结 构 力 学 Structural Mechanics 三峡大学水环学院工程力学系 主讲：姚金阶

第三章静定结构的受力分析 §3-1 杆件受力分析 §3-2 静定多跨梁受力分析 §3-3 静定平面刚架受力分析 §3-3 静定平面刚架受力分析 §3-4 静定平面桁架受力分析 §3-1 杆件受力分析 §3-2 静定多跨梁受力分析 §3-5 组合结构受力分析 §3-6 三铰拱受力分析 §3-7 静定结构总论

从几何组成的观点看，几何不变且无多余约束的结构称为静定结构。 静定结构的定义： 从几何组成的观点看，几何不变且无多余约束的结构称为静定结构。 从静力分析的观点看，静定结构的内力可以由三个平衡方程唯一确定。 平衡方程为： 或： （A,B,C不在同一直线上）

静定结构分类：静定梁、桁架、刚架、拱、组合结构 第3章 静定结构分类：静定梁、桁架、刚架、拱、组合结构 静定结构的约束反力及内力完全可由静力平衡条件唯一确定。 静定结构的内力计算是静定结构位移计算及超静定结构内力和位移计算的基础。 →内力图 静定结构内力计算的基本方法是取隔离体、列平衡方程。

§3-1 杆件受力分析 一、概念回顾 1. 内力及正负号 §3-1 杆件受力分析 一、概念回顾 1. 内力及正负号 在结构力学中，要求弯矩图画在杆件受拉一侧（ ↓ m），不注正负号,剪力图和轴力图要注明正负号。上图中弯矩正负号的规定通常用于梁。

2. 隔离体 作隔离体应注意下列几点： 1）隔离体与其余部分的联系要全部切断，代 之以相应的约束力； 2）约束力要与被切断的约束性质相应； 2. 隔离体 作隔离体应注意下列几点： 1）隔离体与其余部分的联系要全部切断，代 之以相应的约束力； 2）约束力要与被切断的约束性质相应； A A C B

3）隔离体只画受到的力，不画该隔离体施加 给其余部分的力； 4）不要遗漏力。隔离体受力图应包括荷载以 及受到的全部约束力； 5）已知力按实际方向表示，注明数值。未知 力按正方向表示。

二、荷载与内力之间的关系 1. 微分关系 y M M＋dM x qy qx= FN FN+dFN dx o

小结： 1）剪力图上某点切线的斜率大小等于该点横向分布荷载的集度。 2）弯距图上某点切线的斜率大小等于该点的剪力。 3）弯距图上某点的曲率大小等于该点的横向分布荷载的集度。 4）轴力图上某点的斜率大小等于该点轴向分布荷载的集度 。

因此： 若剪力等于0，M 图平行于杆轴； 若剪力为常数，则 M 图为斜直线； 若剪力为x 的一次函数，即为均布荷载时，M 图为抛物线。

2. 集中荷载与内力之间的增量关系 x y FP MB左 MB右 FQB右 dx B FQB左

小结： 1）在集中力作用点的左右截面，剪力有突变。剪力图呈台阶型，台阶高度等于FP 。 2）M 图上有尖点，尖点指向同集中力的指向。

3. 集中力偶与内力之间的增量关系 m x y MB左 MB右 FQB右 dx B FQB左

1）集中力偶作用点左右截面的弯矩产生突变，M 图有台阶，台阶高度等于m。 小结： 1）集中力偶作用点左右截面的弯矩产生突变，M 图有台阶，台阶高度等于m。 2）左右截面剪力不变。 m m/2 l /2

以水平梁为例，内力图常见形状规律有： 荷载 无荷载区间 集中力Fp（↓） 均布力q （↓） 集中力矩m（ ） 绞 无约束自由端 剪力图 水平直线 突变降低Fp 斜线（↓）,高度ql 不变 0点 弯矩图 斜线，剪力正号下斜，剪力负号上斜，高度剪力图面积 尖点（↓） 抛物线，拱向（↓）高度剪力图面积 突变降低m 极值点

三、分段叠加法作弯矩图 分段叠加法是依据叠加原理得到的作 M 图的简便作图法。 叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力或变形等于每一种荷载单独作用所产生的效果的总和。 只有线性小变形才适用叠加原理。 q A B = + MA MB

现在讨论分段叠加法的做法，见下图。 A B D C FP q m B A C FP D q m MC MD B A C FP D q m MC MD

在求出各控制截面A、C、D、B在全部荷载作用下的弯矩后，任意直杆段的 M 图就转化为作相应简支梁在杆端力偶及杆间荷载作用下的M 图的叠加。 FP q m C D A B MC MD 基线 在求出各控制截面A、C、D、B在全部荷载作用下的弯矩后，任意直杆段的 M 图就转化为作相应简支梁在杆端力偶及杆间荷载作用下的M 图的叠加。

叠加步骤： 1）选定控制截面，求控制截面在全部荷载作用下的 M 值，将各控制面的 M 值按比例画在图上，在各控制截面间连以直线——基线。 控制截面：分布荷载的起点和终点，以及梁的左、右端点等。 2）对于各控制截面之间的直杆段，在基线上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M图。

例3-1-1 作图示单跨梁的M、FQ图。 A F D C 8kN 4kN/m 16kN.m B E FyA=17kN FyF=7kN 1m 4m 解： 1）求支座反力

方法一：由内力规律作图 2) 作FQ图 C D A F 17 9 7 FQ图（kN） B E 3) 作M图 M图（kN·m） C D A F 17 26 30 23 7 B E

方法一：用叠加法作图 2）选控制截面A、C、D、F并求弯矩值。 已知 MA＝0， MF＝0。 1m A C 8kN 17kN MC FQCA 取右图AC段为隔离体： 取右图DF段为隔离体： 2m D F 16kN.m MD 7kN FQDF

3) 作M图 将MA、MC、MD、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对AC、CD、DF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的 M 图即可。 M图（kN·m） C D A F 17 26 30 23 7 B E

例3-1-2 作图示单跨梁的M、FQ图。 130kN 40kN A F D 160kN 40kN/m 80kN·m B E 310kN 1m 2m 4m C 解： 1）求支座反力

2）选控制截面A、C、D、E、F，并求弯矩值 。 已知 MA＝0 ， MF＝0。 1m A C 80kN·m 130kN Mc FQCA 取右图AC段为隔离体： A C 160kN 80kN·m 1m 2m D MD 130kN FQDC 取右图AD段为隔离体：

对悬臂段EF：

3) 作M、FQ图 将MA、MC、MD、ME 、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对AC、DE、EF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M图即可。 M图（kN·m） 340 F A D C B E 130 210 280 140 160 190 A F D C E 130 30 120 40 FQ 图（kN） B

小结： 1）应熟悉简支、悬臂梁在常见荷载下的弯矩图； 2）注意荷载与内力之间的微分关系及图形规律。 3）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准的叠加，而非图形的简单拼合；

第3章 4、斜梁的内力计算 工程中，斜梁和 斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜梁等。斜梁或斜杆的轴线是倾斜的，计算其轴力和剪力时，应注意轴力和剪力的角度方向，需利用轴线方向和法线方向的平衡求轴力和剪力。 斜梁受均布荷载时有两种表示方法： （1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用 q 表示。 （2）按沿轴线方向分布方式给出（自重、恒载），用 q’ 表示。

第3章 [例题] 试绘制图示斜梁内力图。 （1）求支座反力： α VA HA C D q l/3 A B VB

第3章 （2）绘制斜梁内力图如下：

注意下图示梁C、D截面弯矩图的画法。 A q B D C

§3-2 静定多跨梁受力分析 一、静定多跨梁的构造特征和受力特征 1. 构造特征 §3-2 静定多跨梁受力分析 一、静定多跨梁的构造特征和受力特征 1. 构造特征 静定多跨梁由两部分组成，即基本部分和附属部分。组成的次序是先固定基本部分，再固定附属部分，见下图。 A B C D 附属部分1 附属部分2 基本部分

2. 受力特征 由静定多跨梁的组成顺序可以看出，若荷载作用在基本部分上，则附属部分不受力；若荷载作用在附属部分上，则基本部分同样受力。 因此，静定多跨梁的内力分析应从附属部分开始，即首先要求出附属部分传给基本部分的力。 二、内力分析 解题步骤： 1）画组成次序图 ； 2）从附属部分开始求出约束力，并标注于图中。注意附属部分传给基本部分的力。 3）对于每一段单跨梁，用分段叠加法作M 图。

例3-2-1 试作图示多跨静定梁的内力图。 （a） 2m A B D C E P A B D C E P （b） 2P P D C E A 例3-2-1 试作图示多跨静定梁的内力图。 （a） 2m A B D C E P A B D C E P （b） 2P P D C E A B P （c） M图 （d） A B D C E 2P FQ图 （e） A B D C E P

例3-2-2 试作图示多跨静定梁的内力图。 （a） 2kN A B D C G E F 4m 2m 4kN/m 2kN A B D C G 例3-2-2 试作图示多跨静定梁的内力图。 （a） 2kN A B D C G E F 4m 2m 4kN/m 2kN A B D C G E F 4kN/m （b） 2kN G E F 4kN D C A B 4kN/m （c） 11kN 7kN 4 M（kN.m） 8 （d） （e） 7 9 2 FQ（kN）

例3-2-3 作图示静定多跨梁的M图和FQ图。 A B D 1.5m C E F 4kN/m 10kN 20kN 1m 3m 解： 1）作组成次序图 A B D C E F 4kN/m 10kN 20kN 组成次序图

2）求附属部分和基本部分的约束力 A B D C E F 4kN/m 10kN 20kN 1.5m 1m 3m 9kN 14kN 3kN 13kN 6kN 对于CE段梁:

A B D C E F 4kN/m 10kN 20kN 1.5m 1m 3m 9kN 14kN 3kN 13kN 6kN 对于AC段梁:

3）内力图如下图示 A B D C E F M图（kN·m） 13.5 4.5 3 6 B D C E FQ图（kN） 9 11 3 7 6 F

例3-2-4 作图示静定多跨梁的M图和FQ图。 A 40kN B C 80kN D E F G H 40kN·m K L 20kN/m 2m 1m 解： 1）作组成次序图 A 40kN B C 80kN D E F G H 40kN·m K L 20kN/m 组成次序图

2）求附属部分和基本部分的约束力 FyA A 40kN B C 80kN D E F G H 40kN·m K L 20kN/m 125kN 10kN 65kN 15kN 25kN FyC FyH FyL 梁各部分的受力如上图示，作用于铰结点D的集中力（80kN）可看作直接作用于基本部分AD上。

对于AD段梁： A 40kN B C 80kN 10kN D 125kN FyC= 15kN FyA= 2m

对于FL段梁： 10kN G H 40kN K L 40kN·m 20kN/m F 65kN FyH= FyL= 25kN 1m 2m

3）内力图如下图示 A B C D E F G H K L 30 140 20 10 60 40 M 图（kN·m） A B C D E F G H K L 15 55 70 10 25 50 FQ图（kN）

第3章 例3-2-5： 图示三跨静定梁，全长承受均布荷载q，试确定铰E、F的位置，使中间一跨支座的负弯矩与跨中正弯矩数据数值相等。

§3-3 静定平面刚架内力图 一、基本概念 平面刚架由梁和柱组成，梁和柱通常用刚结点相连接。 刚结点有如下特征： 第3章 §3-3 静定平面刚架内力图 一、基本概念 平面刚架由梁和柱组成，梁和柱通常用刚结点相连接。 刚结点有如下特征： 几何特征——一个简单刚结点相当于三个约束，能减少体系三个自由度。 变形特征——在刚结点处，各杆端截面有相同的线位移及角位移。 静力特征——刚结点能传递弯矩、剪力和轴力。

二、静定平面刚架常见分类 悬臂刚架——梁为悬臂杆，如火车站月台； 简支刚架——用三根链杆或一个铰和一根链杆与基础相连组成的刚架； 三铰刚架——三个刚片(包括基础)用三个铰两两相连组成的刚架。 主从刚架——由上述主体刚架加上附属部分组成的刚架。 三铰刚架 主从刚架 悬臂刚架 简支刚架

三、刚架支座反力及杆端内力 支座反力、结点约束力：灵和应用脱离体平衡及总体平衡计算; 第3章 三、刚架支座反力及杆端内力 支座反力、结点约束力：灵和应用脱离体平衡及总体平衡计算; 杆端内力：梁式杆杆端、刚结点截面均有三种内力。弯矩注意转向与拉压侧。 详细见后例

å å å å 例1 求图示三铰刚架支座反力 q 2 - + = a qa M 2 3 9 5 . 4 - + = = 4 = × - 5 整体对右底铰建立矩平衡方程： =3kN q=4kN/m，a=3m 左半边平衡 4 å = × - 5 . 1 a FX qa M A C 6 = ) ( 2 kN qa FX A ↓↓↓↓↓↓ a q 1.5a A B 整体平衡 C å = - + qa FY B A = 9 4 3 kN qa FY B å = 2 kN FX B A FYA FYB FXA FXB 反力校核 2 - + = å a FY FX qa M B A C 2 3 9 5 . 4 × - + = =

å å å 例2 求图示主从刚架支座反力 由附属部分ACD 由整体 4m 校核： = × - FX M 1 2 4 = kN 3 = kN 1 2 4 = kN FX A 3 由附属部分ACD 由整体 4m 2m 2kN ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 4kN/m A B C D E F G H K å = kN FX K 1 å = kN FY M K G 2 30 FXA FXK FYK FYG 校核：

FQDC=－6kN FNDC=0 MDC=24kN.m（下拉） FQDA=8kN FNDA=0 MDC=8kN.m（左拉） FQDB=8kN MDA FQDC=－6kN FNDC=0 MDC=24kN.m（下拉） 8kN 1m 2m 4m A B C D QDB NDB MDB 8kN 6kN D B FQDA=8kN FNDA=0 MDC=8kN.m（左拉） 8kN 6kN FQDB=8kN FNDB=6kN MDB=16kN.m（右拉） 8kN 8kN.m －6kN 24kN.m ∑FX = 8－8 = 0 8kN 6kN 16kN.m ∑FY = －6－（－6） = 0 ∑M = 24－8 － 16 = 0

作内力图 8 6 8kN 1m 2m 4m 6kN － 16 ＋ 8 FQ kN 24 M kN.m 6 ＋ FN kN

例4 求截面1、截面2的内力 5m 2 1 5kN/m 50kN 141kN 125kN.m ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 45° FN2=50 －141×cos45o =－50kN FQ2= －141×sin45°＝－100kN M2＝ 50×5 －125 －141×0.707×5 ＝－375kN.m 所以：M2＝375kN.m （左拉） FN1=141×0.707=100kN FQ1= 50 +5×5 －141×0.707 =－25kN M1=125 +141×0.707×10 －50×5 －5/2×5² =812.5kNm + (下拉）

（1）计算悬臂刚架时，可不必先求支座反力，从悬臂端 算起即可。 第3章 四、刚架的内力图计算及画图 1、绘制刚架内力图时应注意的问题： （1）计算悬臂刚架时，可不必先求支座反力，从悬臂端 算起即可。 （2）计算简支刚架时，一般先求支座反力，而后求控制 截面内力。 （3）计算三铰刚架时，要利用中间铰弯矩为零的条件。 （4）绘剪力图、轴力图可在任一侧，但必须标正、负号； 绘弯矩图不必标正负号，弯矩图绘在受拉一侧。弯矩图是 核心重点！

两杆刚结点（无集中力矩）：同值同侧！经常用到！ 2 刚架内力图举例： 1）悬臂刚架 可以不求反力，由自由端开始作内力图。 l ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ q ql² ql2/2 2q 2q 2m ↓↓↓↓↓ q ql² 6q 两杆刚结点（无集中力矩）：同值同侧！经常用到！ 整体无水平荷载，竖杆无剪力，弯矩图为直线！ 经常用到！

q ql ql qa D C B A qa2/2 ql2/2 ql2/2 q 2）简支刚架弯矩图 qa2/2 qa2/8 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 简支刚架绘制弯矩图往往只须求出一个与杆件垂直的反力,然后由支座作起 ql2/2 ql2/2 D q A B C a ↓↓↓↓↓↓↓↓↓ qa2/2 ql 定向支座无竖直荷载，水平杆DC无剪力，弯矩图为直线！ 经常用到！ qa2/2 qa2/8 qa

3） 三铰刚架 M 图 三绞刚架绘制弯矩图往往只须求出一个或两个与杆件垂直的反力,然后由一侧支座作起。 D C E q l/2 3ql/8 A B D E C l/2 q 三绞刚架绘制弯矩图往往只须求出一个或两个与杆件垂直的反力,然后由一侧支座作起。 3ql/8 ql/8 ql/8 ql/8 ql2/16 ql2/16 D A B E C M 图 ql2/16 q ql2/16 ql/8 3ql/8

剪力图和轴力图如下图示。 FQ图 3ql/8 ql/8 FN图

4）主从刚架 A C 2m 4m 4 kN/m K B D E H G 2kN F FxK=1kN FxA =3kN FyK=2kN FyG=30kN FyK=2kN 1）求支座反力

2）画M图 28 24 8 8 8 A C K D E H G F 4 4 8 6 3kN 1kN M 图（kN·m）

D E 4kN/m 2m 8kN MED 16kN 取右图示DE部分为隔离体： 取右图示EHK部分为隔离体： K E H 1kN 2kN 4kN/m 4m MEH 14kN

E点各柱上端弯矩为： E 28 24 4

作FQ 图和FN 图 杆端剪力可以用投影方程或力矩方程求解，本题剪力很容易用投影方程求得。下面以EH杆为例说明用力矩方程求剪力的方法。 取右图示EH杆为隔离体： E 4kN/m 4m FQHE 4kN·m H FQEH 28kN·m

A C K B D E H G F 3 1 16 14 2 FQ图（kN）

A C K D E H G 1 30 2 FN图（kN）

第3章 例题进阶1 试作图示悬臂刚架内力图。

第3章

自 学 1kN/m C 2m E D 4.5m FxA FxB B A 1.385kN 6m FyB FyA 1. 5kN 4.5kN 例题进阶3 （教材例3-5） 作图示斜杆三铰刚架内力图。 自 学 FyB 1kN/m A B D E C FyA FxA 1.385kN 4.5kN 1. 5kN FxB 6m 4.5m 2m

解： 1) 支座反力 考虑整体平衡: FxA FyA 由BEC部分平衡： 1kN/m C E 2m D 4.5m A B FxB 6m FyB 1kN/m A B D E C FyA FxA FxB 6m 4.5m 2m 1) 支座反力 考虑整体平衡: 由BEC部分平衡：

2) 作M 图 斜杆DC中点弯矩为： 弯矩图见下图。 1kN/m C 6.23 1.385 D E B A M 图(kN.m)

3) 作FQ图 斜杆用力矩方程求剪力，竖杆、水平杆用投影方程求剪力。 D 1kN/m 6m C FQDC FQCD 6.23 对于DC杆：

对于EC杆： 6m FQEC 6.23 E FQCE C 竖杆AD、BE的剪力用投影方程很容易求得。 剪力图见下页图。

A D 1.39 3.83 1.86 0.99 B E C FQ 图 (kN)

4) 作FN图 竖杆、水平杆及斜杆均用投影方程求轴力。 1 3 D 1.385 FNDC α s 4.5 结点D：

E 1.385 FNEC 1.5 s 1 3 结点E：

s 右下图中，将结点C处的水平力和竖向力在杆DC的轴向投影得： 1kN/m FNCD C D 1.5 A 1 1.385 3 4.5 轴力图见下页图。

A B D E C 4.5 2.74 0.84 1.79 1.50 FN 图 (kN)

例题进阶4：求支座不等高三铰刚架的支座反力。 q FyB FxA FxB FSA a A C B

解： 将支座A的反力分解为竖向反力 及沿AB连线方向的反力FSA。 1） 整体平衡 2) 取AC部分为隔离体，将FSA分解为 及 FxA＝3 。

3） 整体平衡求FxB及FyB

补充题：试作图示结构的内力图。 解：1）计算支座反力 校核： 原结构 剪力图(kN) 轴力图(kN) 弯矩图(kN·m) HA=15kN D 3m E C 8kN/m F 24kN·m 15kN B A 4m HA=15kN A VA=5kN VB=37kN 校核： 16 15 60 24 45 弯矩图(kN·m) 剪力图(kN) 5 15 37 轴力图(kN) 5 37 ，

补充题 试找出下列M图的错误 。 q P (c) P (a) (e) P (f) (b) P (e) P (i) q P (g) q (h)

解：正确的弯矩图如图所示 。 (a) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (b) (c) 习题3-7图解答图

小 结（参见教材P61） 绘制刚架内力图时应注意的问题： （1）绘剪力图、轴力图必须标正、负号，绘弯矩图不必标正负号，弯矩图绘在受拉一侧。 （2）熟悉刚架类型，计算悬臂刚架时，可不必先求支座反力，从悬臂端算起即可。 （3）计算简支刚架时，一般先求支座反力，而后截面法计算。 （4）计算三铰刚架时，要利用中间铰弯矩为零的条件。 （5）掌握刚结点、铰接点等关键部位内力规律。 （6）求支座反力后及绘内力图后都应进行校核。 本节习题：3-3、3-4(画在书上) 3-7a 3-8ac

讨论：对称结构的求解问题。 1) 对称结构 对于求静定结构的内力来说，只要结构几何形状和支座对称就可以看作对称结构。若要计算结构的位移，则还要求杆件的材料性能对称，杆件刚度对称。 2) 对称结构的受力特性 对称结构在对称荷载作用下，其受力对称；对称结构在反对称荷载作用下，其受力反对称。 3) 非对称荷载的处理 若对称结构的荷载不对称，则可以将荷载拆分为对称荷载及反对称荷载两种情况分别求解。

如下图示对称结构在对称荷载作用下，铰C左、右截面剪力关于竖轴反对称，故该剪力为0。于是很容易求得结构各部分的作用力。 a q C y A B D E D 2qa A C B 2qa

§3-4 静定平面桁架受力分析 一、概述 1. 桁架分类 按几何组成分为： §3-4 静定平面桁架受力分析 一、概述 1. 桁架分类 按几何组成分为： 1）简单桁架——从基础或者从一个基本的铰接三角形开始，依次用两根不在同一直线上的链杆固定一个结点的方法组成的桁架称为简单桁架。→ 结点法为主

2）联合桁架——两个简单桁架用一个铰及与之不共线的一根链杆连结，或者用三根不全平行也不全交于一点之链杆连结而成的桁架称为联合桁架。 → 截面法为主 A 1 1 2 3

3）复杂桁架——既非简单桁架又非联合桁架则统称为复杂桁架。

2. 基本假定 各杆均为直杆，且位于同一平面内，杆轴线通过铰结点中心。 荷载及支座反力作用在结点上，且位于桁架平面内。 3) 铰结点为理想铰，即铰绝对光滑，无摩擦。 所以，桁架的杆件只产生轴力，各杆均为二力杆。

3. 轴力正负号 轴力以拉力为正，压力为负。 在结点和截面隔离体中，已知的荷载及轴力按实际方向表示，数值为正；未知轴力一律设为拉力。 A 10kN FN1 FN2 B 15kN FN1 5kN

二、结点法 结点法可以求出简单桁架全部杆件的轴力。 为求各杆轴力，需作结点隔离体。若隔离体只包含一个结点，则称为结点法。 作用在结点上的力系为平面汇交力系，有两个平衡方程，可以求出两个未知力。当结点上的未知力有三个或三个以上时结点法失效，但有时能求得其中的一个未知力。

由于平面汇交力系向平面上任意一点的力矩代数和等于零，故除了投影方程外，亦可以用力矩方程求解。 平衡方程为： 或 不要用联立方程求桁架各杆的轴力。一个方程求出一个未知轴力。 对于简单桁架，截取结点隔离体的顺序与桁架几何组成顺序相反。

D B E C A 几何组成顺序A、B、C、D、E 取结点隔离体顺序E、D、C、B、A

应熟练运用如下比拟关系： FN Fx Fy lx ly l

依次考虑5、4、6、7的平衡求其它轴力，还余三个方程作校核用。 熟练之后可以直接在结构上进行，不必列平衡方程。如图所示。 例 3-4-1用结点法求桁架各杆内力 3m×4=12m 4m 1 2 3 4 5 6 7 8 40kN 60kN 80kN -90 -90 60 30 75 15 解： 1 、整体平衡求反力 ∑FX=0 F1x=0 ∑ M8＝0 , F1y=80kN ∑FY=0 , F8y=100kN － ＋ ＋ － 80 40 50 40 20 25 100 100 80 125 60 60 75 75 F1x=0 F1y=80kN 2、求内力 F8y=100kN -60 -80 40 N35 X34 Y34 N34 取结点3 15 75 100 80 20 90 取结点1 ∑Y=0 ， Y13=－80， 由比例关系得 X13=－80× 3 /4 =－60kN N13 =－80× 5 /4 =－100kN ∑X=0 ， N12=60， 40kN 60kN N24 N23 取结点2 ∑Y=80+20－100=0， ∑X=90－75－15=0。 ∑X=0 ， N24=60， ∑Y=0 ， N23=40， Y13 N13 X13 1 N12 100 75 ∑Y=100－100=0， ∑X=75－75=0。 ∑Y=0 ， Y34=80－40=40， X34=40× 3 /4 =30，N13 =40× 5 /4=50 ∑X=0 ， N35= － 60 －X34= －90。 80kN 依次考虑5、4、6、7的平衡求其它轴力，还余三个方程作校核用。 熟练之后可以直接在结构上进行，不必列平衡方程。如图所示。

例3-4-2※ 用结点法求各杆轴力 A 20kN B C D E G F H 30kN 2m 1m 60 20 解： 1）支座反力 例3-4-2※ 用结点法求各杆轴力 A 20kN B C D E G F H 30kN 2m 1m -67.08 -44.72 -22.36 60 20 解： 1）支座反力 FyA=FyB=30kN(↑) FxA=0 2）判断零杆 见图中标注。 3）求各杆轴力 取结点隔离体顺序为：A、E、D、C。 结构对称，荷载对称，只需计算半边结构。

结点A A 30kN FNAE FxAD FyAD FNAD 1 2 （压） 结点E E 60kN FNEF

结点D 将FNDF延伸到F结点分解为FxDF及FyDF FxDF A 20kN FNDC C F FyDF FNDF D 2m 4m 1 2

FxDF A 20kN FNDC C F FyDF FNDF D 2m 4m FyDC 1 2

结点C FNCF C 20kN

小结： 1) 支座反力要校核； 2) 判断零杆及特殊受力杆； 3) 结点隔离体中，未知轴力一律设为拉力，已知力按实际方向标注； 4) 运用比拟关系 。

三、结点单杆与0杆 结点单杆：一结点上未知内力杆中，某根杆为单独方向。若结点无荷载，单杆为0杆。 FN2 1）L型 FN1 s 90 。 1）L型 由∑FS＝0，可得FN2＝0，故FN1＝0。 结点上无荷载，则FN1＝FN2＝0。 即：无结点荷载二元体均为0杆 2）T型 FN1 FN2 FN3

3）X型 FN1 FN2 FN3 FN4 4）T型有荷载 FN1 FN2 FN3 FP

上图为对称结构、对称荷载的情况， 但结点A不在对称轴上。 由∑Fy＝0 FN1＝-FN2 5）一般K型 α A FP 1 2 y FN3 FN1 FN2 FN4 A α 上图为对称结构、对称荷载的情况， 但结点A不在对称轴上。 由∑Fy＝0 FN1＝-FN2

上图为对称结构、对称荷载的情况， 结点A在对称轴上。 5）K型-对称 α A FP 1 2 3 4 y FN3 FN1 FN2 FN4 A α 上图为对称结构、对称荷载的情况， 结点A在对称轴上。 由∑Fy＝0 FN1＝ FN2=0 ∑Fx＝0 FN3＝ FN4

例3-4-2：找出桁架中的零杆 9根 8根 7根 另参见教材图3-30

※在右图所示两桁架中，设AC为拉力，由A点投影平衡AB为压力；由B点投影平衡BC为拉力；C点将不满足平衡条件，故AB、BC、CA均为零杆。 A B C C 进一步找出其它零杆。 B A 点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。

四、截面法 对于联合桁架或复杂桁架，单纯应用结点法不能求出全部杆件的轴力，因为总会遇到有三个未知轴力的结点而无法求解，此时要用截面法求解。即使在简单桁架中，求指定杆的轴力用截面法也比较方便。 截面法选取的隔离体包含两个或两个以上的结点，隔离体上的力系是平面一般力系，可以建立三个平衡方程∑Fx＝0、 ∑Fy＝0、 ∑M＝0。所以作一个截面隔离体最多可以求出三个未知轴力。 对于联合桁架，应首先切断联系杆。

例3-4-3:求123杆轴力 【解】：先找出零杆， 将它们去掉 取 ⅠⅠ截面以左为分离体 ∑MD=3FN1+P/2×6=0 得 FN1=－P 2m 1m P/2 2m 4m C D 1 P/2 2 1m 2m P/2 3 2m×6=12m 【解】：先找出零杆， 将它们去掉 FN1 取 ⅠⅠ截面以左为分离体 FX2 FY2 ∑MD=3FN1+P/2×6=0 得 FN1=－P FN2 FX3 FY3 ∑MC=2FX3－P/2×2=0 得 FX3=P/2 FN3 ∴　FN3=FX3/4×4.12=0.52P ∑Fx=FN1+FX2+FX3=0 ∴ FX2=P/2 ∴FN2=5FX2/4=5P/8

例3-4-4：试求图示桁架杆25、35、34之轴力。 1 0 kn 10 kn 30 kn

å å 例3-4-5：试求图示桁架 杆67、56之轴力。 解： （ 1 ）求出支座反力后，作 - 截面，研究其 左半部 ( 图 2) ： （ = å Y sin 10 5 30 67 - a N 拉力） ( 2 KN （ 2 ）作 - 截面，研究其左半部（图 3 ）： = å Y 10 5 30 56 + - N （压力） KN 15

五、结点法与截面法的联合应用 结点法、截面法是计算桁架的两种基本方法。计算简单桁架时 ，两种方法均很简单；而结算联合桁架时，需要联合应用。 例1 求图示桁架各杆之轴力。--思路 K 用结点法计算出1、2、3结点后，无论向结点4或结点5均无法继续运算。作K-K截面：M8=0，求N5-11；进而可求其它杆内力。

例3-4-6: P/2 P 4m 3m 1 3 2 4 5 6 Ⅰ 求指定杆1234的轴力。 -p -5/12p 1)先求出支座反力。 3 2)选1-1截面，取左半 p 有4个未知轴力杆，？ 3)取6结点： K型结点→FN2=-FN3 2P 2P 2P 2P 2P P/2 P 1 2 6 5 2P 4）由 截面左 FN1 FN2 FN3 FN4 由 FN1= －P FN4= P 由 FN2= －5/12P FN3= 5/12P 思考：选1-1截面，？

例2：试求图示桁架各杆之轴力--思路 K 求出支座反力后作封闭截面K，以其内部或外部为研究对象，可求出FNAD、FNBE、FNCF，进而可求出其它各杆之内力。

例3：试求图示桁架各杆之轴力。 K 求出支座反力后作封闭截面K，以其内部或外部为研究对象，可求出NAC、NDE、NBF（右图），进而可求出其它各杆之内力。

例4：试求图示桁架各杆之轴力。 K 求出支座反力后作截面K-K，以其左半部或右半部为研究对象，利用C=0，可求出NAB，进而可求出其它各杆之内力。

例5：试求图示桁架各杆之轴力。 K 求出支座反力后作截面K-K，以其上半部或下半部为研究对象，利用MC=0，可求出NEF，进而可求出其它各杆之内力。

※例3-4-7: P/2 P 4m 3m 1 2 6 5 4 3 Ⅰ Ⅱ 7 求指定杆的轴力。 2 先求出反力。 3 1、弦杆 FN1= －P FN4= P 3 2、斜杆 ∵结点6为K型结点。 ∴FN6=－FN5 再由∑Fy=0 得：FY5－FY6+2P－P －P/2=0 ∴ FY6=P/4 ∴ FN6=－FN5=5P/12 2P 2P 2P 2P 2P P/2 P ∑M2=N1×6+（2P－P/2）×4=0 N1= －P P/2 P 1 2 6 5 2P 2P 1 2 4 5 FN1 FN5 FN6 FN4 N3 N1 N2 N4 ∑M5=N4×6 － （2P－P/2）×4=0 N4= P 3、竖杆 取结点7为分离体。由于对称：FN3=FN5 由∑Fy=0 得： FY5+FY3+ P+FN2=0 ∴FN2=－P/2 P 7 FN1 FN5 FN3 FN2

å ※例3-4-8：求桁架中a杆件的轴力。 Y N 2 5 = P 3 5 - = d Y P M 3 2 = + 3 2 P Y - = E B C C E P Ⅰ A a Ya Xa B Na P Y N a 2 5 = P 3 5 - = d Y P M a A 3 2 = × + å 3 2 P Y a - =

å d Y P M 3 2 = + 3 2 P Y - = Y N 2 5 = P 3 5 - = 3d A E B C C E P Ⅰ A Ya Xa B Na P d Y P M a A 3 2 = × + å 3 2 P Y a - = Y N a 2 5 = P 3 5 - = 点击左键，一步步播放。结束播放请点“后退”。 重新播放请点 重新播放

I ※例3-4-9 用截面法求轴力FN1、FN2、FN3、FN4 FP C E 1 2 3 A B D 4 a 2.5FP 解： 2.5FP 解： 1）对称结构对称荷载，支座反力如图示。 2）零杆如图示。

3）求轴力FN1、FN2、FN3、FN4。 FN1 FN2 C FP 结点C 1 2

取截面I－I以左为隔离体： I a FP A C D 1 2 3 4 2.5FP

I a FP A C D 1 2 3 4 2.5FP

a FP A C D I 1 2 3 4 2.5FP 取截面I－I以左为隔离体：

2m 60kN A D 80kN II I C B E 1 G 2 F ※例3-4-10 求FN1、FN2 。 解： 1) 求支座反力

2) 求FN1、FN2 结点B B 60kN FNBE FNBC 取截面I－I以左为隔离体 2m 60kN A D I C 80kN FN2

本节习题： 3-13bdf 3-14(画在书上) 3-17a 3-18b 80kN II B E F G 2m FN1 取截面II－II以右为隔离体： 本节习题： 3-13bdf 3-14(画在书上) 3-17a 3-18b

※六、零载法 零载法是针对W＝0的体系，用静力法来研究几何问题，用平衡方程解答的唯一性来检验体系几何不变性的方法。 对于W＝0的体系，其静力特征为： 如体系几何不变(静定结构)，则满足平衡方程的解答是唯一正确的解答。若荷载为零，则内力全为零。 如体系几何可变或瞬变，则只有在特殊荷载作用下平衡方程才有解，而且其解答必定不是唯一解。若荷载为零，其某些内力可能不为零。

荷载为零而内力不全为零的内力状态称为自内力。 如果某体系存在自内力，则该体系为几何可变体系。 零载法把几何构造问题转化为静力平衡问题。

※例3-4-11 用零载法检验下图示桁架是否几何不变 b） C B E D F I A x a）

解： 荷载为零，所以支座反力为零，且可判断4根零杆如图a)示，余下部分见图b) 。在图b)中，令AB杆轴力为x，按照B，C，D，E，F的顺序用结点法求得杆件的轴力见图b)。 s A 2 x FNAI c） 取结点A的隔离体如图c)所示： ∑FS＝0 x－x/2＝0 x＝0 于是可得全部杆件的轴力均为零，因此为几何不变体系。 上面采用的方法称为初参数法或通路法。通路法是解复杂桁架的一种有效方法。

§3-5 组合结构受力分析 梁、刚架--梁式杆 桁架—拉压杆 组合结构--既有梁式杆，又有拉压杆 组合结构受力分析首先需判断两种类型杆件。梁式杆的截面有弯矩、剪力和轴力作用，其中最主要的是弯矩图；拉压杆只有轴力。基本方法—截面法。 在用截面法取隔离体时，一般不切断梁式杆，可以切断二力杆，也可以拆开铰结点，如下图示。 FP A D E C B FP E C B FxB FyB FNED

例3-5-1： 试求图1所示组合结构内力图。 第5章 1、AC、CB-梁，其余-拉压杆；整体平衡—支座反力 51kN 25kN 0kN 12kN 8kN/m 4m 3m 1、AC、CB-梁，其余-拉压杆；整体平衡—支座反力 2、内力计算：作1-1截面，研究 左半部（图2）： 25kN 0kN 50.67kN 研究结点E（图3）： 研究结点G（图3）：同E点对称 50.67kN 50.67kN

2、根据计算结果，绘出内力图如下： 3、对计算结果进行校核（略）。 第5章 52 50.67 12 -38 63.34 M图（kN.m) FN图（kN) 13 19 FQ图（kN) 3、对计算结果进行校核（略）。

例3-5-2 作图示组合结构内力图。 解： 判断：AC、CB-梁，其余-桁架；结构对称荷载对称。 1）求支座反力—整体平衡 例3-5-2 作图示组合结构内力图。 C 1kN/m B A D E F G 6kN I 3m 0.5m 0.7m 解： 判断：AC、CB-梁，其余-桁架；结构对称荷载对称。 1）求支座反力—整体平衡 2）先求桁架杆轴力：求FNDE，取截面I－I以左为隔离体。

结点D FNDF FNDA D 15kN 0.7 3 3.0806

C FNFC F FQFC MF 3m 求MF 3） 求梁式杆的内力M、FQ、FN 。 取FC段作隔离体（教材） 1kN/m 3.01 FQCF C FQFC MF FNFC FNCF 15 0.25m 15 3.01 3 0.25 求MF

1kN/m 求FC杆的剪力和轴力： FNCF C 15 FNFC F FQCF FQFC 0.75kN.m 3m 15 3.01 0.25

取AF段作隔离体： A 1kN/m 3m FQFA F FNAF FNFA 15 2.5 0.75kN.m FQAF 15 3.01 3 0.25 2.5

A 1kN/m 3m FQFA F FNAF FNFA 15 2.5 0.75kN.m FQAF 15 3.01 3 0.25 2.5

4) 结构内力如下图示。 C B A D E F G FQ图(kN) M图(kN∙m) FN图(kN) -3.5kN 15kN 6kN 4) 结构内力如下图示。 15kN -3.5kN 15.4kN C B A D E F G 6kN FQ图(kN) 1.246 1.744 C A F M图(kN∙m) 0.75 C A F FN图(kN) 15.16 15.2 14.95 C A F 14.91

§3-6 三铰拱受力分析 三铰拱式结构广泛应用于实际工程建设中:桥梁、渡槽、屋架等。 §3-6 三铰拱受力分析 三铰拱式结构广泛应用于实际工程建设中:桥梁、渡槽、屋架等。 三铰拱的构造特征为:杆轴通常为曲线，三个刚片(包括基础)用不在同一直线上的三个铰两两相连组成三铰拱结构。 三铰拱的受力特征为:在竖向荷载作用下，拱脚处产生水平推力;因此，拱轴任一截面轴力FN比较大，弯矩较小。有时用拉杆来承受水平推力，称为拉杆拱。

通常 在1～1/10之间变化， 的值对内力有很大影响。 l (跨度) f (矢高) (拱脚) C(拱顶) FVA B FP A FH FVB (拉杆) l (跨度) f (矢高) (拱脚) A B C(拱顶) 通常 在1～1/10之间变化， 的值对内力有很大影响。

一、三铰拱内力计算的数解法 下面以图示三铰拱为例加以说明。 f=4m C A J B K FP1=15kN FP2=5kN yJ yk y FHA FVA FHB x FVB 4m l/2

4m l/2 C A J B K FP1=15kN FP2=5kN 代梁 解： 拱轴方程为 1. 支座反力 整体平衡

f=4m A FHA FVA K FP1=15kN C yk 4m 下面求支座水平推力。 考虑拱AC部分平衡： 上式中， 为代梁C截面弯矩。 l/2 下面求支座水平推力。 考虑拱AC部分平衡： 上式中， 为代梁C截面弯矩。

将本例题数据代入得： 小结： 1) 水平推力与矢高 f 成反比。 2) 支座反力FVA、FVB、FHA、FHB与拱轴形状无关，只与三个铰A、B、C及荷载的相对位置和荷载的大小有关。

2. 弯矩计算公式 求任意截面D的弯矩。由AD段隔离体可得： A FHA FVA FP1 D yD xD FND FQD MD d1 FºVA MºD FºQD 代梁 <MºD 。 由上式可见，因为有推力存在，三铰拱任一截面之弯矩小于代梁中相应截面的弯矩，即MD

下面求K、J截面的弯矩MK和MJ。 A 10kN 12.5kN 15kN yK=3m MK K 4m B 7.5kN yJ=3m MJ J 5kN 求MK 求MJ

3. 求FQ、FN的计算公式 拱轴任意截面D切线与水平线夹角为φ。 相应代梁中， 设为正方向。 A FHA FVA FP1 D FH φ 代梁 FND FQD 小结： 1) 左半拱 >0，右半拱 <0。

a a2+b2 b 2) FºQD是代梁截面D的剪力，设为正方向。 故FºQD可能大于零、等于零或小于零。 下面用上述公式求FQK、FNK。 1 2 xK＝4m FºQK左＝12.5kN FºQK右＝－2.5kN A 12.5kN K右 FºQK右＝－2.5kN 15kN A 12.5kN K左 FºQK左＝12.5kN

求FQJ右、FNJ右 。 -1 2 xJ＝12m FºQK右＝－7.5kN J右 B 7.5kN FºQJ右＝－7.5kN

二、三较拱的压力线 如果三铰拱某截面D以左(或以右)所有外力的合力FRD已经确定，则该截面的弯矩、剪力、轴力可按下式计算： FP1 FND FQD FRD MD FP1 C FP2 A B D FRA FRB 90 。

——截面D形心到FRD作用线之距离。 ——FRD作用线与截面D轴线切线的夹角。 由此看出，确定截面内力的问题归结为确定截面一边所有外力的合力之大小、方向及作用线的问题。 定义：三铰拱每个截面一边所有外力的合力作用点的连线，就称为三铰拱的压力线。

作压力线的方法和步骤为： 1）求三铰拱的支座反力FHA、FVA、FHB、FVB，进而求出反力FRA、FRB的大小和方向。 FHA FVA FRA 2）作封闭的力多边形，以确定拱轴各截面一边外力合力的大小及方向。作力多边形时应按力的大小按比例绘制。

在上图所示力多边形中，射线1－2代表FRA与FP1合力的大小和方向；射线2－3代表FRA与FP1、FP2合力的大小和方向。 B FP1 C D FP2 E FP3 F 1－2 2－3 FRB FRA o 在上图所示力多边形中，射线1－2代表FRA与FP1合力的大小和方向；射线2－3代表FRA与FP1、FP2合力的大小和方向。

3）画压力线 过A作FRA的延长线交FP1于D，过D作射线1－2的平行线交FP2于E，过E作射线2－3的平行线交FP3于F，则FB必为FRB的作用线。 小结： 1) 压力线一定通过铰C。 2) 压力线与拱轴形状无关，只与三个铰A、B、C及荷载的相对位置和荷载的大小有关。 3) 合力大小由力多边形确定，合力作用线由压力线确定。 4) 若荷载是竖向集中力，则压力线为折线；若为均布荷载，压力线为曲线。

三、 三较拱的合理轴线 在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯矩为零的轴线就称为合理拱轴。 若用压力线作为三铰拱轴线，则任一截面弯矩都为零，故压力线为合理拱轴。 三铰拱任一截面弯矩为 令 得到 合理拱轴方程的表达式

例3-6-1 求三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴。 q FH A C B l /2 f FVA FVB 代梁 q x A

解： 可见合理拱轴为抛物线方程。

§3-7 能量法之—刚体虚位移法 平衡力在可能位移上做总功（力乘位移）为0： 一个方程： ，可解决一个未知数问题 §3-7 能量法之—刚体虚位移法 平衡力在可能位移上做总功（力乘位移）为0： 一个方程： ，可解决一个未知数问题 可能位移：满足约束的刚体位移，小位移 假设位移求（一个）未知力—虚位移法 假设力求（一个）未知位移—虚力法（第5章主要思想） 静定结构—无刚体位移，但去掉一个约束—机构可能位移 ---- 直杆仍为直杆，绕支座（约束）转动θ 例图3-19

平衡关系—几何关系 例1求支座反力Fx （图3-60） 体现优点：简便 关键：去掉未知力相应约束，构造虚位移，找出几何关系

若令△x=1: 单位位移法 求刚体内力：去掉约束，成为机构，再虚拟单位 位移 弯矩：去掉转动约束，变成铰接（内力成对！），再虚拟单位位移：向上，两侧转角和=1 剪力：去掉竖直约束，变成定向（内力成对！），再虚拟单位位移：下上剪错和=1，两侧平行

C a b l 1 1 b C C QC 例如：3-27a

本节习题： 3-19a ※3-27a 本章小结：不同类型静定结构内力特点、作图方法、常见规律 内力图基础性、重要性！！！梁、刚架

§3-8※ 静定结构总论 一、静定结构解答的唯一性定理 §3-8※ 静定结构总论 一、静定结构解答的唯一性定理 静定结构的全部内力和支座反力均可由静力平衡方程唯一确定。或者表述为：对于静定结构，凡是能满足全部静力平衡条件的解答就是它的真实解答。 根据唯一性定理，可以得到如下结论：在静定结构中，除荷载外，任何其它外界因素——温度变化、支座移动、材料伸缩及制造误差等均不产生内力和支座反力。

温度变化时，结构有变形而无内力。 +20º -10º +15º -15º 支座移动时，只产生刚体位移（见图a)。 A B C ∆ B a) b) 制造误差，装配后与原设计形状不同（见图b)。

二、静定结构的局部平衡特性 当平衡力系作用在结构上的一个几何不变部分时，只有该几何不变部分受力，其余部分不受力。 FP FPa a B A

FP FP/2 阴影部分几何不变

三、静定结构的荷载等效特性 具有相同合力的各种荷载称为静力等效荷载。 当静定结构的一个几何不变部分上的荷载进行静力等效变换时，只有该几何不变部分的内力发生变化，结构其余部分内力不变。 所谓静力等效变换，就是用有相同合力的另一种荷载替换原来荷载的变换。

S1 C D 内力状态 FP1 S2 2FP1 S1－S2 A a) b) c) 、 均表示CD部分以外杆段的内力状态。由图c)可知，因为CD部分作用一平衡力系，根据静定结构局部平衡特性，CD杆段以外部分内力等于零，即 ， 所以 。于是就证明了静定结构的荷载等效特性。

四、静定结构的构造变换特性 当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，结构其余部分内力不变。 此外需要指出，静定结构的内力和支座反力仅仅与结构类型及荷载有关，而与杆件的材料性质及刚度无关。而结构的变形则还与杆件的材料性质及刚度有关。 http://v.ifeng.com/gongkaike/zirankexue/201104/5bd8bdec-d3d3-4473-ab44-e94ce668d647.shtml