II) 3. 确定下列数列的部分极限,指出其上下极限: 4. 证明任何数列都有有极限的子列. 把部分极限及上极限和下极限的概念推广到任何数列.说明其中所要作的合理约定, 特别是上下极限的表达式. 5. 确定下列数列的部分极限和其上下极限:

习题七 (III) 6. 设{an}和{bn}是两个数列,其中至少有一个是有界的.证明上下极限的下列关系式:

习题七 (IV) 6. (续)

习题七 (V) 7. 设{an}是正数列, 即n, an>0. 则 8. 证明: 数列{an}有极限当且仅当{an}的上下极限相等. 9. 设a1=a>0, b1=b>0, , n=1,2,…. 证明: 数列{an}和{bn}收敛到同一个极限. 10. 设a1,…,am为m个正数. 证明:

sn(x)  A A若bR       

sn(x)  A A若bR       