假設檢定之基本概念 單一母體平均數之假設檢定 假設檢定與信賴區間之相關性 兩母體平均數之假設檢定 　

單一母體變異數之假設檢定 兩母體變異數之假設檢定 單一母體比例值之假設檢定 兩母體比例值之假設檢定 結論

10.1 假設檢定之基本概念(1/13) (一)假設檢定(test of hypothesis) 對母體參數作出一適當的假設，然後根據隨機抽樣 之樣本，利用樣本統計量之抽樣分配來決定接受或 拒絕假設的過程。而假設檢定的第一個步驟便是建 立假設 ，因此以下須定義統計假設。 (二)統計假設(statistical hypothesis) 指對一個或多個母體參數的一個推測。 參見例10.1

10.1 假設檢定之基本概念(2/13) 例題 10.1 統計假設依其性質可分為以下兩種 ： 以下為幾個統計假設的例子： (1)中華沙拉油的平均容量大於3公升。 (2)台灣電腦公司所生產的電腦之不良率小於0.1。 (3)福特汽車公司所生產的Tierra與Mondeo具有相同的汽車耗油率。 前兩個敘述為對單一母體參數之推測，而第三個敘述為兩母體 參數比較之一推測，均可稱為統計假設。 統計假設依其性質可分為以下兩種 ： (1)虛無假設(null hypothesis)：通常為研究者欲推翻之統計假設，即假設檢定中之主要假設，一般以 表之。 (2)對立假設(alternative hypothesis)： 假設虛無假設不成立，即虛無假設之互補假設，一般以 表之。 參見例10.2

10.1 假設檢定之基本概念(3/13) 例題 10.2 某手機業者宣稱其手機之平均待機時間為96小時，請問 消費者欲檢定此手機業者之宣稱是否為真，請問該如何 假設？ 【解】 虛無假設 ：平均待機時間大於或等於96小時。 即 。 對立假設 ：平均待機時間小於96小時。即 。

10.1 假設檢定之基本概念(4/13) 假設檢定的形式分成以下兩種： 另外，根據樣本統計量所定訂拒絕 範圍的不同，可將 另外，根據樣本統計量所定訂拒絕 範圍的不同，可將 假設檢定的形式分成以下兩種： (1)單尾檢定(one-tailed tests)：當樣本統計量僅在大於某個數 值或小於某個數值之其中一種情形之下拒絕 之檢定。 若拒絕 為樣本統計量大於某個數值時，則此單尾檢定 又稱右尾檢定，反之若小於某個數值時，則稱左尾檢定。 (2)雙尾檢定(two-tailed tests)：當樣本統計量大於某個數值或 小於某個數值均可能拒絕 之檢定。 參見例10.3

10.1 假設檢定之基本概念(5/13) 例題 10.3 ； 。 請問上述何者為單尾檢定之假設，何者為雙尾檢定之假設？ 【解】 (1)及(3)為單尾檢定之假設且(1)為左尾檢定之假設。 (3)為右尾檢定之假設。 (2)為雙尾檢定之假設。

10.1 假設檢定之基本概念(6/13) 根據要求程度可決定一個拒絕虛無假設的範圍，而 此範圍稱之為臨界域或拒絕域(critical region)。決定 了拒絕域，相對地便產生接受域(acceptance region) 。 以 為例。

10.1 假設檢定之基本概念(7/13) 當虛無假設 為真而拒絕 ，稱之為型 I 錯誤。 (三)型 I 錯誤 參見例10.4 參見例10.5

10.1 假設檢定之基本概念(8/13) 例題 10.4 一常態母體之變異數為5，今對此母體平均數作以下之假設， ，並決定其拒絕域為 。 ，並決定其拒絕域為 。 請問以樣本個數為20之一組樣本所得之樣本平均數來檢定母 體平均數所造成之型 I 錯誤之機率， 值為何？ 【解】

10.1 假設檢定之基本概念(9/13) 例題 10.5 承例10.4，若　　時，求造成型II 錯誤之機率，　值。 【解】

10.1 假設檢定之基本概念(10/13)

10.1 假設檢定之基本概念(11/13) 在假設檢定中，通常事先並不控制β值，而先決定容許犯型 I 錯誤的最大機率α值，即為顯著水準。相對地，在給予對 立假設成立之參數後，1－β則稱為此檢定之「檢定力」 (power of the test)， 此時β值越小，其檢定力越大。 檢定統計假設的兩種方法如下： (1)臨界值法(critical value method)：給定顯著水準α值，然後決 定拒絕域後，再依所得之樣本，計算其樣本之統計量(即為檢定 值)，最後再判定上述檢定值是否落在拒絕域中。 (2)P 值法(P-value method)：在　 為真的條件下，計算由給定之 樣本導致拒絕 的最大機率。不論是單尾或雙尾檢定，若P 值 小於α值，則拒絕虛無假設 ，否則便勉強接受 。

10.1 假設檢定之基本概念(12/13)

10.1 假設檢定之基本概念(13/13) (五)假設檢定程序 臨界值法：若檢定值落在拒絕域，則拒絕 ，否則便接 (1)建立假設(虛無假設與對立假設)。 (2)選擇檢定之統計量，並給定顯著水準α值。 (3)決定檢定方法(臨界值法或P 值法)，若選擇臨界值法，則 決定拒絕域。 (4)蒐集樣本並計算檢定值。 (5)下結論： 臨界值法：若檢定值落在拒絕域，則拒絕 ，否則便接 受 。 P 值法：計算P 值，若P 值小於 ，則拒絕 ，否則便接

10.2 單一母體平均數之假設檢定 (一)常態母體且 已知 (二)常態母體且 未知 (三) 大樣本 (1)左尾檢定 (2)右尾檢定 (一)常態母體且　 已知 (1)左尾檢定 (2)右尾檢定 　 (3)雙尾檢定 (二)常態母體且 　 未知 　 (3)雙尾檢定 (三) 大樣本 　 (1)左尾檢定 (3)雙尾檢定

10.2 單一母體平均數之假設檢定(1/7) (一)常態母體且 已知 在常態母體且 已知之條件下，若 為隨機樣本 (一)常態母體且 已知 在常態母體且 已知之條件下，若 為隨機樣本 之平均數，且顯著水準為 ，則以 為檢 定值，其拒絕域與 P 值如下： (1)左尾檢定： 之拒絕域為　　　 ，P 值 　　　 。 (2)右尾檢定： 之拒絕域為　　　 (3)雙尾檢定： 之拒絕域為　　　 ，P 值 　　　 。 參見例10.7

10.2 單一母體平均數之假設檢定(2/7) 例題 10.7 某一廠商產品重量之標準差為5公克。今此廠商宣稱其產品的平 均重量恰為250公克，若隨機由該公司抽取16件產品秤其重量， 得其平均數為246公克，請以顯著水準 檢定此廠商宣稱 是否為真？(假設母體具常態分配) 【解】 方法一：臨界值法 step 1 ： step 2 ： 且 　 ，　 以　　　　 為檢定 之統計量 step 3 ： step 4 ： step 5 ：拒絕　，即此廠商宣稱非真。

10.2 單一母體平均數之假設檢定(3/7) 承上頁 方法二：P 值法 step 1 與 step 2 同上。 step 3 ：

10.2 單一母體平均數之假設檢定(4/7) (1)左尾檢定： 之拒絕域為 (二)常態母體且 未知 (二)常態母體且 未知 若 、 分別為隨機樣本 之平均數與變異數， 且顯著水準為α，以 為檢定值，則其拒絕域 與P 值如下： (1)左尾檢定： 　　　 之拒絕域為　　　 (2)右尾檢定： 　　　 之拒絕域為　　 (3)雙尾檢定： 　　　 之拒絕域為　　 參見例10.8

10.2 單一母體平均數之假設檢定(5/7) 例題 10.8 某一廠牌行動電話宣稱其平均重量不超過78公克，今隨機抽 取此廠牌行動電話10支，得其平均重80公克，標準差4公克。 請以顯著水準 來檢定此廠商宣稱是否為真？(假設母 體具常態分配) 【解】 利用臨界值法，得其拒絕域為 其檢定值 勉強接受此廠商之宣稱平均重量不超過78公克 。

10.2 單一母體平均數之假設檢定(6/7) (1)左尾檢定： 之拒絕域為 (三)大樣本 在隨機樣本為大樣本之條件下，若 、 為隨機樣本 在隨機樣本為大樣本之條件下，若 、 為隨機樣本 之平均數與變異數，以 或 為檢定值(視 已知與否)，則其拒絕域與P 值如下： (1)左尾檢定： 之拒絕域為　　　 (2)右尾檢定： 之拒絕域為 (3)雙尾檢定： 之拒絕域為　 參見例10.11

10.2 單一母體平均數之假設檢定(7/7) 例題 10.11 某個工廠過去所生產之產品平均重量為25公斤，標準差4公斤， 今隨機抽取該工廠產品49件作檢查，得其平均重量為27公斤， 請問假設在標準差未改變條件下，該工廠產品之重量是否有明 顯地改變？ 【解】 假設 ，其檢定統計量　　　　 ， 拒絕域為 而檢定值 因此拒絕　 ，即此工廠產品之平均重量已有顯著地改變 。

10.3 假設檢定與信賴區間之相關性 (1/2) 信賴區間之假設檢定決策法則 在常態母體且 已知之條件下，若 為隨機樣本 在常態母體且 已知之條件下，若 為隨機樣本 之平均數且顯著水準為 ，則雙尾檢 定： 之決策法則如下： 參見例10.12

10.3 假設檢定與信賴區間之相關性 (2/2) 例題 10.12 請以信賴區間之決策法則重作例10.11。 【解】 假設 為雙尾檢定形式，已顯著 水準 ，因此平均數α之95％之信賴區間為 未包含 ，拒絕 。 　　

10.4 兩母體平均數之假設檢定(1/12) 先視樣本為獨立樣本或成對樣本，再進一步地就母體是否 10.4　兩母體平均數之假設檢定(1/12) 先視樣本為獨立樣本或成對樣本，再進一步地就母體是否 為常態分配或大樣本及兩母體變異數已知與否加以討論。 (一)獨立樣本 　 (1)常態母體且變異數已知：若　　　　　 、　　　　　 為取自於已知變異數為　 及　 之兩常態母體之獨立樣 本，且　、　分別表其樣本平均數，以　　　　 為 檢定值，則兩母體平均數假設檢定之拒絕域與P 值如下：　　　　

10.4 兩母體平均數之假設檢定(2/12) 承上頁 左尾檢定： 之拒絕域為 ， 右尾檢定： 之拒絕域為 ， 雙尾檢定： 之拒絕域為 10.4　兩母體平均數之假設檢定(2/12) 承上頁 左尾檢定： 之拒絕域為 ， 右尾檢定： 之拒絕域為 ， 　　 雙尾檢定： 之拒絕域為 參見例10.13

10.4 兩母體平均數之假設檢定(3/12) 例題 10.13 想瞭解A、B兩條生產線所生產之產品平均重量之差異性，且由過 10.4　兩母體平均數之假設檢定(3/12) 例題 10.13 想瞭解A、B兩條生產線所生產之產品平均重量之差異性，且由過 去經驗得知此兩條生產線產品重量之標準差分別為5公克及6公克， 今隨機從A生產線抽取25件、B生產線抽取36件產品，得其平均重 量分別為95公克、98公克。請以顯著水準 檢定兩生產線平 均重量是否有顯著地差異。(假設兩母體均具有常態分配) 【解】 假設 以P 值法檢定 P值＝0.034<0.05，因此拒絕

10.4 兩母體平均數之假設檢定(4/12) (2)常態母體、變異數未知但相等：若 、 為兩 10.4　兩母體平均數之假設檢定(4/12) (2)常態母體、變異數未知但相等：若　　　　 、　　　 為兩 常態母體之獨立樣本，且　、 、 、　 分別表其樣本平均數與 變異數，則以 為檢定值，其中 ，兩母體平均數假設檢定之拒絕域與P 值如下： 左尾檢定： 之拒絕域為 右尾檢定： 之拒絕域為 雙尾檢定： 之拒絕域為

10.4 兩母體平均數之假設檢定(5/12) (3)常態母體、變異數未知且不相等：若 、 為 10.4　兩母體平均數之假設檢定(5/12) (3)常態母體、變異數未知且不相等：若　　　　 、　　　 為 兩常態母體之獨立樣本，且　、 、 、　 分別表其樣本平均數 與變異數，以 為檢定值，且 ，兩母 體平均數假設檢定之拒絕域與P 值如下： 左尾檢定： 之拒絕域為 右尾檢定： 之拒絕域為 雙尾檢定： 之拒絕域為 參見例10.14

10.4 兩母體平均數之假設檢定(6/12) 例題 10.14 若A公司行銷人員宣稱其產品的容量比B公司至少多10毫升。今 10.4　兩母體平均數之假設檢定(6/12) 例題 10.14 若A公司行銷人員宣稱其產品的容量比B公司至少多10毫升。今 隨機從A、B兩家公司各抽取一組樣本，得其結果如下： 假設兩家公司產品的容量均具常態分配且變異數不相等，請以 顯著水準 檢定A 公司行銷人員之宣稱是否為真？ A B 樣本個數 8 6 樣本平均數 104 120 樣本變異數 32 50

10.4 兩母體平均數之假設檢定(7/12) 承上頁 【解】 假設 以臨界值法檢定，其拒絕域為 其中， 檢定值 10.4　兩母體平均數之假設檢定(7/12) 承上頁 【解】 假設 以臨界值法檢定，其拒絕域為 其中， 檢定值 拒絕 ，即A公司行銷人員之宣稱非真。

10.4 兩母體平均數之假設檢定(8/12) (4)大樣本：若 、 為兩母體之獨立樣本，且 、 、 、 分別表其樣本平均數與變異數，當 10.4　兩母體平均數之假設檢定(8/12) (4)大樣本：若　　　　 、　　　 為兩母體之獨立樣本，且 　、 、 、　 分別表其樣本平均數與變異數，當 時，以 為檢定值，兩母體平均數 假設檢定之拒絕域與P 值如下： 左尾檢定： 之拒絕域為 右尾檢定： 之拒絕域為 雙尾檢定： 之拒絕域為 參見例10.15

10.4 兩母體平均數之假設檢定(9/12) 例題 10.15 一年前從某國中隨機抽取60位學生作智力測驗，得其平均數 10.4　兩母體平均數之假設檢定(9/12) 例題 10.15 一年前從某國中隨機抽取60位學生作智力測驗，得其平均數 為120、標準差20，今再度從此國中隨機抽取80位學生作智力 測驗，得平均數為130、標準差為30。請問根據這些資料是否 可以證明今年此國中之學生智力顯著地高於一年前的這所國 中學生之智力？(顯著水準 ) 【解】 假設

10.4 兩母體平均數之假設檢定(10/12) (二)成對樣本 令 為一組成對樣本，且 、 分別表成對樣本資料差 之平均數與 10.4　兩母體平均數之假設檢定(10/12) (二)成對樣本 　 令　　　　　　　　 為一組成對樣本，且 、　 分別表成對樣本資料差　　　　　　 之平均數與 變異數，則兩母體平均數假設檢定之檢定值如下：(　　　　　 (或　 　　 或　　　　 )) (1)若母體為常態、 已知：Z 檢定之檢定值 (2)若母體為常態、 未知：T 檢定之檢定值 (3)若樣本為大樣本、　已知：Z 檢定之檢定值 (4)若樣本為大樣本、　未知：Z 檢定之檢定值 參見例10.16

10.4 兩母體平均數之假設檢定(11/12) 例題 10.16 瘦身公司宣稱其顧客平均三個月可瘦身10公斤，今隨機抽 10.4　兩母體平均數之假設檢定(11/12) 例題 10.16 瘦身公司宣稱其顧客平均三個月可瘦身10公斤，今隨機抽 取15 位該公司瘦身者做測量，發現其三個月瘦身前後之體 重如下： 以顯著水準 並假設瘦身前後體重差具常態分配來 檢定此公司之宣稱是否為真？ 前 70　70　82　76　66　76　62　68　72　54　60　92　58　65　74 後 68　62　72　70　48　66　58　42　54　62　57　60　62　65　64

10.4 兩母體平均數之假設檢定(12/12) 承上頁 【解】 假設 利用臨界法，可得拒絕域為 而抽樣所得之檢定值 10.4　兩母體平均數之假設檢定(12/12) 承上頁 【解】 假設　　　　　　　　　　　 利用臨界法，可得拒絕域為 而抽樣所得之檢定值 不落在拒絕域，因此勉強接受此公司之宣稱。

10.5 單一母體變異數之假設檢定(1/2) 單一母體變異數假設檢定之決策法則 若 表一常態母體之隨機樣本， 為其樣本變 10.5　單一母體變異數之假設檢定(1/2) 單一母體變異數假設檢定之決策法則 若 表一常態母體之隨機樣本， 為其樣本變 異數，以 為檢定值，則其檢定決策法則如下： (1)左尾檢定：　　　　　　　　　 之拒絕域為　　　　　 (2)右尾檢定：　　　　　　　　　 之拒絕域為　　 　　　　 (3)雙尾檢定：　　　　　　　　　 之拒絕域為 參見例10.17

10.5 單一母體變異數之假設檢定(2/2) 例題 10.17 廠商宣稱其產品厚度之標準差為1公分，今隨機抽取該產品30件 10.5　單一母體變異數之假設檢定(2/2) 例題 10.17 廠商宣稱其產品厚度之標準差為1公分，今隨機抽取該產品30件 檢查，得其樣本標準差為1.5公分，請以顯著水準 來檢 定該廠商之宣稱是否為真(假設該產品厚度具常態分配)。 【解】 假設 拒絕域為 檢定值 拒絕　 ，即此廠商之宣稱非真

10.6 兩母體變異數之假設檢定(1/3) 若 、 分別取自於兩常態母體之 隨機樣本，且 、 為其樣本變異數在兩母體變異 10.6　兩母體變異數之假設檢定(1/3) 若 、　　　　　分別取自於兩常態母體之 隨機樣本，且　、　為其樣本變異數在兩母體變異 數之假設檢定中，以 為檢定值，則其檢 定之決策法則如下： (一)左尾檢定 　　　　　　　　 之拒絕域為　　　　　 或　　 　　　　　　　　

10.6　兩母體變異數之假設檢定(2/3) (二)右尾檢定 　　　　　　　　 之拒絕域為　　　　　 (三)雙尾檢定 　　　　　　　 之拒絕域為　　　　　　　 或　　　　　　　　　　　　　　　 參見例10.18

10.6 兩母體變異數之假設檢定(3/3) 例題 10.18 一公司由A、B兩條不同的生產線分別抽出16及10件產品作檢查， 10.6　兩母體變異數之假設檢定(3/3) 例題 10.18 一公司由A、B兩條不同的生產線分別抽出16及10件產品作檢查， 發現A、B兩條生產線之樣本變異數分別為16及50，請以顯著水 準　 檢定此兩條生產線所生產之產品變異數是否有顯著地 差異？(假設兩母體均具有常態分配) 【解】 假設 拒絕域為 檢定值 ，因此拒絕　，即兩條生產線之 產品變異數有顯著地差異

(1)左尾檢定： 決策法則之P 值 10.7 單一母體比例值之假設檢定(1/4) (一)單一母體比例值假設檢定之決策法則 10.7　單一母體比例值之假設檢定(1/4) (一)單一母體比例值假設檢定之決策法則 若隨機變數X 具有二項分配 ，令 表 次試驗中 事件成功之次數，則以 為檢定值，其母體比例值 p 值假設檢定之決策法則如下： (1)左尾檢定： 決策法則之P 值 (2)右尾檢定： 決策法則之P 值 (3)雙尾檢定： 決策法則之P 值 參見例10.19

10.7 單一母體比例值之假設檢定(2/4) 例題 10.19 某公司宣稱其產品不良率不高於10％，今隨機抽取該公司 10.7　單一母體比例值之假設檢定(2/4) 例題 10.19 某公司宣稱其產品不良率不高於10％，今隨機抽取該公司 產品20件，發現有 3 件不良品，請問在顯著水準0.05條件 下，此公司之宣稱是否為真？ 【解】 假設 無法拒絕　，即沒有充分的理由推翻此公司之宣稱。

10.7 單一母體比例值之假設檢定(3/4) (1)左尾檢定： 之拒絕域為 (2)右尾檢定： 之拒絕域為 (3)雙尾檢定： 之拒絕域為 10.7　單一母體比例值之假設檢定(3/4) (二)大樣本時之決策法則 若隨機變數 具有二項分配 ，令 表 次試 驗中事件成功之次數，則以 為檢定值 ，其母體比例值 p 值假設檢定之決策法則如下： (1)左尾檢定： 之拒絕域為 (2)右尾檢定： 之拒絕域為 (3)雙尾檢定： 之拒絕域為 參見例10.20

10.7 單一母體比例值之假設檢定(4/4) 例題 10.20 候選人宣稱其支持度至少為30%，今隨機抽取100位該選區 10.7　單一母體比例值之假設檢定(4/4) 例題 10.20 候選人宣稱其支持度至少為30%，今隨機抽取100位該選區 之選民作調查，發現支持此候選人者有25位，請以顯著水 準 來檢定此候選人之宣稱是否正確？ 【解】 假設 拒絕域為 檢定值 勉強接受此候選人之宣稱

10.8 兩母體比例值之假設檢定(1/3) 若兩獨立隨機變數 ， ，且 x、y 分別 表兩隨機變數在 及 次試驗中事件成功之次數，以 表兩隨機變數在 及 次試驗中事件成功之次數，以 為檢定值(視虛無假設 而定)，其中 、 且 ，則其決策法則如下：

10.8 兩母體比例值之假設檢定(2/3) (1)左尾檢定： 時， 當 時，拒絕域為 ，P值= 。 當 時，拒絕域為 ，P值= 。 (1)左尾檢定： 時， 當 時，拒絕域為 ，P值= 。 當 時，拒絕域為 ，P值= 。 (2)右尾檢定： 時， 當 時，拒絕域為 ，P值= 。 (2)雙尾檢定： 時， 當 時，拒絕域為 ，P值= 。 參見例10.22

10.8 兩母體比例值之假設檢定(3/3) 例題 10.22 估計行動電話在鄉村與都市的普及率是否有顯著的差異，某研究 單位於鄉村與都市中各抽樣1000位民眾進行調查，發現鄉村中有 800位，都市中有900位擁有行動電話，試問以此資料是否可判定 兩者之間有顯著差異( =0.05) 【解】假設 拒絕域為 而 檢定值 鄉村與都市民眾擁有行動電話之比例有顯著地差異

10.9 結論(1/2) 在假設檢定程序中，首先須建立假設，假設可分 為虛無假設與對立假設，虛無假設是研究者欲推 10.9　結論(1/2) 在假設檢定程序中，首先須建立假設，假設可分 為虛無假設與對立假設，虛無假設是研究者欲推 翻之假設，而對立假設是研究者想找到充分的證 據證明的假設。建立假設後，研究者可利用樣本 統計量之抽樣分配來作為決策法則之依據，可採 用臨界值法或P值法，最後若P值小於顯著水準， 則拒絕 ，否則便接受 。而在決策的結論中， 若結論為接受 ，則表示研究者並未找到充分之 證據證明 不成立；若結論為拒絕 ，則表示研 究者找到充分之證據證明 不成立。

10.9 結論(2/2) 在單一母體變異數的假設檢定中，由於樣本變異數 之抽樣分配為卡方分配，因此其檢定值為 值。 10.9　結論(2/2) 在單一母體變異數的假設檢定中，由於樣本變異數 之抽樣分配為卡方分配，因此其檢定值為 值。 在兩母體變異數比的假設檢定中，由於兩樣本變異 數比之抽樣分配為 分配，因此其檢定值為 。 在母體比例值的假設檢定中，由於母體比例值可視 為二項分配 之 值，因此可利用二項分配作 為其決策法則之依據，不過，當 使得 不近 似於 0 時，可利用中央極限定理，將二項分配轉換 成常態分配，如此便可利用 檢定之方式進行母體 比例值之假設檢定。