從國中數學科會考 非選題談起 左太政/國立高雄師範大學數學系

第一部份：緒言 從國中教育會考談起

評量的基本理念 教學的基本歷程 教學目標 學前評估 教學活動 評 量 評 量 Kibler, R. J., Cegala, D. J., Barker, L. L., & Miles, D. T. (1974). Objectives for  instruction and  evaluation. NY: Allyn and Bacon.

國中教育會考的使命 協助十二年國民基本教育順利達成。 協助「降低壓力以活化學習」和「確保品質以維持競爭力」兩個目標之間的平衡。 依據教育部預告修正「國民小學及國民中學學生成績評量準則」（中華民國101年3月29日臺國（二）字第1010051964B號公告），主管教育行程機關為追蹤及了解國中畢業生學力品質，將辦理「國中教育會考」（以下簡稱教育會考），作為我國國中畢業生學力檢定之機制。 目前在國中階段，無法了解每一位學生經過國中三年學習後所擁有的學力狀況。無論從國家的教育責任、學生和家長了解學習進展的權利、高中職端知悉學生的知識狀態的需求，乃至緩解學生分分計較的競爭壓力等面向來看，以教育會考作為我國學力檢定的機制，將能發揮實質的功效。具體而言，國中教育會考的目的有下列五項：確保國中教育階段學生的學習品質、幫助學生和家長了解學習的成效、滿足高中職端了解學生先備知能的需求、協助十二年國教免試入學的適性輔導及緩解學生分分計較的競爭壓力。

教學 評量 評量標準 補救強化 (診斷) 教學回饋 (班級評量) 學力檢定 (會考) 課程綱要 能力指標 教學 課程/教材 評量 評量標準 補救強化 (診斷) 教學回饋 (班級評量) 學力檢定 (會考) 5

國中教育會考的目的 二、檢視學生學力，確保學習品質。 三、回饋學習成果，強化適性輔導。 四、提供學力資訊，俾利因材施教。 一、降低考試壓力，活化學生學習。 二、檢視學生學力，確保學習品質。 三、回饋學習成果，強化適性輔導。 四、提供學力資訊，俾利因材施教。

會考與國中基測的不同 藉由各科成績級分減少（分為3表現等級）來達到適度減低考試壓力的目的 藉由標準參照的作法達到學力監控與提供具體學力訊息的目的。 依據教育部預告修正「國民小學及國民中學學生成績評量準則」（中華民國101年3月29日臺國（二）字第1010051964B號公告），主管教育行程機關為追蹤及了解國中畢業生學力品質，將辦理「國中教育會考」（以下簡稱教育會考），作為我國國中畢業生學力檢定之機制。 目前在國中階段，無法了解每一位學生經過國中三年學習後所擁有的學力狀況。無論從國家的教育責任、學生和家長了解學習進展的權利、高中職端知悉學生的知識狀態的需求，乃至緩解學生分分計較的競爭壓力等面向來看，以教育會考作為我國學力檢定的機制，將能發揮實質的功效。具體而言，國中教育會考的目的有下列五項：確保國中教育階段學生的學習品質、幫助學生和家長了解學習的成效、滿足高中職端了解學生先備知能的需求、協助十二年國教免試入學的適性輔導及緩解學生分分計較的競爭壓力。 2017/3/16

以標準參照評量帶動考試和評量的變革 降低入學考試的重要性和風險性 以標準為核心，帶動學校評量和外部考試的變革 以評量變革帶動教育（教學）的改革 2017/3/16

計分方式:標準參照 標準參照（criterion-referenced）： 如果我們解釋個別學生的測驗分數是以描述他在某一個界定清楚的領域上重要工作表現有多好，或是他的表現以達到什麼樣的優良程度等術語來表示時，這種測驗分數的解釋方式便稱為「標準參照」。 這種分數解釋的方式基本上是採用「絕對比較」的觀點來看待個別學生的測驗結果。

基測:常模參照（norm-referenced） 如果我們解釋個別學生的測驗分數，是拿他的分數來和全體學生的分數作比較，則這種解釋測驗分數的方式便稱為「常模參照」。 這是一種以「相對性比較」的觀點，來看待個別學生的測驗結果。段考成績排名、心理測驗原始分數轉換成標準分數或是百分等級（percentile rank, PR）等，都是利用常模參照的方式來解釋分數。

以標準參照為基礎的班級評量 提供與九年一貫課綱相對應的評量參照依據 幫助親、師、生三方了解學生學習成效 依照學生學習情況適時給予補救教學 促進教師專業發展 評量概念與國際接軌

評量標準在班級評量有何作用？ 有效引導教師的教學，教師可具體知道哪些教學內容中的哪些知識技能層級是最被重視的，因此必須思考相對應的教學方法。 評量結果客觀具體，根據具體的表現評定成績等級，而非僅有一個分數，但不知其所對應的學習成果為何。 指引學生明確學習地圖，讓學生知道哪些表現內涵是受到鼓勵的，值得追尋的。

結果呈現 國文、英語、數學、社會及自然評量結果分為精熟、基礎及待加強3個等級；寫作測驗分為一至六級分。

成績計算 教育會考將採標準參照模式呈現學生表現，各科評量結果將分為3表現等級 「精熟」：精通熟習該科目國中階段所學習的知識與能力 「基礎」：具備該科目國中階段之基本學力 「待加強」：尚未具備該科目國中教育階段之基本學力 成績計算 教育會考將採標準參照方式呈現學生各科結果，透過測驗的標準設定，各科評量結果將分為「精熟」、「基礎」及「待加強」3個等級。整體來說，成績「精熟」表示學生精通熟習該科目國中階段所學習的知識與能力；「基礎」表示學生具備該科目國中階段之基本學力；「待加強」表示學生尚未具備該科目國中教育階段之基本學力，各科各等級描述如表3所示。民國103年數學科計分不包含非選擇題型成績，英語科計分不包含聽力測驗成績。至於寫作測驗的評分等級，請參考表4「寫作測驗評分規準一覽表」。 2017/3/16

103年數學科計分不包含非選擇題型成績，104年開始計分。

測驗難度 會考主要是要將學生能力與事先訂定的成績等級標準作比較，以瞭解學生學習程度 為提升測驗信度及適當地將學生分為「精熟」、「基礎」及「待加強」3等級，各科測驗難度規劃為「難易適中」，各科平均通過率為五成至六成 。 為提升測驗信度，各科測驗難度為「難易適中」，各科平均通過率為五成至六成。 國中基測採「中等偏易」而國中教育會考改採「難易適中」，這樣的難度變動主要是由於測驗目的改變。基測是將所有學生表現作排序，以便了解學生在全體的相對位置，而會考主要是要將學生能力與公訂的學習成就標準作比較，將學生能力精確地分類為「精熟」、「基礎」及「待加強」。緣此之故，測驗難度須改變為難易適中，以降低學生分類誤差。 2017/3/16

等級人數推估 目前初步模擬結果 等級 各科 推估人數比例 精熟 10～20％ 基礎 45～60％ 待加強 20～35％ 各科各等級推估人數比例 教育會考學生成績（表現等級）的劃分是將學生的表現與事先制訂的標準作比較後進行歸類。為評估會考結果，以過去基測考生之能力值模擬各科在難易適中組題計畫下之答題狀況，再依據學科專業判斷各等級切點之合理性及適當性。模擬結果顯示各科「基礎」等級的學生平均答對題數比例至少約佔整份測驗的30%-45%，「精熟」等級的學生答對題數比例約為78%-82%。以國文科為例，總題數為48題，模擬結果顯示考生答對19題就能達到「基礎」等級，答對題數比例約為40%；答對38題，則可達到「精熟」等級，答對題數比例約為80%。 依照目前初步模擬結果，各科精熟的人數比例為10%-20%、基礎的人數比例為45%-60%，而待加強的人數比例為20%-35%。由於目前僅能依照模擬結果進行評估，考量實際標準設定程序與模擬的差異，以及未來學生能力可能變化等因素，103年實際執行時各比例可能變動。 2017/3/16

為什麼國中教育會考是「難易適中」，不是「中等偏易」？ 基測是將所有學生表現作排序，以便瞭解學生在全體的相對位置，而會考主要是要將學生能力與共同、固定的標準作比較，將學生能力精確地分類為「精熟」、「基礎」及「待加強」。 由於教育會考與國中基測的測驗目的與成績使用皆不相同，緣此之故，會考測驗難度須改變為難易適中，以降低學生分類的誤差。 分數應用 教育會考可作為學力檢定的機制，提供教育部及各縣市教育局（處）制訂政策、分配教育資源的參考，並讓親、師、生明白學習狀況並進行教學調整。在實施12年國教初期，為順利過渡到完全不使用在校成績的目標，各直轄市、縣（市）經教育審議委員會通過後，可適度採用教育會考的結果，作為免試入學辦理初期超額比序項目之一，再配合其他表現，搭配充分的生涯輔導措施，讓學生擁有適性選校的主動性，學校擁有適性選才的空間。 2017/3/16

「難易適中」或「中等偏易」會不會 影響學生的表現？ 國中教育會考是依據標準參照的模式計算學生成績，若考生實際能力為「基礎」等級，不論測驗難度為「中等偏易」或「難易適中」，測驗結果應該是相同。 分數應用 教育會考可作為學力檢定的機制，提供教育部及各縣市教育局（處）制訂政策、分配教育資源的參考，並讓親、師、生明白學習狀況並進行教學調整。在實施12年國教初期，為順利過渡到完全不使用在校成績的目標，各直轄市、縣（市）經教育審議委員會通過後，可適度採用教育會考的結果，作為免試入學辦理初期超額比序項目之一，再配合其他表現，搭配充分的生涯輔導措施，讓學生擁有適性選校的主動性，學校擁有適性選才的空間。 2017/3/16

國中教育會考各科組題原則為「難易適中， 是否會增加學生壓力？ 無論是「中等偏易」或「難易適中」，各科題本難度範圍是相同的，教育會考各科最難試題不會比過去基測難。 成績僅粗略分為「精熟」、「基礎」、「待加強」3個等級，已經舒緩學生分分計較的競爭壓力。 分數應用 教育會考可作為學力檢定的機制，提供教育部及各縣市教育局（處）制訂政策、分配教育資源的參考，並讓親、師、生明白學習狀況並進行教學調整。在實施12年國教初期，為順利過渡到完全不使用在校成績的目標，各直轄市、縣（市）經教育審議委員會通過後，可適度採用教育會考的結果，作為免試入學辦理初期超額比序項目之一，再配合其他表現，搭配充分的生涯輔導措施，讓學生擁有適性選校的主動性，學校擁有適性選才的空間。 2017/3/16

題型參考 歷屆基測考題 國中各科教材 選擇題25～30題(今年27題)； 非選擇題2～3題(今年2題)；

學生解題活動 是否有解題策略及解題歷程 的訓練？

解題策略的訓練 數學解題 專題研究及科展 參與數學競賽 數學檢定測驗如國中會考(103年實施)、TASA等

第二部分：國中教育會考數學科非選擇題評分規準及樣卷說明

策略、過程與表達 數學科非選擇題主要評量學生解題過程中，擬定「策略」的適切性與過程「表達」的合理、完整性。 其中「策略」是指學生察覺題目條件要素，將題目轉化成數學問題並擬定解題方法； 「表達」是指解題過程的呈現或步驟間合理性的說明。

評分規準(Rubric) 評分規準 3 策略適切，且表達合理、完整。 2 策略適切，表達雖合理，大致完整，但出現計算錯誤。 分數 評分規準 3 策略適切，且表達合理、完整。 2 策略適切，表達雖合理，大致完整，但出現計算錯誤。 策略適切，表達合理，大致完整，但沒有顯示部分步驟間的合理性。 1 策略適切，表達大致合理，但出現錯誤的引用。 策略方向正確，但缺乏嚴謹性，不足以解決題目問題。 策略方向正確，但未能完全將題目轉化成數學問題。 策略模糊不清；解題過程空白或與題目無關。

如何依據評分規準來制訂評分指引？

核心委員成員 大學教授(含測驗專家及學科專家) 高中、職資深教師 心測中心研究員

核心委員共同制訂評分指引 瀏覽樣卷 初步制訂學生解題可能策略方向及不同策略方向之評分指引 試改 冗長討論修改評分指引 挑選樣卷 閱卷訓練說明

102年試辦國中教育會考數學科非選擇題評分指引及樣卷說明 考試時間：102年4月(末代基測前) 施測對象:北北基及彰化縣市計7萬多名國三生

一、第1題試題內容、 評分指引、樣卷說明

＜試題內容＞ 罐頭工廠生產了400個罐頭並排成一列，由左至右分別標記號碼1~ 400。檢驗員從中抽出罐頭檢驗，首先抽出5號罐頭，之後向右走，並以某固定的間隔陸續抽出罐頭。若此檢驗員抽出15個罐頭後，無法再依此方式抽出第16個，則最後一個被抽出的罐頭號碼為何？請寫出所有可能的答案與計算過程。

＜評分指引＞依據評分規準，此題評分指引如下：

3 使用臆測可能間隔代入檢驗的策略找到所有可能的罐頭號碼(383與397)，並以計算或說明的方式呈現其它罐頭號碼(或間隔)不可能的原因。 使用「解等差數列第n項不等式」的策略求出公差的上界(28)，並以計算或說明的方式呈現公差的下界(27)，或是先求出公差的下界，並以計算或說明的方式呈現公差的上界，找出所有可能的罐頭號碼(383與397)。

2 使用臆測可能間隔代入檢驗的策略，並以計算或說明的方式呈現其它罐頭號碼(或間隔)不可能的原因，但未求出罐頭號碼數或過程中出現計算錯誤。 使用臆測可能間隔代入檢驗的策略，且正確找出間隔(27與28)或所有可能的罐頭號碼，但未以計算或說明的方式呈現其它罐頭號碼(或間隔)不可能的原因。 使用「解等差數列第n項不等式」的策略求出公差的上界，並以計算或說明的方式呈現公差的下界，或是先求出公差的下界，並以計算或說明的方式呈現公差的上界，但未求出罐頭號碼數或過程中出現計算錯誤。 使用「解等差數列第n項不等式」的策略，且正確找出公差(27與28)或所有可能的罐頭號碼，但未以計算或說明的方式呈現公差的下界(或上界)。

1 使用臆測可能間隔代入檢驗的策略方向求解，即臆測可能的間隔代入檢驗是否 且 ，但間隔(公差)、首項、項數數值選擇錯誤或忽略未考慮。 使用臆測可能間隔代入檢驗的策略方向求解，即臆測可能的間隔代入檢驗是否 且 ，但間隔(公差)、首項、項數數值選擇錯誤或忽略未考慮。 使用臆測可能間隔代入檢驗的策略方向求解，即臆測可能的間隔代入檢驗是否 且 ，但間隔只考慮上界或下界之一。 使用「解等差數列第n項不等式」的策略的方向求解，即列出恰當的等差數列公式及不等式的關係式，但公差的上界或下界、首項、項數數值選擇錯誤或忽略未考慮或公式引用錯誤。 使用「解等差數列第n項不等式」的策略的方向求解，即列出恰當的等差數列公式及不等式的關係式(含只求出公差的上界或下界之一)。

將題目的數值作一些計算，但策略錯誤或模糊。 只寫出與解題過程無關的內容。 沒有計算過程只寫出答案。 9.空白卷。

＜樣卷說明＞ 如何依據學生作答反映給分

3分樣卷一： 說明： 臆測可能間隔代入檢驗，找出所有可能的罐頭號碼383、397；並以計算方式呈現間隔不可能為26與29的原因。

3分樣卷二 說明：利用等差數列公式及不等式求出公差的上界為28，且以計算方式說明公差的下界為27，並找出所有可能的罐頭號碼為383、397。

2分樣卷一： 說明：利用等差數列公式及不等式求出公差的上下界，但求罐頭號碼時出現漏加5之計算錯誤。

2分樣卷二 說明：臆測可能間隔代入檢驗，且正確找出所有可能的罐頭號碼為383、397。但未說明間隔不可能為26的原因，表達不夠完整。

1分樣卷一 說明：能臆測可能間隔代入檢驗第15個罐頭號碼是否小於400（且該號碼與400的間距小於抽選間隔，即第16個罐頭號碼大於400）；但間隔只考慮上界28。

1分樣卷二 說明：能列出恰當的等差數列公式及不等式的關係式，但只求出公差之上界。

0分樣卷一 說明：直接以5為公差代入求出第15個罐頭可能的號碼，策略錯誤。

0分樣卷二 說明：使用等差級數公式，列出不恰當的關係式，策略錯誤。  

二、第2題試題內容、評分指引、樣卷說明

＜試題內容＞ 如圖(十三)，△ABC中，M為 中點，D、E 兩點分別在 、 上，且 ， 與 相交於F點。請說明為何△CDE面積為 兩點分別在 、 上，且 ， 與 相交於F點。請說明為何△CDE面積為 △ABC面積的一半。

＜評分指引＞依據評分規準，此題評分指引如下： 3 以面積替換的策略正確推論出結論，推論中需包含所有重要步驟與理由。 以線段比例的策略正確推論出結論，推論中需包含所有重要步驟與理由。

△AFD=△EFM，但缺少理由，視為缺少 此重要步驟 之理由。） 2.以線段比例的策略正確推論出結論， 明的理由。 1.以面積替換的策略正確推論出結論， 推論中僅缺少某一個重要步驟或需說 明的理由。（例如：呈現 △AFD=△EFM，但缺少理由，視為缺少 此重要步驟 之理由。） 2.以線段比例的策略正確推論出結論， 明的理由。 3.以恰當策略推論出結論，包含所有重 要步驟(含理由)，但缺乏部分步驟間的 合理性。

以面積替換策略推論，不只缺少 一個重要步驟或需說明的理由， 但有提到某一個重要步驟。 2.嘗試使用面積替換策略，但錯誤 引用性質或定理。 1 以面積替換策略推論，不只缺少 一個重要步驟或需說明的理由， 但有提到某一個重要步驟。 2.嘗試使用面積替換策略，但錯誤 引用性質或定理。 3.以線段比例策略推論，不只缺少 4.嘗試使用線段比例策略，但錯誤

將題目所提數學物件作一些計算或列一些關係式，但策略錯誤或模糊。 只寫出與解題過程無關的內容。 沒有計算或推理過程只寫出答案。 9.空白。

＜樣卷說明＞ 如何依據學生作答反映給分

3分樣卷一 說明：以面積替換的策略推論，過程中包含所有重要步驟且合理完整。

3分樣卷二 說明：以線段比例的策略推論，過程中包含所有重要步驟且合理完整。

2分樣卷一 說明：以面積替換的策略推論出結論，但推論中缺少△CDE面積等於△AMC或 △ABC面積的推導步驟。

2分樣卷二 說明：以面積替換的策略推論出結論，但未說明△FEM面積等於△ADF面積的理由。

1分樣卷一 說明：僅提到面積替換策略中的一個重要步驟(同底等高，△ABM面積等於△AMC面積)；但△ADF面積等於△FME面積沒有說明理由。

1分樣卷二 說明：有嘗試使用面積替換，但錯誤引用全等性質。

0分樣卷一 說明：策略模糊，未含任何重要步驟。

0分樣卷二 說明：策略模糊，未含任何重要步驟。

103年國中教育會考數學科非選擇題評分指引及樣卷說明 施測對象：全國應屆畢業國中生約27萬多名學生

一、第1題試題內容、評分指引、樣卷說明

＜試題內容＞ 已知甲校有 人，其中男生占60% ；乙校有 人，其中男生占55%。今將甲、乙兩校合併後，小 清認為：「因為 ，所以合併後的 已知甲校有 人，其中男生占60% ；乙校有 人，其中男生占55%。今將甲、乙兩校合併後，小 清認為：「因為 ，所以合併後的 男生占總人數的55%。」如果是你，你會怎麼列式求出合併後男生在總人數中占的百分比？你認為小清的答案在任何情況都對嗎？請指出你認為小清的答案會對的情況。請依據你的列式 檢驗你指出的情況下小清的答案會對的理由。

使用 、 正確列出合併後男生占總人數比例的式子，寫出當 時小清的答案會對，並以 代入所列式子或其他正確關係式進行正確的檢驗。 3 使用 、 正確列出合併後男生占總人數比例的式子，寫出當 時小清的答案會對，並以 代入所列式子或其他正確關係式進行正確的檢驗。 使用 、 正確列出合併後男生占總人數比例的式子，以此式子等於 之等式推導出 時小清的答案會對。

2 使用 、 正確列出合併後男生占總人數比例的式子，並(1)寫出當 時小清的答案會對，但未能正確完成檢驗的步驟；或(2)進行正確的檢驗，但得出小清的答案在任何情況下都會對的結論。 使用 、 正確列出合併後男生占總人數比例的式子，以此式等於55%之等式進行推論，但推論的過程中出現計算錯誤或缺乏部分步驟間的合理性。 未明確列出題目要求的式子，但以其他正確的關係式(如 )推導出 時小清的答案會對。

1 使用 、 正確列出合併後男生占總人數比例的式子，但未指出何時小清的答案會對，且未進行檢驗。 未明確列出題目要求的式子，且未正確完成檢驗的步驟，但(1)以反例說明小清的答案不一定正確；或(2)寫出當 時小清的答案會對。 在未明確列出題目要求的式子下，以兩校人數相同的假設進行檢驗，得出小清的答案在此時會對的結果，但擴大解釋此結果為小清的答案在任何情況下都會對。

只有答案或與題目無關。 策略模糊不清或錯誤。

＜樣卷說明＞ 如何依據學生作答反映給分

3分樣卷一 說明：使用 、 正確列出合併後男生占總人數比例的式子，寫出當 時小清的答案會對，並以 代入所列式子進行正確的檢驗。

3分樣卷二 說明：使用 、 正確列出合併後男生占總人數比例的式子，以此式子等於55% 之等式推導出 時小清的答案會對。  

2分樣卷一 說明：使用 、 正確列出合併後男生占總人數比例的式子，並寫出當兩校人數相同時小清的答案會對，但未能完成題目要求的檢驗。

2分樣卷二 說明：未明確列出題目要求的式子，但以正確的關係式 推導出 時小清的答案正確。

1分樣卷一 說明：使用 、 正確列出合併後男生占總人數比例的式子，但未指出何時小清的答案會正確，且未進行檢驗。  

1分樣卷二 說明：未明確列出題目要求的式子，且未能完成題目要求的檢驗，但以反例說明小清的答案不一定正確。  

0分樣卷一 說明：列式錯誤，策略模糊不清。

0分樣卷二 說明：將兩校男生占該校人數的百分比平均，策略錯誤。  

二、第2題試題內容、評分指引、樣卷說明

＜樣卷說明＞ 如何依據學生作答反映給分

<試題內容> 如圖(十四)，四邊形 中， 點 在 上，其中 ，且 。 請完整說明為何 與 全等的理由。  

＜評分指引＞依據評分規準，此題評分指引如下： 3 明確寫出全等性質所需之三個條件(相等之對應角與對應邊)，並對這些條件提出適當的理由(已知條件的理由可省略)。 2 未寫出全等性質所需之全部條件及其適當理由，但正確應用全等性質，並針對證明全等所需之部分條件提出適當的理由。

正確寫出全等性質所需之三個條件，但未對任何條件提出適當的理由。 寫出全等性質所需部分條件的適當理由，但未正確應用全等性質說明。 1 正確寫出全等性質所需之三個條件，但未對任何條件提出適當的理由。 寫出全等性質所需部分條件的適當理由，但未正確應用全等性質說明。 只有答案或與題目無關。 策略模糊不清或錯誤。

＜樣卷說明＞ 如何依據學生作答反映給分

3分樣卷一 說明：明確寫出全等性質所需之三個條件及其適當的理由。

3分樣卷二 說明：明確寫出全等性質所需之三個條件及其適當的理由。

2分樣卷一 說明：明確寫出全等性質所需之三個條件，但針對 未提供完整的推論過程。

2分樣卷二 說明：未完全寫出全等性質所需之三個條件及其適當的理由(省略已知條件 )，但除已知條件外，包含證明全等所需之其他所有條件，並針對這些條件提出適當的理由。

1分樣卷一 說明：寫出全等性質所需之三個條件，但未對任何條件提出適當的理由。

1分樣卷二 說明：寫出全等性質所需部分條件的適當理由，但未正確應用全等性質說明。

0分樣卷一 說明：只寫出二個全等性質所需條件，且未對任何條件提出適當的理由，策略模糊。

0分樣卷二 說明：使用非全等性質(SSA)，策略錯誤。