主題一：根號『 』 主題二：平方根的意義 主題三：為何要有理化 2-1二次方根的意義 主題一：根號『 』 主題二：平方根的意義 主題三：為何要有理化 報告者：陳韋建

主題一：根號『 』 為什麼會有根號『 』的存在呢? 我們用正方形的邊長與面積來理解吧! 面積9 面積4 邊長1 邊長2 邊長3 主題一：根號『 』 為什麼會有根號『 』的存在呢? 我們用正方形的邊長與面積來理解吧! 面積9 邊長2 =正方形面積 12 =1 面積4 面積1 邊長1 邊長2 邊長3 32 =9 22 =4

想一想，那如果正方形面積只有2，那它的邊長會是多長呢? 面積2 邊長? 想一想，那如果正方形面積只有2，那它的邊長會是多長呢?

面積9 1 2 3 (1)我們先觀察這三個正方形，面積與邊長的關係 相信你看的出面積愈『大』，邊長就會愈『長』。 (2)再說說看面積為2的正方形，邊長會是多少？ 面積9 面積4 面積2 面積1 1 2 3

(1)請利用直尺量一量，此正方形邊長大約是多少？跟你估計的一樣嗎? 面積 2平方公分 右圖為面積是2平方公分的正方形 (1)請利用直尺量一量，此正方形邊長大約是多少？跟你估計的一樣嗎? (2)將量出來的結果平方，並把平方後的結果與正方形的面積值作比較，看看是否相等或不相等?

我們找到了面積為2平方公分的正方形，每位同學的測量值不會完全一樣，即使用刻度很精密的直尺去量，也會有同樣的情形。把測量得到的值平方，結果很「接近」2，但都不會等於2。 事實上，我們沒有辦法用過去曾經學到的數字(如整數、分數和小數)來表示面積為2平方公分的正方形邊長是多少，因此以新的符號「 」(讀作「根號2」)來代表這個邊長的實際數值。 面積2

那我們來看看用電子計算機算出來的 實際上的值是多少吧~

邊長2 =正方形面積 面積1 2 = 1 面積2 2 = 2 面積3 2 = 3

2 = 4 2 = 5 邊長2 =面積 面積4 面積a 面積5 若一個正方形面積為 a ，則它的邊長為「 」 滿足( )2＝a。 2 = 4 面積5 若一個正方形面積為 a ，則它的邊長為「 」 滿足( )2＝a。 記住，邊長= 2 = 5

但我們又知道正方形面積為1的邊長是1，因此我們規定 = 1 你發現了嗎： 雖然正方形面積=1 邊長也= 但我們又知道正方形面積為1的邊長是1，因此我們規定 = 1 同樣的道理 正方形面積=4 邊長= =2 面積1 面積4

練習一下 面積 6 面積 16 面積 ? 1.如右圖，正方形面積為6，則其邊長為 。 2.如右圖，正方形面積為16，則其邊長為 。 1.如右圖，正方形面積為6，則其邊長為 。 2.如右圖，正方形面積為16，則其邊長為 。 3.如果正方形邊長是 公分，那面積是多少平方公分？ 4. ( )2 ＝_________ 5. ( )2 ＝_________   面積 6 面積 16 面積 ?

邊長2 =面積 既然我們已經知道 ≒1.414(取到小數第3位，第4位四捨五入) 那我們也來看看 ～ 大概是多少吧！ 1 2 = 1 既然我們已經知道 ≒1.414(取到小數第3位，第4位四捨五入) 那我們也來看看　　～ 　　大概是多少吧！ 邊長2 =面積 面積4 面積3 1 2 = 1 面積2 2 = 2 面積1 2 = 3 2 2 = 4 1 2 1 < < < 2 ( ) ( )

邊長2 =正方形面積 面積9 面積8 2 2 = 4 面積7 2 = 5 面積6 2 = 6 2 = 7 面積5 2 = 8 面積4 3 2 = 9 2 = 10 2 3 2 < < < < < 3 < ( ) ( )

3 < < 4 隨堂練習 1、請同學算出 12~ 202的值。 2、請問 、 、 、 介在哪兩個整數之間? 3 2 = 9 2、請問 、 、 、 介在哪兩個整數之間? 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 112 122 132 142 152 162 172 182 192 202 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 3 2 = 9 2 = 13 3 < < 4 4 2 = 16

以上是正方形面積由 1平方公分~10平方公分， 請同學用尺量一量，它們 的邊長大概是多少? 我們想知道 更精確的值是多少? 面積 4平方公分 我們想知道 更精確的值是多少? 面積 4平方公分 面積 3平方公分 以上是正方形面積由 1平方公分~10平方公分， 請同學用尺量一量，它們 的邊長大概是多少? 面積 2平方公分 面積 1平方公分 面積 5平方公分

謝燦熒『意思意思』娶了『一個妻子生了三個兒子』 有一天小孩肚子『餓』了，謝燦熒就帶他們去吃東西 肚子『餓餓』的走著走著，突然間聞到一股很香的肉，哇~原來是狗肉(狗肉古代稱為36肉) 吃著吃著，就問問老闆，這些狗肉是哪來的，老闆說這都是『餓死的死狗』 聽到之後當然嚇到吃不下啦，錢丟著就走了，只好去對面的鵝肉攤吃鵝肉啦，起碼『鵝肉也是肉』 然而剛剛付完狗肉的錢，身上也只剩一點點錢吃鵝肉啦!不過也沒辦去，吃不飽只好『餓吧餓吧』餓肚子吧~~ 吃完就『閃人』啦~~ 閃邊一路餓

根號在生活上的應用~~~ http://tw. nextmedia 根號在生活上的應用~~~ http://tw.nextmedia.com/applenews/article/art_id/33821761/IssueID/20111117

既然我們已經了解到正方形面積1~10的邊長大概是多少了，那我們是不是可以用折紙或是拼剪的方式，把這些正方形做出來。 同學們想一想吧!

首先我們先規定基本的正方形大小 將手上正方形的色紙對摺兩次後攤開，如圖(一)∼圖(四)，我們將會得到4個小正方形。 我們就當1個小正方形的面積為1，則 圖(三)的正方形面積為1 圖(四)的正方形面積為4

面積為2的正方形怎麼折?

面積為2的正方形 方法一： 將面積為4的正方形 4 個頂點分別向 O 點對摺，得到正方形 ABCD。

面積為2的正方形 方法二： 兩個面積為1的正方形，可以分割成四個相同的等腰直角三角形，將這四個等腰直角三角形重新組合，可形成一個面積為2的正方形。

請利用折剪拼的方式， 做出下列面積的正方形。 挑戰一下 請利用折剪拼的方式， 做出下列面積的正方形。

第一關：面積為9的正方形

面積為9—邊長為3 邊長1 其實我們也可以發現，邊長變大3倍，面積會變大9倍 面積1 面積1 面積1 面積1 面積1 面積1 面積1 面積1

第二關：面積為8的正方形

面積為8的正方形 將4塊面積為2的正方形拼起來即可。 面積2 面積2 面積2 面積2

第三關：面積為5的正方形

面積為5的正方形 利用面積4和面積1的正方形經過切割與組合， 拼成面積5的正方形 面積4 面積1

第四關：面積為3的正方形

面積為3的正方形 想辦法折出長度為 的邊。 D D 邊長2 C A B A B C 想辦法折出長度為 的邊。 D D 將A點折到BD線段上之E點，則ΔECB為30.60.90度的特殊三角形。 因此BE的長度為 邊長2 C A B A B C

最後將多出來的部分折掉即可 D A B C

面積為3的正方形，証明方法

面積4 面積1 面積1

因為 面積1 所以 面積1

第五關：面積為6的正方形

面積為6的正方形 兩個面積為3的正方形，可以分割成四個相同的等腰直角三角形，將這四個等腰直角三角形重新組合，可形成一個面積為6的正方形。

各位同學，我們已經可以做出哪些正方形面積： 已解決：面積1.2.3.4.5.6.8.9.10 未解決：面積7

面積7 就留給大家當回家作業啦~~

主題二 平方根的意義

在學平方根之前，我們先來回憶一下，什麼是相反數吧! 一年級時我們學過相反數 既然 也是一個數，所以 的相反數為

平方根 如果一個數的平方等於 a，這個數就叫做 a 的平方根。 例如：32＝9，所以3 是 9 的平方根； (－3)2＝9，所以－3 也是 9 的平方根。 事實上，每一個正數都有兩個平方根，其中一個是正的，另一個是負的。 隨堂練習： 若求2的平方根? 腦袋想法： ( ) 2 ＝2 因為( ) 2 ＝2 所以2的平方根是 ( ) 2 ＝2

例題一： 解 說 例題二： 若－5 是 2x－1 的平方根，求 x 的值。 解： (－5)2＝ 2x－1

我是你的平方根 啊~~ 我的平方就是你 的平方根 就是 例題二： 若－5 是 2x－1 的平方根，求 x 的值。 我是你的平方根 啊~~ 我的平方就是你 的平方根 就是 例題二： 若－5 是 2x－1 的平方根，求 x 的值。 解： (－5)2＝ 2x－1 例題一：

(a+b) 2＝a 2 +2ab+b2 (a-b) 2＝a2- 2ab+b2 (a+b) (a-b)= a2- b2 乘法公式 (a+b) 2＝a 2 +2ab+b2 (a-b) 2＝a2- 2ab+b2 (a+b) (a-b)= a2- b2

主題三：為何要『有理化』?

為何要『有理化』? 理由1： 可以將看似不同類項的方根化成同類項，進 而做方根的運算。 例如： 理由2： 為了讓學生對於一個根式更有『數感』 例如： 如果有學生 問你 是多大? 經過有理化之後= ，那 是多大?

謝謝大家的捧場