國小數學課程的改變 國立台南師範學院數學教育系 謝 堅

您喜歡這樣幫助學童學習數學嗎? 透過拳頭學習大小月 1/10  01  0.1 1/100  001  0.01 1/1000  0001  0.001

1公斤=1000公克 4.8公斤=( ) 公克 5400公克=( ) 公斤

公 斤 克 4 5 . 8

1/70  07  0.7 1/37  73  0.73（7.3) 1/60  06  0.6 1/60  09  0.9

1公斤=2.2英鎊 4.8公斤=( )英鎊 4.8英鎊=( )公斤 透過畫格子學會換單位的學童， 國中時如何面對上述問題? 您如何解決上述問題?

國小階段沒有建立換單位的概念 (會算出答案，並不一定有概念)，很可能一輩子都不會有正確換單位的概念(除非透過反省) 。 得到數學分數，並不等於理解數學概念，更危險的是:可能妨礙數學概念的發展。

『1公分』與『公分』， 那一個是長度的(計數)單位？ 『公分』是測量長度的一種單位。 『1公分』是描述有多長的單位。

二年級的學童，看到『5公分』時， 一定要知道兩件事: 『公分』是量長度的單位。 『5公分』是5個1公分合起來的長度。

「元」、「１元」， 那一個是可以被計數的單位？ 『５元』有那些意思？

某一個指定的５元硬幣。 所有５元硬幣所成的集合。 ５個１元合起來錢數的簡稱。

哥哥有5元，姐姐有3元，兩個人合起來共有多少錢？ 兩個人共有『4個錢』。 當學童理解5元是５個１元合起來的錢數時，才能解決上述問題。

進行椅子，車子，長方形，圓形等物件的命名活動時，只呈現單一個物(例如只呈現一張椅子)，與同時呈現多個個物(例如呈現多張不同的椅子)，那一種情境比較恰當?

　4.8公斤是4.8個1公斤，  4.8公斤是4.8個1000公克，  4.8公斤是1000公克的4.8倍，  4.8公斤是1000×4.8＝4800公克。

4.8公斤是4.8個1公斤，  4.8公斤是4.8個2.2英磅，  4.8公斤是2.2英磅的4.8倍  4.8公斤＝2.2×4.8＝10.56 　　　　　　　　　　　(英磅)

除了點數，國小所有的數學題目，一定可以使用以前學過的方法算出答案。 除非看不懂數學符號，國中所有的數學問題，都可以使用國小學過的策略解題，國中階段引入的是更有效率的解題策略。

透過比的概念解題 1公斤:2.2英鎊=4.8公斤:( )英鎊 1公斤:2.2英鎊=( )公斤:4.8英鎊 學童必須理解比的意義，並熟悉 內 項乘以內項等於外項乘以外項的計算過程。

透過倒數的概念解題 1公斤=2.2英鎊 1英鎊=(1/2.2)公斤 4.8英鎊=4.8個1英鎊 =4.8個(1/2.2)公斤 =(1/2.2)x4.8公斤

數學符號或加減乘除運算是怎樣被發展出來的？ 為什麼「５＋３＝８」?

5+3不等於8，難道答案是9嗎? 你看！這裡有5個蘋果，那裡有3個蘋果，合起來數數看，是不是有8個蘋果，5個蘋果和3個蘋果合起來共有8個蘋果，所以5+3=8 。

應該先引入 5+3=8， 然後再向學童說明其義意。 先解決加法問題(例如5個蘋果和3個蘋果合起來是8個蘋果)， 再使用 5+3=8 紀錄解題活動。

一定要記成 5+3=8 嗎 ？ 5 ］→ 8; 5,3☉→8; 5+3=8 3 學童先發展出自己能掌握的記法，再連結數學上成人的記法。

f(x)=10x+5 這個式子是怎麼冒出來的? 為什麼 f(7)=10×7+5 所有的數學符號或數學運算，剛開始時都是解題的記錄，熟練之後才發展為解題的工具。

謝老板利用快遞賣粽子，肉粽一個賣50元，菜粽一個賣40元，不管買幾個粽子都要加收100元的快遞費用，如何幫助伙計或顧客知道買粽子要付多少錢?

肉粽個數 價錢 1個 → 150 2個 → 200 3個 → 250 4個 → 300 5個 → 350 6個 → 400 ……

肉粽個數 價錢 1個 → 50+100 2個 → 100+100 3個 → 150+100 4個 → 200+100 5個 → 250+100 6個 → 300+100 ……

肉粽個數 價錢 1個 → 50 × 1 +100 2個 → 50 × 2 +100 3個 → 50 × 3 +100 4個 → 50 × 4 +100 5個 → 50 × 5 +100 6個 → 50 × 6 +100 ……

肉粽個數 價錢 x 個 → 50 × x + 100 X=1,2,3,4,5,6,…. f(x)= 50x + 100 y = 50x + 100 x=1,2,3,4,5,6,….

f(x)= 50x + 100 f(7) 對學童是否有意義? f(7)=50 × 7 + 100 = 450 學童是否理解 f(7) 的意義?

如果顧客同時購買肉粽與菜粽，如何幫助伙計或顧客知道買粽子要付多少錢? f(x,y)=50x+40y+100 x,y是全數(0和自然數)。

忘掉你熟悉最有效率的解題策略，你才可能接近學童，才可能幫助學童發展數學概念。 例如:異分母加減問題 長方形面積公式 分數除法問題 算術平均數問題

進行「最簡分數」教學時，教學的重點是什麼? 進行「質數」教學時，教學的重點是什麼? 如何處理「1不是質數」的問題?

與成人溝通國小數學的教與學是很辛苦的，因為成人對國小數學問題過份的熟悉，因而喪失了反省能力，無法思考為什麼可以這樣快速的算出答案。

幫助成人理解學童為什麼不會算數學，為什麼常使用笨方法算數學，最好的方法是改變符號表徵，將問題改寫為成人不熟悉的符號情境，面對不熟悉的解題工具或情境，成人才能反省，學童在解題時可能發生那些困難，要如何幫助學童解決這些困難。

請使用英文字母｛ㄟ，ㄅㄧ，ㄒㄧ，ㄉㄧ，....｝的讀法來替代 印度－阿拉伯數字「ㄧ，ㄦˋ， ㄙㄢ，ㄙˋ，....」的讀法。 請使用「ａ、ｂ、ｃ、ｄ..」的符號替代印度－阿拉伯數字 「１、２、３、４..」的記法。

甲有ｆ個蘋果，乙有ｄ個蘋果， 兩個人合起來共有多少個蘋果？ 不會加法，能夠解決加法問題嗎? 算算看，答案是多少?

不會加法，也能夠解決加法問題 ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ａ ｂ ｃ ｄ           ａ ｂ ｃ ｄ ｅ f ｇｈ ｉ(j) 用加法「ｆ＋ｄ」能算出答案嗎？ 有那些能力之後，才能用加法算出答案？

甲每天吃ｃ個蘋果,e天共吃幾個蘋果？ 請算出答案。

用乘法「c x e 」能算出答案嗎？ 用加法「c＋c＋c＋c＋c」能算出答案嗎？　　　　　　　　　　　 透過畫圖及點數，能算出答案嗎？ 何時才能使用乘法當做工具來解決問題？人們為什麼要發明乘法？

數學模型(解題活動類型） 在國小階段，我們算了很多的加法問題，為什麼這些情境不同的問題，都可以使用加法運算來解決問題？ 這些使用加法解題的問題有那些共同特徵？

成人常提示，當題目中有關鍵字「共」的時候，就可以使用加法來解決問題。 成人為什麼要提示關鍵字？　　　提示關鍵字的目的是什麼？　　　可以使用其它的方式來替代嗎？ 統計學的觀點。 數學模型(解題活動類型)的觀點。

有兩個已知個數的集合，這兩個集合沒有共同的元素，當要確定這兩個集合的個數合起來是多少個時，就可以使用加法來替代點數解決問題。 數學上給加法的定義： Ａ∩Ｂ＝Φ，ｎ（Ａ）＝ａ，　　　　　ｎ（Ｂ）＝ｂ，ａ＋ｂ＝ｎ（Ａ∪Ｂ）。

甲帶一瓶２０公克重、溫度是２０度ｃ的水，乙帶一瓶３０公克重、溫度是３０度ｃ的水。 將兩瓶水倒在同一個瓶中，請問水重多少公克？溫度是多少度ｃ？ 兩瓶水合起來， 為什麼水的重量可以相加？ 為什麼水的溫度不能相加？

數學上給加法的定義： Ａ∩Ｂ＝Φ，ｎ（Ａ）＝ａ，　　　　　ｎ（Ｂ）＝ｂ，ａ＋ｂ＝ｎ（Ａ∪Ｂ）。 數學上擴展加法定義使用範圍： ｎ（Ａ）＝ａ，ｎ（Ｂ）＝ｂ， n（A∪B）＝n(A)+n(B)-n(A∩B)

背題型與掌握數學模型，何者對學童比較有幫助? 小範圍的考試 大範圍的考試 以後的發展

當計算器具使用不方便且不普遍時 將學童訓練成會走路的計算機， 算的又快，又準，又狠。 當計算器具使用方便且普遍時 遇到大數字時使用計算器具，但是當沒有計算器具時，也能夠慢慢的算出答案。

能判斷一個問題該使用何種計算方式解題，能快速的計算出答案， 那一種能力比較重要? 如何幫助學童判斷一個問題該使用何種計算方式解題? 何時可以要求學童熟練算則?

需要背「英文字母乘法表」嗎？ 需要背「九九乘法表」嗎？ 學童何時可以開始記乘法表? 學童多久必須熟記乘法表？　　 如何幫助學童熟記乘法表？ 我們以前是怎樣背乘法表？ 需要強迫學童這樣背乘法表嗎？

如果你是課本的編寫者，你會假設學童已經會背乘法表嗎？ 你會安排一些幫助熟記乘法表的活動嗎？ 如果班上學生(您的寶貝)的先備經驗和編者的假設不一致時，你如何處理？

3+3=6 3x2=6 6+3=9 3x3=9 9+3=12 3x4=12 12+3=15 3x5=15 15+3=18 3x6=18 18+3=21 3x7=21 21+3=24 3x8=24 24+3=27 3x9=27

右邊的乘法算式只是記錄，學童是使用加法解決問題，使用乘法算式記錄解題過程。 透過經常記錄，幫助熟記乘法表。 連絡加一個3，乘數多一倍的關係。

3x8=24 ， 3x9=27 不會背， 可以透過加法解決問題。 3x7=21 ， 3x8=24 ， 3x9=27 當學童會背 3x7=21 時，前面的乘法紀錄就不需要再出現。 3x8=24 ， 3x9=27 不會背， 可以透過加法解決問題。 當學童會背 3x9=27 時，所有的乘法記錄都不需要再出現。

3x8=( ) 3x12=( ) 9x4=( ) 13x4=( ) 47x60=2820 47x59=( ) 47x62=( )

數學課程都分三階段引入數學符號或算式，但是，不同課程對三階段所投入的教學時間不儘相同。　

第一階段： 引入數學符號或算式之前。 教學的重點是： 理解題意。 有成功解題的經驗。 逐漸形成數學模型(解題活動類型)。

第二階段： 引入數學符號或算式。 教學的重點是： 形成數學模型(解題活動類型）。 掌握算式（摘要記錄）或算式填充題（問題記錄）的意義。

第三階段： 引入數學符號或算式以後。 教學的重點是： 將算式轉變成解題的工具。 提升解題效率。 引入算則。

６４年課程，第一階段輕輕帶過，將多數教學時間放在第三階段。 ８２年課程，第一階段投入較多的時間，相對之下，第三階段投入時間比較少。 九年一貫課程，與８２年課程比較，減少第一階段的時間，增加第三階段的時間。

一枝鉛筆賣３元，４枝賣多少元？ 第一階段: 3＋3＝6，6＋3＝9，9＋9＝12 第二階段: 3×4＝12 (算式不是解題工具） 第三階段: 3×4＝12 (乘法算式是解題工具，也是解題記錄)。

一瓶水２４公升，3/4 瓶水有多少公升？ 題意是整數乘以分數的問題，不會整數乘以分數也能夠解決問題。 只要瞭解3/4瓶的意義，就可以使用整數的乘除法當做工具解決問題，並用算式「24÷4＝6，6×3＝18」 記錄解題活動 （第一階段）。

需要引入整數乘以分數的摘要記錄 「24×3/4＝18」嗎？ 這類問題不是經常出現，只要能夠成功解題即可，不需要將「整數乘以分數」發展成解題的工具。 如果這類問題經常出現,或是某些重要數學概念的先備經驗，才需要引入摘要記錄「24×3/4＝18」 （第二階段）

引入摘要記錄 24×3/4＝18 以後，可以透過經常使用或約分及擴分策略，將記錄轉換成有效率的解題工具（第三階段）。 將問題中的兩個數字直接運算，是最有效率的解題策略。

38 38 467 467 +25 +25 x 3 x 3 63 13 1401 21 +5 18 63 +12 1401 你喜歡較摘要的記法嗎? 為什麼你喜歡簡單省略的記法?

解題活動的步驟可以省略嗎？ 記錄活動的步驟可以省略嗎？ 1 38 38 +25 +25 63 13 +5 63

78698668+98657699=? 7869866+9865769=? 786986+986576=? 78698+98657=? 7869+9865=? 786+986=? 您可以在心中掌握幾個步驟?

78698668 + 98657699 為什麼心算很困難，但是筆算變成很簡單?

47x69=( ) 47 × 69 423 + 282 有那些能力後，就可以摘 1401 要地記成一行? 有需要記成一行嗎?

人們透過背一些東西(或在心中運算)，或同時在心中掌控幾個步驟運算的方式，省略記錄的格式。 解題活動的過程是不可能省略的，將重要的過程記錄下來對師生的溝通有幫助，當能掌握數個細步的過程時，才可以開始省略記法。

當全國使用同一套數學課本時， 數學問題的題意不清，並不會引起太大的困擾，因為大家很容易形成解題的共識。 當全國使用多種數學課本時，學測的命題者必須出一些大家沒有見過的數學問題，為了將問題的情境描述清楚，題目會變的很長。