网络面授课程 角（二） 主讲教师：章巍

一、余角和补角 如果两个角的和等于90°，我们就称这两个角互为余角； 如果两个角的和等于180°，我们就称这两个角互为补角．

一、余角和补角 如果两个角的和等于90°，我们就称这两个角互为余角； 如果两个角的和等于180°，我们就称这两个角互为补角． 同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．

例 1 1、若∠1＋∠2＝90°，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的关系是【 】 A．互余 B．互补 C．相等 D．不能确定 1、若∠1＋∠2＝90°，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的关系是【 】 A．互余 B．互补 C．相等 D．不能确定 2、下列说法中不正确的是【 】 A．如果两个角互为补角，那么这两个角中有一个角是钝角 B．如果两个角互为余角，那么这两个角都是锐角 C．如果两个角的补角相等，那么这两个角相等 D．一个角的余角比这个角的补角小90°

例 1 1、若∠1＋∠2＝90°，∠2与∠3互余，那么∠1与∠3的关系是【 C 】 A．互余 B．互补 C．相等 D．不能确定

例 2 1、角α等于70°，则它的余角等于 度，补角等于____度． 2、74º32′的余角等于 ，38º41′的补角等于 ． 1、角α等于70°，则它的余角等于 度，补角等于____度． 2、74º32′的余角等于 ，38º41′的补角等于 ． 3、已知∠α与∠β互余，若∠β＝17°45′，则∠α＝ ． 4、如果∠A的补角等于∠A的2倍，那么∠A＝______度．

例 2 1、角α等于70°，则它的余角等于 20 度，补角等于 110 度． 1、角α等于70°，则它的余角等于 20 度，补角等于 110 度． 2、74º32′的余角等于15º28′，38º41′的补角等于141º19′． 3、已知∠α与∠β互余，若∠β＝17°45′，则∠α＝ 72º15′． 4、如果∠A的补角等于∠A的2倍，那么∠A＝ 60 度．

例 2 5、若一个角的余角是这个角的 ，则这个角的补角是 度． 6、若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，则这个角等于____度． 5、若一个角的余角是这个角的 ，则这个角的补角是 度． 6、若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，则这个角等于____度． 7、互为余角的两个角中，其中一个角比另一个角的3倍少10°，这两个角的度数分别是 度和 度．

例 2 5、若一个角的余角是这个角的 ，则这个角的补角是 108 度． 5、若一个角的余角是这个角的 ，则这个角的补角是 108 度． 6、若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7，则这个角等于 54 度． 7、互为余角的两个角中，其中一个角比另一个角的3倍少10°，这两个角的度数分别是 25 度和 65 度．

例 3 1、已知∠α与∠β（∠α＞∠β）互为补角，则下列各角中不是∠β的余角的是 【 】 A．90º－∠β B． (∠α－∠β) 1、已知∠α与∠β（∠α＞∠β）互为补角，则下列各角中不是∠β的余角的是 【 】 A．90º－∠β B． (∠α－∠β) C．∠α －90º D． ∠α 2、若∠α是钝角， ∠β＝ ∠α ，则∠β的补角一定是 【 】 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 3、如图，OC⊥AB于点O，∠1＝∠2， 则图中互为余角的共有______对． A O B C D E 1 2

例 3 1、已知∠α与∠β（∠α＞∠β）互为补角，则下列各角中不是∠β的余角的是 【 D 】 A．90º－∠β B． (∠α－∠β) C．∠α －90º D． ∠α 2、若∠α是钝角， ∠β＝ ∠α ，则∠β的补角一定是 【C】 A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定 3、如图，OC⊥AB于点O，∠1＝∠2， 则图中互为余角的共有 4 对． A O B C D E 1 2

例 4 如图，∠B与∠BEC互为补角，EF平分∠BEC，∠FEG为直角，若∠B＝100º，求∠DEG的度数． A B C D E F G

例 4 如图，∠B与∠BEC互为补角，EF平分∠BEC，∠FEG为直角，若∠B＝100º，求∠DEG的度数． A B C D E F G 100º 解：因为∠B与∠BEC互为补角， 且∠B＝100º， 所以∠BEC＝180º－100º＝80º， 又因为EF平分∠BEC， 所以∠FEC＝40º， 又因为∠FEG＝90º， 所以∠DEG＝180º－40º－90º＝50º.

二、方位角 东 北 南 西

例 5 1.一条船在灯塔的北偏东30°方向，那么灯塔在船的什么方向【 】 A．南偏西30° B．西偏南40° 1.一条船在灯塔的北偏东30°方向，那么灯塔在船的什么方向【 】 A．南偏西30° B．西偏南40° C．南偏西60° D．北偏东30° 2.小明的家在车站O的东偏北18°方向300米的A处，学校B在车站O的南偏西10°方向200米，小明上学经车站所走的∠AOB为 °． 3.甲从O点向北偏东30°走200米，到达A处，乙从O点向南偏东30°走200米，到达B处，则B在A的_________方向． 4. 从同一机场起飞的两架飞机，一架的飞行方向是北偏东32°，另一架的飞行方向是东偏南44°，如果两架飞机飞行高度相同，那么它们飞行方向的夹角是 度．

例 5 1.一条船在灯塔的北偏东30°方向，那么灯塔在船的什么方向【 A 】 A．南偏西30° B．西偏南40° C．南偏西60° D．北偏东30° 2.小明的家在车站O的东偏北18°方向300米的A处，学校B在车站O的南偏西10°方向200米，小明上学经车站所走的∠AOB为 118 °． 3.甲从O点向北偏东30°走200米，到达A处，乙从O点向南偏东30°走200米，到达B处，则B在A的__正南__方向． 4. 从同一机场起飞的两架飞机，一架的飞行方向是北偏东32°，另一架的飞行方向是东偏南44°，如果两架飞机飞行高度相同，那么它们飞行方向的夹角是 102 度．

例 6 小明和小刚骑自行车从A地同时出发沿不同的道路行驶，小明向东偏北30°方向行驶，小刚向南偏东30°方向行驶．已知小明的骑车速度是每分钟300米，小刚的骑车速度是每分钟400米，请在图中画出10分钟后小明和小刚的位置（用1∶100000的比例尺），并通过测量，得出此时小明和小刚之间的距离． 北 东 A

例 6 小明和小刚骑自行车从A地同时出发沿不同的道路行驶，小明向东偏北30°方向行驶，小刚向南偏东30°方向行驶．已知小明的骑车速度是每分钟300米，小刚的骑车速度是每分钟400米，请在图中画出10分钟后小明和小刚的位置（用1∶100000的比例尺），并通过测量，得出此时小明和小刚之间的距离． 北 东 A 小明和小刚之间的距离为5000米． B C

例 7 小明的地图册中有一页被墨迹污染，图中原有A、B、C三地中，C地无法看清，但知道C地相对于A地的方位角是北偏东30°，相对于B地的方位角是南偏东45°，你能帮他确定C地的位置吗? B A

例 7 小明的地图册中有一页被墨迹污染，图中原有A、B、C三地中，C地无法看清，但知道C地相对于A地的方位角是北偏东30°，相对于B地的方位角是南偏东45°，你能帮他确定C地的位置吗? C B A

三、时钟上的角

例 8 1、下列哪个时刻，钟表的分针与时针形成的夹角是平角【 】 A．3点45分 B．6点 C．9点15分 D．12点30分 1、下列哪个时刻，钟表的分针与时针形成的夹角是平角【 】 A．3点45分 B．6点 C．9点15分 D．12点30分 2、某学校上午第一节课的上课时间是8点，此时钟表上分针与时针的夹角是 度． 3、现在的时间是9点20分，此时钟面上的时针与分针的夹角是 度． 4、学校上午7时30分上课，中午11时放学，在这段时间内时针转过的角度是 度．

例 8 1、下列哪个时刻，钟表的分针与时针形成的夹角是平角【 B 】 A．3点45分 B．6点 C．9点15分 D．12点30分 2、某学校上午第一节课的上课时间是8点，此时钟表上分针与时针的夹角是 120 度． 3、现在的时间是9点20分，此时钟面上的时针与分针的夹角是 160度． 4、学校上午7时30分上课，中午11时放学，在这段时间内时针转过的角度是105度．

例 8 5、（2006河北）下午2点30分时（如图）， 时钟的分针与时针所成角的度数为【 】 A．90° B．105° 时钟的分针与时针所成角的度数为【 】 A．90° B．105° C．120° D．135° 6、某军事行动中，对军队部署的方位采用“钟代码”的方式表示．例如，北偏东30°方向45km的位置，而钟面上时针指向北偏东30°的时刻是1∶00，那么这个地方就用代码010045来表示，按这种方法，南偏东40°方向78km的位置，可用代码表示为 ．

例 8 5、（2006河北）下午2点30分时（如图）， 时钟的分针与时针所成角的度数为【 B 】 A．90° B．105° C．120° D．135° 6、某军事行动中，对军队部署的方位采用“钟代码”的方式表示．例如，北偏东30°方向45km的位置，而钟面上时针指向北偏东30°的时刻是1∶00，那么这个地方就用代码010045来表示，按这种方法，南偏东40°方向78km的位置，可用代码表示为 044078 ．

例 9 在一个具有时针、分针和秒针的机械时钟上，秒针每转一圈，分针就均匀的转动一分钟，分针每转一圈，时针就均匀的转动一小时。若此时恰好是8时20分30秒，则分针与秒钟的夹角是多少度？时针与秒钟的夹角是多少度？时针与分钟的夹角又是多少度？

例 9 在一个具有时针、分针和秒针的机械时钟上，秒针每转一圈，分针就均匀的转动一分钟，分针每转一圈，时针就均匀的转动一小时。若此时恰好是8时20分30秒，则分针与秒钟的夹角是多少度？时针与秒钟的夹角是多少度？时针与分钟的夹角又是多少度？ 答：分针与秒钟的夹角是57度，时针与秒钟的夹角是70.25度，时针与分钟的夹角是127.25度。

四、与角有关的计数问题

例10 1、如图，其中小于平角的角的个数是【 】 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 1、如图，其中小于平角的角的个数是【 】 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 C D B A 2、如图，∠AOB为平角，则图中小于平角的角有 【 】 A．9个 B．10个 C．11个 D．12个 A O B C D E

例10 1、如图，其中小于平角的角的个数是【 C 】 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2、如图，∠AOB为平角，则图中小于平角的角有 【 A 】 A．9个 B．10个 C．11个 D．12个 A O B C D E

例11 ⑴ 如图，从一个端点引出2条射线，可以组成1个角；如果引出3条射线，可以组成 个角；如果引出4条射线，可以组成 个角． ⑴ 如图，从一个端点引出2条射线，可以组成1个角；如果引出3条射线，可以组成 个角；如果引出4条射线，可以组成 个角． ⑵ 如果从一个端点引出n条射线，一共可以组成多少个角？（用含有n的式子表示） ⑶ 当n＝100时，共有多少个角？ O B A C D

例11 ⑴ 如图，从一个端点引出2条射线，可以组成1个角；如果引出3条射线，可以组成 个角；如果引出4条射线，可以组成 个角． ⑴ 如图，从一个端点引出2条射线，可以组成1个角；如果引出3条射线，可以组成 个角；如果引出4条射线，可以组成 个角． ⑵ 如果从一个端点引出n条射线，一共可以组成多少个角？（用含有n的式子表示） ⑶ 当n＝100时，共有多少个角？ O B A C D 解：⑴ 3、6；⑵ 个； ⑶4950个．

作业 1、在点A观测到点B位于北偏东30°，且距离A点500m处，那么从点B观测点A时，点A处于点B的 ． 2、 10点15分时钟面上的时针与分针的夹角是 度． 3、若一个角的余角是这个角的补角的 ，则这个角等于____度． 4、下图中，小于平角的角一共有 个． A B C D O