模糊控制 Fuzzy Control 授課教師：王朝興老師

課程大綱 Ch0 緒論 Ch1 模糊理論 Ch2 模糊集合 Ch3模糊函數 Ch4 模糊邏輯與推論 Ch5 模糊規則庫 CH6 模糊控制

緒論

Ch0 緒論 前言 控制基本概念複習

前言 1.“模糊理論”最早於美國加洲大學L.A Zadeh教授在1965年所發表的「Information and Control」期刊論文中。 2.是為了解決真實世界中普遍存在的模糊現象而發展的ㄧ門學問，用一種數學模型來描述語意式的模糊資訊的方法。

前言 3. 無論是消費性電子產品、語音辨識、影像處 理、機器人、決策分析、以及軟體工程上都 可以看見到模糊理論的蹤跡。 4. 近來在機器人領域中更與類神經網路結合使 機器人更具備智慧性。

家電方面最近非常盛行，但從專利申請方面來看，家電產品並不多，共有7件 11.說明　　　　　　2件 16.IDLING　　　　　 1件 12.自動駕駛　　　　2件 17.空燃比　　　　　　1件 13.座椅　　　　　　1件 18.回轉數　　　　　　1件 14.SUSPENSION　　1件 19.其他　　　　　　　4件 15.搬運車　　　　　1件　　　　　　 個別件數次多的為量測儀器的應用，共有20件。其中富士軟片的15件最多，此外電梯的控制也有日立制作所、東芝、三菱電機等提出申請。高爐的控制是FUZZY控制中歷史最早的，其內容如下 1.熱風爐　　　　　　4件 5.垃圾焚化爐　　　　 1件 2.高爐　　　　　　　2件 6.加熱爐　　　　　 　1件 3.燒結爐　　　　　　2件 7.瓦斯化爐　　 　　　1件 4.MILL　　　　 　　2件 少了一張 家電方面最近非常盛行，但從專利申請方面來看，家電產品並不多，共有7件 1.洗衣機　　　　　　2件 5.微波爐　　　　　　 1件 2.縫紉機　　　　　　2件 6.熱風機　　　　　 　1件 3.照相機　　　　　　1件

<表> 中控制應用之「其他」有 1.藥器注入　　　　　2件 11.起重機　　　　　　　1件 2.抽水機　　　　　　2件 12.焊接　　　　　　　　1件 3.隧道換氣　　　　　2件 13.鍋爐　　　　　　　　1件 4.SHIELD工程　 　　1件 14.貯水池　　　　　　　1件 5.馬達　　　　　　　1件 15.列車　　　　　　　　1件　　　　　　 (2)其他應用 ──── 　如上所述幾乎都是利用FUZZY推論來執行識別、檢測、診斷、判斷、推測、預測、檢索等。控制以外的應用亦逐步在增加，應用對象的多樣化是其特徵，例如識別的應用最多有16件，內容如下

Introduction of a closed-loop feedback control system e(t) 誤差 Desird 期望值 Sensor Plant output y(t) u(t) controller Compare

Step Response input test single r(t) 1 overshort t 1 Practical case t rise time Practical case 1 t

PID控制 Σ 1.類比控制的PID演算法 de u(t)=Kpe(t)+Ki∫e(t)dt+Kd dt 2.數位控制的PID演算法 t 2.數位控制的PID演算法 u(nT)=Kpe(KT)+Σe(jT)+Kd[e(KT)-e((K-1)T] j=0 k Kp 改 e(k) Σ u(k) Ki∫ dt Kd 圖. PID控制的基本架構

Mathematical Model Ex: M Mathematical Model equation (r與y之關係式) d2y(t) f:摩擦力 d2y(t) dt dy(t) dt M ＋ ＋ Ky(t) ＝ r(t) r(t) Force 圖:Spring-mass-clamper system

Inverted Pendulum control Ex: Inverted Pendulum control .. mÿ+mlθ-u(t)=0 mÿ m mÿ m θ θ mg mg u(t) u(t) y(t)

Laplace transform Step1：obtain the differential equation Use to solve D.E. Step1：obtain the differential equation step2：do the Laplace transform of D.E. step3：solve the Laplace transform equation

Time domain f(t) F (s) u(t) e-at sinωt cosωt e-atf(t) F(s+a) f '(t) sF(s)-f(0) f ''(t) s2F(s)-sf(0)-f '(0) 1 s 1 S+a ω s2+ω2 s S2+ω2

Spring Mass dopen system Ex: d2y(t) dt dy(t) dt M ＋ f ＋ Ky(t) ＝ r(t) Laplace transform： M (s2Y(s)-sy(0)-y '(0)) ＋ f(sF(s)-f(0)) ＋ KY(s) ＝ R(s) Given No force ∴ r ( t ) = 0, y ( 0 ) = 0, y '( 0 ) = 0 We will get： M s2Y(s) -M sy(0)+ fsY(s)- fy(0) +KY(s) = 0 (MS+f)y0 Solve for Y(s)： Y(s)= MS2+fS+K

L-1 L-1 If M=1 ,K=2, f=3, y0=1 Y(t)=L-1 (Y(s))= Y(s)= (S+1) S+3 (S+2) ＝ ＋ S+2 S+1 2 S+2 -1 Y(t)=L-1 (Y(s))= L-1 L-1 ∴ ＋

Transfer Function(轉移函數) Assumed d2y(t) dt dy(t) dt M ＋ f ＋ Ky(t) ＝ r(t) Transfer Function： Output Distance Y(s) ＝ ＝ Input R(s) force 1 The transfer function of this system MS2+fS+K 1 R(s) Y(s) Input Output MS2+fS+K

模糊理論

Ch1 模糊理論 基本概念 布林邏輯和模糊邏輯 模糊理論分類

Fuzzy 基本概念 幼 青 老 1 歲數 10 30 50 小明(20歲) ：0.5/幼+0.5/青 小明的父(30歲) ：0.25/青+0.75/老 小明的阿公(50歲) ：0/青+1/老

模糊性現象 不完整(incomplete) 曖昧性(ambiguity) 不精確性(imprecision) 隨機性(randomness) Ex:語言不通導致無法理解對方所要表達的意思 曖昧性(ambiguity) Ex:ㄧ個畫在門上煙斗的圖案既可代表男廁或者也可代表吸煙室吧 不精確性(imprecision) Ex:電視影像受到干擾使得收視效果不佳 隨機性(randomness) Ex:擲骰子 模糊性(fuzziness) Ex:今天冷嗎?那位女孩正嗎?

模糊理論 何謂模糊? 什麼是模糊系統? 模糊規則庫 哪裡可看見模糊控制的系統? 模糊推論 引擎 Ex：今天氣溫如何? Ex： 模糊集合U 模糊集合V

布林邏輯與模糊邏輯 妻子： Do you love me? 丈夫： Yes.(布林邏輯) 妻子： How much? (模糊邏輯)

自然語言的模糊邏輯表示 模糊邏輯處理變數的歸屬度(membership)和確定度(degrees of certainty)： 溫度─ “溫度很高” 電壓─ “電壓有點偏低” 速度─ “速度非常慢”

用模糊來調和對立 180公分 179公分 Crisp Fuzzy 高的程度 180 Crisp 1 公分 高的程度 180 160 Fuzzy 1 模糊是可以用來調和對立的。譬如說：如果硬要規定180公分以上才叫高的人，那麼身高179公分的人就要抗議了。但是如果高的定義是由這樣的隸屬函數來定義的話，179公分已經相當高了！

模糊理論的分類 模糊理論 模糊數學 模糊系統 模糊決策 不確定性 & 資訊 模糊邏輯 & 人工智慧 模糊集合 模糊測量 模糊分析 模糊關係 模糊拓墣 多指標優化 可能性理論 不確定性量測 模糊專家系統 機器人學 模糊控制 模糊訊號處裡 通訊 控制器設計 穩定度分析 影像處理 圖案識別 過濾雜訊 通道等化

模糊集合

Ch3 模糊集合(fuzzy sets) 集合論 模糊集合 模糊集合關係與運算

集合 (Sets) 集合(Sets) ：具有某種特殊性質的客體(Object)的 集合運算： 聚合(A Collection of Objects) Ex:我的好友這個集合裡面的集合元素就是我的”每ㄧ個好朋友” 集合運算： A B A B 聯集 交集 A B A 補集 反補集

Examples }. B | { C Ï = x }. 12 , 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 { A = }. | U { 集合的表示法：用大寫英文字母表示集合，用小寫英文字母或其他符號表示元素。 空集合：若一集合中空無一物（沒有元素），則稱此為空集合。 空集合表示法： { } or  }. 12 , 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 { A = }. | U { B conditions some meets x Î = }. B | { C Ï = x

模糊集合 傳統明確集合(crisp sets) 模糊集合(fuzzy sets) Crisp sets Fuzzy sets 使用0或1的特徵函數 使用0到1的歸屬函數 強調非此即彼的關係 接受亦此亦彼的關係 只接受精確不模糊的資訊 可接受模糊不精確的資訊 硬性的二分法 軟性的分類法

模糊集合 (Fuzzy Sets) 1.不是0或1的表示方式，而是程度上“多”或“少”的差別。 2.傳統的明確集合是屬於二元的，論域中的元素對某一集合的 關係只有兩種，也就是 “屬於” 與 “不屬於”。 3. 模糊集合是利用歸屬函數(membership function)的大小 做為主要的決擇機制 。 Ex:溫度 我們可以明確的區分男生和女生的性別，卻無法明確的辨別溫度的高和低。因此要對於語意中的模糊性進行數值化的描述時，模糊集合(fuzzy set)是一個非常好用的工具。

我們可以定義一個「特徵函數」來描述此種關係，令 U 為整個論域，A 為論域中的一個明確集合，x 為論域中的元素，則特徵函數 A(x)，定義如下： 其中 A(.) 是模糊集合 A 的歸屬函數， A(x) 代表元素 x 對模糊集合 A 的歸屬程度。一般說來，我們將A(x)設定為 [0,1]。 ì 1 , x Î A l ( x ) = í A î , x Ï A { } A = x x ( m ( x )) Î U , , A

{ } Ex: 擁有連續性論域之模糊集合 { } 我們定義模糊集合 A 為 “接近於 0 的實數”，則我們可以定義模糊集合 A 為 其中歸屬函數的定義為： 模糊集合 A 也可以表示為： { } , )) ( U x A Î = m , 10 1 ) ( 2 x A + = m { } 2 - A = ( x , m 1 ( x )) m ( x ) = [ 1 + 10 x ] . A A 圖：“接近於 0 的實數”之模糊集合。

Ex: 擁有離散性論域之模糊集合 假設U ={0,1,2,...,9} 為代表一個家庭中，所可能擁有子女個數的集合，令三個模糊集合之定義為A：子女數眾多，B：子女數適中，C：子女數很少，其歸屬函數的定義如表所示。 子女數 子女眾多 (A) 子女適中 (B) 子女很少 (C) 1 2 0.2 0.8 3 0.7 4 0.1 5 6 0.3 7 8 9

模糊集合 (2) 核 核 模糊集合的“支集(support)”定義為所有具有歸屬函數值大於0 的元素集合 當模糊集合的支集為單一個點，而且此點的歸屬函數值為 1 時，我們稱為「模糊單點(fuzzy singleton)」； 而模糊集合的「核 (kernel)」的定義為所有具有歸屬函數值為 1 的元素集合，亦即 ； } ) ( | { > Î = x U A Supp m } 1 ) ( { ker( = x A m 歸屬度 歸屬度 溫度適中 溫度20度C 1 1 核 18 25 20 溫度 溫度 核 圖：模糊集合的“核”之範例。

模糊集合 (3) 模糊集合的「高度 (height)」的定義為此集合在論域中的最大歸屬函數值；正規化(normal)的模糊集合代表此模糊集合的高度為 1，也就是 height(A)=1 模糊集合的 -截集 (-cut) 的定義為論域中，歸屬函數值大於或等於  的所有元素的集合，我們以符號 A 代表，也就是： ] 1 , ( }, ) { Î ³ = a m x U A

模糊集合為 “凸的” 的充要條件是其 -截集皆為凸集合 (convex set)，也就是說： 其中 x1,x2U, [0,1]。 如果一個定義於實數線上的模糊集合滿足以下兩個條件，則可被視為“模糊數(fuzzy number)”： (1) 正規化的， (2) 凸的。 )) ( ), min( ) 1 2 x A m l ³ - +

假設X為宇集合(the universe set)，A為一般傳統集合， 為模糊集合，而X中元素x屬於A或　 的程度為　　 或　　 。則　 傳統集合的數學表示方式 　 糊模集合的數學表示方式 A ~ A ~ ) ( x u A ) ( ~ x u A } 1 , { ) ( }, | )) {( = Î x u where X A ] 1 , [ ) ( }, | (x) {( ~ = Î x u where X A

μ μ μ μ μ A 0.5 u a b c d e f Support Set： > 0 range：a ~ f ～ （u） A ～ 0.5 u a b c d e f μ Support Set： > 0 range：a ~ f （u） A ～ μ Core： = 1 range：c ~ d （u） A ～ μ A ～ （u） Boundary： 0< < 1 range：a ~ c, d ~ f Crossover point： = 0.5 b, e μ A ～ （u）

Finite Fuzzy Set Expression A ～ ＝ μ （u1） u1 （u2） u2 （u3） u3 （un） un ＋ Ex:中年人的年齡 μ F ～ （u） F ～ 1 32 33 34 39 40 41 47 48 0.8 0.2 0.1 歲數

Fuzzy set之間關係的表示方式，是以集合所存在的歸屬函數 模糊集合之間的關係 模糊集合的相等： 模糊集合的包含： X x ) ( u B ~ A Î " = Û X x ) ( u B ~ A Î " £ Û Ì Fuzzy set之間關係的表示方式，是以集合所存在的歸屬函數　 　　　作為集合與集合之間關係表示

Fuzzy set 關係與運算 模糊集合的運算 模糊集合的交集(Intersection) 模糊集合的聯集(Union) 模糊集合的補集(Complement) X x )} ( u ), min{ B ~ A Î " Û Ç X x )} ( u ), max{ B ~ A Î " Û È 定義成　　　　　 A - 1 = ~

Ex:有一個6人危機小組,分別以x1,x2,x3,x4,x5,x6表示其中x2,x5 為女性其餘為男性,則這論域中”男性”與”女性”的集合可 分別表示為 男性 = (x1,1),(x2,0),(x3,1),(x4,1),(x5,0),(x6,1) 女性 = (x1,0),(x2,1),(x3,0),(x4,0),(x5,1),(x6,0) Text book P.19

Ex:設論域X= 1,3,5,6,7,9,10,11 下的兩個集合A和B分別表示 成A= 1,3,5,7,9 與B= 3,5,6,10,11 ,則A與B的聯集、交 集、差集與補集的運算結果表示如下: A∪B = 1,3,5,6,7,9,10,11 = X A∩B = 3,5 A-B = 1,3,5,7,9 - 3,5,6,10,11 = 1,7,9 B-A= 3,5,6,10,11 - 1,3,5,7,9 = 6,10,11 Text book p.21 A = 6,10,11

Ex:設集合AB和C為非負整數論域φ(包含0)下的三個集合分別表示如下: A = x x為所有正值偶整數 B = x x=2y+1, y φ C = x x=4y, y φ 則一些集合的運算可表示如下: Text book p.22 ex2-3 A與B的聯集: A∪B = φ A與C的聯集: A∪C = A A與的補集: A = B

Ex:設論域 X = a,b,c,d,e,f,g,h 的Fuzzy集合 A 為: a 0.3 b 0.5 c 0.8 d 1 e 1 f 0.1 g h A = + + + + + + + A 則 的支集取歸屬度大於0的元素集合---Supp = b,c,d,e,f,g Text book p.32 ex2-6 e,f 則 的核取歸屬度為1的元素集合---Core A =

Ex:論域 X = 1,2,3,4,5,6,7 的Fuzzy集合 A 表示為: 0.2 1 0.7 3 1 0.8 7 A = + + + 5 則其基準為 = 0.2+0.7+1+0.8 = 2.7 A Text book p.32 ex2-7 則相對基準為 = = 2.7/7 = 0.39 A X

( ) ∫ 1+10x2 1 Ex:若“接近”0這個Fuzzy集合的歸屬函數可寫成 那麼使用表示法的Fuzzy集合 為 A 1+10x2 1 ( ) 1+10x2 1 ∫ A = x X x ， v 假如利用有限集合表示法，而且x的範圍取在-3到+3之間的整數，那麼Fuzzy集合 可以表示如下: A A = 0.011 + -3 -2 0.024 -1 0.09 1 2 3

Ex:ㄧ個描述舒適溫度的Fuzzy集合若討論的溫度範圍為 攝氏15度到39度之間採用6等分的向量表示法則可表 示如下: Text book p.35 ex2-13

Ex:設有五人組成的集合論域X= 下的兩個Fuzzy集合 表示“喜歡運動”、 "喜歡音樂"分別表示如下: A B x1,x2,x3,x4,x5 Ex:設有五人組成的集合論域X= 下的兩個Fuzzy集合 表示“喜歡運動”、 "喜歡音樂"分別表示如下: A B x3 x5 0.2 0.4 0.8 1 0.3 A = + + + + x1 x2 x4 x3 x5 0.2 0.4 0.8 1 0.3 B = + + + + x1 x2 x4 Text book p.40 ex2-15 則 與 的集合運算結果可表示如下: A B

模糊交集 (1) ] 1 , [ : ® ´ t )] ( ), [ ) x t m = ) , ( = t ) ( )) , 1 ), x 模糊交集 (或稱 t-norms) 是一個具有兩個參數的函數，定義為： 使得 其中，模糊交集函數 必須符合以下四個條件： 1. 邊界條件: 以及 2. 單調性 : 若 以及 則 3. 交換性 : 4. 結合性 : ] 1 , [ : ® ´ t )] ( ), [ ) x t B a A m = Ç ) , ( = t ) ( )) , 1 ), x t A m = ) ( x C A m < ) ( x D B m < )) ( ), x t D C B A m £ )) ( ), x t A B m = )) ( )), ), ))) x t C B A c m =

Standard fuzzy intersection (AB)(x) = min[A(x), B(x)] 0.7 0.1 n 1.0 3 0.6 0.5 2 1 B=high fever A=high blood pressure Patients A :inexperienced A: experienced 10 30 40 20 50 60 70 80 90 120 100 110 130 1 ( A A )(x) CREDIT HOURS X

模糊交集 (2) 四種最常被使用的非參數型 (nonparametric) 的模糊交集包括 (為了簡化表示式，我們令 以及 )： 最小值 (Minimum)： 代數積 (Algebraic product)： 邊界積 (Bounded product)： 激烈積 (Drastic product)： ) ( x a A m º ) ( x b B m º ) , min( ( min b a t = Ù ab b a t ap = × ) , ( ) 1 , max( ( - + = Q b a t bp ï î í ì < = × 1 , ˆ ) ( b a t dp b a Ù £ × Q ˆ 圖：四種模糊交集運算的結果。(a) 最小值；(b) 代數積；(c) 邊界積；(d) 激烈積。

模糊交集 (3) 兩種常見的參數型(parametric)的模糊交集(t-norms)有“Yager交集”和“Sugeno交集”，其定義分別如下： Yager 交集： 上式中，w 是一個決定取交集的強度參數，當 w 越大時，其歸屬程度也跟著變大。 Sugeno 交集： 上式中，s 是一個決定取交集的強度參數。 ) , ( ], 1 (( min[ ¥ Î - + = w b a t ) , 1 [ ], )( ( max[ ¥ - Î + = s sab b a t

模糊聯集 (1) ] 1 , [ : ® ´ s )] ( ), [ ) x s m = 1 ) , ( = s ) ( )) , ), x 模糊聯集 (或稱 t-conorms) 是一個具有兩個參數的函數，定義為： 使得 其中，模糊聯集函數 s(.,.) 必須符合以下四個條件： 邊界條件 : 以及 單調性 (Monotonicity)： 若 以及 則 交換性 (Commutativity)： 4. 結合性 (Associativity)： ] 1 , [ : ® ´ s )] ( ), [ ) x s B a A m = È 1 ) , ( = s ) ( )) , ), x s A m = ) ( x D B m < ) ( x C A m < )) ( ), x s D C B A m £ )) ( ), x s A B m = )) ( )), ), ))) x s C B A c m =

Standard fuzzy union (AB)(x) = max[A(x), B(x)] A: experienced A 0.7 0.1 n 1.0 3 0.6 0.5 2 1 B=high fever A=high blood pressure Patients The law of excluded middle, A  Ã=X does not hold 10 30 40 20 50 60 70 80 90 120 100 110 130 1 A: experienced A :inexperienced X ( A A )(x) CREDIT HOURS

模糊聯集 (2) 四種最常被使用的非參數型 (nonparametric) 的模糊聯集包括 (為了簡化表示式，我們令 以及 )： 1. 最大值 (Maximum)： 2. 代數和 (Algebraic sum)： 3. 邊界和 (Bounded sum)： 4. 激列和 (Drastic sum)： ) ( x a A m º ) ( x b B m º ) , max( ( max b a S = Ú ab b a S as - + = ˆ ) , ( ) , 1 min( ( b a S bs + = Å ï î í ì > = Ú , 1 ) ( b a S ds & b a Ú £ Å + & ˆ 圖：四種模糊聯運算的結果。(a) 最大值；(b) 代數和；(c) 邊界和；(d) 激烈和。

模糊聯集 (3) Yager 聯集： 上式中，w 是一個決定取聯集的強度參數，當 w 越大時，其歸屬程度則變小。 Sugeno 聯集： 兩種常見的參數型 (parametric) 的模糊聯集 (t-conorms) 有 “Yager 聯集”和“Sugeno聯集”，其定義分別如下： Yager 聯集： 上式中，w 是一個決定取聯集的強度參數，當 w 越大時，其歸屬程度則變小。 Sugeno 聯集： 上式中，s 是一個決定取聯集的強度參數。 ) , ( ], 1 min[ ¥ Î + = w b a s ) , 1 [ ], min[ ( ¥ - Î + = s sab b a

模糊補集 (1) 我們以符號 A 來表示模糊集合 A 的補集，補集函數的定義為： 使得 其中，補集函數 C(.) 必須符合以下四個條件： (1) 邊界條件 (Boundary condition)： c(0)=1 以及 c(1)=0 (2) 單調性 (Monotonic property)： 若 則 (3) 連續性 (Continuity)：補集函數 C(.) 必須是一個連續的函數。 (4) 可逆性 (Involution)： ] 1 , [ : ® c )) ( ) x c A m = ) ( 2 1 x A m < )) ( 2 1 x c A m ³ U x c A Î " = ), ( ))) m

Standard fuzzy complement Ã(x) = 1- A(x) 10 30 40 20 50 60 70 80 90 120 100 110 130 1 A(x) x inexperienced experienced

模糊補集 (2) U x c Î " - D = ), ( 1 )) ) m 負補集 (Negation complement)：  補集 ( complement) (Sugeno‘s complement)： w 補集 (w complement) (Yager‘s complement)： ¥ < - + D = l lm m 1 , ) ( )) x c A ¥ < - D = w x c A , )) ( 1 ) m 圖：(a)  補集；(b) w 補集。

Fuzzy set 運算 )} 1 , 8 ( ), 7 . 6 5 ) 4 3 2 {( )}} max{ ~ = È x u B A ={(1,0.2),(2,0.5),(3,0.8),(4,1),(5,0.7),(6,0.3)} ={(3,0.2),(4,0.4),(5,0.6),(6,0.3)} )} 3 . , 6 ( ), 5 4 2 {( min{ ~ = Ç x u B A (1) )} 1 , 8 ( ), 7 . 6 5 ) 4 3 2 {( )}} max{ ~ = È x u B A (2) )} 1 , 8 ( ), 7 . 6 3 5 2 {( ~ = A (3)

特徵函數(Characteristic function) 2 A ∴ A(2)=1 ∴ A(3)=0 3 A Membership function 高(170cm)=0.5 高(180cm)=0.9 高(160cm)=0.2

∫ ∫ ∫ A μA(u) = u Ex:接近"0"的歸屬函數： 1 A 1+10u2 = u 1 μ2(u) = 1+10u2 不是積分喔 -2 -1 1 2

Vector Expression of fuzzy set u0:min element un:max element There one N equivalent levels ∴ u i = u0 + i ( un - u0 ) / N ∴ A ＝ u : u0, un : N ＜ g0g1g2 ~ gn ＞

Ex: Comfortable Temperature 15 ~ 39 C, 6 levels ＜ 0.25, 05, 0.75, 0.75, 0.5, 0.25 CT T : 15, 39, 6 ＞ ＝ μ (T) CT 1 T 15 19 23 27 31 35 39

歸屬函數 ( ) 只要是函數值都是位於[0,1]的區間內的函數，都可成為歸屬函數，以下介紹一些常見的歸屬函數： 三角形歸屬函數： 梯形歸屬函數： 高斯函數歸屬函數： s 函數歸屬函數：  函數歸屬函數： ( ) - = 2 exp i A m x s ï î í ì ³ < £ + ÷ ø ö ç è æ - = b x a S 1 2 ) , ; ( î í ì > + - < = b x a S ) , ; ( 1 p

Membership functions Assign to each element x of X a number A(x) The degree of membership x1 X x2 x3 1 0.5 xn

examples The set of teenagers age The set of young people age 1 5 10 20 25 30 13 19 The set of teenagers age 1 The set of young people age 5 10 15 20 25 30

Graphical representation 1 Doctoral degree 6 Master’s degree 5 Bachelor’s degree 4 Two-year college degree 3 High school 2 Elementary school 1 No education Educational Level Attained Level Number highly educated .9 .8 .7 Membership .6 .5 .4 Little educated .3 .2 Very highly educated .1 1 2 3 4 5 6 Educational level

Tabular and list representations List representation of very high educated B = 0/0 + 0/1 + 0/2 + 0.1/3 + 0.5/4 +0.8/5 + 1/6 General notation A=A(x)/x Tabular representations level membership 1 2 3 0.1 4 0.5 5 0.8 6

Membership function (1) Discretization M.F. (2) Continuous M.F. (3) S Function (4) π Function (5) Piecewise Continuous M.F.

Discretization M.F. 34 0.1 0.2 Ex: A = + + +……. 32 33

Continuous M.F. (1) Bell sharp (2) Triangular sharp (3) Trapezoid sharp

S Function （ ） （ ） 0 , for x ≤α 1 - 2 1 取μA(u)=0, 0.5, 1的元素組成單調(monotonical)遞增 或遞減 取μA(u)=0, 0.5, 1的元素組成單調(monotonical)遞增 或遞減 0 , for x ≤α x -α γ-α （ ） 2 , for α ≤ x ≤β S ( x : α, β, γ) = x -α γ-α （ ） 2 1 - 2 , for β ≤ x ≤γ , for x ≥ γ 1

Note: μA(α)=0 μA(β)=0.5 μA(γ)=1 α β γ 1 0.5 α β γ 1 0.5 S Function Z Function

π Function The combination of S and Z functuons S( x :γ-β, γ-β/2, γ) , for x ≤ γ π ( x :β, γ) = 1-S ( x :γ, γ+β/2, γ+β) , for x ≥ γ 1-S S β β γ-β γ-β/2 γ+β/2 γ+β

Piecewise Continuous M.F. (1) 梯形 a1, a, b, b1 (1) 0 , for x < a1 x –a1 a-a1 (2) , for a1 ≤ x ≤ a (3) 1 μA(x)= (3) 1 , for a ≤ x ≤ b (2) (4) b1–x b1-b (1) (5) (4) , for b ≤ x ≤ b1 a1 a b b1 (5) 0 , for x > b1

(2) 三角形 (1) 0 , for x < a1 x –a1 a-a1 (2) , for a1 ≤ x ≤ a μA(x) = (3) μA(x) = (3) 1 , for x = 1 (2) (4) b1–x b1-b (4) , for a ≤ x ≤ b1 (1) (5) a1 a b1 (5) 0 , for x > b1

Fuzzy Number Fuzzy Number M Definition Fuzzy Number and Certain number Fuzzy Number and Fuzzy Number

Fuzzy Number M Definition There exists only one x0 that then x0 is the average value of M μM(x0) μM(x0) x0 Ex:(1) Normal distribution Fuzzy number 2 μM(x0) = e-a(x-M) , 0 < a ≤ 1, If M=4 a wider a = 0.01 1 a = 0.1 4 a = 1

Ex:(2) Exponent Fuzzy number μM(x0) = e-a|x-M| If M=6 a wider a = 0.1 1 a = 0.5 6 a = 1

Ex:(3) Triangular Fuzzy number 1 (X-M)+1, X≤M M-P μM(x0) = q-M -1 (X-M)+1, X>M 1 p 7 q

Fuzzy Number and Certain number 1 q p 以 為例： a: certain number(一個確定的數非fuzzy number) r: certain number = ∆(p, M, q) r a ＋ － = ∆(p, M, q) a = ∆(p , M , q ) － ＋ a － ＋ 1 Ex:大約三點+延後兩小時 大約五點

r a = ∆(p, M, q) a = ∆( L , aM , R ) L = min ( Pa qa ) 2 r a = ∆(p, M, q) a = ∆( L , aM , R ) × L = min ( Pa qa ) 若a > 1, 則結果會變寬 R = max ( Pa qa ) × 3 0.5 1 1.5 1.5 3 4.5

練習:大約ㄧ萬乘上100倍 = ? × 100 0.5 1 1.5 萬 50 100 150 萬

＋2 × 3 r a = ∆(p, M, q) a = ∆( L , M/a , R ) L = min ( Pa /a qa/a ) ÷ ÷ = ∆( L , M/a , R ) 3 L = min ( Pa /a qa/a ) 若a > 1, 則結果會變窄 R = max ( Pa/a qa/a ) Ex: If 2 = ∆ ( 1, 2, 3 ) 2 2 ＋ ＋2 1 2 3 3 4 5 2 × 3 × 3 3 6 9 1 2 3

2 2 ÷ ÷ 2 1 2 3 0.5 1 1.5

Fuzzy Number and Fuzzy Number If r1 ( p1, m1, q1 ) , r2 ( p2, m2, q2 ) (1) r1 + r2 = ∆( P1, M1, Q1 ) + ∆( P2, M2, Q2 ) － － ＝∆( P1 P2, M1 M2, Q1 Q2 ) － ＋ － ＋ － ＋ (2) r1 × r2 = ∆( P1, M1, Q1 ) × ∆( P2, M2, Q2 ) = ( L, M1M2, R ) ∆ L = min ( P1P2, P1Q2, P2Q1, Q1Q2 ) R = max ( P1P2, P1Q2, P2Q1, Q1Q2 )

(3) r1 ÷ r2 = ∆( P1, M1, Q1 ) ÷ ∆( P2, M2, Q2 ) = ( L, M1÷M2, R ) ∆ L = min ( P1÷P2, P1÷Q2, P2÷Q1, Q1÷Q2 ) R = max ( P1÷P2, P1÷Q2, P2÷Q1, Q1÷Q2 )

Ex: 2 = ∆ ( -1, 2, 5 ), 6 = ∆ ( 3, 6, 9 ) (1) 2 6 ＋ ＋ -1 2 5 3 6 9 2 8 14 2 6 min (-3,-9,15,45 ) = -9 (2) × max (-3,27,15,45) = 45 -9 12 45 (3) 6 2 ÷ min (3/-1,3/5,9/-1,9/5 ) = -9 max (-3,3/5,-9,9/5) = 9/5 -9 3 9/5

× × 2 -2 min (-3,-9,15,45 ) = -9 max (-3,27,15,45) = 45 ∆ (-4,-1,2 ) × (4) 2 -2 × × -5 -2 1 -1 2 5 -25 -4 5 min (-3,-9,15,45 ) = -9 max (-3,27,15,45) = 45 (5) ∆ (-4,-1,2 ) × 2 × -4 -1 2 -1 2 5 -22 -2 10 min (4,-20,-2,10 ) = -20 max (4,-20,-2,10) = 10

(2)有依台兩倍放大器誤差 1%則A供應器與此結合輸出為何? Ex: A電源供應器供應5V電壓,誤差 0.1% ＋ － B電源供應器供應3V電壓,誤差 0.1% － ＋ (1)A與B串聯後所供應的電壓為多少? (2)有依台兩倍放大器誤差 1%則A供應器與此結合輸出為何? ＋ －

＋ × Sol: (1) A與B串聯後所供應的電壓 (2) 4.995 5 5.005 2.997 3 3.003 7.992 8 8.008 × 4.995 5 5.005 1.98 2 2.02 9.8901 10 10.1101

模糊函數

Ch3 模糊函數 (Fuzzy function) 模糊函數 計算 模糊關係 模糊關係計算

Fuzzy function 一般而言，歸屬函數(membership function)的種類大致上分成以下幾種： 1.三角形(Triangular shape) ï î í ì Î - = otherwise b m x if a u A , ] [ ) ( ~

Fuzzy function [ ] [ ] 3.S函數(S function) ì x - a 2 Î b - a , if x [ a m ] ï ï [ ] 2 x - - b ï 1 2 , if x Î [ m , b ] = b - a u ( x ) í ~ A ï 1 , if x > b ï ï î , otherwise

Fuzzy function 2.梯形(Trapezoidal shape) ï î í ì Î - = otherwise b n x if m a u A , ] [ 1 ) ( ~

Fuzzy function 4. Z函數 ( Z function ) = 1- S函數

Fuzzy function 5. 函數(PI function) ï î í ì ³ - £ = b x if function S u A ~ ï î í ì ³ - £ = b x if function S u A , 1 ) ( ~ 1 S function Z function Pi要變顏色 X

Fuzzy function的計算 例題: x 如圖 (a) 模糊範圍為S的歸屬程度為0 模糊範圍為M的歸屬程度為0.7 L 1 . Membership M MS x 2 ) ( 8 7 圖 a b 3 6 4 例題: 如圖 (a) 模糊範圍為S的歸屬程度為0 模糊範圍為M的歸屬程度為0.7 模糊範圍為L的歸屬程度為0.3 如圖 (b) 模糊範圍為MS的歸屬程度為0.6 模糊範圍為M的歸屬程度為0.4 模糊範圍為ML的歸屬程度為0 模糊範圍為L的歸屬程度為0 在不同的模糊範圍中以最大的歸屬程度值為代表。例如：歸屬為M的範圍內；歸屬於MS的範圍內。

Fuzzy Relation Cartesian Produce The fuzzy relation Fuzzy sets

Cartesian Produce The combination of two sets Ex: U(身高) = {140, 150, 160} , V(體重) = {60, 70} U×V = {（140,60）（140,70）（150,60） （150,70）（160,60）（160,70）}

The fuzzy relation Fuzzy sets x3 1 0.6 0.2 0.4 0.9 if A = + + B = + x1 x2 y1 y2 A B × ＝ 取min y1 y2 x1 x2 代表 x3

The operation of fuzzy relation 0.8 （ x1 y1 ） 1 （ x1 y2 ） （ x2 y1 ） 0.8 （ x2 y2 ） R = + + + 1 0.4 （ x1 y1 ） （ x1 y2 ） 0.9 0.4 （ x2 y2 ） S = + + + 2 （ x2 y1 ）

Ex: x is larger then y AND close to y 之 fuzzy set 取min R ∩ S = 1 x larger then y OR close to y 之 fuzzy set 2 取Max R ∪ S =

x is not close to y S c 0.6 （ x1 y1 ） 1 （ x1 y2 ） 0.1 0.6 （ x2 y2 ） + 3 S c ＝ 0.6 （ x1 y1 ） 1 （ x1 y2 ） 0.1 0.6 （ x2 y2 ） + + + （ x2 y1 ）