電力與電場 (Electric Forces and Fields) 16 章 電力與電場 (Electric Forces and Fields)

16.1 電荷 雖然電力與磁力合起來為電磁力,其為四種基本力的其中一種,但我們在這邊仍分開來討論電力與磁力。

電荷的形式 一封閉系統中的淨電荷,不會憑空產生或消失,亦即一封閉系統中的淨電荷永不變化,此稱為電荷守恆 電荷的形式有兩種；一種稱為正電，另一種稱為負電。一系統中的淨電荷是其組成粒子的電荷代數和 ── 注意要包含正、負符號。一個電中性的物體有相同數量的正負電荷，因此淨電荷為零。 質子的電荷為正，電子的電荷為負,一個中性原子有相同數量的質子和電子，達到正負電荷的平衡。如果電子和質子的數量不相等，那麼此原子就稱為離子。

基本電荷 質子和電子有相同的電荷量，此電荷量稱為基本電荷(符號e)，此乃電荷之最小單位。 同性電相斥， 異性電相吸。 (16-1)

表 16.1 質子、電子、中子之質量及電荷 粒子 質　量 電　荷 質子 電子 中子

16-1 一個無意的電擊 當你走過地毯、伸手與朋友握手而給朋友一個無意的電擊時，轉移的電荷量一般大約為1 nC。(a) 如果此電荷的轉移是只靠電子，那麼有多少個電子被轉移呢？(b) 如果你的身體有的淨電量，計算過剩電子的百分比？( 提示：電子的質量大約是核子質量的1/2000，所以身體大多數的重量是核子們的重量。存在於身體中多數的原子 ( 例如碳、氮、氧 ) 大約有相同的質子與中子的數目。一個重要的例外是氫，在它最普通的形式中是有一個質子而沒有中子。由於問題只需一個數量級的計算，不需要很大的精確度；我們可以假設1/2的核子是質子。

解答：(a) 被轉移的電子數目等於被轉移的電量除以每個電子的電量： 注意轉移的電量大小是1 nC，但由於它是由電子來轉移的，所以轉移的電量是負的。 (b) 我們身體質量大約70 kg來估計。身體大多數的重量是核子們的重量，所以

假設約有1/2的核子是質子， 在一個電中性物體中，電子的數目等於質子的數目。由於淨電荷為 ，物體有 個額外的電子。則過剩電子的百分比為 討論：由這個例子可知，帶電的巨大物體只有微小的正電荷與負電荷數量之間的差異。基於這個理由，巨大物體之間的電力常被忽略。

極 化 → 一個電中性的物體內部有正電荷與負電荷的區域，兩者彼此互相分開，這樣的物體是“被極化的”。 極　化 一個電中性的物體內部有正電荷與負電荷的區域，兩者彼此互相分開，這樣的物體是“被極化的”。 一個被極化的物體，即使它的淨電荷為零還是可以感受到電力。 → + + ¯ ¯

圖16.2 (a) 帶負電的橡膠棒吸引一些小紙片；(b) 帶正電的玻璃棒吸引一些小紙片；(c) 一小紙片中許多極化分子的放大圖。

16.2 導體與絕緣體 一般的物質由包含電子與原子核的原子所組成。電子被原子核束縛的程度差異極大。 16.2 導體與絕緣體 一般的物質由包含電子與原子核的原子所組成。電子被原子核束縛的程度差異極大。 電荷能容易地移動的物質稱為電導體，而電荷較不易於移動的物質則稱為絕緣體。 一般而言,金屬為良導體,電子在金屬中自由地漫遊;而大部份的非金屬則非導體。純水是一個絕緣體, 但一般的水含有雜質,因此可視為導體 。 導電性介於導體與絕緣體之間的稱為半導體。

摩擦帶電 將兩個絕緣體互相摩擦可以將電荷分離。(其中一個帶正電,另一個帶負電) 乾燥空氣中最容易產生帶電。當溼度高的時候，物體的表面上會凝結一水分薄膜；此時電荷更容易漏失掉，所以建立電荷是困難的。 導體因為電荷可以自由流動,並不容易以摩擦的方式帶電。導體要帶電可以用另一個帶電體與其接觸,多餘的電荷便會流入導體。

圖16.5　導體充電：(a)在絲綢摩擦玻璃棒後，玻璃棒帶淨的正電荷且絲綢帶淨的負電荷；(b)將玻璃棒觸碰一金屬球。帶正電的玻璃棒會從金屬吸引一些自由電子到玻璃棒上；(c)玻璃棒被移開。金屬球的電子比質子少，所以它有淨的正電荷。即使實際上是負電荷被轉移(電子)，通常我們說“正電荷被轉移到金屬上”，因為此淨效應是相同的。

接 地 地球是一個導體。地球是足夠大的，對許多情況而言可以將它視為一個無限制的電荷庫。 接　地 地球是一個導體。地球是足夠大的，對許多情況而言可以將它視為一個無限制的電荷庫。 將一個導體接地指的是在導體與地面(或另一電荷庫)之間提供一條傳導路徑。一個帶電的導體接地後會放電。

感應帶電 導體也可以不須經帶電體直接接觸而帶電,但其必須接地。當一帶電體接近導體時,導體上部份的電荷會因為接地而流失。若在帶電體移開時將接地線拆除,導體上將會帶淨電荷。 (當然,若在帶電體移開時導體仍接地,此時電荷將經接地線回流回導體) 。

圖16.6　感應帶電：(a) 用絲綢摩擦玻璃棒使其帶電；(b) 帶正電的玻璃棒移近一個金屬球，但是不碰觸它。當球內的自由電子被吸引朝向玻璃棒時，此球是被極化的；(c) 當此球接地時，電子被球上的正電荷吸引而從地上移動到球上；(d) 拆掉接地線且不移走玻璃棒；(e) 此時移走玻璃棒。電荷因為同性電相斥而分布在整個金屬表面上。此球因為過剩的電子而帶負的淨電荷。

16.2 驗電器 一個驗電器帶負電且金箔葉片垂下分開，如圖16.6(a)。當依序執行以下的步驟時，葉片會發生什麼事？解釋每一步你所看到的現象。(a)你用手碰觸驗電器頂端的小金屬球；(b)你拿一個與絲綢摩擦過的玻璃棒接近小球而不碰觸它(提示：被絲綢摩擦過的玻璃棒帶正電 )；(c)玻璃棒接觸金屬小球。 圖16.6

解答與討論：(a)你用手觸碰驗電器的小球是使它接地。電荷在你的手與小球之間轉移，直到小球的淨電荷為零。由於驗電器現在是放電的，金箔葉片會垂下，如圖16.6(b) 所示；(b) 當帶正電的玻璃棒接近小球時，驗電器被感應而極化。帶負電的自由電子被吸往小球，留下金箔葉片帶正的淨電荷 ( 圖16.6(c))。葉片因為其上的正電荷互相排斥而張開；(c) 當帶正電的玻璃棒碰到小球，一些負電荷從小球上被轉移到玻璃棒上，驗電器現在有正的淨電荷。玻璃棒仍然帶有正電，且會盡可能地將驗電器上的正電荷遠遠推向金箔葉片。由於現在葉片有比之前更多的正電荷，因此會張得更開。

影印機 影印機的操作是建立在電荷的分離及不同電荷之間的吸引的基礎上(圖16.7)。其工作的原理乃是利用一種稱為光導體的材料── 一個光敏半導體。當沒有光照在硒上時，它是一個十足的絕緣體；但是當光照到它時，它變成一個良導體。 滾筒上有一種稱為調色劑的黑色粉末接觸。調色劑粒子已帶有負電，因此它們會被吸引到滾筒上帶正電的區域。調色劑黏在滾筒上有正電的地方，沒有帶電的地方調色劑是不會黏附。紙張會從滾筒上吸走那些帶負電的調色劑粒子，在紙上形成原稿的影像。

圖16.7a 影印機的操作是利用帶負電的調色劑粒子被吸引到帶正電滾輪上的區域。

圖 16.7 b

16.3 庫侖定律 庫侖定律給出了兩帶電質點靜電之大小,兩帶電質點若帶同性電, 其作用力為斥力; 若兩帶電質點若帶異性電, 其作用力為吸力。 16.3 庫侖定律 庫侖定律給出了兩帶電質點靜電之大小,兩帶電質點若帶同性電, 其作用力為斥力; 若兩帶電質點若帶異性電, 其作用力為吸力。 若有兩個以上的帶電質點時, 則其淨作用力為諸力之向量和。

庫倫定律 (2-5) (16-2a) (16-2b) :真空電容率常數 利用 ，庫侖定律可表示為

圖16.8 (a) 兩個相反電荷上的電力；(b) 和 (c) 兩個相同電荷上的電力。所標記的向量代表兩個交互作用的電荷，作用在彼此的電力。

16-3 在一個點電荷上的電力 假設有三個點電荷像圖 16.9般排列。一個電荷 位於一個 座標系統的原點上；第二個電荷 位在(1.20 m, 0.5 m)且第三個電荷 位在(1.20 m,0)。求出其他兩個電荷作用在 的電力？

解答：電荷1和3都是正的，所以 作用於 的力 是斥力；它可以用一個朝正 方向的向量來表示(圖16 解答：電荷1和3都是正的，所以 作用於 的力 是斥力；它可以用一個朝正 方向的向量來表示(圖16.10(a)) 。電荷q2 是負的,所以它會沿著電荷間的連線方向來吸引 ； 指向正 方向。 電荷的大小及電荷間的距離在問題的敘述中已說明。我們先利用庫侖定律求出 作用在 的電力 的大小，然後重覆同樣的過程求出 作用在 的電力 的大小。 從庫侖定律及所給的資訊:

電荷2所造成的力 如預期般 。 將此兩個力相加得合力。由於這些向量是互相垂直的，我們可以利用畢氏定理來求出合力的大小合力 的大小為

此處我們已有了兩個重要的圖。利用圖16.10(b)，我們可以得到合力的方向。

16-4 兩個帶電球體平衡地掛著 兩個質量10.0 g的聚苯乙烯球被25 cm長的線掛著。在將帶電的球掛起來分開後，每個小球與垂直線夾角為 ( 圖16.11(a))。(a) 電荷的符號是相同或相反？(b) 電荷的大小一定要相同嗎？請解釋；(c) 假設電荷是相等的，求在每個小球上的淨電荷。 圖16.11

解答：每個小球感受到三個力：電力、重力以及線的拉力。圖16.11(b) 顯示了其中一個小球的自由體圖。 (a) 電力很明顯地是斥力 ── 小球被推開 ── 因此電荷必須有相同的符號，但卻無法來分辯它們都是正電或都是負電。

(b) 乍看之下似乎電荷應該是相同的；小球都以相同的角度掛著，所以我們沒有線索可知那一個電荷較大。但重新檢視庫侖定律：每個小球的受力是與它們電荷的乘積成正比: 。與牛頓第三定律相符合，庫侖定律告訴我們構成交互作用的這兩個力，大小是相等的但方向相反。電荷不一定要相等。 (c) 讓我們選擇x及y軸分別在水平及垂直方向。作用在小球上的三個力之中，只有線的張力有x以及y的分量。由圖16.11(b) 可知，線張力的分量與小球的重量大小相等，且x分量與小球受到的電力大小相等。由相似三角形 ( 圖16.11(c))，

由庫侖定律 其中 是每個小球上的電荷大小 ( 現在假設是相等的 )。小球間的距離 ( 圖16.11(d)) 是 其中線的長度d=25 cm 代數的方法使我們能夠解出 。從庫侖定律 我們可以將 及 的表示式代入

電荷可以是正的也可以是負的，所以電荷可都是 或都是 。 討論：我們可以檢查最後 表示式的單位：

16.4 電 場 在任何點的電場定義為在那個點上每單位電荷的電力。 因為力為向量, 因此電場亦為一向量。 16.4 電　場 在任何點的電場定義為在那個點上每單位電荷的電力。 因為力為向量, 因此電場亦為一向量。 如果q是正的，電力的方向與電場的方向相同；如果q是負的，這兩個向量有相反的方向。

在任何點的電場 ( 記為 ) 定義為在那個點上每單位電荷的電力： 在任何點的電場 ( 記為 ) 定義為在那個點上每單位電荷的電力： (16-3a) 電場的SI制單位是N/C 一旦我們知道在某個點的電場是 ，則很容易地可以計算出放置在該點的任何點電荷 所受的電力 ： (16-3b)

點電荷所產生的電場 單一點電荷Q所產生的電場可以利用庫侖定律來求出。 (16-4)

Q r +q 測試正電荷

點電荷所產生的電場方向 +Q 正電荷 負電荷 -Q

在任何點的電場是每個電荷在該點所分別產生的電場的向量和。 x

當電荷為連續分布時(或數量多、密度高) x

長直導線周圍的電場 :電荷線密度

無限長直導線周圍的電場

16.5 空間中某一點的電場 兩個點電荷位於x軸上 (圖16.12)。電荷 在x=0的位置；電荷 在 的位置。P點是在x=1.2 m 的位置。請問這兩個電荷在P點所產生電場的大小與方向為何？ 圖16.12

電荷1是正的。我們假想在P點有一個微小的測試正電荷 。由於電荷1會排斥此測試正電荷，所以 作用在此測試電荷的電力 是朝正的方向(圖16 電荷1是正的。我們假想在P點有一個微小的測試正電荷 。由於電荷1會排斥此測試正電荷，所以 作用在此測試電荷的電力 是朝正的方向(圖16.13(a)。因 且 ，電荷1產生的電場方向也是朝正x的方向。電荷 是負的，所以它會在兩電荷的連線上吸引此假想測試電荷 ； 作用在此測試電荷的電力是朝負x 軸的方向， 因此 是朝負x軸的方向。 圖16.15

我們首先求 出在P點處所產生的電場 ，然後重覆同樣的過程來求出 在P點處所產生的電場。由已知，

向量圖(圖16. 13(a)) 標示出電場 和 的方向。圖16 向量圖(圖16.13(a)) 標示出電場 和 的方向。圖16.13(b) 顯示 向量的相加。因為 ，所合成的電場 是朝向負x軸的方向。在P點的E大小為 在P點處合成的電場 是在負x軸的方向。

電場線 (電力線) 電場線來描述電場的分佈:任何點電場線之切線方向表電場的方向,而電場線較密之處表示該處電場較強. 電場線不會相交: 否則電場線交點處電力之方向就不唯一 . 電場線於正電荷出發終於負電荷,非一封閉曲線.

圖16.14　場線規則圖解。(a) 在點及點的電場方向；(b) 在點的電場大小大於在點的電場大小；(c) 如果從一點電荷劃出12條線，則必須有8條線結束在的點電荷上；(d) 如果場線相交，則無法決定在相交處電場的方向。

點電荷的電場線 點電荷的電場線是放射狀的 (遠離一正電荷或朝向一負電荷 )。靠近點電荷處場線是較為密集，此時電場是強的；遠離電荷處場線會散開，顯示電場強度隨著距離變大而減少。

電偶極所產生的電場 一電偶極乃兩帶相同電量q 但電性相反之電荷相距d所形成; 其電場線如圖所示 .

16.6 一薄球殼的場線 一個半徑R的薄金屬球殼帶有正Q的總電量。電荷是均勻分佈在球殼的外表面上。從兩個不同觀點畫出電場線：(a) 球殼很小且從很遠的地方看它；(b) 在球殼腔內看電場。 圖 16.17

解答：(a) 一個在遠處的微小薄球殼與一個點電荷是無法區分的。當我們從一個很遠的距離來看時，此球看起來像是一個點，且場線看起來就像是從一個正的點電荷所發射的 ( 圖16.17(a))。 (b)場線開始於球殼表面上的正電荷。一些場線朝外，代表球殼外部的電場，而其他的可能朝內，代表球殼內部的電場。任何在內部的電場線必須均勻相隔地從球殼發出，且朝向球殼的中心 (圖16.17(b))；由於球的對稱性，這些場線不可以偏離徑軸方向。但是當電場線到達中心時會發生什麼事呢？如果有一個負的點電荷在中心時，這些場線就能在中心結束 ─ 但是在中心是沒有點電荷。如果這些場線沒有結束，它們就會在中心點相交。這是不對的，因為在每一點上電場必須有一個唯一的方向 ─ 場線永不相交。不可避免的結論:球殼內部是沒有電場線(圖16.17(c)。

16.7 均勻電場中懸掛的帶電球 一個質量5.10 g的小球以一12 cm長的絕緣線垂直地掛著 ( 圖16.18(a))。小球放置在由鄰近的充電金屬平板所產生的電場 中。結果，小球在電場方向上水平位移了6.00 cm。求出 (a) 細線與垂直方向的夾角 ？(b) 細線中的張力？(c) 小球的電荷？ 圖16.18

(a) 角度 可以從圖16. 18(a) 的幾何關係中求出。細線的長度(12 (a) 角度 可以從圖16.18(a) 的幾何關係中求出。細線的長度(12.0 cm) 是一直角三角形的斜邊。 角的對邊長度就是水平位移(6.00 cm)。因此， (b) 我們先畫出一自由體圖 ( 圖16.18(b))。重力必定要與細線拉小球的力 的垂直分量平衡。電力必須與細線拉小球的力 的水平分量平衡。在圖16.18(c) 中顯示 的分量. 的大小就是細線中的張力T。檢視自由體圖以及已有的資料，我們無法決定 ，因為電荷q 的值是未知的。我們也沒有關於細線中張力的資料。然而，由於質量是已知的，所以我們可以決定重量：

重量必須等於向上的 分量： 將已知的值代入， 這個結果等於 的大小。方向是沿著細線朝向支撐點，與垂直方向夾角 。

(c) 我們令細線張力的水平分量等於電力的大小 現在可以解出 我們已經得到電荷的大小了。電荷的符號是正的，因為作用在小球的電力是在電場的方向。因此，

電定位 某些動物和魚類進化出產生以及偵測電場的器官。這些動物可以利用這些感覺器官偵測到電場的變化,以偵測到獵物或敵人。 圖16.19　尼羅河魔鬼所產生的電場。此電場幾乎是一個電偶極的電場。此魚的頭部是帶正電且尾部是帶負電。

16.5 在一均勻電場中一個點電荷的運動 倘若一電場是均勻的，此表示此電場之大小及方向為固定。當一帶電粒子在此均勻電場運動時，若其速度方向沿電場方向，其運動必沿著直線方向;若其有速度分量與電場方向垂直，那麼其軌跡是拋物線。 對一帶正電之粒子，其加速度方向與電場方向相同，對一帶負電之粒子，其加速度方向與電場方向相反。

圖16.20　兩個平行金屬板之間的均勻電場

兩個平行金屬板上放置相等且相反的電荷 ( 圖16.20)。如果電量是 且金屬板面積為 ，則金屬板之間的電場大小為 (16-5) 假設均勻電場 為已知，一個點電荷 感受到一個電力 加速度是 (16-6)

16.8 電子束 在電視機、電腦螢幕、示波器和x光管中，陰極射線管 (CRT) 是用來加束電子。從熱燈絲跑出的電子通過陰極中的小洞；然後在陰極與陽極之間的利用一個電場來加速 (圖16.21)。假設電子通過陰極中的小洞以10.0 m/s的速度朝向陽極。電場在陰極和陽極之間是均勻的，且大小為 。(a) 電子的加速度是多少？(b) 如果陰極和陽極相隔2.0 cm，電子最終的速度是多少？

解答：(a) 首先，驗證重力是可忽略的。電子的重量是 電力的大小是 比重力大了約14個數量級，所以重力是可完全忽略的。電子在平行板之間的加速度為 取兩位有效數字， 。因為電子的電荷是負的，所以加速度的方向與電場反向，在圖中是朝向右方。

(b) 電子的初速度也是朝向右方。我們面對的是一個一維等加速度的問題，因為初速度和加速度都是在同一直線上的。從式 (3-13)，最終速度是

16.9 電子被發射進入一個均勻電場的偏向 一個電子被水平發射，進入到兩平行板之間均勻且垂直向下的電場中 ( 圖16.22)。平板相隔2.00 cm且長度4.00 cm。電子的初速率 = 8.0×106 m/s當它進入兩平行電板之間的區域時，電子是在兩個平板的中央；當它離開時，電子剛好逃過上面那個平板。請問電場的大小為何？ 圖16.22

解答：我們先由以 及 求出電子在平板中所花的時間。 從平板中所花的時間以及 ，我們求出加速度在 方向上的分量 這個加速度是由電力作用在電子上所產生的，因為我們假設沒有其它的力有作用。從牛頓第二定律，

解出 因為電場沒有x分量，它的大小是 N/C。

靜電平衡下的導體 電荷分隔的程度，取決於外加電場的強度以及紙張組成原子和分子的性質。某些物質比其它更容易被極化。最容易極化的物質是導體，因為它們包含高移動性的電荷，這些電荷可以在物質的整個體積中自由運動。 一個導體上其移動電荷在平衡時是靜止(此情況稱之為靜電平衡 )。如果在導體中的電場是不為零的，電場對每一個移動電荷(通常是電子) 會施予一個力，這樣一來電荷就會移動,因此導體不可能處於平衡狀態，因此我們得到此結論： 在靜電平衡之下導體內部任一點的電場為零

電場在導體內部是零，但是在外部不一定是零。如果 外部有場線而內部沒有，則場線必須開始或結束於導體表面上的電荷。場線開始或結束於電荷，所以： 當一個導體處於靜電平衡時，只有在它表面上的點可以有淨電荷 在導體內部的任何點，有相同數量的正、負電荷。正、負電荷之間的不平衡狀態只發生在導體的表面。 　　在靜電平衡下，下述也是正確的， 在導體表面的電場是垂直於表面

圖16.23 在一個彎曲的導電表面上，淨電荷是更密集地集中在最大曲率的區域。 圖16.23　在一個彎曲的導電表面上，淨電荷是更密集地集中在最大曲率的區域。

避雷針 現代避雷針是美國科學家富蘭克林發明的。富蘭克林認為閃電是一種放電現象。為了證明這一點，他在1752年7月的一個雷雨天，冒著被雷擊的危險，將一個係著長長金屬導線的風箏放飛進雷雨雲中，在金屬線末端拴了一串銅鑰匙。當雷電發生時，富蘭克林手接近鑰匙，鑰匙上迸出一串電火花。手上還有麻木感。幸虧這次傳下來的閃電比較弱，富蘭克林沒有受傷。

避雷針的工作原理 在雷雨天氣，高樓上空出現帶電雲層時，避雷針和高樓頂部都被感應上大量電荷。由於避雷針針頭是尖的，而靜電感應時，導體尖端總是聚集了最多的電荷。 這樣，避雷針就聚集了大部分電荷.避雷針又與這些帶電雲層形成了一個電容器，由於它較尖，即這個電容器的兩極板正對面積很小，電容也就很小，也就是說它所能容納的電荷很少，而它又聚集了大部分電荷。所以，當雲層上電荷較多時，避雷針與雲層之間的空氣就很容易被擊穿，成為導體。這樣帶電雲層與避雷針形成通路，而避雷針又是接地的。避雷針就可以把雲層上的電荷導入大地，使其不對高層建築構成危險，保證了它的安全。

利用高壓電能氣體放電發光 （電漿球）

高壓氣體放電原理

范德格拉夫靜電發電機

亞東技術學院發明靜電小便斗

電場的高斯定律 高斯定律 說明一封閉曲面之電場與此封閉曲面所包含之電荷之關係.在此曲面具有高度的對稱性時,高斯定律可用來計算電場。 通過某表面之電通量定義為電場垂直該面之分量乘上面積 。 (16-7) 電通量定義 高斯定律 (16--8)

圖16.25　(a) 穿過一個矩形表面的電場線 ( 側面圖 )。場線與垂直於表面的直線之間的夾角為；(b) 在這兩個例子中，電場的大小是相同的。當電場E的垂直分量較小時，穿過表面的場線就越少；(c) 穿過面積為Acos的表面的場線數目，與穿過面積為A的垂直表面的場線數目，兩者是相同的

電場的高斯定律 均勻電場電通量定義:

電場的高斯定律 不均勻電場電通量定義: 高斯定律 (16-8)

電場的高斯定律 + + + + (16-8)

16.11 與長細導線有一段距離處的電場 電荷均勻地分佈在一個長細導線上，導線上每單位長度的電荷 是固定的。求出在與導線距離為 r 且與導線兩端相距很遠之處的電場。 依據對稱性電力線應該是放射狀的 r

解答：我們先從畫出無限長導線的電場線開始。電場線不是從導線上發出，就是結束於導線上 ( 取決於電荷是正的還是負的 )。然後電場線會如何呢？唯一的可能性是它們會放射狀地從導線發出或朝向導線。圖16.26(a) 分別顯示出正電與負電的電場線圖。導線從所有面上來看都是相同的，所以電場線不會像圖16.26(b) 一樣繞著導線旋轉：它如何決定要走那一條路？電場線也無法像圖16.26(c) 一樣沿著導線走：同樣地，它如何決定要向左走還是向右走？導線在兩個方向上看起來是完全一樣。 一旦我們認定電場線是放射狀的，下一步就是要選擇一個表面。當電場在大小上是固定且垂直於表面時，高斯定律是最容易的處理方式。一個以導線為軸心且半徑為的圓柱體，在每一個地方電場都是垂直於表面，因為電場線是放射狀的 ( 圖16.27(a))。

圖16.26　(a) 從一個長導線放射狀地朝外以及朝內所發射出的電場線；(b) 環繞著導線的電場線；(c) 平行於導線的電場線。

在圓柱體表面上的電場大小必須是固定的，因為圓柱體上的每一點與導線距離都相等。由於必須是一個封閉的表面，圓柱體的兩個圓形端面要被包括進來。但因為沒有電場線通過，所以通過此兩端面的電通量為零；也就是說，電場的垂直分量為零 ( 圖16.27(b))。 由於電場在大小上是固定的且垂直於表面，因此電通量是 其中是 電場的徑向分量。如果電場是放射狀地向外則Er是正的，如果電場是放射狀地向內則 是負的。是半徑為 的圓柱體的面積且…長度是多少呢？由於圓柱體是虛構的，我們可以視為是一個任意的長度 。圓柱體的面積為

有多少電荷是包圍在這個圓柱體中呢？每單位長度的電荷是 且一個長度為 的導線在圓柱體裡，所以被包圍的電荷是 它可以是正的或是負的。由高斯定律及電通量的定義可以得到 將A和q表示式代入高斯定律得到 解出 則電場方向是放射狀地朝外， 則電場方向是放射狀地朝內。

圖16.27　(a) 從一個沿著圓柱體軸線所在的導線發射出的電場線，是垂直於周圍想像的圓柱形面。圓柱體與電場線的 (b) 上面，下面以及 (c) 側面圖；電場線是垂直於圓柱形面積，而平行於上、下圓形面積的平面。

帶電導體球外部的電場 +Q r

帶電導體球外部的電場 1.依據對稱性，作一半徑為 r 的高斯面 2.依據高斯定律:通過高斯面的 電通量為 3.電場方向皆垂直通過高斯面

無限大平板附近的電場 + + + + +

平行板電容之電場 + ¯ + ¯ + ¯ ¯ + + ¯