第二节 第六章 微积分的基本公式 一、引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼兹公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: 物体在时间间隔 内经过的路程为 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、积分上限的函数及其导数 定理1. 若 则变上限函数 证: 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . 2) 变限积分求导: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 求 解: 原式 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使 解: 原式 = c ≠0 , 故 又由 ～ , 得 例1. 求 解: 原式 例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使 解: 运行时, 点击按钮“说明”, 可显示变限积分求导公式. 原式 = c ≠0 , 故 又由 ～ , 得 说明 目录 上页 下页 返回 结束
例3. 设 f (x) 在(-∞,+∞)上连续,求 解: 首先分拆积分,再用变限积分求导公式:
例4. 证明 只要证 在 内为单调递增函数 . 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5. 设 f (x) 是以T为周期(T > 0) 的处处连续周期 函数，证明：在任何长度为T的区间上 f (x) 的积分 相等，即对任何实数 a 有 证明：由变限求导公式得 故积分
三、牛顿 – 莱布尼兹公式 定理2. 函数 , 则 故 证: 根据定理 1, 因此 得 ( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 计算 解: 例7. 计算正弦曲线 的面积 . 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例8. 求 解: 因为 故应分别在[0，1]与[1，2]上应用公式：
例9. 计算 解: 令 取 则
例10. 求 f (x) = sin2x 在 解:
例11. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 , 到某处需要减 速停车, 设汽车以等加速度 刹车, 问从开始刹 车到停车走了多少距离? 解: 设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 刹车后汽车减速行驶 , 其速度为 当汽车停住时, 即 得 故在这段时间内汽车所走的距离为 机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结 1. 微积分基本公式 则有 积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式 运行时, 点击按钮 “公式” 可显示变限积分求导公式. 公式 目录 上页 下页 返回 结束
2、变限积分求导公式 变限积分在一元函数微积分中起着非常重要的 作用， 它把导数和原函数、 定积分和不定积分等 基本概念联系起来， 而且由于它作为新的函数形式 出现， 使微积分的题型更加多样化和复杂化。 例如求极限、求导、求积分、求极值、求最值 讨论连续性、单调性、有界性、周期性等都可能 有变限积分参与进去。
备用题 1. 设 求 解： 定积分为常数 , 故应用积分法定此常数 . 设 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 求 的递推公式(n为正整数) . 解： 由于 因此 所以 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束