科學記號 科學記號的四則運算 科學記號的應用 自我評量

10的次方與位值 在國小時學過，正整數24865讀作「二萬四千八百六十五」，且表示「2個萬＋4個千＋8個百＋6個十＋5個一」，也就是 而 10 的指數記法如下表所示： 24865＝2×10000＋4×1000＋8×100＋6×10＋5×1。 位名 萬位 千位 百位 十位 個位 位值 10000 1000 100 10 1 10的次方 104 103 102 101

上式利用指數記法可記錄成 24865＝2× ＋4× ＋8× ＋6× ＋5× 。 而小數 0.2345 是表示「2 個 0.1＋3 個 0.01＋4 個 0.001＋5 個 0.0001」，也就是 0.2345＝2 × 0.1＋3 × 0.01＋4 × 0.001＋5 × 0.0001，其中 0.1＝ 、0.01＝ ＝ ，其他小數用 10 的指數記法如下表：

位名 十分位 百分位 千分位 萬分位 位值 ＝0.1 ＝0.01 ＝(0.1)2 ＝0.001 ＝(0.1)3 ＝0.0001 ＝(0.1)4 10的次方 10－1 10－2 10－3 10－4 因此，可記為0.2345＝2×10－1＋3×10－2＋4×10－3＋5×10－4。

5 4 3 2 1 用指數記法表示下列各數，並在下列各小題的括弧中，填入適當的整數： （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） (1)320864＝3×10□＋2×10□＋0×10□＋8×10□ （ ） （ ） ＋6×10□＋4×10□ 1

－1 －2 －3 －4 用指數記法表示下列各數，並在下列各小題的括弧中，填入適當的整數： （ ） （ ） （ ） （ ） －1 －2 －3 （ ） （ ） （ ） （ ） (2)9.8765＝9×10□＋8×10□＋7×10□＋6×10□ （ ） ＋5×10□ －4

10 的次方 1.以 10 的指數記法表示 0.000001。 2.以最簡分數表示 。 10－5 1. 0.000001＝ (0.1)6 ＝ 10－6 2. 10－5 ＝ ＝

1.以 10 的指數記法表示 。 10－8 2.以小數表示 。 10－7 0.0000001

科學記號 在科學領域或生活中存在著一些很大或很小的正數，這些數可能會有不方便閱讀、記錄或比較大小的情況，所以科學家就以指數記法記錄此類的數。 例如： (1)光在真空中的傳播速率約是每秒 300000000 公尺，利用指數記法可記為 3× 公尺。

(2)臺灣的面積約是 36000 平方公里，利用指數記法可記為 36× 平方公里，可再進一步寫成 3. 6×10× ，也就是 3 (2)臺灣的面積約是 36000 平方公里，利用指數記法可記為 36× 平方公里，可再進一步寫成 3.6×10× ，也就是 3.6× 平方公里。 同樣地，要記錄小數點後面有許多 0 的數時，也適合指數記法來表示。 例如：0.00005＝5 × 0.00001 ＝5×（0.1）5 ＝5×10－5 (0.1)m＝10－m

像這樣把一個數記錄為 a × 10m的形式（其中 1 a＜10， m 為整數），稱為科學記號。 符號「 」讀作「小於或等於」，意思是「小於」或「等於」中有一種情形成立就可以。

科學記號的記法 以科學記號的形式，記錄下列各數： (1)120000 (2)0.00000007 (3) (1)120000＝12×10000＝1.2×100000 ＝1.2×105 (2)0.00000007＝7×0.00000001＝7×(0.1)8 ＝7×10－8 (3) ＝ ＝45× ＝(4.5×10) × ＝4.5×

3×107 6.2×10－8 3.21×10－6 以科學記號的形式，記錄下列各數： (1)30000000 (2)0.000000062 (1)30000000 (2)0.000000062 (3) 3×107 6.2×10－8 3.21×10－6

科學記號轉換 1.將1.234×107化成整數的形式，並判別它是幾位數。 2.將5.6×10－4化成小數的形式，並判別它從小數點後第幾位開始出現不是 0 的數字。 1. 1.234×107 ＝12340000 所以1.234×107是8位數。 2. 5.6×10－4=0.00056 所以5.6×10－4從小數點後第4位開始出現不是 0 的數字。

1.將7.68×104化成整數的形式，並判別它是幾位數。 2.將2.345×10－6化成小數的形式，並判別它從小數點後第幾位開始出現不是 0 的數字。 76800，5 位數。 0.000002345，小數點後第6位後開始出現不是0的數字。

由例題 3 與隨堂練習可以發現： 當 n 是正整數， 1.如果某數的科學記號形式為 a × 10n ，則該數是(n＋1) 位數。 2.如果某數的科學記號形式為 a × 10－n，則該數在小數點後第 n 位開始出現不是 0 的數字。

科學記號的比較大小 比較下列各小題中兩數的大小關係： (1)6.1×108、9.35×107 (1)6.1×108 ＝6.1×10×107 ＝61×107 因為61×107＞9.35×107 所以6.1×108＞9.35×107

科學記號的比較大小 比較下列各小題中兩數的大小關係： (2)9.5×10－5、8.7×10－3 (2)9.5×10－5 ＝9.5×(0.1)5 ＝9.5× (0.1)2× (0.1)3 ＝9.5×0.01×10－3 ＝0.095×10 －3 因為8.7×10－3＞0.095×10－3 所以8.7×10－3＞9.5×10－5

由例題 4可以發現： 比較兩個以科學記號記錄的數 a× 與 b× 的大小， (1) 如果 m＞n ，則a× ＞b× 。 (10 的次方越大，其值越大) (2) 如果 m＝n ，且 a＞b，則 a× ＞b× 。 m＝n 比較兩個科學記號 a× 與b× 的大小： (1)先比較 m 與 n 的大小 (2)再比較 a 與 b 的大小

＜ ＜ 比較下列各小題中兩數的大小關係： (1)7.53×105______5.49×106 (2)2.45×10－4________7.829×10－4 ＜ ＜

科學記號的乘除 計算下列各式的值，並以科學記號表示其結果。 (1)（7×109）×（4×105） (2)（7×109）÷（4×105） (1) (7×109 ) × (4×105 ) ＝ 7×109×4×105 ＝7×4×109×105 ＝28×1014 ＝(2.8×10)×1014 ＝2.8×1015 (2)（7×109）÷（4×105） ＝ ＝ × ＝1.75×109－5 ＝1.75×104

6.9×108 6×103 計算下列各式的值，並以科學記號表示其結果。 (1)（3×106）×（2.3×102） (2)（3×106）÷（5×102） 6.9×108 6×103

化為科學記號 將 化為科學記號的形式。 ＝ × ＝0.2 × ＝2 ×10－4 0.2 × ＝2 ×0.1 × ＝2 ×

將 化為科學記號的形式。 6.25×10－7

科學記號的加減 計算下列各式的值，並以科學記號表示其結果。 (1) 2.1×10－7＋3.5×10－7 (1) 2.1×10－7＋ 3.5×10－7 ＝（2.1＋3.5）×10－7 ＝5.6 × 10－7 a×c＋b×c＝(a＋b)×c

科學記號的加減 計算下列各式的值，並以科學記號表示其結果。 (2) 4.3×106－5.1×105 (2) 4.3×106－5.1×105 ＝43×105－5.1×105 ＝（43－5.1）×105 ＝37.9×105 ＝3.79×106 4.3×106＝4.3×10×105 ＝43×105 37.9×105＝3.79×10×105 ＝3.79×106

3.21×106 8.2 × 106 計算下列各式的值，並以科學記號表示其結果。 (1)2.4×106＋8.1×105 (2)1.3×107－4.8×106 3.21×106 8.2 × 106

在物理學或天文學上，科學記號常用來記錄一些很大或很小的正數，例如：地球的質量約為5.9742× 公斤等。

隨著科技的進步，除了科學記號外，也會以更適當的單位來表示較大或較小的量。例如：表示記憶體容量的 KB （kilobyte）、MB （megabyte）、 GB （gigabyte）與 TB（terabyte），或是表示長度的微米(μm)與奈米( nm )，或是表示重量的公噸（t）與毫克（mg）等，這些都是耳熟能詳的常見單位。

電腦計量單位 1 KB＝210 bytes ＝1024 bytes 約等於 103 bytes 1 MB＝210 KB ＝1024 KB 約等於 103 KB 1 GB ＝210 MB ＝1024 MB 約等於 103 MB 1 TB ＝210 GB ＝1024 GB 約等於 106 MB 重量單位 1 公噸（t） ＝1000000 公克( g )＝106 公克 1 公斤（kg）＝1000 公克 ＝103 公克 1 毫克（mg）＝0.001 公克 ＝10－3公克

長度單位 1 公里(km) ＝1000 公尺(m) ＝103 公尺 1 公分(cm) ＝0.01 公尺 ＝10－2 公尺 1 毫米(mm) ＝0.001 公尺 ＝10－3 公尺 1 微米(μm)＝0.000001 公尺 ＝10－6 公尺 1 奈米(nm) ＝0.000000001公尺＝10－9 公尺

「奈米」是啥米？ 奈米科技是指在奈米尺寸下，對物質的控制與利用，在醫學、高科技領域與民生產業，都有奈米科技的相關應用。例如：「蓮花效應」是指蓮花葉子表面上的奈米結構，具有抗水與防塵的自潔功能。利用這個特性，就可以研發出自潔玻璃或奈米馬桶等民生用品。

科學記號的應用 瑋柏買了一個MP3隨身聽，記憶體有16GB的容量，如果一首歌約占3.2MB的空間，則： (1)16GB約等於多少MB？以科學記號表示。 （1GB約等於 1000MB） (1)因為 1GB 約等於 1000 MB 所以 16GB 約等於 16×1000 MB ＝16000 MB ＝1.6 × 104MB

科學記號的應用 瑋柏買了一個MP3隨身聽，記憶體有16GB的容量，如果一首歌約占3.2MB的空間，則： (2)瑋柏的MP3隨身聽可以儲存約多少首歌？ (2)（1.6×104）÷3.2＝（1.6÷3.2）×104 ＝0.5×104 ＝5000（首） 全部容量約有 1.6×104 MB， 1 首歌的容量約為 3.2 MB， 因此可以儲存 （1.6×104 ）÷3.2 首歌。

1. 奈米口罩的織布縫隙寬為 1 奈米，而流感病毒的大小為 0. 08 微米，則0 1.奈米口罩的織布縫隙寬為 1 奈米，而流感病毒的大小為 0.08 微米，則0.08 微米與 1 奈米何者較大？（1 奈米＝10－9 公尺， 1 微米＝10－6 公尺） 0.08 微米較大

2. 太陽與地球的平均距離，稱為 1 天文單位（Astronomical Unit，簡寫為AU）， 1AU 約等於 1 2.太陽與地球的平均距離，稱為 1 天文單位（Astronomical Unit，簡寫為AU）， 1AU 約等於 1.496× 公里。如果某日鹿林彗星與地球的距離約為5.5 AU，以科學記號表示其距離約是多少公里。 8.228× 公里

科學記號： 以 a × 10m表示一個數，其中1 a＜10，m 為整數，此種記錄方法稱為科學記號表示法。 17500000 以科學記號可表示為 1.75×107。 1 1.75＜10

幾位數的判別： n 是正整數，如果某數的科學記號形式為 a × 10n ，則該數是（n＋1）位數。 3.5×109是 10 位數。 小數點後第幾位不為0的判別： n 是正整數，如果某數的科學記號形式為 a × 10－n ，則該數在小數點後第 n 位開始出現不是 0 的數字。 2.84× 10－6 在小數點後第 6 位開始出現不是 0 的數字。

科學記號的比較大小： 比較兩個以科學記號記錄的數 a × 10m與 b × 10n 的大小， (1)如果m＞n，則a×10m＞b×10n。 （ 10 的次方越大，其值越大） (2)如果m＝n，且a＞b，則a×10m＞ m＝n b×10n 。

3.2×104 9.34×106 8×10－6 3.15×10－8 1.以科學記號記錄下列各數： (1) 32000 ＝________ (2) 9340000 ＝________ (3) 0.000008 ＝________ (4) 0.0000000315 ＝__________ 3.2×104 9.34×106 8×10－6 3.15×10－8

2.(1) 將7 × 105化成整數的形式，並判別它是幾位數。 (2) 將 3 × 10－6化成小數的形式，並判別它從小數點後第幾位開始出現不是 0 的數字。 700000，6 位數。 0.000003，在小數點後第 6 位後開始出現不是 0 的數字。 3.比較下列各小題中兩數的大小關係： (1)6×104、7.2×103 (2)4.96×10－8、3.21×10－5 6×104＞7.2×103 4.96×10－8＜3.21×10－5

6×108 7×102 1.07×10－4 6.08×105 4.利用指數律計算下列各式的值，並以科學記號表示其結果： (1) （ 5×105 ）×（ 1.2×103 ） (2) （2.8×109）÷（4×106） 6×108 7×102 5.計算下列各式的值，並以科學記號表示其結果： (1)1.2×10－5＋9.5×10－5 (2)6.8×105 －7.2×104 1.07×10－4 6.08×105

6. 光在一年內直線行進的距離，稱為 1 光年，大約等於9 6.光在一年內直線行進的距離，稱為 1 光年，大約等於9.46× 公里。天文學上常用光年來表示長度與距離，如果某行星距離地球大約 3000 光年，用科學記號表示其距離約是多少公里。 2.838× 公里 10 16

生活中的「正」與「負」 《九章算術》是中國 漢、唐間出現的重要數學書籍，其中「方程」一章中，以收入的數目為正，支出的數目為負；餘錢為正，不足錢為負。「正」、「負」這一對術語，便一直沿用到現在。

西方國家，到了十五世紀後才正式使用負數，並以不同的符號表示正、負數。直至二十世紀初， 美國人亨廷頓（Edward Vermilye Huntington，1874-1952）才開始採用現在的正、負數符號形式，例如：＋3、＋2、＋1、－1、－2、－3 等。 生活中，有時候會配合基準量的設定，重新以正、負數記錄這些量，這樣將可以簡化數量的運算。接著就來看看生活中的實例，例如：

某次月考前，慧欣的目標是每科平均分數為 90 分，考試過後，慧欣製作了一份成績表如下： 科目 國文 公民 數學 英文 地理 歷史 生物 成績(分) 89 96 92 98 97 85 87 成績－90 (分) －1 ＋6 ＋2 ＋8 ＋7 －5 －3

這樣做有什麼便利之處？當慧欣要算總分及平均分數時，可以這麼做： (1)( －1 )＋6＋2＋8＋7＋( －5 )＋( －3 ) ＝＋14 所以總分＝90 × 7＋14＝644 (分) (2) ( ＋14 ) ÷ 7＝＋2 平均每科多2分， 所以平均分數＝90＋2＝92 (分)

另外，球類運動中的高爾夫球，記錄桿數時也是以標準桿為基準，採用正、負數的記法，如果低於標準桿愈 多，表示成績愈好。假設有一洞標準桿是 5 桿，如果打了 4 桿進洞，可以簡記為－1，如果打了 6 桿進洞，則簡記為＋1，其中－1 桿的成績比 ＋1 桿的成績好。