如何幫助學童學好數學 　國立台南大學數學教育系 謝 堅

◎您贊成這樣幫助學童學習數學嗎?　　　　　　　　　　　　　　　 ◎透過拳頭學習大小月： 一月大、二月小、三月大、…、 七月大、八月大、… 、十二月大

◎教學重點： 手骨骼構造與大小月的關係。 陽曆的由來(歷史故事)。 幫助記憶。

一個月有30天 一年有12個月 一年有365天(30×12＝360) ◎為什麼七月及八月連續兩個月都 ◎為什麼我們常說： 是大月?而二月的天數特別少? ◎為什麼我們常說： 一個月有30天 一年有12個月 一年有365天(30×12＝360)　

◎您贊成這樣學習分、小數互換嗎 ◎1/10  01  0.1 1/100  001  0.01 ◎1/10  01  0.1 1/100  001  0.01 1/1000  0001  0.001

◎1/10000  00001  0.0001 ◎1/70  07  0.7 1/37  73  7.3 ◎1/60  06  0.6  09  0.9

◎單位的化聚： ◎1公斤＝1000公克 4.8公斤＝( ) 公克 5400公克＝( ) 公斤 ◎中年級、高年級、國中怎麼教?

公 斤 克 4 5 . 8

◎畫格子： 是換單位的概念 是解題的技巧

◎畫格子： 適用的範圍有多大？ 能解決不同換單位的問題嗎？ 會妨礙以後換單位概念學習嗎？ 適用於所有換單位的問題嗎？

※已知1公斤＝2.2英鎊 ◎您如何解決上述問題? ◎透過畫格子學會換單位的學童， 4.8公斤＝( )英鎊 4.8英鎊＝( )公斤 　4.8公斤＝( )英鎊 　4.8英鎊＝( )公斤 ◎您如何解決上述問題? ◎透過畫格子學會換單位的學童， 國中時如何面對上述問題?

◎國小階段沒有建立換單位的概念 (會算出答案，並不一定有概念)， ◎國小階段沒有建立換單位的概念 (會算出答案，並不一定有概念)， 很可能一輩子都不會有正確換單 位的概念(除非透過反省)。 ◎得到數學分數，並不等於理解數 學概念，更危險的是：可能妨礙 數學概念的發展。

※『1公分』與『公分』， 那一個是長度的(計數)單位？ 『公分』是測量長度的一種單位 『1公分』是描述有多長的單位 （個別單位概念）。

公分是量長度的單位。 5公分是5個1公分接起來的長。 ◎二年級的學童，看到『5公分』時 ，一定要知道兩件事： （和5個1公分接起來一樣長）。

◎ 「元」、「１元」， 那個是可以被計數的單位（錢）？ ※『５元』有那些意義？

某一個指定的5元硬幣(特例)。 5元硬幣所成的集合(等價類)。 5個1元合起來錢數的簡稱。 ◎『５元』可以是： ◎對低年級學童而言，哪一個概念 　最難建立？

※哥哥有5元，姐姐有3元，兩個人 ◎為什麼部份學童回答： ◎當學童理解： 合起來共有多少錢？ 兩個人共有『4個錢』。 　5元是5個1元合起來的錢數時， 　才能解決上述問題。

甲有5個蘋果，乙有3個蘋果，兩 甲繩長5公分，乙繩長3公分， 哥哥有5元，姐姐有3元，兩個人 ◎這三個問題的難度是否相同？ 　個人合起來共有多少個蘋果？ 甲繩長5公分，乙繩長3公分，　 　兩條繩子接起來長多少公分？ 哥哥有5元，姐姐有3元，兩個人 　合起來共有多少元？ ◎這三個問題的難度是否相同？ 為何都可以用加法算出答案？

◎面對接起來有多長與合起來有多 　少元的問題，中、低年級教師不 　應該立刻接受答案，教師應追問 　學童解題的意義。

一些蘋果，3個一數，5個一數， 一些蘋果，平分成3堆可以分完， ◎為什麼這兩個問題都可以透過求 都可以數完，最少有幾個蘋果？ 　都可以數完，最少有幾個蘋果？ 一些蘋果，平分成3堆可以分完， 　平分成5堆也可以分完，請問最少 　多少個蘋果？ ◎為什麼這兩個問題都可以透過求 　最小公倍數的方式得到答案？

◎☉ ☉ ☉  每堆第1個 ☉ ☉ ☉  每堆第2個 ☉ ☉ ☉  每堆第3個 ☉ ☉ ☉  每堆第n個 ◎☉ ☉ ☉  每堆第1個 　☉ ☉ ☉  每堆第2個 ☉ ☉ ☉  每堆第3個 ☉ ☉ ☉  每堆第n個 第 第 第 (合起來都是3個) 一 二 三 堆 堆 堆

三個一數可以數完(包含除)。 平分成三堆剛好分完(等分除)。 ◎解題的意義是否相同？

◎ 4.8公斤是4.8個1公斤，  4.8公斤是4.8個1000公克，  4.8公斤是1000公克的4.8倍， ◎ 4.8公斤是4.8個1公斤，  4.8公斤是4.8個1000公克，  4.8公斤是1000公克的4.8倍，  4.8公斤＝1000×4.8＝4800公克

◎ 4.8公斤是4.8個1公斤，  4.8公斤是4.8個2.2英磅，  4.8公斤是2.2英磅的4.8倍 ◎ 4.8公斤是4.8個1公斤，  4.8公斤是4.8個2.2英磅，  4.8公斤是2.2英磅的4.8倍  4.8公斤＝2.2×4.8＝10.56 　　　　　　　　 　　(英磅)

◎除了點數，國小所有的數學題目 ，一定可以使用以前學過的方法 算出答案。 ◎一年級到四年級都有整數加、減 的教材，這些教材有那些異同？

※一盒蘋果有35個，4盒有多少個？ ◎可以有那些解題策略？ ◎如何幫助學童使用最有效率的策 有那些能力後可以開始解題？ 哪一種解題策略最有效率？ ◎如何幫助學童使用最有效率的策 略解題？

◎除非看不懂數學符號，國中所有 的數學問題，都可以使用國小學 過的策略解題，國中階段引入的 是更有效率的解題策略。

◎透過比的概念解題： ◎學童理解比的意義就可以解題， 當熟悉內項乘以內項＝外項乘以 外項計算過程時，可以讓解題更有 效率。 1公斤：2.2英鎊＝4.8公斤：( )英鎊 1公斤：2.2英鎊＝( )公斤：4.8英鎊 ◎學童理解比的意義就可以解題， 當熟悉內項乘以內項＝外項乘以 外項計算過程時，可以讓解題更有 效率。

◎透過倒數的概念解題： ◎4.8英鎊＝4.8個1英鎊 1公斤＝2.2英鎊 1英鎊＝1/(2.2)公斤 ＝4.8個(1/2.2)公斤 ◎4.8英鎊＝4.8個1英鎊 　　　 ＝4.8個(1/2.2)公斤 　　　 ＝(1/2.2)×4.8公斤

◎數學符號或加減乘除運算是怎樣 被發展出來的？ ◎為什麼「５＋３＝８」?

5+3不等於8，難道答案是9嗎? 這裡有5個蘋果，那裡有3個蘋果 ◎你接受哪一種回答方式？ ，合起來數數看，共有8個蘋果， 5個蘋果和3個蘋果合起來共有8個 蘋果，所以5＋3＝8。 ◎你接受哪一種回答方式？

先引入加法算式5＋3＝8，然後再 先解決合起來有幾個蘋果的問題 ◎哪一種引入方式比較合理？ 向學童說明其義意。 　向學童說明其義意。 先解決合起來有幾個蘋果的問題 ，再使用加法算式5＋3＝8記錄解 　題活動。

◎一定要記成 5＋3＝8 嗎 ？ 5 ］→ 8; 5,3 →8; 5＋3＝8 3 ◎那種記法最容易理解? 那種記法比較容易記錄及運算。

直接引入數學上約定俗成的記法 學童先發展出自己能掌握的記法 　，再連結數學上成人的記法。 ◎哪種引入方式比較能夠掌握算式 的意義？

◎ f(x)＝50x＋100 這個式子是怎麼冒出來的? 為什麼 f(7)＝50×7＋100？ ◎日常生活中是否存在函數？

◎如何幫助學童理解函數的意義？ 直接透過定義的方式引入。 布置適當情境幫助學童自己發展　 出來。

※謝老板利用快遞賣粽子，肉粽一 個賣50元，菜粽一個賣40元，不 管買幾個粽子都要加收100元的快 遞費用，如何幫助伙計或顧客知 道買幾個粽子要付多少錢?

◎肉粽個數 價錢(元) 1個  150 元 2個  200 元 3個  250 元 4個  300 元 5個  350 元 …… ◎肉粽個數 價錢(元) 1個  150 元 2個  200 元 3個  250 元 4個  300 元 5個  350 元 …… 100個　 　 5100元

◎肉粽個數 價錢(元) 1個  50＋100 2個  100＋100 3個  150＋100 4個  200＋100 ◎肉粽個數 價錢(元) 1個  50＋100 2個  100＋100 3個  150＋100 4個  200＋100 5個  250＋100 …… 100個  5000＋100

◎肉粽個數 價錢(元) 1個  50 × 1 ＋100 2個  50 × 2 ＋100 3個  50 × 3 ＋100 ◎肉粽個數 價錢(元) 1個  50 × 1 ＋100 2個  50 × 2 ＋100 3個  50 × 3 ＋100 4個  50 × 4 ＋100 5個  50 × 5 ＋100 …… 100個  50 × 100＋100

◎可以用一個數學式子，將前面的 價目表摘要的記下來嗎? ◎那些重要的條件一定要記下來?

◎肉粽個數和價錢的對應關係： ◎適用該對應關係的肉粽的個數： （函數的對應關係）： 肉粽個數 價錢(元) 肉粽個數 價錢(元) x 個  50 × x ＋ 100 ◎適用該對應關係的肉粽的個數： （函數的定義域）： x＝1,2,3,4,5,6,…,100。

◎肉粽個數 總價(元) ◎這種記法很容易溝通肉粽單價、 x 個  50 × x ＋ 100(元) x＝1,2,3,4,5,6,…,100。 ◎肉粽個數 總價(元) x 個  50 × x ＋ 100(元) x＝1,2,3,4,5,6,…,100。 ◎這種記法很容易溝通肉粽單價、 個數和總價的關係，但是在運算 時，不容易記錄。 這種記法也不容易在平面座標上 使用圖形（直線）來表徵。

◎肉粽的個數：x ◎這種記法比較抽象，但是當我們 價錢：y y＝50x＋100 x＝1,2,3,4,5,6,…,100。 在平面座標上使用圖形（直線） 來表徵函數的關係時，常使用上 面的記法。

◎f(x)＝50x＋100 ◎這種記法比較抽象，但是當我們 y＝f(x)＝50x＋100 x＝1,2,3,4,5,6,…,100。 要算出幾個粽子賣多少錢時，比 較容易記錄及運算。

◎f(x)＝50x＋100 ◎f(7) 表示什麼? x＝1,2,3,4,5,6,…,100。 f(7)＝50×7＋100 表示什麼? 函數是否存在日常生活之中？

 x  50×x＋100  y＝50x＋100  y＝f(x)＝50x＋100 ◎那一種記法最具體，那一種記法 最抽象? 看到這些數學式子，你想到什麼?

※1美元兌換33元台幣 (討論錢幣個數，不討論幣值) ◎請說出5種以上的數學溝通方式

畫出台幣及美元的兌換表格。 台幣的錢數是美元的33倍。 台幣：美元＝33：1。 台幣：美元＝33。  x（美元）  33x(台幣） 若以 y 代表美元錢數，以x代表 台幣錢數，則x＝33y。 直角坐標上過原點的直線。

◎如果美元兌換台幣是重要的數學 　概念： ◎上述表徵可以一起教嗎？ 上述表徵的教學順序為何？

※如果顧客同時購買肉粽與菜粽， 如何幫助伙計或顧客知道買粽子 要付多少錢(含快遞費用)? ◎如何用一個數學式子記下來?

畫出一個二維的價目表。 記成：（x，y)50x＋40y＋100 記成：f(x,y)＝50x＋40y＋100 ◎那種記法最容易溝通? 那種記法運算或記錄比較方便?

◎進行「最簡分數」教學時，教學 的重點是什麼? 約分 互質 其它

◎ 6/10 ＝ 3/5 15/25 ＝ 3/5 等號是什麼意思？ ◎學過最簡分數之後， 您看到分數「3/5」會想到什麼？

把一個蘋果平分成5份，取出其中 3個1/5合起來的簡稱。 3個蘋果平分給5個人的結果。 的3份。 3個1/5合起來的簡稱。 3個蘋果平分給5個人的結果。 {3/5、6/10、9/15、12/20、….} 的代表(等價類)。

◎如果只想到前面三個意義，最簡 　分數的教學並沒有成功，因為 　並沒有擴展分數的意義。 ◎教國文：解釋字面的意義。 　教數學：理解來龍去脈。

◎引入最簡分數的目的是什麼? ◎教師不應該只瞭解最簡分數的定 那些情形會用到最簡分數? 義或計算算法(分子與分母互質的 分數)，教師應該知道引入最簡分 數的目的。

◎進行「質數」教學時，教學的重 點是什麼? ◎如何處理「1不是質數」的問題?

◎進行「相反數」教學時，教學的 重點是什麼? ◎進行「倒數」教學時，教學的重 點是什麼?

◎ 5 8 相反數 0 ＋3 －3 0 倒數 1 8/5 5/8 1

◎忘掉你最熟悉有效率的解題策略 ，你才可能接近學童，才可能幫 助學童發展數學概念。

◎下列問題的教學重點為何？ 異分母加減問題： 長方形面積公式： 分數除法問題： 算術平均數問題：

◎異分母加減問題： ◎為什麼異分母相加減要先通分? 通分時一定要尋找分母的最小公 　倍數嗎? ◎不找分母的最小公倍數也能解決 問題嗎?

◎解題概念：等值分數。 ◎找最小公倍數是解題技巧(最有效 率的解題策略)。

◎1/4=2/8=3/12=4/16=5/20=…… ◎將注意力放在分割份數上（忽略 1/6=2/12=3/18=4/24=5/30=…… 合成的份數），可以更快速的找 到共同的單位分數。 4， 8，12，16，20，.... 6，12，18，24，30，....

◎算術平均數問題： ※全班30位同學的平均體重是40公 斤，平均40公斤的意義是什麼？

將全班同學打成肉醬，平分成30 份，每一份剛好重40公斤。 30位同學的體重不相同，以40公 斤代表這30位同學的體重比較恰 當。

◎算術平均數是代表數的概念，並 不是平分的結果。 ◎瞭解算術平均數的意義，與能算 出算術平均數，何者比較重要?

※甲、乙兩班都有31位同學，月考 ◎兩班各有31個分數，無法比較， ◎用什麼分數當做代表比較恰當? 後，如何比較兩班數學成績誰比 較好？ 必需每班找出一個代表的分數， 才能比較誰的成績比較好。 ◎用什麼分數當做代表比較恰當?

 找出最高(低)分來比較。  找出排名中間那位同學的成績來  找出最多同學分數相同的成績來  算出總分來比較。 比較(中位數概念)。  找出最多同學分數相同的成績來 比較(眾數概念)。  算出總分來比較。  算出總分後再除以31來比較。 ◎那一種比較方法比較合理？

※如果甲班有31人，乙班有35人， 如何比較那一班的成績比較好？ ◎代表數的概念是否會出現？

◎與成人溝通國小數學的教與學是 很辛苦的，因為成人對國小數學 問題過份的熟悉，因而喪失了反 省能力，無法思考為什麼可以這 樣快速的算出答案。

◎幫助成人理解學童為什麼不會算 數學，為什麼常使用笨方法算數 學，最好的方法是改變符號表徵 ，將問題改寫為成人不熟悉的符 號情境，面對不熟悉的解題工具 或情境，成人才能反省，學童在 解題時可能發生那些困難，要如 何幫助學童解決這些困難。

◎請使用英文字母｛ㄟ，ㄅㄧ，ㄒ ◎使用英文字母「ａ、b、c、d..」 ㄧ，ㄉㄧ，....｝的讀法來替代 印度－阿拉伯數字「ㄧ，ㄦˋ， ㄙㄢ，ㄙˋ，....」的讀法。 ◎使用英文字母「ａ、b、c、d..」 的符號替代印度－阿拉伯數字 「１、２、３、４..」的記法。

◎甲有ｆ個蘋果，乙有ｄ個蘋果， 兩個人合起來共有多少個蘋果？ ◎不會加法，能夠解決加法問題嗎? 算算看，答案是多少?

◎不會加法，也能夠解決加法問題 ◎用加法ｆ＋ｄ能算出答案嗎？ ◎有那些能力之後，才能用加法算 ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ａ ｂ ｃ ｄ           ａ ｂ ｃ ｄ ｅ f ｇ ｈ ｉ(j) ◎用加法ｆ＋ｄ能算出答案嗎？ ◎有那些能力之後，才能用加法算 出答案？

◎透過點數算出答案（共有ｊ個） 以後，學童有記錄解題活動的需 求嗎？ ◎為什麼成人要求學童使用加法算 式ｆ＋ｄ＝ｊ記錄解題活動？

◎「ｆ＋ｄ＝ｊ」強調將題目中的 兩個數字直接運算(運算規則)， 可以最快速的算出答案。 ◎如何定義加法運算？ ◎加法運算能夠解決哪些問題？

◎能夠更快速的算出加法問題的答 案嗎？ 製作表格，透過查表解決問題。 提升原來解題策略(點數)的效率 發展另一套解題工具（加法）。

◎提升原來解題策略的效率： ◎能掌握 f 兩種意義的關係時， ◎能透過手指頭掌控加數的個數 ａ ｂ ｃ ｄ ｅ ｆ ａ ｂ ｃ ｄ           ａ ｂ ｃ ｄ ｅ f ｇ ｈ ｉ (j) ◎能掌握 f 兩種意義的關係時， 可以不必畫出被加數。 ◎能透過手指頭掌控加數的個數 時，可以不必畫出加數。

◎發展出另一套解題工具： ◎當學童尚未熟記英文字母加法時 ，只能利用點數當做工具解決問 題，並在解題成功後，使用加法 算式「ｆ＋ｄ＝ｊ」記錄解題活 動，此時加法算式『ｆ＋ｄ＝ｊ』 只是單純的記錄，學童不是使用加法來解決問題。

◎當學童透過經常記錄，記憶了某 些加法算式，當再遇到數量相同 的加法問題時，就可以利用記憶 中的加法算式替代點數來解決問 題，此時，加法算式ｆ＋ｄ＝ｊ 的角色，開始由單純的記錄轉換 為解題的工具。

◎數學模型(解題活動類型） ◎在國小階段，我們算了很多的加 ◎這些使用加法解題的問題有那些 法問題，為什麼這些情境不同的 問題，都可以使用加法運算來解 決問題？ ◎這些使用加法解題的問題有那些 共同特徵？

◎成人常提示，當題目中有關鍵字 ◎成人為什麼要提示關鍵字？ 「共」或「合起來」的時候，就 可以使用加法來解決問題。 提示關鍵字的目的是什麼？ ◎成人為什麼要提示關鍵字？　　　 提示關鍵字的目的是什麼？　　　 可以用其它的方式幫助學童嗎？

※甲、乙、丙、丁、戊、己六人 ※甲比乙多50元，丙比乙少30元， 共有1000元，甲和乙共有500元， 丙和丁共有300元，請問戊和己 共有多少錢? ※甲比乙多50元，丙比乙少30元， 請問甲和丙相差多少錢?

◎統計（現象）學的觀點： ◎數學模型(解題活動類型)觀點： ◎教師不應該只看到現象，教師應 該知道現象發生的來龍去脈，以 及解決問題的方法。

◎統計（現象）學的觀點： ◎找出國小所有的課本、 習作、參 ◎看到現象，只是知其然，但是不 考書以及光碟題庫，觀察這些用 加法解題文字題的文字描述有那 些共同的特徵。 ◎看到現象，只是知其然，但是不 知其所以然。

◎數學模型(解題活動類型)觀點： ◎有兩個已知個數的集合，這兩個 集合沒有共同的元素，當要確定 這兩個集合的個數合起來是多少 個時，就可以使用加法（數學模 型）來替代點數解決問題。

◎數學上給加法的定義： ◎Ａ∩Ｂ＝Φ， ｎ（Ａ）＝ａ，ｎ（Ｂ）＝ｂ， ａ＋ｂ＝ｎ（Ａ∪Ｂ）。

共同的文字描述 共同的解題方式 ◎哪一個是加法教學的重點？

為什麼水的重量可以相加？ 為什麼水的溫度不能相加？ ※一瓶20公克重、溫度是20度的水 ，一瓶30公克重、溫度是30度的 水。將兩瓶水倒在同一個瓶中， 請問：水重多少公克？ 溫度是多少度？ 為什麼水的重量可以相加？ 為什麼水的溫度不能相加？

※看著溫度計，現在是30度，溫度 上升20度後是多少度? ◎為什麼溫度有時可以相加，有時 又不可以相加? ◎如何幫助學童理解其意義?

◎哪一種處理方式比較合理？ 背題型(共同的文字描述)： 澄清數學模型的意義(共同的解 題方式)：

※甲有5/11個蘋果，乙有3/11個蘋 ◎為什麼也可以使用加法算式 果，兩人合起來共有幾個蘋果？ 「5/11＋3/11＝8/11」記錄分數 加法問題的解題活動？

◎「5＋3＝8」記錄5個「1」和3個 ◎「5/11＋3/11＝8/11」記錄5個 ◎將點數的對象由「1」擴充至任意 「1」合起來是8個「1」。 ◎「5/11＋3/11＝8/11」記錄5個 「1/11」和3個「1/11」合起來是 8個「1/11」。 ◎將點數的對象由「1」擴充至任意 的單位分數，就可以擴充加法數 學模型適用的範圍至分數範圍。

※全班有50位同學，第一次月考數學 ◎原來的加法模型無法解決此問題。 有25個人及格，英文有30個人及 格，其中有10個人兩科都及格，請 問數學或英文中至少有一科及格的 人數是多少？ ◎原來的加法模型無法解決此問題。 為什麼？

◎若ａ＝ｎ（A），ｂ＝ｎ（B） ◎ n（A∪B） ◎這兩個公式有何關係? A∩B＝Φ； 則ａ＋ｂ＝ｎ（Ａ∪Ｂ）。 ＝n（A）＋n（B）－n（A∩B） ◎這兩個公式有何關係? 

◎擴充數學模型時有一個很重要的 條件，新的數學模型除了適用於 新的情境，還必須能夠解決舊模 型的問題，讓舊模型的問題變成 新模型的特例。

◎背題型與掌握數學模型，何者對 學童比較有幫助? 小範圍的考試： 大範圍的考試： 以後的發展：

※甲每天吃ｃ個蘋果，e天共吃幾個 ◎不會乘法，能夠解決乘法問題嗎? ◎不會乘法也不會加法，能夠解決 ◎算算看，答案是多少? 蘋果？

◎用乘法「c x e」能算出答案嗎？ ◎用加法「c＋c＋c＋c＋c」能算出 ◎畫圖及點數，能算出答案嗎？ ◎何時才能使用加法或乘法當做工 答案嗎？　　　　　　　　　　　 ◎畫圖及點數，能算出答案嗎？ ◎何時才能使用加法或乘法當做工 具來解決問題？ ◎人們為什麼要發明加法及乘法？

◎可以更快速算出乘法問題答案嗎 ◎當學童只會點數，加法運算不熟 悉時，並不適合引入乘法。

可以提升加法的解題策略，例如 可以發展出新的解題工具，例如 可以製作c的加法表或乘法表， 發展出加法算則，讓加的速度變 快。 　發展出加法算則，讓加的速度變 　快。 可以發展出新的解題工具，例如 　透過乘法解決問題。 可以製作c的加法表或乘法表， 　透過查表解決問題。

◎剛開始，加法、乘法等算式是 解題的摘要記錄，背起來，算式 可以轉變成解題的工具，當數量 變大，算式變多且不好背，人們 　解題的摘要記錄，背起來，算式 　可以轉變成解題的工具，當數量 　變大，算式變多且不好背，人們 　發展出加法或乘法算則。

◎人類一直在追求最有效率的算則 ，五十年前及五十年後的人類， 　都用和我們一樣的方法或工具計 　算嗎?

◎計算器使用不方便且不普遍時： ◎當計算器具使用方便且普遍時： 將學童訓練成會走路的計算機， 算的又快，又準，又狠。 遇到大數字時使用計算器具，但 是當沒有計算器具時，也能夠慢 慢的算出答案。

能判斷一個問題該使用何種計算 能快速的計算出答案 ◎那一種能力比較重要? ◎如何幫助學童判斷一個問題該使 ◎何時可以要求學童熟練算則? 方式解題 能快速的計算出答案 ◎那一種能力比較重要? ◎如何幫助學童判斷一個問題該使 用何種計算方式解題? ◎何時可以要求學童熟練算則?

學童何時可以開始記乘法表? 學童多久必須熟記乘法表？ 如何幫助學童熟記乘法表？ ◎需要背「九九乘法表」嗎？ ◎我們以前是怎樣背乘法表？ 學童多久必須熟記乘法表？　　 如何幫助學童熟記乘法表？ ◎我們以前是怎樣背乘法表？ 需要強迫學童這樣背乘法表嗎？

◎數學課程都分三階段引入數學符 號或算式，但是，不同課程對三 階段所投入的教學時間不儘相同　

◎第一階段： 引入數學符號或算式之前。 ◎教學的重點是： 理解題意。 有成功解題的經驗。 逐漸形成數學模型(解題活動類 型)。

形成數學模型(解題活動類型）。 掌握算式（摘要記錄）或算式填 ◎第二階段： ◎教學的重點是： 引入數學符號或算式。 充題（問題記錄）的意義。

◎第三階段： 引入數學符號或算式以後。 ◎教學的重點是： 將算式轉變成解題的工具。 提升解題效率。 引入算則（算的又快又準又狠）

◎64年課程，第一階段輕輕帶過， ◎82年課程，第一階段投入較多的 ◎九年一貫課程，與82年課程比 將多數教學時間放在第三階段。 時間，相對之下，第三階段投入 時間比較少。 ◎九年一貫課程，與82年課程比 較，減少第一階段的時間，增加 第三階段的時間。

◎那一個階段的教學，對掌握數學 ◎為什麼部份低年級學童不知道文 符號或算式的意義最重要? 字題該用加法或減法解決問題? 為什麼部份中年級學童不知道文 字題該用乘法或除法解決問題?

※一枝鉛筆賣3元，4枝賣多少元？ ◎第一階段： ◎第二階段： ◎第三階段： 3＋3＝6，6＋3＝9，9＋9＝12 3×4＝12 (算式不是解題工具） ◎第三階段： 3×4＝12 (乘法算式是解題工具 ，也是解題記錄)。

◎題意是整數乘以分數的問題，不 ※一瓶水24公升，3/4瓶水有多少公 升？ 會整數乘以分數也能夠解決問題 只要瞭解3/4瓶的意義，就可以用 　整數乘除法當做工具解決問題

◎第一階段： ◎需要引入整數乘以分數的摘要記 錄「24×3/4＝18」嗎？ ◎如果這類問題不是經常出現，只 要能夠成功解題即可，不需要將 　 24÷4＝6，6×3＝18。 ◎需要引入整數乘以分數的摘要記 錄「24×3/4＝18」嗎？ ◎如果這類問題不是經常出現，只 要能夠成功解題即可，不需要將 整數乘以分數發展成解題的工具

◎如果這類問題經常出現,或是某些 ◎第二階段： 重要數學概念的先備經驗，才需 要引入摘要記錄「24×3/4＝18」 　24×3/4＝18(只是單純的記錄)

◎第三階段： 24×3/4＝18(是解題的工具，也 是解題的記錄) ◎將問題中的兩個數字直接運算， 是最有效率的解題策略。

38 38 467 467 +25 +25 x 3 x 3 63 13 1401 21 +5 18 63 +12 1401 ◎你喜歡比較摘要的記法嗎? 為什麼你喜歡簡單省略的記法?

◎解題活動的步驟可以省略嗎？ 記錄活動的步驟可以省略嗎？ 1 38 　　 38 +25 　　 +25 63 　　 13 　　 +5　 　　 63

◎78698668+98657699=? ◎您可以在心中掌握幾個步驟? 7869866+9865769=? 786986+986576=? 78698+98657=? 7869+9865=? 786+986=? ◎您可以在心中掌握幾個步驟?

◎ 78698668 ＋98657699 ◎為什麼心算很困難，但是筆算變 成很簡單?

◎47×69＝( ) 47 × 69 423 　＋ 282 有那些能力後，就可　 3243　　以摘要地記成一行? ◎有需要記成一行嗎?

◎人們透過背一些東西(或在心中運 算)，或同時在心中掌控幾個步驟 運算的方式，省略記錄的格式。 ◎解題活動的過程是不可能省略的 　，將重要過程記錄下來對師生的 　溝通有幫助，當能掌握數個細步 過程時，才可以開始省略記法。

◎數學學習態度與數學學習成就 都很重要，如何幫助學童建立良 好的「數學學習態度」？

◎剛開始要解決一個新數學問題 時，我常不知道怎麼辦 因為( ) ◎先選（是）（不是）（不確定）

◎我喜歡困難的數學問題　　　　　 因為( ) ◎問題真的很困難，我就放棄　　　 ◎數學在生活中是有用的

◎我以前比較喜歡數學 （現在比較不喜歡） 因為( ) ◎我以前比較喜歡數學　　　　　（現在比較不喜歡）　　　　　　因為( ) ◎我比較喜歡每一次作業都是同一 種類型，不喜歡很多種類型混在 一起 因為( )

◎我在看完數學題目之後，通常可 ◎我會把過去學到的數學知識和現 ◎當我在算數學問題時，我會回想 以立刻找出重點。 在所學的連貫起來。 　以立刻找出重點。 ◎我會把過去學到的數學知識和現 　在所學的連貫起來。 ◎當我在算數學問題時，我會回想 　老師或同學所提過類似的例子。

◎解決數學問題時，我常會試用各 　種不同的方法來解答。 ◎學完一個數學單元後，我會把這 　個單元的重點找出來。 ◎上完數學課後，我會把同學和老 　師的做法再想一遍，以確定自己 　是否學會。

◎我在解決數學問題時，會問自己 ◎在做數學習題時，我會多練習自 ◎當我發現數學作業中有不懂的地 ◎我會針對我經常犯錯的數學題 是否瞭解題意。 　是否瞭解題意。   ◎在做數學習題時，我會多練習自 　己比較不會做的題目。   ◎當我發現數學作業中有不懂的地 　方，我會請教別人。   ◎我會針對我經常犯錯的數學題 　目，重複學習到正確為止。 

◎數學一定要教過才會嗎？ ◎如果數學一定要家長或老師教過才會，有多少比例的學生會青出於藍？如果多數學生無法青出於藍而勝於藍，臺灣學生的數學能力，會一代比一代強嗎？

◎如果學生只是用力地模仿成人的 解題活動，而無法掌握數學的意 義，國小階段數學成績好的學生 　解題活動，而無法掌握數學的意 　義，國小階段數學成績好的學生 　是數學能力強？還是體察上意（老師、家長）的能力強？

◎國際性的數學比賽，臺灣的學生 　常名列前茅，除了數學競賽以 　外，臺灣學生是年齡愈大，數學 　成積愈好，還是年齡愈大，數學 　成積愈差？