第5讲 量子力学哲学

黑体辐射 1859年，通过基尔霍夫等人的研究，已经证明黑体辐射的“成分”（能量按频率的分布）只依赖于周围腔壁的温度而不依赖于腔壁的材料，或者说：“在相同的温度下的同一波长的辐射，其发射率和吸收率之比，对于所有物体都是相同的。”这里涉及的就是某个确定温度的黑体，电磁辐射和粒子处于平衡态。 dE=cρ(,T)d

统计热力学 经过玻尔兹曼、麦克斯韦等人的工作，用统计方法 来研究分子热运动已被证明是很成功的。麦克斯韦 发现统计热力学的一条重要规律－－单原子气体的 速度分布律： ，分子平均动能： 最可几速度： 气体分子服从能量均分定律： E为气体总动能，N为分子数。

相空间 在某外力作用下，一个粒子按照牛顿定律运动，其路径集合是由无数的向任意方向发展且可相互交叉的连续曲线和所有的单个点组成的一个集合。 更有条理的理解是引入相空间。要在3维空间中确定一个点的位置，我们要确定粒子在3维坐标上的三个值。如果要确定一个粒子的速度，我们需要另外三个值，即粒子在x,y,z轴上的速度。设想有一6维空间，用6维空间中的一个点来描述某时刻的单粒子系统的所有动力学状态。我们用前三个坐标来表示其位置，用另外三个坐标来表示其速度。这样的空间被称作相空间，以区别于3维位置空间。

多粒子体系 6N维空间中的一点可以表示在3维空间中运行的一个多粒子系统的位置和速度。在相空间中，两个动力学系统的轨迹不可能相交。 有时会使用μ空间表示：用6维空间中（不是6N维空间）的N个点来描述由N个粒子组成的系统的全部动力学状态。这样，N条轨迹线就描述出所有粒子的运动。在这种描述中，经典的决定论就被表述成：在某一时刻，各由N条轨迹线组成的两组轨迹集不可能完全重合。我们把这样的空间叫做μ空间。对于单粒子体系而言，μ空间与相空间是重合的。

多粒子体系 任何物理系统的各种不同的宏观状态以及各种可能存在的热力学状态都可能对应着该系统在相空间中的不同区域。在日常使用的语言中，我们把整个宇宙的相空间划分为若干个块。热力学第二定律的统计力学描述的核心论断是：上述划分是极不均衡的，其中的某些块要比其他的块大得多。巨块的平衡态实际上是“所有快的事情都发生了，所有慢的事情都未发生”。 玻尔茨曼早先把在长时间τ内观察到系统处于Si 状态的时间τi的时间之比的极限（令τ→∞）： τi/τ定义为系统处于Si 状态的几率，爱因斯坦喜爱这个定义，而对几率的配容数定义不满。

微观配容数 以一个长方体的容器内的气体为例来研究μ空间，将该空间先划分为若干个大小相等的正方体单元。把N个相同气体粒子中某个粒子处于某个单元这样的描述称作一种排列，而把某个单元内的粒子数量这样的描述成长称作一种分布，这里的分布不是指哪些特定的粒子处于哪些特定的单元里。这样，一种分布就必然和若干种不同的排列对应；一种分布所能传达的信息也要比一种排列所传达的信息少得多。 N个粒子在相空间的r个“相格”中分布，其中在第i格中的粒子数为ni ,则N个粒子的微观态 Wx =N!/n1!n2!…nr ! 总而言之，粒子的分布越分散，排列的种类就越多，N代表的数越大，排列的种类也越多。

熵的几率解释 统计力学的一个基本假设是所有微观态都是等几率发生的。如果组成一个系统有Ω种方式（Ω是所有W的总和），那么经过一段较长时间后，系统处于某个特定宏观态X的概率是Px =Wx /Ω，式中Wx是对应于宏观态X的微观排列数。 玻尔茨曼通过把一个分布的热力学熵作为与之相对应的排列数的因变量，建立了一个表达式：S=klnW。 宏观状态的熵是与之相对应的微观状态的相空间体积的度量单位；如果微观状态不是连续的，它也是与之对应的微观状态数量的度量单位。这意味着熵与信息有某种联系。某一宏观态的熵越大，其对应的相空间体积就越大，也更容易出现，但携带的信息量就越少，混乱度越大。

能量超曲面 在牛顿系统的相空间中，与系统所具有的特定能量E相对应的位置的集合通常会形成一个连续区。该区的维数必然大于2而比相空间本身的维数至少小1。这个区通常被称作能量E的超曲面。独立的牛顿系统的总能量守恒定律必然要求任何系统的轨迹都不能越出其能量超曲面之外。熵增定律意味着平衡状态占据着相关的能量超曲面的绝大部分表面的面积。 如果以T为中心的时间段趋于无限长，则轨迹在超曲面的任意一区花费的时间的分数就等于该区的面积除以超曲面的面积。这样的轨迹一般被叫做遍历的轨迹。当我们说轨迹漫无目的，没有特定方向地在整个区段内运行，我们也就是指其具有遍历性。一个有限的且相对复杂的系统的能量超曲面上的非遍历点所占的面积近乎为零。

刘维定理与彭加勒定理 设想相空间中一系列的点，某个地区，某个斑点。思考此斑点中的每一点的发展，后一系列一定会组成另一个斑点，此斑点假定和第一个相比有不同的形状，处于相空间的不同位置。刘维定理是说，那两个斑点的体积必须是相同的。在相空间中点的运动和不可压缩液体中的水有着同样的数学结构。 根据彭加勒的回归定理，任何限制在它的相空间内的有限区域内的经典系统在不久的将来总是会回到它的原始状态，或任意地停止在它的原始状态（相邻微观态有26N 个）。

复杂体系的不可遍历性 因此，基于牛顿力学的统计力学不满足热力学不可逆性。但由于宇宙在复杂有机分子的复杂性层次上是不可遍历的，宏观不可逆性成了不可还原的突现属性。复杂体系肯定不是原子与分子随机碰撞形成的，而是存在着不同层次的自组织机制，如同元件先组装为部件，不同层次的部件再组装为机器。 比如，将200种氨基酸以不同的编码组成蛋白质链，因为在200个位置上，每一个都有20种选择，那么长为200的可能的蛋白质的数量就是20100，相当于10260 。按照普朗克时标（10-43 秒），宇宙充其量只能随机创造10221 个长为200的蛋白质。

紫外灾难 1900年，瑞利和琼斯根据能量均分原理计算出，物体的所有能量都会被场吸收完——没有极限！此处发生了物理上荒谬的事情——紫外灾难：如果物质和辐射振子按照经典观念是完全连续的，物体分子和原子热运动的能量就会不断地跑到电磁场中去，用来激发越来越高的频率的电磁辐射振荡，从而使热平衡永远无法达到，因为热平衡意味着需要无穷大的辐射能，即“紫外灾难”。 琼斯提出了“琼斯立方体”形象地表达了这一佯谬。 ρ(ν,T)=(8π2/c3 )kT. 另一个维恩公式在短波段与实验事实一致，而在长波段有较大误差: ρ(ν,T)=( 8π3/c3 )a’ e-a/T .

紫外灾难破缺热力学第三定律 有重物体是原子等小颗粒构成的系综，内部自由度是有限的。电磁场是连续的三维体，它的自由度是连续的无穷大。当我们考虑电磁场与物体的相互作用时，特别是考虑二者的能量平衡时，我们就在自由度方面遇到分立有限值和连续无限值的对立。 假如能量均分原理还能成立，只要有那么一点点极微弱的电磁场，则当场和物体之间的相互作用达到能量平衡（热力学平衡）时，每一个物体的温度都只能是绝对零度，而全部能量都被吸收到了电磁场中去。这个紫外灾难问题的深入分析得出的结论是，连续的电磁场和分立的质点体系在能量均分条件下达到热平衡态时，必然破缺热力学第三定律。在能量均分原理应当取得胜利的地方，事实上却存在着遮断阳光的“乌云”。连续电磁波的假设也无法解释高强度低频光为何不能轰击金属电子来引发光电效应。

普朗克的探索过程 普朗克研究黑体辐射的第一阶段是电磁阶段。根据经典电动力学，带电粒子作加速运动时会辐射电磁波；反过来，凡是能辐射电磁波的物体，一定可以比拟为是带电粒子在作加速运动。因此，普朗克就把黑体看成是一些作简谐运动的普朗克振子所组成的物理体系。1899年，普朗克得出了一个黑体辐射公式：ρ(ν,T)= 8π3 u /c3 ，式中u为频率为ν的一个振子的平均能量。 第二阶段是热力学阶段。他发现，瑞利-琼斯公式与维恩公式所代表的热力学体系，它的熵S与能量u的关系分别是 d2 S/du2 =-c/u2 ，c为常数， d2 S/du2 =-1/aνu 。 比较这两个式子，普朗克得到启示：正确的黑体辐射公式，其热力学体系的熵和能量的关系很可能是： d2 S/du2 =a/u(u+β) ，式中α和β是两个常数。普朗克有了这个猜想后，就得到了正确的黑体辐射公式。

能量子假说 1900年10月19日,普朗克推导出了跟实验吻合的黑体辐射能量-频率分布定律,这就是普朗克定律,它在低温时与瑞利-琼斯定律一致,在高温时与维恩定律一致。 ρ=(8π2/c3)(h/exp[h/kT]-1) 在研究的第三阶段（统计力学阶段），他引入了两条假设论证u= h/exp[h/kT]-1 。一是量子假设，即谐振子系统总能量是由有限个大小为E=hν的不可分解的能包所组成；二是记数假设，即计算谐振子的熵时，把粒子视为全同粒子。于是，P个能量子在N个振子中进行分配时，配容数不同于玻尔茨曼分布： W=(N+P-1)!/(N-1)!P!

能量子假说的意义 普朗克的量子假说打破了“自然界无飞跃”的古老观念，把经典物理学中被视为连续的，无限可分的物理量理解为由不可再分的单位（能量子）组成的间断性分布,实际上是“牛顿以来最伟大的发现”。量子假说可以看作是加在能量均分原理上乃至整个经典统计物理学上的一种限制和修正，它避免了原子的电塌缩，以及电磁场与有重物体达到热平衡时破缺热力学第三定律等经典物理学的困境。 普朗克常数的引入，意味着自然而然地扬弃紫外灾难：要激发越来越高的振荡频率，就要有越来越大的能量份数，以至使这种过渡的几率急剧降低，对于充分高的频率来说，它迅速趋向于零。 由于能量子的发现，普朗克获得了1918年度的诺贝尔物理学奖。

爱因斯坦与光电效应 1905年，爱因斯坦发表了《关于光的产生和转化的启发性观点》一文，根据维恩猜想，把黑体辐射本身看作是一个热力学体系，类比为理想光子气体系综。研究了辐射的熵密度，从中引申出光量子假说。按照爱因斯坦观点，作为辐射基本单位的光量子，是一些携带着能量和动量而运动的粒子，作为光子气体系综的黑体辐射与理想气体非常相似。爱因斯坦成功地解释了光电效应等现象，并因此获得1921年诺贝尔物理学奖。 1909年，爱因斯坦在《关于辐射的本质》中发现，辐射压的能量与动量起伏似乎有两个原因：第一种机制（独立的光量子）将导致维恩定律，第二种机制（经典波）将单独导致瑞利-金斯定律，只有两种机制的结合才能导致普朗克定律。 1924年，玻色直接用能量量子化和光量子不可区别假设来推导普朗克公式，彻底解决了这个问题。1925年，爱因斯坦指出，玻色-爱因斯坦气体满足热力学第三定律。

普朗克与爱因斯坦

康普顿效应 根据经典电磁理论，散射的光波长是不会改变的。A.H.康普顿（1892~1965）于1922~1923年，在研究X射线射入石墨，金属等物质的散射现象时，用光子与静止电子的弹性碰撞解释了散射光波长的改变，还得出了波长移动的公式，这就是康普顿效应。 h/c=p+h’/c， h+m0 c2=h’+mc2 。 得到Δλ=λc(1-cosθ) =(h/mc)(1-cosθ) λc为康普顿波长。

原子稳定性问题 1911年，卢瑟福根据有关实验资料提出了原子的太阳系模型。公转的电子处于行星的地位，中心的太阳为原子核所取代，它们在很微小的尺度上由电磁力而不是引力绑在一起。当一个公转电子绕着核子时，按照麦克斯维理论应发射出电磁波，同时它以螺旋形的轨道撞到核上去！如果电子在原子中静止，它们也无法借助于静电力保持平稳的构型；原子在不太强的外来干扰下高度稳定，经典物理无法理解原子稳定性。

光谱是分立的 原子会发射出电磁波（光），但是只能以突发的形式，具有非常特别分立的频率，这就是被观察到的狭窄光谱线，而且光谱服从经典理论无法理解的规则。 1885年，巴尔末发现氢光谱线频率符合以下公式： =R[1/22 -1/n2 ] 更一般的公式是里德堡原理： =R[1/n1 2 -1/n2 2 ]

玻尔原子模型 1912年3月至7月，玻尔在卢瑟福实验室进修，孕育了新的原子模型。在1913年7月，9月和11月发表了长篇论文《论原子构造和分子构造》的三个部分。 玻尔的原子理论给出了这样的图象：电子在一些特定的可能轨道绕核作圆周运动，离核越远能量越高：可能的轨道由电子的角动量必须是h/2π的整数倍决定；当电子在这些轨道上运动，原子既不发射也不吸收能量（定态假设）。

量子跃迁 只有当电子从一个轨道跃迁到另一轨道时,原子才发射或吸收能量;而且发射或吸收的能量是单频的,辐射的频率和能量之间的关系由∆E=h 给出（跃迁假设）。玻尔的理论成功地说明了原子稳定性和氢原子光谱线规律。 玻尔的理论大大扩展了量子论的影响，加速了量子论的发展。

通向量子力学的两条路径 从爱因斯坦的光的波粒二象性出发，构造德布罗意的物质波理论，引出了薛定谔的波动力学。 沿着玻尔指出的对应原理的道路，人们不再把力学规律写成电子的位置和速度的方程，而是写为电子轨道傅立叶展开式中频率和振幅的方程，找到同发射辐射的频率和强度相对应的那些量的关系，建立矩阵形式的量子力学。

以太的量子波动 法兰西学院的物理学教授布里渊，在1919年至1921年发表论文，设想原子核周围有一种类似以太的特殊媒质，当电子在核周围运动时，就会在媒质中激起波动。当电子轨道的长度等于波长的整数倍时，电子激起的波动就在轨道上引起驻波。 布里渊认为，这样的轨道就是玻尔的定态轨道，他把电子的动量与以太波的波长联系起来，并为玻尔的量子条件提供了一种直观的图象，这就启发了德布罗意。

德布罗意与物质波

物质波理论（1923） 几何光学 质点力学 费马原理：光沿最短路径传播 莫培督原理：粒子运动遵守最小作用原理 波动光学 波动力学 0 =m0 c2 /h, 根据洛伦兹变换得出德布罗意关系：

最小作用原理 惯性定律表明，物体的自然运动是最短距离的直线运动。1744年，莫培督提出“最小作用原理”，他含糊地把质量，速度和所通过的距离的乘积作为作用量的量度。 1755年，拉格朗日提出“变分方法”，明确把“作用”定义为运动量的空间积分或动能的时间积分的两倍。 1834-1835年，哈密顿利用拉格朗日函数L=T-V来构造作用量S=∫Ldt，其中动能T为系统的广义坐标qi,dqi /dt的函数，势能V是系统的广义坐标，时间t和广义速度的函数。 哈密顿原理断言：系统在任意二时刻t0和t1之间所发生的运动，是使哈密顿作用量的数值比在这段时间内任何其他可能运动的哈密顿作用量的数值都要小或大：δS=0。 哈密顿利用广义坐标以及共轭的广义动量定义了哈密顿函数，得到了哈密顿正则方程： ∂H/∂qi =-dpi/dt, ∂H/∂pi=dqi /dt, i=1,2,…,n 其中H=T+V,等于系统的总能量。

薛定谔方程 1926年1月-6月，薛定谔以同一题目《作为本征值问题的量子化》发表了4篇论文。他通过爱因斯坦关于量子统计的论文了解德布罗意思想，从哈密顿-雅可比方程出发，引入波函数，作出几何光学-经典力学与波动光学-波动力学的类比，建立了薛定谔波动方程： (ih/2π)∂ψ/∂t=Hψ 在量子力学的公理体系中，这个方程意味着，ψ处在Hilbert空间中，假使有一个唯一族的单参数的幺正算符U(t)作用在系统的Hilbert空间上，使得ψ(t)=U(t)ψ(0)，那么就存在一个唯一的自伴算符，使得U(t)=exp(-itH)。 UU†=I（U是幺正算符）

波粒二象性→Plank公式的协变性 如果把爱因斯坦的《论运动物体的电动力学》中关于时空坐标的洛伦兹变换代入波函数的相位因子中，就得到频率变换公式是 或 故 其中h必然为常量，且须为与参考系无关的不变量才能确保上式成立，由此可见，仅仅从相对论原理下的Lorentz变换或迈克耳逊-莫雷实验的零结果，或者静止系中的球面光波在洛伦兹变换中成为运动系中的椭球光波出发，都可以推证场速为光速c的波动，能量应与其频率相关公设之下，必须是线性相关函数。量子假说并不像多数学者想象的那样，独立于相对论，根据波粒二象性，能够从相对论推导出量子假说。

海森伯矩阵力学 1925年，海森伯对玻尔理论进行了仔细的研究。他认为，玻尔原子中具有确定的半径和转动周期的电子轨道是不可观察的，应该没有物理意义。而在实验中能观察到的只是光谱的频率和振幅。因此，应该原则上在可观察量之间的关系上建立量子力学。

矩阵力学 因为使用坐标q,动量p的傅立叶展开式能把p和q分解为谐波项的和，用展开式中的可观察量——谐波的“频率”和“振幅”所列成的表（矩阵）去替代p, q本身，由此得到一个仅以可观察量为基础的量子力学运动方程：pq−qp=hI/2π (其中I为单位矩阵）. 狄拉克对经典泊松符号改造为量子泊松符号得到： 广义力 dpk /dt=(2πi/h)[H,pk] , 广义速度dqk/dt=(2πi/h)[H,qk] 。 其中力学量被表示为厄密矩阵（与自身的转置矩阵相等的矩阵），各矩阵元对应着定态间一切可能的跃迁过程，发现了可以导出这些态的能量和相应的跃迁过程的几率。从这些方程出发，可以自然地得出符合量子化条件的解，而不必像玻尔那样附加几条假说。

量子论表象是等价的 量子论的算符形式是玻恩和维纳发展起来的矩阵力学的推广形式，狄拉克和约尔丹从中发展出表象变换理论,证明了各种量子论表象的等价性。后来，冯·诺依曼用希尔伯特空间的厄密算子的算法来表述量子力学，并证明了矩阵力学与波动力学的函数空间的同构性。 实际上，薛定谔在建立波动力学不久，就证明了波动力学与矩阵力学在物理上的等价性，当然波动力学比矩阵力学多了相位因子，而且使用的数学工具更容易被传统的物理学家接受。

Klein-Gordon方程(1926) 在相对论中，能量、动量和质量存在如下关系（在c=ħ=1的自然单位制下）： p2 +m2 =0，其中p2 =pμpμ =p2 –E2 利用算符替换E→i∂/∂t，p→-i▽ 就得到-∂2ψ/∂2t=-▽2ψ+m2ψ=0， 即（∂2 –m2）ψ=0 这就是Klein-Gordon方程，后来发现只适用于自旋为0的粒子，如光子，π介子。

狄拉克方程 1928年，狄拉克建立了时空坐标对称而又避免负几率困难的一阶矩阵方程，从而把量子假设与相对论假设统一了起来： （·iħ·∂/∂x -m0 c）ψ=0 狄拉克方程中的电子波函数是四个函数。在适用于电子的相对论性波动方程中，共有四个依赖于空间坐标和时间的波函数。

负能的海洋 当考虑到能量和动量的相对论函数关系时，狄拉克方程允许同时正能解和负能解。如果负能态没有下限的话，那么，处于任意态的电子会通过辐射光子而无限制地向更低的能态跃迁，即使是自由电子也是不稳定的。 为了克服这个困难，1930年狄拉克提出了电子负能海洋假设，即在正常条件下，所有负能态全被占据。这样，泡利不相容原理就会阻止正能电子向负能物质跃迁了。

正电子是负能电子海洋的空穴 狄拉克大胆假设电子的负能区域所产生的总效果为零；电荷，质量，动量等等所有可观察量都为零，而这样的区域实际上就是通常所说的真空。我们很难发现负能海洋，如同鱼最后才知道自己生活于水中。 当时，狄拉克把负能级中的“空穴”视为质子。 但是，数学家魏尔指出“电子的空穴”应当具有与电子相等的质量，另外原子核中质子作为“空穴”存在，为何不被电子填充，也无法理解。 于是狄拉克推测“空穴”是带正电的电子——反电子。

正电子的发现 根据狄拉克理论，当电子从负能区逸出后，在正能区域就出现了一个电子e-，而在负能区域留下的空穴就是正电子e+，同时吸收光子。 如果e-再填补那个空穴，则e-与 e+湮灭而放出光子。 1932年，美国的安德森在研究宇宙射线时，发现了正电子。1955年以后，反质子、反中子相继发现，理论推测的所有反粒子也在20世纪60年代后全部找到，并人工合成了简单的反氘与反氦原子。

粒子的自旋 电子的自旋很容易从狄拉克方程中自然地得出；而在非相对论量子力学中，电子自旋既有实验依据，又被看成是第四个自由度。 如果考虑电子在中心力场中的运动，守恒的总动量将是电子的单纯轨道角动量与附加的自旋角动量之和。一个电子的自旋波函数空间是一个复二维实四维的空间，对应一个黎曼复数球面（量子信息的布洛赫球面）。 因此，把电子自旋理解为微观转动小球的角动量是错误的，因为转动小球的表面速度将是超光速的。合理的理解是，电子自旋代表着转动的电子场中电力线与磁矩的量子变化（自旋网络）。

量子统计 具有整数自旋（ħ=h/2π的整数倍）的是光子之类的玻色子，具有半奇整数自旋的是电子和质子之类的费米子。 具有半整数自旋的费米子，和旋量波函数相对应。一个旋量就是一个二分之一秩的张量。在4维理论中，一个旋量并不象一个矢量（一秩张量）一样具有16个分量，而是具有2个分量。 在狄拉克方程中，波函数是一个所谓的双旋量——它具有4个分量，这些分量可以看成是4个函数。

自旋与量子统计相关的根源 1940年，泡利给出了自旋与统计法相关性的证明，即相对论不变性与微观因果性，要求用对易子去使整数自旋场量子化，而用反对易子去使半奇整数自旋场量子化。 否则，将会导致矛盾。

量子统计的一种形象理解 我们可以把粒子的波函数想象为某种高维波动的投影。 费米子是横列化投影： 两个费米量子态“━，┃”置换有符合泡利不相容原理的两个投影：“┃━”与“━┃” 玻色子是纵塔化投影： 两个玻色量子态“┃，━”置换的投影是一个不可区分的“十”。

经典统计与量子统计 范弗拉森想象玻色-爱因斯坦统计( BE)和费米-狄拉克统计(FD)，经典的麦克斯韦-玻尔茨曼统计（MB）分别运用于投掷两个“全同”硬币a和b的情形，发现： 费米子聚合显示负关联, 玻色子聚合显示正关联，而经典粒子集合显示零关联。 在量子论中，量子粒子作为全同粒子，既不能被重新识别，也不能从其同类粒子中区分出来。因此，它不是个体，但仍解释为粒子，主要是因为静止质量，电荷与自旋的守恒。

全同粒子之间的关联 正面向上 Pmb Pfd Pbe Case1 2（a,b） 1／4 1／3 Case 2（i） 1（a） 1（b） 反面向上 Pmb Pfd Pbe Case1 2（a,b） 1／4 1／3 Case 2（i） 1（a） 1（b） 1／2 1／6 Case 2（ii） Case 3

经典力学与量子力学的关系 大多数学者认为量子力学与经典力学有本质的区别，复旦大学的金尚年教授（海森伯学生王福山的学生）认为： 1.量子力学离不开哈密顿函数和相互共轭的正则坐标和正则动量，这是经典力学哈密顿理论的核心内容，量子力学继承了这个衣钵。 2.非相对论量子力学的三种理论形式：海森伯的矩阵力学，薛定谔的波动力学，以及费曼的路径积分表象，其数学形式正好与经典力学哈密顿理论的三种动力学方程的形式：正则方程，哈密顿-雅可比方程，哈密顿原理（拉格朗日形式）一一对应。量子力学的表象变换理论，无论其思想实质和数学形式，都与经典力学哈密顿理论的正则变换十分相似。 3.经典力学的拉格朗日-哈密顿理论，能够扩充到经典统计力学与经典电磁理论中，这意味着把量子力学纳入经典力学的哈密顿理论中是可能的。

不确定关系与经典力学 金尚年指出，经典力学的拉格朗日函数具有不确定性，L1 (q,dq/dt,t)与 L2 (q,dq/dt,t)= L1 (q,dq/dt,t)+df(q,t)/dt是等价的，其中f(q,t)是坐标和时间的一个任意函数。因此，对于一个确定的正则坐标q，与它共轭的正则动量是不确定的，可以有无限多个。 不论是海森伯的量子力学，还是薛定谔的量子力学，都要用到哈密顿函数，因此现行量子力学中一对共轭的正则动量之间具有不确定性，其根源在于经典力学的哈密顿理论。 一对共轭的坐标与动量，在经典力学中具有确定值，是因为加上了某种规范条件。在力学范围内，通常我们都取L=T-V，这相当于给L2 =L1 +df/dt加上限制条件df/dt=常数。 但在量子力学中，作用量子化h=常数是一个基本的独立量子假设，它比经典力学的规范条件df/dt=常数要弱，不能使p和q之间的独立性完全消失，通过简单分析，可以证明作用量子化的规范条件能够推导出p与q的不确定关系。

时间：相对论与量子论的深刻冲突 相对论 量子论 空间 (x,y,z,ict)与(px,py,pz,iE/c)是洛伦茨协变的四维矢量 x,px ,y,py ,z,pz是服从对易关系 PX-XP=h/2πi的厄密算符 时间 E和t在形式上类似于P和x的正则共轭变换，似乎应该存在满足关系的算符 Et-tE=h/2πi . 但是泡利在1933年证明了不存在满足E,t对易关系的厄密算符 t=(h/2πi)∂/∂E .

对波函数的不同理解 按照德布罗意的原始假定，所谓电子的波动性，是指总有一个相位波伴随着电子的运动，电子是物理的粒子，相位波提供的是粒子在空间中的递次位置的信息。 爱因斯坦把电子运动的波动性归之为一种非物理的鬼场，鬼场不携带能量和动量，但指引着粒子的运动。

薛定谔的电磁解释 与德布罗意的相位波和爱因斯坦的鬼场不同，薛定谔认为波函数描写的不是虚拟的而是类似麦克斯韦电磁场的真实物理场，这就是“电磁解释”；在薛定谔看来，粒子不外是由作为物理实体的波场集中积聚在微小空间内而形成的波群或波包。ψψ*代表电荷密度的权重。 但是，薛定谔的解释面临波包扩散，波包收缩，动量表象和位置表量变化的理解，以及波函数多维空间和复数表达等问题。

玻恩的量子几率解释 ——（玻恩致爱因斯坦，1926） 1926年，玻恩在《论碰撞过程的量子力学》中，认为波函数服从统计规则，波函数模量的平方||2，给出粒子出现的几率。因此，在量子信息转化为经典信息的时候，玻恩的几率解释破坏了复变波函数ψ的全纯性。 “我把薛定谔波场理解为你用字意义上的‘幽灵场’，在当时是有用的，……当然，几率场不是在通常空间中而是在相空间（或组态空间）中传播的。” ——（玻恩致爱因斯坦，1926） 爱因斯坦在1936年写道：“函数不能以任何方式描述单个系统所具有的条件，而只能与许多系统，即统计力学意义上的整个系统有关。”

从现实空间转向位形空间 量子几率解释放弃了对波函数的现实空间描述，而转向位形空间描述。比如，一个10×10的磁极方阵，每个磁极具有要么向上与要么向下的自旋，位形空间与自旋的位形有关，那么有2100 个不同的自旋位形。 于是，量子力学就可以在数学上归结为抽象空间论。量子测量问题的实质就是如何把希尔伯特空间中发生的量子相互作用，重新在普通的物理时空中体现出来。 虽然对波函数的本质以及几率的哲学解释有很大的争论，但是由于玻恩解释规则的有效性，量子几率概念已经成为多数量子力学解释的内在环节。

哥本哈根解释 哥本哈根解释的主要信徒是玻尔,泡利,狄拉克,维格纳等人。他们接受目前的量子力学体系的数学结构和内在的物理意义，即互补性思想。他们普遍相信现行量子力学体系是一种“完备”的理论，回答了所有量子力学中有意义的问题。因此，量子力学几率的概念，按照玻尔的意见，具有内在的本性，而若要问理论所预言的“概然的”结果背后的问题，则是“无意义的”和“不允许的”。与牛顿-爱因斯坦的“物质，时空，运动”的自然哲学路线不同，哥本哈根学派的研究路线是“定态，跃迁，几率”。 哥本哈根学派的信条是：

量子现象中客体与主体不可区分 （1）玻尔和海森伯常说：“我们既是观众，又是演员。”他们认为原子领域的物理规律，是在人为安排的特殊条件下各个观测结果之间关系的定律，既有客观因素，也有主观因素内含其中。 所有包含能量或动量转换的基元过程，因为h的大小有限，所以是不连续的；在经典力学中，h太小，其后果被消除了。因此，所有测量，包括被测量系统和测量仪器的相互作用，总包含一种不可消除的相互扰动。这种不连续性构成人们对微观客体认识的极限。

互补原理 （2）物理学中的一切概念，只有在由它们的实验测量（实际上或想象中的）所定义的范围内才有意义，而且测量程序及所得结果必须能以经典物理学的概念来表述。但是，在不同的实验条件下得到的证据，并不能概括在单一的一个图景中；量子现象在不能同时进行的实验中呈现为互相排斥的两个经典图象，而这两个互斥的经典图象必须认为是互补的；所谓互补，就表示这些互斥现象的总体才能将关于客体的可能知识包罗殆尽。

波粒二象性 互补性的意义包括： 首先，微观粒子具有波粒二象性，波动性和粒子性如何显现，决定于我们如何观察。波动性和粒子性代表着量子现象在不同场合下的两种经典的理想化描述，互斥又互补。

因果描述与时空描述 其次，由于在每一个测量过程中，存在着不可控制的作用量子的参与，测量过程中出现的每一个时空事件不可能有因果描述；同时，在中间阶段没有进行观察，两次相继测量之间的时空坐标的概念失去了可认知的意义。因此，在对量子现象的描述中，因果性要求与时空坐标描述都是必需的，但这两者是互相排斥的，各在不同场合互补地起作用。

实验装置的不相容 再次，在量子力学表述体系中，共轭力学变量的不可对易性，表现在对应于测量共轭变量的实验装置的不相容性，也就是说，不可能设计出量子测量装置来同时测量一对共轭力学量的准确值。 pq - qp=hI/2πi

关于互补原理的争论 玻尔认为，由于量子作用的整体性和不可分性,我们不能明确地区分原子客体的行为和测量仪器之间的相互作用；任何将量子现象加以细分的企图都将要求实验装置的改变，从而引入新的不可控制的相互作用，引发新的量子现象。这是现象整体论的立场。他的学生罗森菲尔德认为应当用辩证唯物论来理解互补性。 爱因斯坦致薛定谔的信中指出：“海森伯-玻尔的绥靖哲学给信徒提供了安眠的软枕。他是不容易从软枕上惊醒的。那就让他好好躺着吧。但是这种宗教对我的影响是极小的，所以我——不管这一切——还是说：不是‘E和’，而是‘E或’。而且正好不是，而是E——归根到底这个量具有实在性。但是，数学上我还看不出它的眉目来。”

对互补原理的批评 互补原理导致量子测量问题陷入概念困难：一方面，我们借助于宏观仪器和经典概念确定和描述量子态；另一方面，量子测量过程又必须全部用量子概念来理解。测量仪器究竟是经典的，量子的，还是半经典半量子的？ 对于各种非正统量子力学解释来说，大多认为互补性是可疑的甚至自相矛盾的概念，应当寻求互补原理的替代品，或者主张对互补原理作出辨证的扬弃。波普尔认为，互补原理是哥本哈根学派特有的意识形态，马里奥·本格认为互补原理包含着微观层次的主观唯心主义与宏观层次的实在论态度的矛盾。 公认的态度是：尽管经典思维方式在量子理论形式体系的每一点中事实上都是必要的，然而对量子理论的完备理解需要寻求更确切的概念集。

不确定关系 （3）从爱因斯坦——德布罗意关系出发，海森伯的不确定关系可以作为推论得出。这不仅意味着在测量两个互补的性质时，要求它们同时达到人们所希望的准确度，在实践上是不可能的；而且还意味着要超越不确定关系，从概念上定义这样两种性质，也有内禀的不可能性。 不确定关系有助于理解电子不是原子核的成分。 徳布罗意认为，不确定关系意味着芝诺悖论的推理在微观世界有效：居于一点就无运动，而运动是既在此处又在彼处。而在宏观领域，无论是经典的波动概念还是经典的粒子概念，对于描述量子运动都是过度理想化的，并且是在不同条件下互斥又互补的，不应当把时空图景与动力学图景的冲突极端化，它们是近似相容的。

能量-时间不确定关系 朗道认为，能量-时间不确定关系的意义是两次测量的时间差与能量差的不确定关系. 曼捷尔斯塔姆认为，这是能量弥散与力学变化的统计关系。 克雷洛夫和福克认为，能量-时间不确定关系，可以借助动量能量守恒律从动量和位置的不确定关系推出。 马里奥·本格认为，由于时间坐标在量子论中不同于空间坐标，时间没有对应的厄密算符，能量与时间的不确定关系应当在量子力学的一切讨论中去掉。 Jan Hilgevoord认为，量子论中的时间没有厄米算符的原因是：时间t代表着包括测量仪器在内的参照系的外部时间坐标，而与能量-时间不确定关系有关的时间涨落却是与局部粒子系综的量子波动的内部时钟变量有关的。更基本的是，位置-动量的不确定关系没有涉及空间坐标的不确定性，而是粒子的位置变量的不确定性。尽管在量子论中，时空坐标是协变的，但物质系统的动力学位置变量和时间变量是本质上不协变的量，这意味着微观粒子的时空形态需要研究。

量子态 （4）经典物理学的严格决定论特征在量子力学中不存在。 人们设定：一个系统的态，要么用坐标和时间的函数来完备表示，要么用动量和时间的函数来完备表示，但不能坐标和动量两者完备表述。一部分物理量不能用普通的数描述，只能用算符描述，后者是使理论能容纳在经典物理学中不存在的不确定关系的一种形式。随时间演变被设定为受薛定谔方程支配。

波函数：客观状态还是微观信息 （5）为了能与不确定关系相一致，对的几率解释被设定为甚至可以应用于单个的粒子。玻尔认为，态矢量是我们关于量子体系状态信息的“知识波”，并不是量子实在的客观描述，它依赖于我们选择的表象。 这就出现了态矢量的客观性问题，如果态矢量是知识波，那么应该是谁的知识呢？实际上，尽管实验装置依赖于人的选择，波函数的表象也与我们的选择有关，但是实验记录的结果却是主体间性的，甚至可以利用自动机器记录量子实验结果来保证客观性。

玻尔自恰吗？ （6）在这些基本假设的基础上，有可能给出一个与量子力学测量相一致的理论。因此，互补性质的测量（借助于实际的实验程序），在不确定关系的意义上是相互排斥的。 按照哥本哈根学派的观点，量子力学目前的体系和它们的解释的逻辑一致性已经确定地建立起来了。有诗描绘哥本哈根学派的风格： 吾土吾民多忠义，玻尔是俺导航仪。 顶礼膜拜休犹豫，无限忠诚莫置疑。 最高指示云雾里，生吞活剥龙凤笔， 干杯干杯再干杯，管它藏有啥玄机。

统计系综解释 爱因斯坦，波普尔等人的统计系综与哥本哈根学派不同的是，把不确定关系理解为互补观察量之间的统计弥散度，而不是每次测量的精确度。在波普尔看来，希尔伯特空间中的矢量提供的是统计学的断言，它得不出关于单个粒子行为的精确预示。量子论中的概率是相对概率（即条件概率），解释量子力学的问题可以全部归结为解释概率运算的问题。 在波普尔看来，哥本哈根学派颠倒了不确定关系与量子力学的统计学解释的逻辑关系。他指出，我们能够从薛定谔方程（对它应作统计解释）推导出不确定关系，而不能从后者推导出前者。哥本哈根学派的另一些误解是把测量的不精确性归结为观察仪器的量子特性带来的不可控制的干扰，但是粒子的波动本性带来的不确定性与干扰无必然联系。 1953年，波普尔将“几率”解释为一种“倾向性”，一种附属于进行重复测量的整个实验装置，可以同对称性或其他广义力相比拟的物理属性。

重新理解薛定谔方程 金尚年认为，量子力学虽然打上难以抹去的薛定谔方程的印记，但其物理观念完全来自以玻尔，海森伯为首的哥本哈根学派的科学思想与哲学倾向，而爱因斯坦和薛定谔对此持反对态度。我们不应该盲目推崇一方，贬低另一方。我们应当从经典力学的哈密顿理论与量子客体的波粒二象性出发，重新推导薛定谔方程，并借助于热力学熵与量子作用量的类比，从熵的几率解释引申出量子力学几率解释。 从哈密顿-雅可比方程∂S/∂t+Н(q,∂S/∂t；t)=0出发，先对作用函数S(q,t)作一变换，令S(q,t)=-iћlnψ(q,t)，可以得出 ∂S/∂t=(-iћ/ψ)·(∂ψ/∂t)，代入哈密顿-雅可比方程，就有 iћ·∂ψ/∂t=Нψ，但这个方程只适用于纯经典的单个质点，Н是哈密顿量，不是算符。 对于波动性质的体系，平均动能密度等于平均势能密度，平均拉格朗日密度为0，把这个性质作为约束条件代入方程，就得到 薛定谔方程iћ·∂ψ/∂t=Hψ，H是哈密顿算符。

量子几率的经典根源 在重新推导薛定谔方程的时候，波函数ψ最早是通过S(q,t)=-iћlnψ(q,t)引入的，它和统计热力学中联系热力学熵S和微观状态几率W的公式S=klnW的数学结构是类似的，为了区分作用量action与熵entropy，重写这两个公式： Sa =-iћlnψ，Se =klnWe 。 不论是牛顿形式，还是拉格朗日-哈密顿形式，都没有力学系统状态的几率分布概念，但在玻尔茨曼建立统计力学的时候，把同一相格的运动状态视为相同，而不同相格之间的q,p值是跳跃变化的，这实际上是引入了微观粒子运动状态的量子化的概念。

波函数与经典力学 仿照玻尔茨曼的做法，我们也可将经典力学连续变化的运动状态进行量子化，使之成为一系列不连续的分立的运动状态，同一量子态中的力学运动可以看成是完全相同的，不同量子态之间的运动状态的变化，是以跳跃的方式过渡的。因此，波函数有四重意义： 1.如果把量子客体当作一个经典粒子，那么波函数就是哈密顿理论中的作用函数； 2.把量子客体看成一种波，那么波函数就是波的位相； 3.波函数的玻恩几率解释通过实践检验，也间接支持对波函数的新理解； 4.量子力学波函数与统计物理中的配容数在理论结构上类似，而配容数的物理意义就是微观状态几率，量子几率也是微观态的几率。

量子几率与经典几率的区别 经典力学信奉因果律，观测结果的几率性是有原因的，这种原因既可能来自人们还未认识到的客体自身的秉性，也可能来自外界复杂的影响。量子力学是不问原因，只从观测结果看几率问题。海森伯认为，量子力学的任务只给出可观察量之间的关系，而不回答为什么是这样的问题。 量子力学波函数的几率解释是和定态跃迁假设自洽的，而在经典力学中，客体运动状态的变化必定是连续的。 玻尔的定态跃迁假设，海森伯的可观测量思想，玻恩的波函数几率解释，是哥本哈根解释的精华。

爱因斯坦批评量子论 早在1926年，爱因斯坦认为，在海森伯-狄拉克理论中“闻不到真理的气味”，确信海森伯-波恩路线已经走向歧路。他指出：“有一个内在的声音告诉我，它还不是真实的东西。”

世界是客观实在的 爱因斯坦认为，我们这个世界是实际存在的，我们的感觉印象是以客观事物为依据的，理论应该描述客观实在。“在科学上，我们应当关心的只是自然界在干什么，而不是关于自然界我们知道些什么。”

上帝掷骰子吗？ 爱因斯坦认为，因果律是至今为止一切自然科学的终极的基础假设。“我无论如何深信上帝不是在掷骰子。” 爱因斯坦反对量子力学数学体系与正统解释是不可更改的最终形式的论点，坚持认为它是一种过渡的理论。微观世界规律最终建立在决定论的基础上。

爱因斯坦心目中的未来量子力学 爱因斯坦不相信非相对论量子力学能为相对论推广提供一个足够可靠的基础，他厌恶相对论量子场论。在1931年献给麦克斯韦的颂辞中说： “我倾向于相信，即使量子理论与广义相对论公理能成功地拟合，物理学家也不会满足于客体的非直接描述。”他认为应从经典场、一个统一的场论出发，要求量子规则以理论本身所加的约束的形式出现。新理论要有：“（1）广义协变性，（2）欲求的方程至少应是引力理论和麦克斯韦理论一致，（3）超决定的场变数应有球对称解，它描述电子和质子。如果能够得到这种超决定性，那么‘可以希望这些方程会以这样的方式确定奇点（电子）的力学性质，使场的初始条件和奇点也适合约束条件’。”

第五届索尔维会议 1927年10月24日——29日，在布鲁塞尔第五届索尔维会议上，对“新量子理论的意义”这一当时十分紧迫的问题，进行了讨论，确立了哥本哈根学派的正统地位。 海森伯根据哥本哈根解释得到了两种结论：主张量子力学是一种完备的理论，它的基本物理假说和数学假说是不能进一步加以修订的；普朗克常数的真正意义就是，对于由于波粒二象性而天生存在于自然规律中的那种非决定论，该常数是一个普适的尺度。

爱因斯坦：波包塌缩是超距作用 爱因斯坦考虑了光子的小孔衍射：垂直于屏S的平面波，通过小孔衍射后，变成球面波传播到照相底片P上。按照波函数的几率解释，光子到达底片前，底片上出现光子的几率近乎相等。一旦到达底片上的某点P，则别的点出现光子的几率突然变为零，发生几率并缩。光子在底片上某点的突然出现，将瞬间影响底片上其他各点的情况。波包收缩作为超距作用，与相对论假设矛盾。

玻尔：量子现象依赖于仪器 玻尔指出，一个量子现象，只有它成为已被观察到的实在时，才是一种现象。玻尔发现了现象对仪器的依赖性，正如爱因斯坦发现了现象对时空参照系的依赖性一样。现象以及描述量子现象的量子态，并不是属于微观客体的，而是属于微观客体与仪器形成的整体的；反映的不是客体的存在与性质，而是客体与仪器的关系，关系不同，态也不同，这就是“量子态的关系观”。 于是，波函数的几率解释只有测量上的意义。不进行测量时，不能说||2表示粒子的分布几率。是属于粒子和仪器整体的，而不是单单属于微观粒子的。在玻尔看来，唯一的“物理实在”或量子现象，就是光子通过小孔及光子到达底片。谈论这两个现象以外光子的行为，是没有意义的。玻尔与爱因斯坦不同的物理实在观，是量子论争论的核心。

爱因斯坦的光子箱 1930年，在第六届索尔维会议上，爱因斯坦提出了著名的“光子箱实验”，企图通过否定不确定关系来反对哥本哈根解释。 设有一个用弹簧秤挂在固定底座上的不透明盒子，盒子壁上开个小孔，小孔装有用计时装置控制启闭的快门。通过挂在盒下面的砝码和装在盒子侧面的指针，可测量盒子的总质量。

光子箱实验 爱因斯坦设想，快门在t1时刻打开，t2关闭，△t=t2-t1时间内，只有一个光子从盒中逸出。在t1前，与t2后准确测量光子能量。这样，在有限的时间内，能精确测量光子质量，若使△E△t＜h,这就否证了不确定关系。爱因斯坦再次动用相对论（E=mc2)，反对哥本哈根解释。

玻尔的反击 玻尔面对爱因斯坦的新攻势，彻夜难眠。当晚与海森伯等人回到住处，通宵不眠地讨论对策，第二天终于找到了问题的症结所在。 原来，爱因斯坦在论证中忽略了十五年前他自己创立的广义相对论的一个推论，即关于“红移效应”的结论。实际上，光子在t1~t2之间，在引力场中传播时频率发生了变化，△E不可能为零，△t由于盒子计时装置在引力场中上升导致节奏变化而变大为△T，经过计算可以证明△E△T＞h。

量子力学是完备的吗？ 爱因斯坦在光子箱实验上的失败，使得他承认哥本哈根解释的逻辑自洽性，他开始转向对量子力学完备性的批评。 1935年美国《物理评论》的第47期和第48期上发表了两篇题目相同的论文：“物理实在的量子力学描述能够被视为完备的吗？”在47期上署名的是：爱因斯坦，波多尔斯基和罗森；在48期上署名的是尼•玻尔。

EPR论证的判据 实在性判据：如果对物理系统不做任何干预，我们可以确定地（几率等于1）预示一个物理量的值，则存在物理实在的一个要素同这个物理量相对应。这判据满足这样的要求：物理实在的要素在物理学理论中，只能借助于实验与测量来实现，不能由先验哲学来确定。 物理学理论完备性判据：仅当物理实在的每一个要素在物理学理论中均有对应量时，这个理论才是完备的。

EPR论证的假设 定域性假设（系统可隔离性原理）：如果在测量时刻，两个系统没有相互作用，则不管对第一个系统怎样干预，也不会使第二个系统发生变化。 有效性假设：量子力学的统计预示（至少在与EPR论证有关的范围内），已经被经验所证实。

EPR论证 EPR论文讨论了一个思想实验：令两个系统A和B在一段时间内彼此有相互作用，在这段时间内，两个对易量pA+pB和qA-qB被测出且精确已知。再令这两个系统在空间上分离到很大的距离，使得从一切实际效果上看，它们彼此不再有相互作用。现在如果测量pA，就能从pA+pB的总和中确定地推演出pB，因为在A上所做的任何观察都不可能影响B。 另一方面，人们能够测量qB。因此就得出，pB和qB原则上都是物理实在的元素，并且它们达到任何测量所需要的精确度。但是，量子论只容许要么p要么q，而不能对两者同时有精确的了解，而这个实验证明了p和q都有精确的意义。

EPR的结论 为了避免与不确定关系的矛盾，爱因斯坦等人相信： 要么（1）人们必须假定，在一个系统上所作的测量，不可能对作为一个整体的结合系统A+B没有干扰，即使A和B在空间上离得足够远； 要么（2）人们必须抛弃这样的假定，即波函数对一个系统的描述是完备的。

玻尔的反驳 玻尔对这个论证的反驳是：一旦在系统B上测qB，那么由于h的有限大小和不可控制，系统和仪器之间有限的相互作用就将破坏对pB的任何精确的了解，以致pB和qB仍然不能同时知道，它们只能服从不确定关系给出的精确度。因此，在现行量子力学体系中的描述在这样的意义上是完备的，即它包含了人们有权所要的全部信息。 在系统A测量动量pA，反推出pB，只有当我们不对qB精确确定时，才是严格成立的。如果精确确定qB，则动量守恒条件可能在非常小的时空区域失效，使得我们无法根据动量守恒来反推出pB的精确值。

量子解释的多元化 玻尔的哲学立场是具有实证主义色彩的现象整体论，爱因斯坦坚持的是经典实在论的理想，这种实在论理想在量子论中无法满足：我们甚至无法在分开两个粒子时保证它们不相互作用，一旦以某种方法分开，它们的量子态就已经变化了。 哥本哈根解释是符合量子力学形式体系的哲学解释，爱因斯坦从决定论角度来批判它可能误入歧途。但是，哥本哈根解释似乎不符合量子力学与相对论相协调发展的长远趋势。 著名的非正统解释有： 量子势解释倾向于采用非定域的整体量子势回归牛顿质点力学模式。多世界解释消除观察者与微观对象的二分法，通过世界的分裂来避免波包塌缩，有利于纳入广义相对论框架来建立量子宇宙学。 量子力学曲率解释引入光速传播的康普顿波来重新理解徳布罗意波，并把量子波长的相位圆半径的倒数定义为量子曲率，它正比于量子几率，强化了相对论与量子论的一致性。

德布罗意的双波理论 1927年春天，德布罗意提出了双波理论，其核心是双重解原理。他假设，薛定谔方程除了通常的连续解外，还有一个与之同相的奇异解。在德布罗意看来，通常意义上的波函数是一个纯粹虚构的含有主观性质的东西，它只能用来提供关于粒子各种可能运动的统计信息；粒子的以及与这个粒子相缔合的波动现象的真实结构是由奇异解μ解表示的。因而，这个奇异解就是德布罗意意义下的真实物理指示者。 数学上的困难导致德布罗意后来采用弱化的导波理论：波函数既是一个几率波，又是一个导波，它通过引导公式决定了粒子在空间中的径迹。这就能够回归决定论。 但由于泡利在第5次索尔维会议上，批评徳布罗意没有提供多体问题的自洽说明，徳布罗意开始皈依哥本哈根学派。

隐变量理论的复活 1935年，赫尔曼指出，冯·诺意曼关于量子力学不存在隐变量的论证是循环论证，在这个数学证明中，预先假设了隐变量也和量子态一样满足线性组合条件；因此，无法排除非线性和非定域隐变量存在的可能性。 在1952年玻姆发表《关于量子理论的“隐变量”解释的倡议》后，量子力学的因果解释在50年代复活。德布罗意对以前的双重解理论进行修改，最显著的是粒子不再被视为镶嵌于广延波动现象中的奇异点，而是一个奇异性的小区域，并引入μ波的传播方程原则上是非线性的这一他认为不可缺少的假设。 在德布罗意看来，奇异区的μ波相当于作非线性振荡的自组织细胞，波是μ波在奇异区边缘的线性近似形式。德布罗意的量子论思想，一开始就具有隐变量的影子，像粒子的“内在时钟”和“周相谐和定律”都是隐变量观念的产物。

量子势理论 玻姆在1952年的论文中,把波函数写成指数形式=Re2πiS/h, 代入薛定谔方程,推出了牛顿近似下的量子势公式。 玻姆引入的新观念是：赋予系统波函数的每个粒子以一个位置x(隐变量）和一个动量mv。即赋予每个粒子一条连续轨道，只要知道粒子的初始（或终了）位置，这条轨道就完全确定了。此外，如果初始速度对于x=ξ由▽S/m给定，其中ξ是隐变量，那么粒子的速度将满足经典的位势U之外，还有“量子力学位势”Q，玻姆进一步求出Q的明显表达式，并由此说明波函数代表一个客观实在的场，而非仅是一个数学波函数。

玻姆与德布罗意 在承认量子势代表粒子对波的反作用，并依赖于仪器等“障碍物”这些方面，德布罗意与玻姆的立场接近。他们的区别是： 玻姆认为，波是客观实在的波，它引起了量子势Q; 德布罗意认为，只有μ波是实在的，波只是对μ波的线性近似和统计描述，是纯粹主观的知识波。 爱因斯坦决不指望对现有的量子力学进行反几率的改造。他曾给玻恩写信说：“你看到玻姆（其实还有徳布罗意在二十五年前）是怎样相信能够以另一种方式从决定论的角度来解释量子力学的吗？我认为，这是廉价的推论，但你当然可以更好的判断。”“在力学过程领域中，……量子统计理论迄今还是一个自洽的体系，它正确地描述观察到的量之间的经验关系并能从理论上预言它们的意义”。

量子势包含环境信息 量子势跟关联于粒子的波的强度无关，它仅依赖于波的形式，量子势隐含着整个环境的信息，它把仪器和单个粒子的行为明显地关联起来。量子势对于粒子的导引，如同雷达波对于飞机的导航，波的强度几乎无用，波的信息形态至关重要。 马里奥·本格认为，量子势在不能为哈密顿量提供贡献的意义上，绝不能等同于牛顿力学中的力与势能。 如果我们写出多体系统的量子势公式，就会发现不论粒子之间相距多远，每一个粒子的行为都非定域地依赖于所有其他的粒子，而且每个粒子的作用力不再能表示为其他粒子位置的函数，作用力的函数形式依赖于整体态的波函数，取决于波函数的整体条件。在玻姆看来，整体性在这一层次的内容，比非定域性对于经典概念的背离具有更加根本的意义。

赵国求的新贡献 量子力学的各种表象与解释几乎都直接起始于分析力学的哈密顿表述的不同形式，我们需要一个相当于牛顿质点力学的量子力学对应物，能够从微观单元的相互作用生成整体的量子体系。 赵国求先生引入的康普顿物质波表象，以及提出的量子力学曲率解释和相互作用实在论的哲学，很可能导致量子力学从哈密顿形式回归牛顿型的相互作用形式，并借助微观形态的时空动力学机制消除一些量子佯谬，不断接近爱因斯坦的物理学理想。

德布罗意相位波的频率问题 德布罗意认为，爱因斯坦得出的适于光子的方程式E=hν和适于实物粒子的方程式E=mc2对于光和实物粒子都是普遍成立的。因此，在固定于静止质量为m0的粒子上的参照系内，其周期过程的内部频率为 ν0=m0c2/h ； 但当一个静止观察者看着该粒子以速度v运动时，其振动频率将减少为 ν1=ν0(1–v2/c2)1/2 =(m0c2/h)(1–v2/c2)1/2 。 另一方面，运动粒子的能量 E=m0c2/(1–v2/c2)1/2, 相当的频率为ν2=ν0(1–v2/c2)–1/2=m0c2/h(1–v2/c2)1/2 显然，ν1和ν2是不同的。

相速问题 德布罗意从频率ν2和 波长λ=h/mv=h(1–v2/c2)1/2/m0v得到相位波的相速vω=c2/v ，它不同于粒子的速度v , 而且远大于光速。 按照德布罗意的假设，相位波大于光速，但如果相位波不传递能量和信息，就不会出现违背因果律的现象，这里包含着量子非定域性的一个源头。

快跑的波如何缔合慢悠悠的粒子？ 在静止观察者看来，存在着以速度v运动和内部振荡频率ν1的一个粒子，缔合着一个与速度vω和频率ν2有关的波。现在，粒子可以解释为是一个保持与波同相位，相对于波以速度vω–v 位移的微观时钟。 换句话说，对于任一伽利略参照系，一个运动的量子粒子的内部时钟的相位在每一瞬间等价于粒子所在的同一点上计算出来的波的相位的值。

经典参照系与相对论参照系的混同 在德布罗意原来的相位波理论中，不仅出现粒子的内在振荡频率和量子波动频率的不一致，而且粒子运动速度与波的相速不一致，另外在分析问题时同时使用相对论公式和伽利略参照系。 （美人鱼是美女还是大鱼？ ） 为了解决这些概念问题，赵国求先生引入了康普顿物质波的量子力学新表象，并提出了量子概率的几何化理解——量子力学曲率解释 。

如何防止“走马看波”？ 我们假设静止观察者的参照系为A系，与粒子一起以速度v运动的参照系为B系。德布罗意设想B系与静态粒子联系的“物质波”实际上是一种振动。粒子是个振动的质点，A系中的物质波是振荡粒子运动的结果。 但是，结合康普顿波长，在现有理论的基础上，我们完全可以构造一个与静态粒子联系的真正的物质波，而徳布罗意相位波则成了新构造的康普顿物质波在运动方向的投影：它们频率都是基频h/mc2 ，但徳布罗意波的波长h/mv，是康普顿波长h/mc向运动方向投影时，自发调谐后的泛频波长。

静止的康普顿波 量子力学指出，以静态粒子联系的频率是 ν0=m0c2/h 与静态粒子联系的康普顿波长是 λ0=h/m0c φ0=a0•exp{(2πі/h)(P0•r–E0t)} 其中r为位移矢量，即粒子运动的方向，且令P0•r=0, P0=m0c (p0=m0c), E0=m0c2, P0具有动量量纲，故称为静止粒子的康普顿动量。

电子的波动环面 上式所描述的物质波是静态粒子与B系对应的物质波，其波长λ0和频率ν0体现了静态粒子的空时尺度。这是粒子已不再是质点，而是具有一定的时空线度，相当于一个以半径为λ0的环流。 如果考虑电子自旋为h/2的特殊情形，那么只有旋转两周（4π）后才能恢复原态，因此电子作为环流是个缪比乌斯带。φ0则构成了粒子不动时，A，B系内的时空背景场。

A系观察到的波场 粒子在A系看来是做匀速直线运动的，于是粒子质量由m0变为m，m=m0(1–v2/c2)-1/2。根据量子力学，此时与粒子联系的波动频率是ν2=mc2/h。 若动粒子的康普顿波长λc定义为 λc=h/mc，则ν2和λc可构成一个与动粒子联系的康普顿物质波φ（A系内）： φ=a•exp{(2πi/h)(Pc•r–Et)} 式中Pc=mc (pc=mc), E=mc2 , Pc也具有动量特征，因而称Pc=mc为运动粒子的康普顿动量，c为波速。φ体现的是运动粒子内在量子波动在时空中的背景信息。

B系观察到的波场 我们假设与静粒子对应的波动φ0完成一个全振动的时间是T。粒子静止时，B系中的静止观察者使用的计时单位是τ0，他测量此波场的振动周期是： T0=T/τ0 因此，粒子静止时对应的波场频率是 ν0=1/T0=τ0/T

参照系变换：计量波场变化 粒子运动，在A系中的静止观察者再注视这个与粒子联系的波动，其计量时间的单位变大了：τ0’=τ0(1–v2/c2)-1/2，因而与运动粒子对应的波场φ的周期变成： T0’=T/τ0’ 粒子运动后对应的波场φ的频率是： ν2=1/T0’ =τ0’/T 于是ν0和ν2之间的关系是： ν0/ν2=(τ0/T)/(τ0’/T)=τ0/τ0’=(1−v2/c2)1/2 故 ν2=ν 0(1–v2/c2)-1/2

频率佯谬：忽视观察信号差异 这与从质能关系和普朗克关系推出的结果一致，但是物理意义更明确。 ν0是粒子静止时对应的静态康普顿物质波φ0的场频，ν2是粒子运动时对应的动态康普顿物质波φ的场频，显然与运动粒子对应的康普顿物质波的场频是升高了，它与运动的时钟频率降低非但不矛盾，而且是互为因果的，正是因为运动时钟频率降低，才出现了康普顿物质波的频率升高，康普顿物质波是用光计时并测量后的物质波场。 这就自然地解决了德布罗意相位波理论中两个频率不等的佯谬，而且都采用了洛伦兹参照系 。这实际上是把光波在物体纵向运动与横向运动时的Doppler效应的差别推广到光速传播的Compton物质波。

康普顿波的虚光子振荡模型 让我们把静止粒子简化为球形空腔，从中心发射虚光子撞击空腔, 并且重新收缩到中心，正好是滞后波与超前波的叠加，而且相当于微观时钟。当粒子相对于我们运动时，沿着运动方向空腔收缩成为一个椭球，虚光子来回撞击所需的路径变小，正好相当于运动粒子的量子波动频率增大，但是虚光子在运动方向的球面前后两端来回反射时，尽管在随着粒子运动的参照系看来符合异地同时性条件，但在外部静止观察者看来，中心发射的虚光子不是同时到达球面在运动方向的前后两端的，因此确定运动粒子的量子波动频率的方法不符合异地同时性条件，不能作为运动时钟异地对时方法，它当然不是运动时钟的频率。 而在垂直于运动方向的虚光子，在运动电子的内部观察者看来，仍然走垂直路径，并符合同时性条件；而在外部静止观察者看来，虚光子所走路径成了两条斜线而变大，仍然符合异地同时性条件，可以作为运动时钟的对时方法，导致运动时钟频率减小。 即使是一般的封闭曲面空腔，或者把粒子看作是某种能够形变的连续介质，以上分析也能推广。

量子退相干：打乱微观相位 微观粒子相当于波动的微观时钟，相位的变化相当于物质波曲面方向的变化，可以是不带能量的信息，在幺正演化中相位的变化不是随机的；而在量子测量过程中，粒子与仪器发生了退相干过程，粒子与仪器中的粒子随机交换能量和信息，出现了随机相位。 这与玻尔在量子测量理论中提到的仪器与粒子相互作用时会“不可控制地”在相应的本征态上产生任意的随机相角的观点一致。随机相角实际上是量子混合态的相位特征，它的变化可以用来解释量子测量过程中干涉项的消失问题 。

EPR关联是微观相位关联 在EPR型实验中，当复合粒子体系分离后，在没有与仪器发生相互作用的幺正演化过程中保持纯态，位置和动量并非处于本征态，这就是量子纠缠态。量子测量中出现的包含波包塌缩的退相干过程，实际上是复合粒子体系中的一个或多个粒子，与仪器中的粒子体系发生了不可逆的能量和信息交换，打破了复合粒子体系原来的纠缠。 但是测量复合粒子体系中一部分粒子的量子态，的确可以根据原来的相位关联推测另一些粒子的量子态；这里并不存在多数学者想象中的非定域关联，而是因为各个粒子量子波动的内在时钟之间具有类似莱布尼兹单子先定和谐的周相谐合现象；波包塌缩的非定域性，不过是德布罗意相位波作为康普顿物质波在闵氏时空中的投影具有超光速移动速度的表现。

量子力学曲率解释 从波函数本质上反映微观粒子自身时空特征的指导思想出发，我们从波函数的振幅中分离出代表粒子自身时空特征的曲率因子——基准曲率（或特征曲率）： Rn=∆pn/ћ 。 我们还能从康普顿物质波的内禀动量p0，经典动量p1和相对论动量pc所对应的不同相位圆波长关系：λ0=ћ /m0c,λ1=ħ/mv，λc=ħ/mc，引申出与粒子线度有关的量子曲率方程： Rc 2 =R12 +R02 , 它符合动量关系pc2 =p12 +p02 而基准曲率与不确定原理的关系是：

量子力学曲率解释 ∆Pn• ∆xn=ћ , ∆xn=1/Rn 。 我们发现，通过不确定关系得到的氢原子中不同轨道电子的基准曲率正好在径向波函数的振幅中可以分离出所定义的曲率因子，而且波函数|ψ|2与这种曲率成比例，因此对量子力学波函数可作出新解释，这就是量子力学曲率解释。这就发展了薛定谔关于广义坐标q空间具有非欧线元的观点。 量子力学曲率解释，本质上是牛顿质点力学的量子对应物，取代牛顿质点模型的是康普顿物质波的曲率波包，取代绝对时空的是考虑了观察信号速度和作用量以后形成的相对时空背景和反映微观客体自身时空形象的局域量子曲面。这也许是目前最接近爱因斯坦的物理学理想的一个解释。

氢原子中的电子基准曲率 氢原子中电子在能级n上的徳布罗意波波长是 =ћ/pn=na0 ， 刚好是以λn为圆周长的圆半径，Rn 刚好是圆的曲率，a0是玻尔半径。所以，氢原子每个能级n由徳布罗意波波长定义了一个与电子对应的曲率Rn ，我们称其为基准曲率。 rn =na0 为基准曲率半径，它给出了电子在氢原子中每个能级上的基本波动形象，意味着n能级上正好有n节驻波。 不难发现，n=1时，R1 /Rc =e2 /ħc=1/137，精细结构常数是基态电子的经典动量曲率与电子的康普顿动量曲率之比。

量子曲率：春天的紫罗兰一起开放 其实把波函数理解为曲率函数并非赵国求先生的独创，法国数学家托姆在《结构稳定性与形态发生学》一书中早就提出类似的看法。托姆批判了量子力学点粒子模型，认为量子论中以不确定原理为基础的争论依靠的是点粒子这一粗糙而不适当的模型，把微观客体硬塞入一种不适当的概念框架造成了混乱和佯谬。 提出了把波函数ψ视为按一定频率改变拓扑类型的的超曲面上的形态也就是局域曲率的观点，与能量本征值有关的波函数图形的总曲率类似于量子力学曲率解释中相应能量本征值对应的能级上电子的“基准曲率”。不过由于托姆没有很好地与物理学联系起来，因而没有受到物理学家的重视。

托姆：一个数学的神话

范弗拉森的几何概率 如果态矢量由两个正交矢量（X，Y）表征，则在态W中作一个X测量产生值x，x在集合（x,y）中的概率即为P，那么 P=x2 /(x2 +y2 )=x2 /R2 态矢量的几何概率正比于它的黎曼球的高斯曲率，正比于能量超曲面上的对应轨线的量子曲率。

量子曲率：形实点虚 量子力学曲率解释也不赞成点粒子模型，主张任何具体的物体都不会是质点，当我们用某种场信号去观察它时，对物体的认识就会与场的性质，强弱和作用的传播速度有关。牛顿力学完全忽略了运动及观察中使用的场信息对物体时空特征的影响，这就可以把物体理想化地处理成为质点。 观测信号速度的有限性（光速等于c）和作用的不连续性（作用量子ћ），是产生相对论效应和微观量子特性的根本原因。在微观世界，微观粒子的时空特性是不连续的，微观粒子的特征曲面的基准曲率在Rn =0和Rn ≠0之间跳跃变化。在微观世界，物质体系的时空形态本质地具有量子特征 。

多世界解释 由埃弗雷特首创，以后又经过了惠勒，德维特，格拉汉等人发展起来的量子力学多世界解释，旨在寻找一种量子力学形式体系的内在解释，它不仅要消除对经典的（宏观的）观察装置或外部观察者的需要，而且还要消除对形式体系作先验的操作解释的需要。 1967年，B·Dewitt最先应用狄拉克的量子化方法，对引力场进行正则量子化。1968年，惠勒和C·米斯纳加以发展完善，从而建立了量子宇宙学。WDW方程可表述为如下形式： 此中h是三维曲面上诱导出的度规行列式，是三维曲面的标量曲率，是宇宙常数， 是物质场的哈密顿函数，波函数ψ表示宇宙的量子态，它是超空间上的一个函数，从而表示宇宙在超空间中出现在 点处的几率。

多世界解释的教义 1.量子力学的数学体系是完备的，不需要给它增加任何形而上学的内容。 2.不需要引入外在的观察者，观察者是作为量子孤立体系的子系统出现的，它内在地包含仪器过去的信息记录，以及仪器的构型与实验环境的信息，观察意味着建立量子子系统之间的关联。 3.谈论整个宇宙的态矢量具有物理意义，宇宙态矢量的概念在物理学上是必要的。 4.这个态势量从不塌缩，作为整体的宇宙遵循严格的决定论。

多世界解释的教义 5.尽管实验观测装置的各态历经特性得到了量子力学统计解释内在一致性的严格保证，从根本上说，这一特征并不是绝对必要的。 6.不需要对量子力学体系作先验的操作解释，统计解释不再被认为是先验的，多世界解释与通常解释之间是元理论和理论的关系。 7.分立经典实在是不存在的，我们必须对通常的实在观念作彻底的变革。宇宙本是参与者的宇宙。宇宙波函数既包括观测者和各类测量仪器，又包括被测对象。于是，在多世界解释中，既不需要旁观的观测者，也不需要导致宇宙波函数塌缩的“上帝”。

薛定谔猫在哪个世界？ 所谓“薛定谔猫”的佯谬，是指：当猫有“死”和“活”两种本征态时，它还有一种“未死未活”，“或死或活”的可能态。 为了避免这种佯谬，埃弗雷特在多世界解释中，将原来正统量子力学中的“状态”，换成了各种可能的“世界”。

薛定谔猫究竟是否活着？ 多世界解释意味着，当猫有等量机会成为“活猫”或“死猫”时，宇宙波函数就分裂为两个分支；其中一个世界中猫是活的，同时这个世界中有看到“活猫”的观测者；而另一个世界中猫是死的，同时该世界中也有看到“死猫”的观测者。

测量是宇宙总体投影于现实世界 在量子力学通常解释的第三公设中，观测者的“测量”导致波函数的“扁缩”，用狄拉克符号<|n>来表示。 在多世界解释的第三公设中，“波函数扁缩”这种含混不清的说法，被埃弗雷特大胆地放弃了：观察者与观察对象之间没有本质差别，所有宏观可能性将平行地出现于各世界中；测量就是整个宇宙波函数在其中一个世界的“投影”。如果宇宙中观测者的世界属于n，那么他与被测世界的相互作用也用<|n>表示。

量子测量，歧路重重 每“测量”一次，宇宙波函数就“投影”一次；多次的测量似乎可使宇宙“分裂”成许多它本身的复制件，而宇宙波函数似乎总能预言宇宙的一部分，在观测另一部分时会得到什么。 宇宙波函数是活动着的而非永恒的柏拉图星空，我们的测量行为，选择性地制造了其中的一个现实世界（一个青蛙视角的亚里斯多德立场）。

鸟瞰的柏拉图立场 正如德维特所说：“在每一颗恒星，每一个星系上，以及在宇宙的每一个遥远的角落里，所发生的每一次量子跃迁，都在将地球上我们这个局部世界分裂为无数个自身的拷贝……”。那种认为物理世界有许多宏观可能性中作出具体选择的看法，只不过是一个幻觉；这些可能性全部实现了，根本没有什么波包扁缩。

多世界解释的公理体系 1.量子宇宙由宇宙波函数完全描述，宇宙波函数满足“世界叠加原理”; 2.所有力学量都表示为其线性厄米算符的平均值； 3.测量是整个宇宙不同部分之间的相互作用，若观测者的世界属于n，则他与被测世界之间的相互作用以<|n>表示，因而“测量”就是整个宇宙在其一部分中的“投影”。 4.宇宙波函数的时间演化方程是薛定谔方程（或惠勒——德维特方程）。 至于第五公设，在仅讨论单一宇宙的前提下尚不需要。

多世界解释的误区 1.多世界解释是线性非定域的，而这种非定域性很容易由玻姆的量子势得出； 2.多世界解释假设宇宙分裂出现的实际点就是作出测量的点，但是什么是一次“准确测量”却无法交代清楚；多世界解释的时间可逆性同测量历史的不可逆性也有矛盾； 3.多世界解释有滥用数学的现象，引入了远离现象世界的“其他世界”； 4.物理学家更喜欢“可能性”的表达方式，而不是“多世界”之类的表达，多世界解释中的其他世界对我们来说是不可观察与不可交流信息的，因而纯粹是一种理论虚构。 马可波罗-卡拉马拉，李·斯莫林等人认为，宇宙是单一的全体，而与观测者有关的量子态是互相关联的许多描述，这是对想入非非的多世界解释的一个合理修正。