第九章 觀測量的權 9.1 序言 9.2 加權平均值 9.3 權與標準誤差之間關係 9.4 加權觀測量之統計 9.5 量測角度的權 9.6 直接水準測量的權 9.7 實例 問題

9.1序言 蒐集測量資料時，常須確認是否符合一些幾何閉合條件，若不能符合，則必須改正量測值，使之強制閉合。對一些非相關之觀測量，變方較小即較好的觀測，也意謂精度較高的量測值，在平差時，應給予較小的改正量；反之，較大變方的觀測意謂誤差較大，精度較差，應給予較多之改正。 觀測量的權也是一種量測，量測與其他觀測量之相對價值；在平差時，權用來控制觀測量改正值的大小，觀測越精密，權越高，換言之，變方愈小，權越重；據此分析，權與變方成反比，因此，改正值之大小與權成反比。

若量測為互相相關，則權與協變方矩陣，即的反矩陣相關，如第五章所論，協變方矩陣之元素即變方與協變方。而因權為相對的，變方與協變方通常由餘因子所取代，與其協變方有關之餘因子公式為： 上式中，qij為第ij個觀測值之餘因子，ij為第ij個觀測值之協變方，o2為參考變方，可用來定比例。(9.1)式以矩陣方式表示： 上式中，Q為餘因子矩陣， 矩陣如下所示：

如前所論，權矩陣W為： W=Q-1=o2-1 (9.3) 對不相關之觀測量，協變方均為0(此即所有xiyi=0)，矩陣為對角矩陣，因此，Q矩陣亦為對角矩陣，其元素則為： xi2/o2，而對角矩陣之反矩陣亦為對角矩陣，其元素則為原對角矩陣對應元素之倒數，因此(9.3)式以矩陣式表示為： 由上式，任一變方為i2之獨立觀測量，其權為： wi=o2/i2 (9.5)

假設第i個觀測之權wi=1，則o2=i2；因此，o2常稱為單位權觀測之變方，或簡稱為單位權變方，或更簡稱為：單位變方。其平方根即為單位權標準偏差，若將(9.5)式中之o2設為1，則 wi=1/i2 (9.6) 如前所述，由(9.6)式可見：觀測量之權與其變方成反比。 對相關之觀測量，有可能存在協變方矩陣和其餘因子矩陣Q，但權矩陣W卻不存在，這種情況通常在餘因子矩陣為奇異(singular)矩陣時，因其反矩陣不存在，故權矩陣W=Q-1亦不存在。大部分測量作業所牽涉的都是非相關之觀測，因此後續所述，除非特別說明，僅考慮單位權變方之非相關案例。

9.2 加權平均 若觀測一量兩次，第一次的成果是第二次的兩倍好，兩者相對的價值應給予第一次觀測的權為2，而給第二次觀測的權則為1；若平差這兩次觀測，計算其平均值時，權為2之觀測應加兩次，權為1之觀測則僅加一次；舉例來說，一段距離以尺量測得151.9m，以EDM量測則得152.5m，假設根據經驗得知，電子測距成果是量尺測距的兩倍好，因此，量尺測距的權為1，電子測距的權為2，這些觀測的平均計算方式應如下： 或將之寫成： 上述第二式係將權直接寫出，結果和第一式並無不同。

以上結果亦可見平均值較接近權較大之觀測值(152.5比151.9更接近152.3) ；由加權的觀測計算所得平均值稱為加權平均。 為推導加權平均之一般式，若對一量z有m個獨立、不相關之觀測(z1, z2, …, zm)，每個觀測都有標準偏差，則觀測之平均值為： 若m個觀測量分為兩組，一組有ma個量，另一組有mb個量，而ma+mb=m，此兩組之平均值分別為：

所有觀測(z1, z2, …, zm)之平均值可合併上述兩組平均得： 但由(9.8)與(9.9)兩式，得： 因此： 上式與前述加權平均之公式很類似，比較兩者，明顯的， ma與mb分別對應權wa與wb，因此，式(9.12)可改寫成：

(9.13)式可用來計算一群不等權、非相關觀測量之加權平均；第十章將證明加權平均為一組加權觀測之最或是值。 例9.1 假設一段距離d量測三次，得下列結果：92.61, 權為3、92.60, 權為2、92.62, 權為1；試計算其權平均。 解：利用(9.13)式： 若忽略權，則三個量測之簡單平均為：92.61。

9.3 權與標準誤差之間關係 引用變方傳播特別定律(special law of propagation of variances, (5.16)式)至(9.8)式，(9.8)式之變方 為： 與觀測量有關之偏導數代入上式後，得：

類似上述過程，求得 之變方為： (9.15)與(9.16)二式中，為常數，由(9.13)式， 與 之權分別為ma與mb，而因權為相對的，故由(9.15)與(9.16)二式，可得： 由上可得結論：對非相關之觀測量，權與量測之變方成反比。

9.4 加權觀測量之統計 9.4.1 標準偏差 根據定義，在觀測量的精密度等於w個單位權觀測量之平均的精密度時，這個觀測的權為w；設o為某個權為1或單位權之觀測的標準誤差，若y1, y2, …, yn等觀測量之標準誤差為1, 2, …, n，而其權分別為w1, w2, …, wn，則根據(9.5)式： 2.7節曾將等權觀測量之標準誤差定義為： 若觀測量不等權，則上式應改為：

9.4.2 權為w之標準誤差，加權平均之標準誤差 (9.19)式適用於標準誤差，類似(2.7)式，標準偏差之定義則為： 由(9.18)式可見標準誤差與權為w標準誤差之間關係，將之與(9.19)式合併，並將加總界限去掉後，可得與o有關之權為w之標準誤差公式如下：

類似(9.20)式，適用於標準偏差者改為： 若將上式中之w設定為1，可得加權觀測集合之單位權標準偏差So。此外，加權平均之參考標準誤差及標準偏差分別為：

9.5 量測角度的權 若利用相同儀器、在相同條件下，量測平面三角形的三個角1, 2, 3各n1, n2, n3次，這些角度相對的權為若干？ 為分析權與角度觀測次數之間關係，設S為角度單一觀測之標準偏差，三個角度之平均值如下： 引用(5.16)式，得各平均值之變方為：

又因觀測的權與變方成反比且為相對性者，故三個角度之權分別為： 上列各式中，每個權中之S為常數，又因觀測的權為相對者，故S可略去，而各角之權可改為： 總而言之，可證得：對角度觀測而言，若除了觀測次數以外，其他條件都相同時，角度的權與其觀測次數成正比。

9.6 直接水準測量的權 若有水準網如圖9.1所示，水準線(1), (2), (3)之線長分別為2, 3, 4公里，因為線長之不同，可預期各段高程差之誤差應有所不同，設定各段高程差的權亦應有所變化；各段之相對權到底應如何？分析水準線長與權之關係時，回顧(8.21)式，高程差h之估計變方為： 式中，D為各次照準之視線長，N為該段線儀器擺設之次數，r/D為讀尺之估計誤差，為每 次照準時之視準估計誤差，設li為水準 點間第i段線長，則 N= li/2D (b) 將(b)式代入(a)式得：

(c)式中，D, r/D, 都是常數，故可設 故對此例而言，三條水準線之權分別為： 又因k為常數，權為相對者，故(e)式可簡化為： 由上可證得：直接水準測量的權與其線長成反比。而因任一段線長與其擺設儀器次數成正比，故權與儀器擺設次數成反比。

9.7 實例 例9.2 若三角形ABC之三個角由同一個人，利用相同儀器觀測，觀測所得與重複觀測次數為：A=45º15´25", n=4, B=83º37´22", n=8, C=51º07´39", n=6；試平差改正這些角度。 解：如表9.1所示，根據觀測次數來給定權，改正數則與權成反比；三個角度量測值的和為180º00´26 “，故閉合差為26”；在第三欄之改正因子裡，為計算方便且避開分數，採用24之倍數，而因權為相對者，故此並不影響改正。最後一列各項總和可用來重複檢核。

例9. 3 類似圖9. 1之水準網，水準線(1), (2), (3)之線長分別為2, 3, 4公里，若三段線之觀測高差分別為：±21 例9.3 類似圖9.1之水準網，水準線(1), (2), (3)之線長分別為2, 3, 4公里，若三段線之觀測高差分別為：±21.20m, ±21.23m, ±21.29m，求各段高差之加權平均，與水準點BMX之高程(每一段均自BMA測至BMX)。 解：水準線(1), (2), (3)之權分別為1/2, 1/3, 1/4，又因權為相對者，上列權可乘上任意數12而得：6, 4, 3，再應用(9.13)式，高差之加權平均為： 故BMX之高程=100.000+21.230=121.230m； 若不考慮加權平均，僅求簡單平均， 則平均高差變為21.240m。

例9. 4 利用布卷尺量得一段距離為190. 741m，權設為1；又用鋼卷尺量得為190. 716m，權設為2；再用EDM量得為190 例9.4 利用布卷尺量得一段距離為190.741m，權設為1；又用鋼卷尺量得為190.716m，權設為2；再用EDM量得為190.710m，權設為4。試求線長之最或是值(即加權平均)與加權平均值之標準偏差。 解：根據(9.13)式，加權平均為： 而根據(9.24)式，加權平均之標準偏差為： 上式中， v1=190.716190.741=0.025 w1v12=1(0.025)2=0.000625 v2=190.716190.716= 0.000 w2v22=2( 0.000)2=0.000000 v3=190.716190.710=+0.006 w3v32=4(+0.006)2=0.000144 wv2=0.000769

例9. 5 若自水準點A測至B，共四條不同之路線，資料如表9 例9.5 若自水準點A測至B，共四條不同之路線，資料如表9.2所示，為計算方便，權計算成18/li，試求高差之最或是值(加權平均)、加權平均之標準偏差、與加權觀測之標準偏差。 解：應用(9.13)式，高差之加權平均為： 若僅求簡單平均，則平均高差變為7.730m。

求標準偏差，應用(9.20)式： 應用(9.24)式，求加權平均之標準偏差： 應用(9.22)式，各加權觀測之標準偏差為：

問題 第9.1、9.2、9.4、9.8、9.9題，各題中單位更改為公制。檔名：Adjlab9_姓名.doc，請標明原題號。