奇哉! 美哉! [原子核壳模型哈密顿量的]本征值 赵玉民 上海交通大学

在20世纪，原子核科学取得了许多巨大成就，如核能利用、核反应机制、核多体理论等。 在新世纪里，原子核物理仍然面临着极大的挑战，比如：宇宙中元素形成和元素的丰度、超新星爆发机制等，我们还不明了。而解决这些问题的关键是对原子核结构的理解取得新的突破。 元素的形成 宇宙元素丰度

壳模型哈密顿量的本征值 研究原子核结构的微观基础理论是原子核的壳模型, 而核壳模型的主要问题在于，一般而言组态空间太大，哈密顿量的对角化不可能实现。 出路: (1)组态空间近似，如配对近似， (2) 更强大的对角化或者近似对角化------ 计算机好、算法好、近似对角化

报告提纲 研究意义 从多极矩出发的本征值近似公式/美哉 ! 本征值和对角元的“线性”关系/奇哉! 本征值的“准确”预言/美哉 ! 真实系统的物理量预言 /奇哉! 总结

一、研究意义-1 Eigenvalue problem is a very fundamental practice in many fields, not only in nuclear physics，not only in physics … established algorithms: Jacobi method, Lanczos method, …

计算条件的限制 Full diagonalizations become difficult when the dimension of matrices is larger than $~10^{4-5}$. One can obtain a very few lowest eigenvalues of sparse matrices by super computers, if the dimension of matrices is less than $10^{11-12}$. There have been also many efforts (recently) to obtain lowest eigenvalues by using the energy centroid and spectral moments.

Statistical method for the lowest eigenvalue Famous one is by S. S. Wong’s method of “Error function approach” Other works: S. S. Wong, Nuclear Statistical Spectroscopy, Oxford University press, 1986.

Part II 最低本征值的统计方法

我们为什么对这个问题感兴趣？ I’ve been told the following fact for some years: usually one does not need a big number of iterations to get exact lowest eigenvalues by computer. The number of iteration in many cases is around than 100 (is it correct?, anyway, less than 1000). Then I thought “there must be some clever quantities which play essential roles in the diagonalization process, although we do not know what they are”.

The “history” of our work on this problem There is a very naive idea，which is as follows. We can easily study the average energy of eigenvalues which is nothing but trace divided by dimension. However, everybody knows average energy is not much related to and far from the lowest eigenvalue (or a few lowest ones). Then one must consider proper modifications on the average energy.

The paper by Ratcliff and the paper by Margetan et al The paper by Ratcliff and the paper by Margetan et al. seemed to think in the above ways. They suggested one might use various moments to evaluate lowest eigenvalues. (Note: we understand well the width of spectra, for instance, Gaussian distributed spectra. Similarly we may define various order of moments). Very unfortunately, these works looked too technical. There are no simple formulas which can be applied by others easily.

假定知道了本征值分布宽度sigma, 容易想到，“我们可以从平均能量减去一个和sigma成正比的量, 从而得到本征值的近似。”. Zuker’s formula (2000, 2002): E(lowest) = E(bar) - sigma * sqrt(2ln d) d 是所考察矩阵的维数. Zuker 在10年前推导了这个公式。但是这个公式与实际有差别。2004年初, 我曾经访问他[就住在他家]，期间我问他“你是否把这个公式用于真实情况?”,他回答 ,“I am busy, I have no time to do this. You can do this if you are interested in it”. 不过一天后他给我看了他(不知道什么时间做的)数值结果, 显示出真实的最低本征值和上面公式的明显差别.

Another interesting work is by Thomas Papenbrock and Hans Weidenmueller. They noticed there seems to exist a kind of correlation between sigma and lowest eigenvalues for random interacting systems. Namely, |E(lowest)| ~ factor times sigma (they call this “spectral radius”) However, little is known for factor above.

Yoshinaga and Arima, and Zhao, PRC 2006. Yoshinaga San tried the same thing by using Error function method. He applied the asymptotic behavior of error function and obtain a similar result as Zuker’s. Enlightened by these results, we suggested an empirical formula as follows.

最低本征值 注意: 这里的结果只是统计意义上的, 是对于一个大系综平均而言的.

沈佳杰提出的修正公式：简单假设、解析的，而且非常适用于实际情况，是一个很漂亮的工作 ！-----2007本科毕业论文，Published in Physical Review C77， 054312.

最低本征值 在sigma_3 加上一个 lnd 函数容易再降低误差大约20-30%! 美哉!

Part III 本征值和对角元的线性关系 这个结果也是沈佳杰本科毕业的内容，当时投稿时争议极大；中间和很多审稿人打交 道，文章过了一年多才发表(J.J. Shen et al., PRC78，044305)：因为实在太奇怪了！

My talk at Jilin University I was invited to a conference at Jilin University, in honor of Prof. Wu Shi-Shu, in February or March of 2007 and gave a talk based on the results of the eigenvalue problem obtained by Mr. Shen Jia-Jie. No one believed me in the conference, because it is too much out of expectation, at least at the first sight. Everybody complained that I must be wrong, except a few good friends … … Some of them did not comment, but I know what they think in their mind.

选自Akito Arima （前日本文部大臣、东京大学校长),上海原子核结构workshop 文集，International Journal of Modern Physics E (Supp.) Vol. 17. pp. 334-341 (2008). 那次国际会议召开的目的就是为这个事情找一些见证人[国际知名学者 Hans Weidenmueller (Max Planck 所前所长), 法国N. Bohigas(量子混沌的提出人)].

一点启发 人太容易受骗。人们自以为聪明，其实还是愚昧的。我们过于依赖自己知道的一点点经验，对于有些东西只要认真思索就能向前迈出一步，但是因为懒惰、懦弱、不自信，在认识上向前一步有时还是有点困难的。

奇哉!

相对误差：整体而言尚可，但对于最低本征值有时误差很大。

J. J. Shen et al., Phys. Rev. C 82, 014309（2010） Part IV [最低]本征值的预言 J. J. Shen et al., Phys. Rev. C 82, 014309（2010）

为什么对角元素排列顺序重要？ 排列对角元素的顺序，可能意味着组态的相似度，相似的在一起，不相似的抛开。但是，这样做为什么就有那么多漂亮和有用的规律，我们还不理解。

J.J. Shen et al., Phys. Rev. C 83, 044322（2011） Part V 其他物理量的预言以及改进 J.J. Shen et al., Phys. Rev. C 83, 044322（2011）

单粒子能量截断和对角元素截断极其不同：如果两者等价或者相似， 那么这些统计结果应该在i=i’ 一条直线上，实际情况完全不是这样。

我们最近引入微扰方法、对于波函数也能给出合适的近似，我们可以计算电多极跃迁，计算结果和严格对角化已经很接近(10^-4)。 J. J. Shen et al., Phys. Rev. C83, 044322(2011).

最近的努力方向 高阶微扰的改进 微扰矩阵元的模拟（随机数） J. J. Shen et al., preprint (to be published).

总结 1、我们研究了本征值问题，在利用统计方法研究最低本征值过程中，解析地引入三极修正（elegant work） 2、我们发现，如果在这样选择基底，即按照对角元素从小到大排次序，会带来意想不到的结果：

对角元素和精确的本征值的高度线性相关； 3、基底重新排列后，利用子矩阵预言本征值（不仅最低本征值）已经比较准确，接近精确结果 （200 多个实例，误差大约千分之三）； 4、其他物理量也有类似现象 ！ ！我们通过引入微扰法，近似程度继续得以很大提高（10^-4）； 我们可以定量研究近似的波函数、电磁跃迁和有效相互作用等 [Shen et al., Preprint]。

问一粒沙中有几多世界？[在南大读书时隔壁实验室的对联] 任何事情我们都可以感兴趣，都可以研究和讨论，这是科学的精神所在。我现在和研究组的学生说：任何题目，只要不是trivial 的东西，只要感兴趣，只要能做出来而且自圆其说，都是应该做的。 今天的内容是报告了关于矩阵本征值方面的一些过去不知道的、出人意料的一些事实。除了壳模型的矩阵外，我的同行和朋友们弄过无规位相近似中的矩阵和凝聚态物理中的***矩阵，情况很类似。下一步怎样 ? --- we do not know. “我亦无它，唯手熟尔”， 摘自欧阳修 《卖油翁》 联系方式：021-5474-1971； 电子邮件：ymzhao@sjtu.edu.cn

谢谢各位！