第四章 恒定电流的电场和磁场 §4.1  恒定电流的电场  §4.2  恒定电场与静电场的比拟  §4.3  恒定磁场的基本方程  §4.4  恒定磁场的矢量磁位  §4.5  介质中的磁场  §4.6  恒定磁场的边界条件  §4.7  电感的计算  §4.8  恒定磁场的能量和力

§4.1 恒定电流的电场 4.1.1 微分形式的欧姆定律和焦耳定律 4.1.2 恒定电场的基本方程 4.1.3 恒定电场的边界条件

§4.1 恒定电流的电场 图 4-1 导体中的恒定电流

4.1.1 微分形式的欧姆定律和焦耳定律 它的定义是: 单位时间内通过导体任一横截面的电荷量, 数学表示式为 所以恒定电流的电流强度定义为 上式中Q是在时间t内流过导体任一横截面的电荷, I是常量。电流强度的单位为(A=C/s)。

图 4-2 电流密度矢量

式中J是体传导电流密度, 单位为A/m2。如果所取的面积元的法线方向 与电流方向不平行, 而成任意角θ, 如图4-2(b)所示, 则通过该面积的电流是 所以通过导体中任意截面S的电流强度与电流密度矢量的关系是

1.欧姆定律的微分形式 由实验已知, 当导体温度不变时, 通过一段导体的电流强度和导体两端的电压成正比, 这就是欧姆定律 式中R称为导体的电阻, 单位为Ω, 表示式为 或 上式中, l为导体长度; S为导体横截面; σ称为导体的电导率, 它由导体的材料决定, 单位为1/Ω·m=S/m。

表 4-1 几种材料在常温下的电阻率和电导率

图 4-3 推导欧姆定律微分形式

所以J=σE。在各向同性媒质中, 电流密度矢量J和电场强度E方向一致, 都是正电荷运动方向, 故有 运流电流不服从欧姆定律, 所谓运流电流, 是指电荷在真空或气体中由于电场的作用而运动时形成的电流。其电流密度是 式中ρv(C/m3)为某点的电荷密度, v为该点电荷运动速度。

2. 焦耳定律的微分形式 一般通有电流I的导体, 若其两端的电压为U, 则单位时间内电场对电荷所作之功, 即功率是 图4-3中, 微小圆柱体的体积元为ΔV=ΔSΔl, 它的热损耗功率是 当ΔV→0, 取ΔP/ΔV的极限就是导体中任一点的热功率密度, 它是单位时间内电流在导体任一点的单位体积中所产生的热量, 单位是W/m３。表示式是

或 上式就是焦耳定律的微分形式。它在恒定电流和时变电流的情况下都成立, 但对运流电流不适用, 因为运流电流中电场力对电荷所作的功不变成热量, 而变成电荷的功能。

4.1.2 恒定电场的基本方程 1.电流连续性方程, 恒定电场的散度 图 4-4 电流的连续性

根据电荷守恒原理, 单位时间内由闭合面S流出的电荷应等于单位时间内S面内电荷的减少量。因而得 然而, 在恒定电场中, 导体内部电荷保持恒定, 即不随时间变化,故dQ/dt=0所以得 恒定电流连续性方程的微分形式

如果导体的导电性能均匀, σ是常数, 则得 根据高斯定理,上式说明导体内部任一闭合面S内包含的净电荷Q=0。 所以在均匀导体内部虽然有恒定电流, 但没有电荷, 恒定电荷只能分布在导体的表面上。导体内部的恒定电场是由表面上的电荷产生的。 在均匀导体内部

2. 恒定电场的旋度 因为在导体内部电荷量保持恒定, 电场分布也为恒定, 所以恒定电场与静电场相同也遵循守恒定理, 所以 (4-16) 由斯托克斯定理, 从式(4-16)可得 所以恒定电场也是位场。 恒定电场这个特性只在电源外的导体中满足。在电源内部, 不仅有电荷产生的电场, 还有其它局外电场, 因此不满足守恒定理。

在电源外的导体内, 恒定电场的基本方程为#; 微分形式 积分形式 媒质特性, 即欧姆定律的微分形式为 由于▽×E=0, 故电场强度与电位的关系满足E=- ▽ φ。在载有恒定电流的均匀导体内部(即σ为常数), 可得 所以电源外的导体内, 电位函数也满足拉普拉斯方程。

4.1.3 恒定电场的边界条件 1. 两种导电媒质的边界 图 4-5 恒定电场不同媒质分界面

所以 (4-19) 又由Jn=σEn和E=-▽φ, 式(4-19)可表示为 (4-20)

根据式(4-16), 仿第二章节在交界面上取一扁矩形闭合路径, 即可得 所以 此式说明分界面上电场强度的切向分量连续。 又因为Jt=σEt, 并应用第三章推导电位边界条件的方法可得

上两式相除得 此式表明分界面上电流线和电力线发生曲折。 当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。如两种金属媒质(通常认为金属的介电常数为ε0)的分界面上, 根据D1n-D2n=ρs, 则得

式中ρs是分界面上自由电荷面密度。将式(4-20)代入上式得 (4-26) 可见, 只要σ1≠σ2, 分界面上必定有一层自由电荷密度。如果导电媒质不均匀, 即使在同一媒质中也会有体电荷的积聚。

2. 两种导电媒质的电导率σ1<<σ2 当一种导电媒质为不良导体(σ1≠0, 但很小), 另一种导电媒质为良导体(σ2很大), 如同轴线的内外导体通常由电导率很高(107数量级)的铜或铝制成, 而填充在两导体间的材料不可能是理想的绝缘电介质, 总有很小的漏电导存在。例如, 聚乙烯的电导率为10-10数量级, 由式(4-26)得

3. 第一种媒质为理想介质, 第二种媒质为导体 图 4-6 理想介质与导体交界面的电场强度

由上式可知E1不垂直导体表面, 那么导体表面不是等位面, 导体也不是等位体, 这是由于σ2有限, 导体中沿电流方向存在电场。 而在静电场中, 导体内电场强度为零, 介质中的场强总是垂直导体表面, 导体是等位体, 其表面是等位面。这一点, 恒定电场与静电场有根本的区别。然而σ2越大, E2t和E1t越小, θ1也越小, 直至σ2=∞时, E1就垂直导体表面, 导体表面为等位面。

例 4.1 设直径为2mm的导线, 每100 m长的电阻为1 Ω, 当导线中通过电流20 A时, 试求导线中的电场强度。如果导线中除有上述电流通过外, 导线表面还均匀分布着面电荷密度为ρs=5×10-12(C/m2)的电荷, 导线周围的介质为空气, 试求导线表面上的场强大小和方向。 图 4-7 导线表面的电场

解 (1) 在导体内部只存在Et, 如图4-7所示。

(2) 因为在导体表面存在恒定电荷, 所以产生的场强是 V/m 导体表面上总的场强为 V/m 电场强度与导体表面的夹角为 V/m

例 4.2 设有一同心金属球, 内外球体之间均匀充满二层电导率分别为σ1和σ2的导电媒质, σ1、σ2远小于金属球的电导率。 σ1≈σ2, 为常数。导体球及导电媒质的半径如图4-8所示。内外球间加有直流电压U0, 极性如图。试求两区域中恒定电场的电流、 电流密度、电场强度及电位的分布。 图 4-8 同心金属球

解法1: 设流过两区域的任一同心球面的电流为I。 则两区域中任一点的电流密度为 导电媒质①和导电媒质②中的电场强度分别为

故得 将I分别代入J、E1和E2的表示式, 即得到两个区域中的电流密度和电场强度。如果取外金属球为电位参考点, 则区域①(a≤r≤c)中任一点的电位是 区域②(c≤r≤b)中任一点的电位是

解法2: 根据恒定电场电位方程求解。 (1) 方程与解的形式: 由球对称性, φ仅是r的函数, 得 a≤r≤c c≤r≤b 所以

(2) 由边界条件确定常数:

联立求解上述四个方程得

所以得

所得结果与解法1中完全相同。

例 4.3 一同轴电缆内导体半径为a, 外导体内半径为b, 内外导体间填充一种介电常数为ε、电导率为σ的电介质材料, 如图4-9。试计算同轴电缆单位长度的绝缘电阻R1。 图 4-9 同轴电缆的横截面

解法1: 用公式(4-6 b), , 式中dl为沿电流方向的长度元, 如图4-9所示, S是垂直于电流方向的面积, 它可能是坐标变量的函数, 所以

解法2: 由两极间电位差, 可根据拉普拉斯方程, 先求电位φ, 再由E=-▽φ, J=σE, I=∫S J·ds求得电流强度I与两极间电位差U的关系, 则绝缘电阻R1=U/I。 当电极有某种对称关系时, 可以先假设由一个电极通过绝缘材料到另一个电极的电流为I, 再由J=I/S, E=J/σ, U=∫l E·dl, 求得两极间的电位差与电流的关系, 也同样可以求得绝缘电阻。 应用上述方法, 假设同轴电缆内外导体间加一直流电压U, 并考虑轴对称, 故沿径向流过同一圆柱面的漏电流密度相等, 是

所以 内外导体间电压 则单位长度绝缘电阻是 (Ω/m)

解法3: 根据静电比拟法(见§4.2), 由例3.14中同轴线单位长度电容的表示式, 按式(4-30)求得 所以

例 4.4 设一扇形电阻片的尺寸如图4-10所示, 材料的电导率为σ, 试计算A、B面之间的电阻。 图 4-10 扇形电阻片

解法1: 设A板电位为U0, B板电位为零。A、B板间的电位φ满足拉普拉斯方程, 并由对称性, φ只是φ的函数, 故 其通解为φ=C1φ+C2, 根据边界条件, φ=0, φ=0 得C2=0; φ=α, φ=U0, 得C1=U0/α, 则

电场强度: 电流密度: A板流向B板的电流: 所以 (Ω)

例 4.5 试计算如图4-11所示的深埋在地下的铜球的接地电阻, 设铜球的半径为a。 图 4-11 计算接地电阻

解: 大地中任一点的电流密度为 电场强度为 铜球至无限远处电压是(认为电流流至无限远处) 所以接地电阻是 式中σ是土壤的电导率。

§4.2 恒定电场与静电场的比拟 表 4-2 恒定电场与静电场比较

例如两导体电极间的电容为 (F) 两导体电极间的电导为 (S) 且

例4.6 设例4-2中同心金属球内外导体间填充二层介电常数分别为ε1和ε2的无耗电介质, 而几何尺寸及所加电压均不变。 (1) 试用静电比拟法求两区域中的电通密度、 电场强度以及电位的分布; (2) 采用静电场方法求出两区域的D、E、φ分布, 并加以验证。 ［解］ (1) 根据表4-2, 恒定电场与静电场中, 只要两电极的几何形状、尺寸及边界条件不变, 则两种场的对应量可以相互置换, 所以直接得到

(2) 采用静电场方法求解时, 首先设内、外金属球带电量分别为+Q和-Q, 根据球对称性, 并且电介质均匀, 故电通密度矢量仅在径向; 又由边界条件D1r=D2r|r=c, 所以区域 1 及区域 2 的D相等。 根据高斯定理可得 所以

取外金属球为电位参考点, 则两个区域的电位分别是 a≤r≤c c≤r≤b 将Q分别代入D、E1、E2、φ1、φ2 的表示式, 得到的解与(1)中的解完全相同。

§4.3 恒定磁场的基本方程 4.3.1 真空中恒定磁场的旋度, 安培环路定律 4.3.2 磁场的散度, 磁通连续性原理

§4.3 恒定磁场的基本方程 4.3.1 真空中恒定磁场的旋度, 安培环路定律 安培环路定律总结了恒定磁场与场源电流间的依赖关系。 安培根据毕奥—萨伐定律总结出磁感应强度与电流的一般规律: 真空中磁感应强度沿闭合路径的线积分等于该闭合路径包围电流的代数和乘以μ0, 取与回路成右螺旋关系的电流为正, 反之为负。 数学表示式为 (4-31)

图 4-12 闭合回路包围的电流

见图4-12, 电流的代数和 如果电流流过闭合路径所包围的面, 则式(4-31)可改写为 上式中S是由闭合路径包围的任一曲面, J为体电流面密度。 所以

例 4.7 设有两根距离为d的无限长平行细线, 通有大小相等、 方向相反的电流I, 其横截面及电流方向如图4-13所示。试应用安培环路定律计算该平行双线的磁感应强度B。

［解］ 因为双导线无限长, 磁场沿导线方向不变, 所以在任一个垂直于双导线平面上的磁场分布均相同。 图中xoy平面垂直于双导线, Z轴与导线平行, 我们只需计算xoy平面上任一点P(x, y, o)的磁通密度B. 对于单根导线, 由轴对称性, ρ相等的圆柱面上B相等。

则导线 1 和 2 上的电流在P点产生的磁感应强度是 式中 其中 分别是P点到导线1和2的垂直距离。

所以得 B只有x和y分量, 且不是z的函数, 磁感应线都在垂直于双导线的平面上, 所以称为平行平面场。当y=0时,

4.3.2 磁场的散度, 磁通连续性原理 根据毕奥-萨伐定律, 可推得B所满足的散度方程。将式(2-12)两边对场点取散度, 通过矢量运算, 即可得到恒等式 应用散度定理得 如果要计算穿过任一非闭合面的磁通量, 则

例 4.8 试计算例4.7中, 穿过单位长度双导线构成的平面上的磁通量。设细导线的半径为a。 ［解］

§4.4 恒定磁场的矢量磁位 4.4.1 矢量磁位A 4.4.2 矢量磁位的微分方程

§4.4 恒定磁场的矢量磁位 4.4.1 矢量磁位A 根据场论公式 用另一个矢量函数A的旋度来表示B 式中A称作为矢量磁位(或称磁矢位)。

根据矢量恒等式

因为上式中体积分是对源点坐标进行的, 所以旋度运算符号可提到积分以外, 则 (4-41)

如果电流分布在表面S上, 则 如果电流分布在细导线回路中, 则得 (4-43)

式(4-41)中的磁矢位A(r)隐含着一个重要的性质, 就是恒定电流分布在有限空间的条件下, A的散度是零, 即 上式中应用了斯托克斯定理, l表示面积边缘的闭合曲线。 因为磁通量Ψ的单位是Wb, 所以A的单位是Wb/m。

4.4.2 矢量磁位的微分方程 以直角坐标为例, 式(4-41)的矢量磁位可以写成三个分量

当体电荷密度为ρv(x′, y′, z′)时, 场点的电位可根据式(3-15)计算: (4-47) 矢量磁位A(r)的每一个分量是下列泊松方程的解这一结论。 (4-47)

将式(4-47)两边分别乘以各单位矢量后相加得 (4-48) 上式为矢量位泊松方程。虽然在直角坐标中推导, 但磁矢量位A(r)在圆柱坐标和球面坐标中同样满足式(4-48)的泊松方程。在体电流密度分布为零的区域, 则有 此时矢量磁位满足拉普拉斯方程。

例 4.9 试计算磁偶极子在远处产生的矢量磁位和磁感应强度。 图 4-14 磁偶极子磁场的计算

［解］ 圆环上的电流元Idl在场点P产生的矢量磁位, 根据式(4-43)可表示为 在φ=0平面两侧φ和-φ处取两个电流元Idl′和Idl″, 并令dl′、 dl″=dl, 它们在P点产生的dA′和dA″的方向分别和Idl′、 Idl″平行, 如图4-14(b)所示。

上述一对电流元在P点产生的A是

因为r>>a, a2/r2可以略去, 所以 再根据二项式定理将上式右端展开, 并略去高阶小量, 得 将1/R代入A的表示式, 得

式中S=πa2是细导线圆环的面积。 在球坐标中, 应用公式B=▽×A, 计算得 上式与例3.8中一个中心位于坐标原点的电偶极子在远处产生电场强度的表示式 其矢量磁位可表示为

图 4-15 二种偶极子远区场分布图

例 4.10 如图4-16所示, 设两根距离为d的无限长平行细直导线, 半径为a, a<<d, 通有大小相等, 方向相反的电流I。 试求: (2) 应用公式B=▽×A得到磁通密度的表示式; #; (3) 穿过单位长度双直导线构成平面(即xoz平面)的磁通量。 图 4-16 计算平行双导线磁场

［解］ 由例4.7已知, 该题是平面场, 只需计算平面xoy平面上任一点P(x, y, 0)的场。 (1) 根据公式(4-43), 这里是对电流源所在点的坐标积分, R=|ρ-ρ′|。 因为电流平行z轴, 所以A也平行z轴。

在点(d/2, 0, z′)和点(-d/2, 0, z′)取一对电流元(大小相等、 方向相反), 则P点的矢量磁位是 其中

设双导线在无限远处闭合, 故 所以任意一点P矢量磁位是

(2) 在直角坐标中计算B=▽×A即得

(3) 图 4-17 由A计算磁通量图

§4.5 介质中的磁场 4.5.1 介质与磁场的相互影响 4.5.2 介质中的安培环路定律, 磁场强度 4.5.3 B和H的关系, 磁导率 §4.5 介质中的磁场 4.5.1 介质与磁场的相互影响 4.5.2 介质中的安培环路定律, 磁场强度 4.5.3 B和H的关系, 磁导率 4.5.4 标量磁位φm

§4.5 介质中的磁场 4.5.1 介质与磁场的相互影响 传导电流产生磁场的性质已由前论述, 现在讨论分子电流产生的磁场。通常用磁化强度来表示介质的磁化状态, 即磁化方向和程度:  

图 4-18 计算磁化物质的磁场

dv′内分子电流在任一点处产生的磁矢位是 因此, 体积V′内所有磁偶极子在其外部任一P点产生的磁矢位是 (4-52)

利用矢量恒等式 和 式(4-52)可变为

▽′×M相当于一个体电流密度, 称为束缚体电流密度, 用J′来表示:

4.5.2 介质中的安培环路定律, 磁场强度 磁介质中的磁场应由传导电流和束缚电流共同产生, 真空中安培环路定律的微分形式应改写为 或

矢量B/μ0-M的旋度只与传导电流有关, 记 (A/m) 称H为磁场强度, 并可得 式(4-57)就是磁介质中安培环路定律的微分形式: (4-60)

将式(4-60)两端在一个面积S上积分, 再应用斯托克斯公式, 即得 故 这就是介质中安培环路定律的积分形式,说明磁场强度H沿任意闭合路径的线积分等于闭合路径所包围的传导电流的代数和, 与l的环绕方向成右手螺旋关系的电流取正值, 反之取负值。

4.5.3 B和H的关系, 磁导率 实验证明, 除铁磁介质外, 在其它各向同性、线性介质中, M和H成正比, 表示式是 其中系数χm称为介质的磁化率, 是一个无量纲的常数, 它取决于物质的物理、化学性质。 顺磁介质中χm＞0, 抗磁介质中χm＜0, 真空中χm=0。 令 于是

表 4-3 几种材料在常温下的相对磁导率

4.5.4 标量磁位φm 恒定磁场和静电场不同, 它是有旋场, 因而不能用标量位函数来表示。但是在没有传导电流的区域中, H的旋度等于零, 在这种无传导电流的区域中, 可写为 上式φm称为磁场的标量位, 简称标量磁位或磁标位, 式中负号是为了与静电场相对应而人为地引入的。 在均匀介质中, 根据▽·B=0, B=μH, 及H=- ▽φm, 可得

例 4.11 一半径为a(m)的圆形截面的无限长直铜线, 通过电流为I(A), 在铜线外套一个与之同轴的磁性材料制成的圆筒, 圆筒内、 外半径分别为c(m)和b(m), 相对磁导率μr=2000。试求: (1) 圆筒内的磁场强度和磁通密度; (2) 通过圆筒中每单位长度的总磁通量; (3) 圆筒中的磁化强度M; (4)圆筒中的束缚电流密度; (5) 圆筒壁外的磁场。 ［解］ (1) 应用安培环路定律: 式中I仅为传导电流的代数和。在磁性圆筒横截面上取一半径为ρ的圆作为闭合路径l, 则

于是

(2) （3）

(4) 由式(4-54), 则材料中束缚体电流密度是 由式(4-55)能分别求出内外表面的束缚面电流密度是:

(5) 当ρ≤a时, 则 则

解法1： 则

解法2: 磁性圆筒产生的磁场等效为在真空中束缚电流产生的磁场。 则

由上计算表明, ρ＞b处的磁场和没有圆筒时的场相同, 这是由于磁性圆筒内、外表面束缚电流相互抵消的缘故。而磁性圆筒内的磁场就需要考虑筒内壁的束缚电流, 所以

§4.6 恒定磁场的边界条件 4.6.1 B和H的边界条件 4.6.2 A和φm的边界条件

§4.6 恒定磁场的边界条件 4.6.1 B和H的边界条件 仿第二章推导方法即可得 (4-68) 或 §4.6 恒定磁场的边界条件 4.6.1 B和H的边界条件 仿第二章推导方法即可得 (4-68) 或 上式表明在分界面上磁感应强度B的法向分量总是连续的。由于B=μH, 当μ1≠μ2时, 则在分界面上μ1H1n=μ2H2n, 故H1n≠H2n, 也就是分界面上磁场强度H的法向分量不连续。

仍按第二章推导方法可得 图 4-20 表面电流

(4-70) 磁场经过介质分界面时要突变, 当然包含方向的改变, 根据式(4-68)和式(4-70), 可改写为 式中θ1、θ2分别为磁场强度H与交界面法线方向的夹角, 将上两式相除则得

4.6.2 A和φm的边界条件 根据B=▽×A及边界上B1n=B2n可以推得, 矢量磁位A在边界上满足 即A在分界面上切向分量连续。 在没有传导电流的分界面上, 由H1t=H2t及B1n=B2n可得标量磁位满足

例 4.12 设无限长同轴线内导体半径是a(m), 外导体内半径是b(m), 外导体厚度忽略不计, 内外导体间填充磁导率为μ的均匀磁介质(μ＞μ0), 内外导体分别通有大小相等、方向相反的电流I, 见图4-21, 试用矢量磁位计算各区域的磁场。 ［解］ 因为同轴线无限长, 故磁场分布沿长度方向没有变化。 又为圆截面、材料均匀, 故磁场是轴对称场。磁场分布仅是半径ρ的函数。采用圆柱坐标, 取内导体电流为+ 方向, 外导体电流为 方向, 则矢量磁位A只有 方向的分量, H和B只有φ方向的分量, 并是以轴心为圆心的同心圆。 内导体中(ρ≤a), A满足泊松方程, 内外导体间A满足拉普拉斯方程。

图 4-21 同轴线及其磁场分布

图 4-21 同轴线及其磁场分布

根据式（4-48）得一维磁矢位方程 （4-75） （4-76） 方程（4-75）的解是

方程（4-76）的解是

根据边界条件确定系数： 因为 时，场量必须为有限值，故C1=0 因为 有限，导体表面无传导电流，故根据式（4-70），在 处得 最终得到内导体内部（ 处）： 内、外导体间

根据式（4-74），在 处 选择 处为参考点， 得 故

§4.7 电 感 的 计 算 4.7.1 自感 4.7.2 互感

§4.7 电 感 的 计 算 4.7.1 自感 图 4-22 N匝密绕线圈  

该密绕线圈的全磁通为 Ψ又称磁通匝链数, 或简称为磁链。 图 4-23 圆柱导体内的磁链

(4-78) 其中ρ2/a2相当dψ所交链的匝数N, 故N=ρ2/a2。 显然在ρ=a处, 因为导体表面附近的磁感应线交链着全部电流I, 则N=1匝。 在各向同性、线性磁介质中, 设有一闭合导线回路, 在回路通有电流时, 定义穿过回路的磁通与该回路中的电流的比值为  

图 4-24 外自感的计算

或者等于A沿l的闭合线积分: 则穿过以l为边界的面积上的磁链是 根据外自感的定义可得

计算单匝线圈导线回路的内自感时, 通常回路尺寸比导线截面积尺寸大得多, 则导线内部的磁场可近似地认为与无限长直导线内部的磁场相同。设导线的半径为a, 磁导率为μ0, 则由例4.12应用安培环路定律算得导线内距轴线ρ处的磁通密度是 导线内部磁力线是以轴线为中心的同心圆, 在导线长度为l范围内,穿过ρ处厚度为dρ的矩形截面的磁通为(见图4-25)dψi=Bds=Bldρ, 由公式(4-78)得

故总磁链为 因而一段长度为l的圆柱形导体的内自感是 单位长度的内自感为 它与导体半径无关。

图 4-25 内自感的计算

图 4-26 计算环形螺线管的自感

例 4.13 如图4-26所示的矩形截面环形螺线管共有N匝线圈, 绕在相对磁导率为μr的磁介质上, 线圈中通有电流I(A), 磁介质的截面尺寸如图4-26所示, 试求外自感。 ［解］ 所以

通过螺环一匝线圈的磁通量是 则穿过整个螺线管的磁链是 该环形螺线管的外自感是

例 4.14 设同轴线内导体半径为a(m), 外导体内半径为b(m), 外半径为c(m)。同轴线所用材料磁导率均为μ0(H/m)。试计算同轴线单位长度的总自感。 图 4-27 计算同轴线总自感

［解］ 所以外自感是 计算外导体的内自感, 应首先计算外导体中的磁通密度B, 及穿过其单位长度纵截面的磁通量, 由安培环路定律得

所以 式中N为交链匝数, 穿过外导体纵截面单位长度磁通量是

同轴线单位长度总自感是

4.7.2 互感 图 4-28 两回路间的互感

回路 1 对回路 2 的互感(或称互感系数) 第 2 回路对第 1 回路 1 的互感应为 根据定义, 计算互感系数M21可首先计算回路电流I1与第2回路相交链的磁链

则 所以 同样可求得回路 2 对回路 1 的互感系数

例4.15 设一根无限长细直导线与一个直角三角形的导线框在同一平面内, 一边相互平行, 如图4-29 所示。 试计算直导线与三角形导线间的互感。 图 4-29 互感的计算

［解］ 根据式(4-83), 假设细长直导线中通有电流I(A) 。先计算穿过三角形导线框中的磁通, 已由安培环路定律求得 则穿过三角形框的磁通是 式中

故细直导线与三角形导线间的互感是

§4.8 恒定磁场的能量和力 4.8.1 恒定磁场的能量 4.8.2 能量密度 4.8.3 磁场力, 霍尔效应

§4.8 恒定磁场的能量和力 4.8.1 恒定磁场的能量 图 4-30 i2=0, 使i1→I1时, 外电源作的功

因为ψ11=L1i1, 所以dψ11=L1di1(L1是回路l1的自感)。代入上式, 最后得到i2=0时, i1从零增加到I1的过程中, 外电源所作的功是

图 4-31 I1恒定, 使i2→I2时外电源作的功

这样, 保持I1不变, 使i2从零增加到恒定值I2的过程中, 外电源所作的功为

磁场储能为 将上式改写成下列形式: (4-91)

如果空间有N个电流回路, 则系统的磁场能量可由式(4-91)推广得到

4.8.2 能量密度

在各向同性、 线性媒质中为

例4.16 设例4.13中同轴线内、外导体在两端闭合形成回路, 并通有恒定电流I, 当外导体的厚度忽略不计时, 试求单位长度的储能。 ［解］ 因为外导体厚度忽略不计, 可以不考虑外导体的内自感。 解法1:

解法2: 0＜ρ＜a 0＜ρ＜b 所以单位长度的储能是

4.8.3 磁场力, 霍尔效应 图 4-32 霍尔效应

(1) 磁通量保持不变, 即电源不供给产生磁场系统的能量, 则作用在载流导体上的磁场力在x方向的分量表示式是 上式表明磁场力所做的功等于磁场能量的减少。 (2) 电流保持不变, 则电源供给系统能量, 磁场力的表示式是 这时, 磁场力所做的功等于磁场能量的增加, 而该二者都是由电源提供的。

图 4-33 通电回路间的作用力

假设l2在磁场力Fx的作用下发生一个位移dx, 设电流I1、I2保持不变, 由于l1、l2相对位置改变, 磁链ψ21也要改变。由于穿过l2的磁链由电流I1和M21决定, 所以磁链的改变为 该磁链的改变将在回路l2中产生一感应电动势ε21=-dψ21/dt。为了保持I2不变, 必须在l2上加一个外电压-ε21, 外电压在dt时间所作的功为

同样, 由于相对位置改变, 由l2产生的与l1相链的磁通ψ12也要发生改变, 因而在回路l1中也产生一个感应电动势ε12=-dψ12/dt。 为保持I1不变, 在l1中必须加一个外加电压-ε12, 它在dt时间内所作的功为 因为M21=M12, 故电源供给的总能量为 又由于两回路相对位置改变, 互感发生改变, 使在相同时间里磁场的储能也有一增量

根据能量守恒原理, 外电源提供的总能量应等于磁场储能的增量与磁场力(即为Fx)所作的功之和, 表示式为 所以磁场力的表示式是 该式表明磁场力的作用方向就是使互感增加的方向。 对于N个回路的系统, 则其中第i个回路在x方向所受的磁场力为

例 4.17 两根半径为a, 距离为d的无限长平行细导线, a<<d, 通有大小相等、方向相反的电流I, 如图4-34所示。试求二导线的相互作用力。 图 4-34 双导线的作用力

［解］ 由例4.8已求得穿过单位长度双导线构成平面的磁通量: 两导线间磁场作用力是

例 4.18 设一个电磁铁如图4-35所示, 铁芯的横截面积为S, μ→∞, 所绕线圈匝数为N, 线圈中通有电流I, 磁路中磁通为ψ。试求该电磁铁对衔铁的举力。 图 4-35 电磁铁的力

［解］ 可以采用虚位移法求出电磁铁对衔铁的举力。 解法1: 令衔铁产生一虚位移dy, 改变电源电压以保持磁铁中的ψ恒定。衔铁位移将引起空气隙中磁能改变(注意: 由Wm=B2/2μ, 可见铁芯中磁能密度远小于空气隙中的, 所以铁芯中的磁能可以忽略): 当ψ恒定时, 衔铁沿y方向位移(dy＞0), 则磁能增加, 代入式(4-101)得

解法2: 则

例 4.19 设一无限长直细导线与一矩形回路共面, 其尺寸及电流方向如图4-36所示, 其中电流单位为A, D、b、a单位均为m。 试计算直导线和矩形回路之间的力。 所以磁场对矩形回路的作用力是 此力为x向, 即使矩形回路离开长直导线的方向上。