分享人:王玉珍 鹽埕國小教務主任 文藻外語大學兼任講師 迷思概念、教材地位 分享人:王玉珍 鹽埕國小教務主任 文藻外語大學兼任講師 1

大綱 第一節：迷思概念 第二節：教材地位 第三節：常見迷思分享 迷思概念的成因 迷思對學生的影響 數學概念的迷思 數學教學中老師扮演的角色 數、形的發展概念 單元教材地位說明 第三節：常見迷思分享 學習診斷教學及補救教學案例 解決學生學習困難策略

前言 隆.賈曼（Ron Jarman）：每位老師的教學目標，應該是讓孩子對所學產生一種充滿信心的能力。 學生數學學習概念迷思，需對症下藥，提出適當的解決策略，教學才有效。 「帶好每一位學生」，保障學生求知過程中不會受傷。

第一節：迷思概念 迷思概念的成因、 迷思對學生的影響、 數學概念的迷思

迷思概念的成因 來自日常的經驗和生活中的觀察。 由類比錯誤所產生的混淆。 隱喻的使用。 同儕文化的影響。 來自一些固有的觀念。 Head（1986）

迷思概念的成因 過分強調講述法。 相混淆的概念。 學科背景知識不夠。 受學生的個人因素或特質的影響 。 教科書的誤導。 (Driver，1985；Stepans，1996；洪瑞英，1998）

迷思對學生的影響 學生進行某單元學習前，若其個人的想法或先存知識（prior knowledge）可能不同於老師與學者的專家概念，在承接知識的吸收時，容易造成學習不利的情況。

數學概念的迷思 傳統的數學教育強調程序性技能的獲得，忽略了陳述性知識的培養，以致於學生缺乏思考、判斷的能力。 學習評量的壓力及學科背景知識不足的條件下，學生易著眼於技能工具的熟練，並嘗試在其中領悟數學知識的細節，但並非每個孩子都能尋求到連貫、完整的知識體系。

- = = (公升) 教學實例 □分數的加法： 公升的水，喝掉 公升的水，剩下幾公升的水? 3 ─ 7 4 4 - 3 1 解題要訣： 公升的水，喝掉 公升的水，剩下幾公升的水? 4 ─ 7 3 ─ 7 3 ─ 7 4 - = = (公升) 4 - 3 1 分子減分子 分母不變 解題要訣： 分數同分母加減，分母不變，分子依題目加減。

╳ = = 教學實例 □分數的乘法： 小華拿著 公升的水，這些水的 是幾公升? 12 ─ 35 3 5 4 7 4╳3 7╳5 解題要訣： 小華拿著 公升的水，這些水的 是幾公升? ╳ = = 12 ─ 35 3 5 4 7 4╳3 7╳5 分子乘以分子 分母乘以分母 解題要訣： 分數乘法，分子乘以分子、分母乘以分母。

孩子們也沒讓我們失望 「老師最近教什麼，考試時我就用那種方法」…… 分數加減沒問題！學完分數乘法之後…… 我又學會分數除法了！ 2 ─ 8 3 5 16 ＋ ＝ 4 1 - ＝ 10 7 我又學會分數除法了！ 耶！分數除法就是倒過來乘嘛！ 老師說那叫「倒數」， 但是，是倒前面還是倒後面呢?? 不管了，通通上下顛倒吧! 2 ─ 8 3 6 ╳ ＝ 4 ╳ ＝ 10 12

數學教學 思考的過程要比答案的獲得更重要，數學的學習強調概念的理解，而不只是機械式地練習以尋求正確的答案。＊ 教學的過程中，老師如何協助學生概念的發展，而不是熟稔計算的技能。 正確的答案並不能代表真正的理解。 適當的診斷評量，有助學生了解自己的學習狀況，也作為老師調整教學的依據。

教學實例 計算技巧的骨架有了，嘗試讓他們多點什麼…… □分數的乘法： 4 ─ 7 3 ─ 5 小華拿著 公升的水，這些水的 是幾公升? 紅色圍起來部份有12份 3 ─ 5 4 7 ╳ = = 4╳3 7╳5 12 35 公升 的 全部等分為35份

教學實例 計算技巧的骨架有了，嘗試讓他們多點什麼…… □分數的乘法： 4 ─ 7 3 ─ 5 小華拿著1 公升的水，這些水的 是幾公升? 根據圖像的訊息， 這題的答案是多少呢?

第二節：教材地位 數學教學中老師扮演的角色、 數、形的發展概念 單元教材地位說明

老師扮演的角色 培養自己隨時具備教學反思能力的教學者 有效率的學習者能夠從錯誤中反思與學習 隨時掌握學習者的狀況，能夠隨時隨地發現問題，並尋求解決的策略 老師必須為學生創造良好的學習情境，方能幫助學生學習 建立安全無威脅的教室對話情境 有效率的數學教學必須瞭解學生所要學的知識及如何學習，並且要不斷的挑戰及支持他們，他們能學習的更好

老師扮演的角色 老師在有效率的教學過程中扮演一個極為重要的角色-布題者，引導者，而非解題者(NCTM, 2000) 老師是引導學生學習，而不是為他們解題，幫助學生擁有終身受用的學習方法和策略。 重視學生的學習過程，是一種幫助學生察覺、探索、思考、了解的學習歷程。

老師扮演的角色 運用「重覆」與「回應」技巧，引導班級討論的進行 老師在引導班級進行討論時，若有必要時應協助學生清楚的表達（重覆）想法，使得每一位學生都能聽得清楚，並藉以集中學生注意的焦點 具備提問技巧 具備學科知識及課程知識（教材地位）

老師扮演的角色 老師必需具備充足的數字常識 數字常識包含了運用參考點的能力，比較數字大小的能力，發展估算、心算的能力，判斷運算結果的合理性等等。因此數字常識是多種能力的組合 數學教室的學習情況是千變萬化的，老師必須從學生的討論中隨時掌握情況，瞭解學生的迷思概念，問題癥結之所在，並在適當時機適時介入以引導學生獲得正確的數學知識 估算 乘法規律

教學實例似乎可以再多些什麼 □面積： 一個長方形，長是5公分，寬是3公分，這個長方形的面積是幾平方公分？ 5公分 3公分 1公分 1公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1公分 3公分

教學實例似乎可以再多些什麼 □面積： 一個長方形，長是5公分，寬是3公分，這個長方形的面積是幾平方公分？ 5(平方公分) × 3 1公分 5(平方公分) 1平方公分 1平方公分 1公分 1平方公分 3公分 1平方公分 5(平方公分) × 3 =15(平方公分)

教學實例似乎可以再多些什麼 □面積： 一個長方形，長是5公分，寬是3公分，這個長方形的面積是幾平方公分？ 3(平方公分) 5公分 1公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1平方公分 1公分 1平方公分 3公分 1平方公分 3(平方公分) × 5=15(平方公分)

5×3=3×5(乘法交換律) 5(平方公分) × 3 =15(平方公分) 3(平方公分) × 5 =15(平方公分) 1平方公分 1平方公分

整數發展概念 學生甲將38 視為：3 個「十」、8 個「一」 學生乙將38 視為：35 往上加3 個「一」 學生丙將38 視為：38 個「一」 學生丁將38 視為：30 加8 請問學生甲、乙、丙、丁四人數概念認知發展的先後順序為何？ (A)乙→丙→甲→丁 (B)乙→丙→丁→甲 (C)丙→乙→甲→丁 (D)丙→乙→丁→甲 ●丁和甲的差別在於30＋8→30個1＋8個1， 1 當成單位計數。 ●3個「十」、8個「一」，已經有2個單位計 數的觀念，在數學上稱做巢狀數學概念， 學生同時可以運用10和1作為單位計數。 北市老師甄試歷屆考題

分數發展概念 請問學生 甲、乙、丙、丁四人的數概念認知發展，先後順序為何？ 學生甲將「 3/5 」視為「把1個蘋果平分成5份，其中3份合起來的名稱」 學生乙將「 3/5 」視為「最簡分數」 學生丙將「 3/5 」視為「3個 1/5 合起來的名稱」 學生丁將「 3/5 」視為「3個蘋果平分給5個人，每個人分到蘋果的名稱」 請問學生 甲、乙、丙、丁四人的數概念認知發展，先後順序為何？ 丙→甲→乙→丁 丙→甲→丁→乙 (C) 甲→丙→乙→丁 (D) 甲→丙→丁→乙 北市老師甄試歷屆考題

分數發展概念 分數概念前身 起始單位分數 加法性分數 巢狀 分數 有理數概念 未具分數概念 隱約的部份與整體關係 子單位的概念 巢狀 分數 有理數概念 一半是將物件分成二個部分 未具分數概念 隱約的部份與整體關係 知道 1 3 但 1 3 ＋ 得到 2 6 子單位的概念 知道1 3 ＋ 1 得到 2 能同時運思兩種分數 但 3 4 ＋ 6 8 不同分數 從1找1 3 ， 1 找1 覺察 3 4 和 6 8 等值 等比例的共變概念 覺察 3 4 和 6 8 相同 以1 8 為共測單位

圖形發展概念 請問學生甲、乙、丙三人形概念認知發展的先後順序為何？ 學生甲說：「這是正方形」 學生乙說：「這是正方形，也可以說是長方形，因為兩雙對邊平行且等長」 學生丙說：「這個圖形四個角都是直角，四個邊等長，是正方形」 請問學生甲、乙、丙三人形概念認知發展的先後順序為何？ (A)甲→乙→丙 (B)甲→丙→乙 (C)乙→甲→丙 (D)丙→乙→甲 學生簡單分辨圖形(一年級/視覺期)→ 能從「角」和「邊」的特性分辨圖形(四年級/分析期)→知道圖形的包含關係(六年級/關係期)

形的發展概念 引自台南大學謝堅教授資料 第零層次 視覺期 透過視覺觀察具體實物，由實物的輪廓來辨識圖形。 如：學生可以學習圖形正式或非正式的名稱，但是不瞭解其定義。 第一層次 分析期 可以掌握圖形的構成要素，並利用構成要素之間的關係來分析圖形，可以開始尋找出某一個群體的共同性質。 如：學生知道正方形四邊相等，對角線互相垂直且平分，但無法理解兩者的推理過程。 第二層次 關係期(非形式演繹期) 能掌握各種圖形的構成要素，可以進一步探索圖形內在屬性關係、以及各圖形之間的包含關係。 如：學生可以透過非正式地論證，把先前發現的性質作邏輯地聯結。 第三層次 形式演繹期 能用演繹邏輯來證明定理，並且建立相關定理的網路結構。 國小學生應該無法達到此層次。 第四層次 嚴密性或公理性 學生(成人)可以在不同的公理系統中建立定理，並分析或比較這些系統的特性。 一般的人很難達到這個層次，即使是以數學為專業者也不易達成。 低年級：視覺期 中年級：分析期 高年級：分析期到關係期過渡 引自台南大學謝堅教授資料

為什麼要了解「教材地位」 專家的知識地圖 了解學習脈絡 確認先備知識 與未來學習接軌 建立適當的教學流程 多元教學策略 診斷學生疑難的方向

永齡教材地位 目的 使老師能快速連結本單元現在、過去及未來的內容。 教材地位將與評量指標相互呼應。 回數與單元 各秘技名稱 未來學習重點 與教學內容 未來學習重點 先備經驗

永齡教材地位-角與角度 A-4-8-01能理解旋轉角（包括平角和周角）的意義。 能理解旋轉角、平角及周角、順逆時針旋轉的意義 四上 年級 學習重點 四上 (第7回) A-4-8-01能理解旋轉角（包括平角和周角）的意義。 能理解旋轉角、平角及周角、順逆時針旋轉的意義 能做角度的加減計算 A-4-8-02能認識角度單位「度」，並使用量角器實測角度 或畫出指定的角度。 能認識「度」，並用量角器實測角度、畫出指定的角度 五下 (第10回) A-5-8-01能透過操作，理解三角形三內角和為180度。 能理解三角形三內角和為180度，並解決相關問題 A-5-8-02能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。 能理解三角形任意兩邊和大於第三邊，並解決相關問題 A-5-8-03能認識圓心角，並認識扇形。

永齡教材地位-重量 A-2-6-01能認識重量。 二下 能進行重量的直接、間接比較，及個別單位比較， 並描述實測的結果及加減計算 年級 學習重點 二下 (第4回) A-2-6-01能認識重量。 能進行重量的直接、間接比較，及個別單位比較， 並描述實測的結果及加減計算 三下 (第6回) A-3-6-01能認識重量單位「公斤」、「公克」及其 關係，並做相關的實測與計算。 能進行「公斤」、「公克」間的化聚關係(只處裡大 單位化小單位)、實測及估算、加、減、乘法計算 能進行公斤及公克複名數的加、減計算、乘法計算 五下 (第10回) A-5-6-01能認識重量單位「公噸」、「公噸」及 「公斤」其關係，並做相關的實測與計算。 能進行「公噸」與「公斤」單位間的分、小數倍化 聚關係 能進行含公噸單位複名數的加減、乘法計算

永齡教材地位-周長與面積 A-3-7-01能認識平面圖形的內、外部與其周界。 A-3-7-02能認識周長，並實測周長。 年級 學習重點 三下 (第6回) A-3-7-01能認識平面圖形的內、外部與其周界。 A-3-7-02能認識周長，並實測周長。 A-3-7-03能認識面積單位「平方公分」，並做相關的實測與計算。 能認識「平方公分」，以「平方公分」為單位進行實測及估測 能用乘法算出平方公分板上長方形的面積 能在方格紙上畫出給定面積的長方形 知道直角三角形及長(正)方形面積的合成及分割關係 A-3-7-04能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。 知道直角三角形及長（正）方形面積的合成及分割關係

永齡教材地位-周長與面積 A-4-7-01能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。 能理解長方形及正方形的面積公式、周長公式 年級 學習重點 四下 (第8回) A-4-7-01能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。 能理解長方形及正方形的面積公式、周長公式 能解決長方形和正方形組成簡單複合圖形的面積及周長問題 A-4-7-02能認識面積單位「平方公尺」，及「平方公分」、「平方公尺」間的關係，並做相關計算。 能認識「平方公尺」 能理解「平方公分」及「平方公尺」間的化聚關係（大單位化為小單位）及進行複名數的加、減計算

永齡教材地位-周長與面積 年級 學習重點 五上 (第9回) A-5-7-01能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。 能理解三角形、平行四邊形、梯形的面積公式，並處理簡單複合圖形的面積問題 能畫出三角形、平行四邊形、梯形的高 A-5-7-02能認識面積單位「公畝」、「公頃」、「平方公里」及其關係，並做相關計算。 能認識「公畝」、「公頃」及「平方公里」 能理解「平方公尺」、「公畝」、「公頃」及「平方公里」單位間的分、小數倍化聚關係，及進行複名數的加減、乘法計算 六下 (第12回) A-6-7-01能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形的面積。 能理解圓周率的意義 能理解圓面積、圓周長的公式，並計算簡單扇形的面積與周長 能理解與圓有關複合圖形的面積與周長

學習金字塔 平均保存率 課堂 講授 5％ 閱讀 10％ 視聽器材 20％ 示範 30％ 小組討論 50％ 實習 75％ 教導他人/即時應用所學知識 5％ 10％ 20％ 30％ 50％ 75％ 90％ 平均保存率

第三節：常見迷思分享 學習診斷教學及補救教學案例、 解決學生學習困難策略

常見迷思分享 時間 體積 角與角度 整數 概數 分數 等號的意義 直式運算

時間 □迷思：12小時制與24小時制的計算問題 5 時 30 分 + 7 20 12 50 例題：瑞修去校外教學，早上7時20分出發，下午5時30分到家，一共經過多少時間？ 學生作答： 5 時 30 分 + 7 20 12 50

策略指導經驗分享 策略1：換算成24小時制來計算 時 分 17 30 7 20 10 10 上午 下午 正午 7 : 20 17：30 40

策略指導經驗分享 5 30 時 分 10 10 4 40 7 20 12 時 分 4 40 5時30分 上午 下午 正午 7 : 20 策略2：以12點(正午或午夜皆可)為截切點分段計算 5 30 時 分 10 10 4 40 7 20 12 時 分 4 40 5時30分 上午 下午 正午 7 : 20 17：30 41

策略指導經驗分享 策略3：以起始時間做整時計數　多餘或不足的時間 10時 5 20 時 分 5 30 10 時 分 10 10 10 42

體積 □迷思：不清楚如何分辨表面積和體積 例題：下圖的表面積是多少平方公分？ 學生作答：8×3×4=96 (平方公分) 8cm 4cm 43

策略指導經驗分享 讓學生體驗表面積和體積的差異→塗油漆 哪些地方有塗油漆？→長方體的面 塗了幾個面？→6個 每個面的面積？ 8cm 4cm 3cm 8×4+4×3+8×3+ 8×4+4×3+8×3 =136(平方公分) 8×4×2+4×3×2+8×3×2=136(平方公分) (8×4+4×3+8×3)×2=136(平方公分)

角與角度 □迷思：不清楚角的構成要素 例題：是角的打「○」，不是角的打「× 」。 學生作答：都是角，全部打「○」

策略指導經驗分享 描繪「角」 角的構成要素為何？ 角的2條邊為直線或曲線？ 有1個頂點和2條邊 直線 邊 頂點 角

角度定義與澄清 a. 從同一個頂點。 b. 朝不同方向延伸出兩條線。 c. 兩條線之間所構成的旋轉程度稱之為「角」。 邊 頂點 角

角與角度 □迷思：認為邊長越長、角越大 小明和小華用尺各畫出一個角，你知道誰畫出的角比較大嗎？ 小明畫的角比較大 b.小華畫的角比較大 c.一樣大 d.無法比較

到底哪一個角比較大？ a.疊合兩個人所畫的角。 b.發現兩個角的一樣大。 小明 小華 角的大小不受兩邊長短而改變

角與角度 □迷思：認為邊長越粗、角越大 小明和小華各畫出一個角，你知道誰畫出的角比較大嗎？ 小明畫的角大 小華畫的角大 一樣大 無法比較 小明　　　　　　　小華

我們可以透過旋轉、疊合的方式，比較角的大小 到底哪一個角比較大？ a.首先旋轉小明畫的角。 小明 b.疊合兩個人所畫的角。 c.發現兩個角一樣大。 小華 我們可以透過旋轉、疊合的方式，比較角的大小

角與角度 □迷思：認為弧度越大、角越大 小明和小華各畫出一個角，誰畫出的角比較大？ 小明畫的角比較大 b. 小華畫的角比較大 c. 一樣大 小明　　　　　　　　　　 小華　　　　　　　　　　 小明畫的角比較大 b. 小華畫的角比較大 c. 一樣大 d. 無法比較

到底哪一個角比較大？ a.疊合兩個人所畫的角。 b.發現兩個角一樣大。 小明 小華 角的大小不受弧線長度、 或是弧線外區域大小而改變

角與角度 □迷思：量角器的使用-不清楚該看外圈或內圈 例題：請用量角器量出下列的角度。 學生作答：140º

策略指導經驗分享 告知學生正確測量方式 角的開口朝哪裡 讓學生先判斷角為銳角或鈍角 小於90º：銳角 140º？40º？ 40º

使用量角器常見問題 量角器有內圈及外圈的刻度，學生容易看錯 量角度時，頂點沒有與中心點重疊 角的一邊也沒有與始邊重疊

使用量角器常見問題 小明和小華各畫出45度的角，哪一個正確？ 小明 小華

誰量錯了？ 小明測得45° 小華測得45° 小華的角應該要比90°來得大，因此小華量錯了！ 比90°小 小明測得45° 小華測得45° 比90°大 小華的角應該要比90°來得大，因此小華量錯了！ 90度是直角，若測量角大於直角，則度數必定大於90度；若測量角小於直角，則度數必定小於90度

哪一個測量方式正確？ 一個人測得角度為30度，另一人測得角度為150度，請問哪個人的測量出了問題？

問題到底出在哪裡？ 終邊 始邊 頂點 由始邊(0度線)往終邊的方向量 使用量角器時，將頂點擺在中心點， 始邊對0度線，並且往終邊讀取

使用量角器時，都是以0為起點開始測量，不能單從內、外圈進行判讀，或者都是從左、右邊看起 如何量出正確角度？ 終邊 始邊 頂點 使用量角器時，都是以0為起點開始測量，不能單從內、外圈進行判讀，或者都是從左、右邊看起

整數 □迷思：位值概念混淆 例題：「9個十和15個一，合起來是( )個百、 ( )個十、( )個一」。 例題：「9個十和15個一，合起來是( )個百、 ( )個十、( )個一」。 學生作答：9個十和15個一，合起來是( 9 )個百、 ( 1 )個十、( 5 )個一。

策略指導經驗分享 學生可能是粗心，未看清楚題目再作答。 學生可能是位值概念不清楚，可以搭配定位板及積 木教學。 對象是低年級的學生，老師避免用乘法的方式（或展開式）的方式教學，以免增加弱勢學生的負擔。 10×9＋1×15＝90＋15＝105

策略指導經驗分享 1 5 請學生依題目拿出相對應的積木，再進行進位的活動 百位 十位 個位 1個100 0個10 5個1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1個100 0個10 5個1 百位 十位 個位 1 5

整數 □迷思：不理解「÷」的意義 例題：10÷10＝( ) 學生作答：10÷10＝( 0 )

策略指導經驗分享 學生不清楚除法的概念，老師可由情境引入教學。 在黑板寫下相關的除法算式並搭配情境說明： 例如：10÷10＝1 有10枝鉛筆，平分給10個小朋友，每人會得到幾枝？ 老師先舉一例，再讓學生能舉一反一，讓學生實際操作易取得的日常物品，並學習將情境的過程用除法算式記錄過程與結果。

整數 □迷思：商數若有0，學生容易忽略 例題：911÷9＝﹙ ﹚ 學生作答：911÷9＝11…2 1 9 2 )

策略指導經驗分享 百位 十位 個位 1 9 2 學生開始學習記錄除法時， 可以畫線及寫上位名，輔助學生記錄，或可以利用錢幣、鈔票逐步教學。

整數 □教具分享： 教具網址：萬用揭示板 花片 吸管 古式積木棒 紙鈔、錢幣 69

概數 □迷思：沒有看清楚題意，直接算出答案 例題：爸爸買了一臺音響9523元、一臺電視32548 元，需要付幾張千元鈔票才夠？ 學生的作答：

概數 □迷思：沒有將位值對齊 例題：爸爸買了一臺音響9523元、一臺電視32548 元，需要付幾張千元鈔票才夠？ 學生的作答：

概數 + 9 5 2 3 4 8 7 1 □迷思：算出答案後，用無條件捨去法取其值 例題：爸爸買了一臺音響9523元、一臺電視 32548 元，需要付幾張千元鈔票才夠？ 學生的作答： 9 5 2 3 + 4 8 7 1

概數 □迷思：計算能力待加強 例題：爸爸買了一臺音響9523元、一臺電視 32548 元，需要付幾張千元鈔票才夠？ 學生的作答： 9 5 2 3 + 4 8 7 1

策略指導經驗分享 + 9 5 2 3 4 8 7 1 萬位 千位 百位 十位 個位 用定位板，讓學生更清楚位值 7 1 42張千元，但還有71元要付，因此需要再拿出一張千元，所以共需要43張千元大鈔。

概數 □迷思：沒有看清楚題意，算出答案後再取概數 6 7 3 - 5 8 4 1 例題： 興隆公司上個月的營業額558460元，這個月的營業額673300元，兩個月的營業額大約相差多少元？（請用四捨五入法取概數至萬位再計算） 學生的作答：673300-558460=100000 6 7 3 - 5 8 4 1

概數 □迷思：將「四捨五入法」看成「無條件進入 法」去取概數 6 8 - 5 1 2 　　　 法」去取概數 例題：興隆公司上個月的營業額558460元，這個月的營業額673300元，兩個月的營業額大約相差多少元？ (請用四捨五入法取概數至萬位再計算) 學生的作答： 6 8 - 5 1 2

策略指導經驗分享 5 8 4 6 7 3 先讓學生了解「四捨五入法」是一種取概數的方法。若取概數到萬位，則看千位，千位數字若是4以下 （即1、2、3、4）就捨去，千位數字若是5以上 （即5、6、7、8、9）則當作一個1萬來進位。 「8」是5以上，所以要進位 十萬 萬 千 百 十 個 5 8 4 6 7 3 「3」是4以下，所以要捨去

補充資料 □無條件進入法：將一個數字先定好所取的位數後，後面的數字只要不是0，而是1以上的數字，即可自動進位。 例﹕5870001 以無條件進入法取概數到萬位 5870001 將變成 5880000 用『無條件進入法』取概數到千位，所得到新的數是46000，那麼原數最大是46000；最小是45001。

補充資料 □無條件捨去法：將一個數字先定好所取的位數後， 後面的數字自動捨棄。 例﹕5870001 以無條件捨去法取概數到萬位 5870001 將變成 5870000 用『無條件捨去法』取概數到千位，所得到新的數是46000，那麼原數最大是46999；最小是46000。

分數 怎麼將一個圓切成6份？你會切嗎？學生會怎麼切？ 建立先從2、4、8進行平分活動

分數 □迷思：學生不會看圖寫出圖所表示的數量 例題﹕如下圖，塗色部份為全部的幾分之幾？ 學生作答：學生常混淆分子分母所對應的 位置，會寫成 81

策略指導經驗分享 首先：讓學生理解該圓共被分成多少等份，其代表的是分母 接著：再說明塗色部份占了這個圓多少等份，其代表的是分子 若能搭配摺紙教學或塗色教學會更好！ 分子: 從全部的份數中取了幾份。 分母: 一樣東西總共被平分成幾份。

分數 □迷思：無法進行單位分數的比大小 例題:請在括號中填入＞、 ＝ 或＜。 1. ( ) 2. ( ) 1. ( ) 2. ( ) 學生作答:1. ( ＜ ) 2. (＜ ) 分母的數字較大，所以整個分數也較大！ 83

策略指導經驗分享 用生活情境教導他們： 摺紙法：當一樣東西被平分成愈多份時，每1份就會愈小。

分數 □迷思：不了解分數的離散量情境 例題：1包果凍有16個。哥哥買了一些果凍，送給妹妹4 個後，還剩下 包，哥哥原有幾包果凍？ 學生作答： 例題：1包果凍有16個。哥哥買了一些果凍，送給妹妹4 個後，還剩下 包，哥哥原有幾包果凍？ 學生作答： 16 – 4 = 12 + 4 = 4 _ =

策略指導經驗分享 用畫圖或實物代表具體物品，能讓學生更容易融入問題的情境中，了解問題所欲表達的意思，進而能解決數學問題。 用 來代表具體的物品1個果凍。 1個＝ 包，哥哥送給妹妹4個＝ 包(如 )， 哥哥剩下 　包＝8個(如 )，所以哥哥送給妹妹的 4個 和哥哥原有的8個 ，即 包＋ 包＝ 包。

分數 □教具分享： 萬用揭示板http://magicboard.cycu.edu.tw/asp/edit/use.asp 摺紙活動(適用平分、等值分數) 善用ppt進行平分活動 自製pizza圖 分數圓餅圖 昌爸工作坊 http://www.mathland.idv.tw/

等號的意義 + + □迷思：不了解等號的意義 例題：爸爸把 桶咖啡和 桶牛奶混合成咖啡牛奶在慶生會上被喝掉 桶，還剩下幾桶咖啡牛奶？ 例題：爸爸把 桶咖啡和 桶牛奶混合成咖啡牛奶在慶生會上被喝掉 桶，還剩下幾桶咖啡牛奶？ 學生作答﹕ + = _ _ + = = =

策略指導經驗分享 先將學生的答案一一列出： ＋ ＝ ( ) ， － ＝( )， 再請問學生 是否等於 ，若 ≠ ， ＋ ＝ ( ) ， － ＝( )， 再請問學生 是否等於 ，若 ≠ ， 則 ＋ ≠ － ，將學生所算的答案分解給學 生看，讓學生了解等號的左邊和右邊是恆等的。

等號的意義 　 老師問：3＋2＝（ ）＋4，（ ）＝？ 學生答：（ ）＝5 如果你是該師，你知道發生什麼事了嗎？ 你會怎麼辦？

直式運算 32 17 9 x 24 x 52 x 16 68 91 114

乘法的直式運算受到加法直式算則的混淆 個位數乘以個位數，十位數乘以十位數

「位值概念不清」合併「加法直式算則的混淆」 2×7＝14 寫1進4 5×1＝5 加4得9

自創的錯誤運算法則 6×9＝54 寫4進5 6×1＝6 加5得11 9×6＝54 寫4進5 9×5＝45 加5得50

學習診斷與診斷教學目的 □學習診斷： 為了解學生學習狀況與影響其學習的正面或負面因素，分析學生表現，擬定建議方案。 □診斷教學： 為了改善學生的迷思概念，掌握教學重點，調整教學策略，提升學習效能。

概念診斷與教學 □分析： 單位分數不理解 真分數是n個單位分數的和 算式的意義 □策略： 單位分數意義的解釋 圖解說明 認知衝突

程序性知識診斷與教學 □分析： 位值概念不理解 直式概念混淆 □策略： 先從文字題入手 圖解說明 從橫式記錄解說明

解題性知識診斷與教學 □分析： 會面積公式 分數意義不理解 帶分數加法的不理解所產生的迷思 □策略： 建立帶分數與假分數關係的了解 用圖示教帶分數×帶分數 提供學生判斷機會

解決學生學習困難策略 □與生活情境結合 經常示範學到的知識如何在生活中應用 利用廣告紙進行教學：活化教學內容 □不宜多步驟教學 一次做一個步驟，當教新概念時，不要求學習困難學生同時做計算問題（計算周長前先確定周長的意思） □善用教具操弄 實體、虛擬教具、網路虛擬教具

解決學生學習困難策略 □利用遊戲或競賽，提高學生學習興趣 四則運算遊戲、等值分數撲克牌遊戲 □問題簡化策略，提升學生的興趣及信心增進學生 學習成就 練習題分段完成，給學生成功經驗 □使用獎勵制度，增加學生信心 □實際操作是破除迷思的方法之ㄧ

結語 我們相信給孩子一個希望，就是許孩子一個未來！ 唯有教育，才有辦法擺脫弱勢的環境！ 唯有教育，才有機會掌握自己的未來！ 唯有教育，才能實現屬於自己的夢想！