运筹学 Operations Research Chapter 5 目标规划 Goal Programming 5.1 目标规划数学模型 Mathematical Model of GP 5.2 目标规划的图解法 The graphical method of GP 5.3 单纯形法 Simplex Method

目标规划简介 目标规划是由线性规划发展演变而来，线性规划归根结底是研究资源的有效 分配和利用，模型特点是在满足一组约束条件的情况下，寻求某个目标的(如 产量、利润、成本等)的最大值或最小值。现代企业内分工越来越细，组织机 构日趋复杂，为了统一协调企业各部门人员围绕一个整体的目标工作，产生 了目标管理这种先进的管理技术，目标规划是实行目标管理的有效工具，它 根据企业制定的经营目标以及这些目标的轻重缓急次序，考虑现有资源情况， 分析如何达到规定目标或从总体上规定目标的差距最小。 目标规划的有关概念和模型最早是在1961年由美国学者A· 查恩斯和W·库伯在 他们合著的《管理模型和线性规划的工业应用》书中提出，以后这种模型又先 后经尤吉·艾吉果、杰斯基莱恩和桑·李不断和完善和改进。1976年伊格尼奇奥 发表了《目标规划及其发展》一书，系统的归纳和总结了目标规划的理论与 方法。

Mathematical Model of GP 5.1 目标规划数学模型 Mathematical Model of GP

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP 5.1.1 引例 【例5.1】考虑例1.1．资源消耗如表5-1所示: x1、x2、x3分别为甲、乙、丙的产量。 表5-1 产品 资源 甲 乙 丙 现有资源 设备A 3 1 2 200 设备B 4 材料C 5 360 材料D 300 利润（元/件） 40 30 50 使企业在计划期内总利润最大的线性规划模型为：

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP 最优解X＝(50，30，10)T，Z＝3400

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP 现在决策者根据企业的实际情况和市场需求，需要重新制定经营目标，其目标的优先顺序是： (1) 利润不少于3200元; (2) 产品甲与产品乙的产量比例尽量不超过1.5; (3) 提高产品丙的产量使之达到30件; (4) 设备加工能力不足可以加班解决，能不加班最好不加班; (5) 受到资金的限制，只能使用现有材料不能再购进。 【解】 设甲、乙、丙产品的产量分别为x1、x2、x3。如果按线性 规划建模思路，最优解实质是求下列一组不等式的解:

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP 通过计算不等式无解，即使设备加班10小时仍然无解．在实际生产过程中生产方案总是存在的，无解只能说明在现有资源条件下，不可能完全满足所有经营目标．

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP 线性规划模型的局限性： 其要求问题的求解必须满足全部约束，但实际问题中并非所有约束都需严格满足，对某些约束有一定程度的违背是允许的； 只能处理单目标的优化问题，故线性规划模型中人为的将一些次要目标转化为约束，而在实际问题问题中目标和约束可以相互转化，处理时不一定要严格区分； 线性规划中各个约束条件(实际上可看成目标)都处于同等重要的地位，但实际问题中各目标的重要性有层次上的差别，同一层次中又可以有权重上的区分； (4) 线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只需找到满意解即可。

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP 目标规划通过以下几方面解决线性规划建模中的局限性： 设置偏差变量，用来表明实际值与目标值之间的差距； d－——为未达到目标值的差值，称为负偏差变量(negative deviation variable) d+ ——为超过目标值的差值，称为正偏差变量(positive deviation variable), 注： 正、负偏差变量两者必有一个为0，故恒有 d - ×d+ ＝0。 (2) 统一处理目标和约束，只对资源使用上有严格限制的建立系统约束，数学形式上为严格等式或不等式，同线性规划中的约束条件。而对不严格限定的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通过目标约束来表达，目标约束是一种将约束同目标结合在一起的表达式；

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP (3) 目标的优先级与权系数：在一个目标规划模型中，若两个不同目标的重要性相差悬殊，为达到某一目标可牺牲其他一些目标，称这些目标属于不同层次的优先级，优先级层次的高低可分别通过优先因子P1, P2 ,···表示，并规定Pk＞＞Pk+1 , 即不同优先级的差别无法用数字衡量，对属于同一优先级的不同目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数，权系数是一个个具体数字，乘上的权系数越大，表明该目标越重要。

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP 现建立例5.1的目标规划模型： (1) 设d1- 未达到利润目标的差值, d1+ 为超过目标的差值 当利润小于3200时, d1－＞０且 d1＋＝0,有 40x1+30x2+50x3+d1－=3200 当利润大于3200时，d1＋＞０且d1－＝０，有 40x1+30x2+50x3-d1+=3200 当利润恰好等于3200时，d1－=０且 d1+=0,有 40x1+30x2+50x3=3200 实际利润只有上述三种情形之一发生，故写成一个等式　　　 40x1+30x2+50x3+d1－－d1+=3200

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP 利润不少于3200理解为达到或超过3200，即使不能达到也要尽可能接近3200,可以表达成目标函数 {d1－} 取最小值，则有 (2)设 分别为未达到和超过产品比例要求的偏差变量,则产量比例尽 量不超过 1.5 的数学表达式为：

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP (3) 设d3ˉ、d３＋分别为产品丙的产量未达到和超过30件的偏差变量，则产量丙的产量尽可能达到30件的数学表达式为： (4) 设d4ˉ 、d4+为设备A的使用时间偏差变量, d5ˉ、d5+为设备B的使用时间偏差变量，最好不加班的含义是 d4+ 和d5+同时取最小值，等价于d4+ + d5+取最小值，则设备的目标函数和约束为：

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP (5) 材料不能购进表示不允许有正偏差，约束条件为小于等于约束． 由于目标是有序的且四个目标函数非负，因此目标函数可表达成一个函数： 式中：Pj (j=1,2,3,4)为目标的优先因子，第一目标优于第二目标,第二目标优于第三目标等，其含义是按P1、P2、…的次序分别求后面函数的最小值。

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP 问题的目标规划数学模型为：

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP 5.1.2 目标规划的一般数学模型 设xj (j=1,2,…,n)为决策变量

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP 式中pk ( k=1, 2, …… , K)为第k 级优先因子；wkl- 、wkl+ 为分别赋予第 l 个目标约束的正负偏差变量的权系数； gl (l=1,…L)为目标的预期目标值， (4.1b)为系统约束, (5.1c)为目标约束。

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP 注意： (1) 目标规划数学模型的形式有：线性模型、非线性模型、 整数模型、交互作用模型等; (2) 一个目标中的两个偏差变量d -、 d + 至少一个等于零， 偏差变量向量的叉积等于零：d－×d＋=0 ; (3) 一般目标规划是将多个目标函数写成一个由偏差变量构 成的函数求最小值，按多个目标的重要性，确定优先等级 顺序求最小值;

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP (4) 按决策者的意愿，事先给定所要达到的目标值: 当期望结果不超过目标值时，目标函数求正偏差变量最小; 当期望结果不低于目标值时，目标函数求负偏差变量最小; 当期望结果恰好等于目标值时，目标函数求正负偏差变量之 和最小; (5) 目标规划处理问题的困难点在于构造模型时需事先拟定 目标值优先级和全系数，而这些信息来自人的主观判断，往 往带有模糊性，很难定出一个绝对的数值。

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP 目标规划求解问题的过程见下述框图： 明确问题，列出 (或修改)目标的 优先级和权系数 构造目标规划模型 求出满意解 分析各项目标 的完成情况 据此制定出 决策方案 是 否 满意否

Mathematical Model of GP 5.1目标规划的数学模型 Mathematical Model of GP 本节介绍了如何建立目标规划的数学模型及有关概念 1. 目标规划由哪些要素构成，与线性规划有哪些不同之处 2. 偏差变量的含义及其作用 3. 目标函数的表达方法 4. 优先级别的含义 作业: 教材P90 1 ，2，4 下一节：目标规划的图解法

The graphical method of GP 5.2 目标规划的图解法 The graphical method of GP 当目标规划模型中只含两个决策变量(不包含偏差变量) 时，可用图解法求出满意解．

The graphical method of GP 5.2目标规划的图解法 The graphical method of GP 【例5.4】企业计划生产甲、乙两种产品，这些产品需要使用两种材料，要在两种不同设备上加工．工艺资料如表5－4 所示: 表5－4 产品 资源 产品甲 产品乙 现有资源 材料I 3 12(kg) 材料II 4 16(kg) 设备A 2 12(h) 设备B 5 15(h) 产品利润(元/件) 20 40

The graphical method of GP 5.2目标规划的图解法 The graphical method of GP 企业怎样安排生产计划，尽可能满足下列目标： (1)力求使利润指标不低于80元; (2)考虑到市场需求, 甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比例; (3)设备A既要求充分利用，又尽可能不加班； (4) 设备B必要时可以加班，但加班时间尽可能少； (5)材料不能超用。

The graphical method of GP 5.2目标规划的图解法 The graphical method of GP 【解】设x1、x2分别为产品甲和产品乙的产量，目标规划数学模型为：

x2 x1 o 满意解X＝(3,3) (5) (6) (4) (1) (2) (3) B C 满意解C(3,3) A 图4－1 6 4 2

The graphical method of GP 5.2目标规划的图解法 The graphical method of GP 【例5.5】图解目标规划

x2 x1 (1) 100 (2) 80 (3) 60 满意解是线段 上任意点，端点的解是 B(100/3，80/3)，C(60，0)． 决策者根据实际情形进行二次选择． (4) A 40 B 20 x1 C 20 40 60 80 100 图5－3

x2 x1 (1) 100 (2) 80 (3) 60 满意解是点 B，X=(100/3，80/3) (4) 40 20 20 40 60 A 40 B 20 x1 C 20 40 60 80 100 图5－3

x2 x1 (1) 100 (2) 80 (3) 60 (4) 满意解是点 D，X=(80/9，560/9) 40 20 20 40 60 A 满意解是点 D，X=(80/9，560/9) 40 20 x1 20 40 60 80 100 图5－3

The graphical method of GP 5.2目标规划的图解法 The graphical method of GP 本节介绍了目标规划的图解法 1.画出系统约束和目标约束直线 2. 标明偏差变量大于零的变量X的取值区域 3.按优先次序分别求各目标的最小值 作业: 教材P91 T3 (2)(4) 下一节：目标规划的单纯形法