如何幫助學童學好數學  國立台南大學數學教育系 謝 堅.

Slides:



Advertisements
Similar presentations
工職數學 第四冊 第一章 導 數 1 - 1 函數的極限與連續 1 - 2 導數及其基本性質 1 - 3 微分公式 1 - 4 高階導函數.
Advertisements

不定積分 不定積分的概念 不定積分的定義 16 不定積分的概念 16.1 不定積分的概念 以下是一些常用的積分公式。
學習單元: N8 分數、小數和百分數 的運算 學習課文 : 五上 A 冊第 8 課 學習單位: N8-3 分數乘法和除法 學習重點 : 乘法分配性質.
變數與函數 大綱 : 對應關係 函數 函數值 顧震宇 台灣數位學習科技股份有限公司. 對應關係 蛋餅飯糰土司漢堡咖啡奶茶 25 元 30 元 25 元 35 元 25 元 20 元 顧震宇 老師 台灣數位學習科技股份有限公司 變數與函數 下表是早餐店價格表的一部分: 蛋餅 飯糰 土司 漢堡 咖啡 奶茶.
國民小學數學課程的改變 國立台南師範學院數學教育系 謝 堅.
  分數的加減 國立臺南大學數學教育系     謝  堅.
石牌金頭腦 概數篇(可複選)加油哦!.
學習單元: N8 分數、小數和百分數 的運算 學習單位: N8-7 較複雜的小數乘法 和除法 學習重點 : 小數四則應用
心算題.
九年一貫課程數學學習領域 暫行綱要之演變 九年一貫七大領域的課程綱要,只剩下數學領域的綱要尚未公佈。
國小數學課程的改變 國立台南師範學院數學教育系 謝 堅.
認識倍數(一) 設計者:建功國小 盧建宏.
第四章 數列與級數 4-1 等差數列與級數 4-2 等比數列與級數 4-3 無窮等比級數 下一頁 總目錄.
多元化科學教學策略工作坊 吳木嘉 小學校本課程發展組.
4B冊 認識公倍數和最小公倍數 公倍數和最小公倍數的關係.
順德聯誼總會梁潔華小學 六年級 數學科 下學期 數形.
以下這個謎題無法透過宮摒除法完成解題。 但可透過「區塊宮摒除法」或「行列摒除法」完成 By TTHsieh
六年級數學科 體積與容量 的關係和單位 白田天主教小學下午校 趙國鴻.
第 一 單 元 不定積分.
第一章 直角坐標系 1-1 數系的發展.
THE CHINESE UNIVERSITY OF HONG KONG EDD 5161R
宮摒除法 摒除法是用數字去找單元內可填空格的方法 宮摒除法是解題過程中使用頻率最高的方法 宮摒除法也是最直觀的解題方法
搭配頁數 P.35 比例式 1.比的前項、後項與比值:    .
----直線運動 應用力學by志伯 ----直線運動
第一章 直角坐標系 1-3 函數圖形.
小學數學科 二年級課程 — 統計圖 製作 — 麥頌儀老師 (青山天主教小學上午校).
學習單元:N6 數的性質 學習單位:N6-3 用短除法求H.C.F. 和 L.C.M. 學習重點 : 1. 複習因數分解法求
How to use Edmodo Alice Lin 8-12th Grade Valencia High School
分數乘法 – 從連加法到乘法運算 學習單位:5n3
小學四年級數學科 8.最大公因數.
我 會 數 數.
同分母分數大小比較 ‧教材設計者:台北縣康橋國小 林必勤老師 ‧教材製作者:台北縣康橋國小 吳淑敏老師.
大綱:加減法的化簡 乘除法的化簡 去括號法則 蘇奕君 台灣數位學習科技股份有限公司
~~統計學應用~~ 學生心目中的老師.
小數除法.
做做看。 5 算出塗色部分周長及面積。 1 (2+4)×2=12 2×4=8 12+8=20.
實用數學 長度單位的認識與換算.
3-1以符號代表數 飽肚肚冰店 蓮子牛奶冰 35元 芋頭牛奶冰 30元 粉圓牛奶冰 30元 仙草牛奶冰 20元 綠草牛奶冰 25元
算獨教學 范國祥製作 於新湖國小 算獨資料來源
順德聯誼總會梁潔華小學 六年級 數學科 下學期 數形.
香港西區扶輪社匡智晨輝學校 名稱:二位加一位圖加法 科 目:數學 學習範疇:數 學習單元:整數運算 學習重點細目:二位加一位(進位)圖加法
小學數學科 方塊圖 製作 — 麥頌儀老師 (青山天主教小學上午校).
* 分數的計算 * 資圖四 吳艾臻 林子嵐
象形圖 製作者:周子傑老師.
嘉義市崇文國小 製作者:林雅惠、張英燦、曾瑞媛 日期:
五年級數學科 體積與容量 的關係和單位 白田天主教小學下午校 趙國鴻.
教育概論 教育原理與制度試題解題與分享 第五組
第十一單元 兩曲線圍出的面積.
媽媽去市場買了5顆蘋果、8顆橘子及3顆水梨。橘子的個數是蘋果的個數的幾倍?
~書報討論~ 國小數學教材分析 ---分數的數概念與運算 指導教授:葉啟村 老師 研究生:陳伶伶 學號:
※歡迎挑戰,兩人(隊)中先完成連線即算過關!
界定整數除法問題 包含除與等分除 說明除法教材的處理 除法算則
小數表示為 1 小數表示為 1 小數表示為 1 小數表示為 1 小數表示為 1   小數表示為   小數表示為   小數表示為   小數表示為   小數表示為   小數表示為 1.
例題 1. 多項式的排列 1-2 多項式及其加減法 將多項式 按下列方式排列: (1) 降冪排列:______________________ (2) 升冪排列:______________________ 排列 降冪:次數由高至低 升冪;次數由低至高.
1-1 二元一次式運算.
1757: Secret Chamber at Mount Rushmore
13194: DPA Number II ★★☆☆☆ 題組:Problem Set Archive with Online Judge
( )下列何者正確? (A) 7< <8 (B) 72< <82 (C) 7< <8 (D) 72< <82 C 答 錯 對.
Taipei Municipal Dahu Elementary School September 15th, 2012
資料表示方法 資料儲存單位.
因數與倍數 【授課篇】 適用年級:5-6年級 設計者:MRI團隊.
情境類型 乘法運算的意義 乘法算式的引入 解題工具與解題紀錄 算則的發展
4-1 變數與函數 第4章 一次函數及其圖形.
線段圖 台南師範學院數學系 葉啟村.
10303: How Many Trees? ★★☆☆☆ 題組:Contest Archive with Online Judge
Taipei Municipal Dahu Elementary School March 1st , 2013
以下是一元一次方程式的有________________________________。
Chapter 16 動態規劃.
第三章 比與比例式 3-1 比例式 3-2 連比例 3-3 正比與反比.
嘉諾撒聖心學校私立部—黃惠芳老師 分數除法(二) 十兄弟之巧記糖水舖.
Presentation transcript:

如何幫助學童學好數學  國立台南大學數學教育系 謝 堅

◎您贊成這樣幫助學童學習數學嗎?                ◎透過拳頭學習大小月: 一月大、二月小、三月大、…、 七月大、八月大、… 、十二月大

◎教學重點: 手骨骼構造與大小月的關係。 陽曆的由來(歷史故事)。 幫助記憶。

一個月有30天 一年有12個月 一年有365天(30×12=360) ◎為什麼七月及八月連續兩個月都 ◎為什麼我們常說: 是大月?而二月的天數特別少? ◎為什麼我們常說: 一個月有30天 一年有12個月 一年有365天(30×12=360) 

◎您贊成這樣學習分、小數互換嗎 ◎1/10  01  0.1 1/100  001  0.01 ◎1/10  01  0.1 1/100  001  0.01 1/1000  0001  0.001

◎1/10000  00001  0.0001 ◎1/70  07  0.7 1/37  73  7.3 ◎1/60  06  0.6  09  0.9

◎單位的化聚: ◎1公斤=1000公克 4.8公斤=( ) 公克 5400公克=( ) 公斤 ◎中年級、高年級、國中怎麼教?

公 斤 克 4 5 . 8

◎畫格子: 是換單位的概念 是解題的技巧

◎畫格子: 適用的範圍有多大? 能解決不同換單位的問題嗎? 會妨礙以後換單位概念學習嗎? 適用於所有換單位的問題嗎?

※已知1公斤=2.2英鎊 ◎您如何解決上述問題? ◎透過畫格子學會換單位的學童, 4.8公斤=( )英鎊 4.8英鎊=( )公斤  4.8公斤=( )英鎊  4.8英鎊=( )公斤 ◎您如何解決上述問題? ◎透過畫格子學會換單位的學童, 國中時如何面對上述問題?

◎國小階段沒有建立換單位的概念 (會算出答案,並不一定有概念), ◎國小階段沒有建立換單位的概念 (會算出答案,並不一定有概念), 很可能一輩子都不會有正確換單 位的概念(除非透過反省)。 ◎得到數學分數,並不等於理解數 學概念,更危險的是:可能妨礙 數學概念的發展。

※『1公分』與『公分』, 那一個是長度的(計數)單位? 『公分』是測量長度的一種單位 『1公分』是描述有多長的單位 (個別單位概念)。

公分是量長度的單位。 5公分是5個1公分接起來的長。 ◎二年級的學童,看到『5公分』時 ,一定要知道兩件事: (和5個1公分接起來一樣長)。

◎ 「元」、「1元」, 那個是可以被計數的單位(錢)? ※『5元』有那些意義?

某一個指定的5元硬幣(特例)。 5元硬幣所成的集合(等價類)。 5個1元合起來錢數的簡稱。 ◎『5元』可以是: ◎對低年級學童而言,哪一個概念  最難建立?

※哥哥有5元,姐姐有3元,兩個人 ◎為什麼部份學童回答: ◎當學童理解: 合起來共有多少錢? 兩個人共有『4個錢』。  5元是5個1元合起來的錢數時,  才能解決上述問題。

甲有5個蘋果,乙有3個蘋果,兩 甲繩長5公分,乙繩長3公分, 哥哥有5元,姐姐有3元,兩個人 ◎這三個問題的難度是否相同?  個人合起來共有多少個蘋果? 甲繩長5公分,乙繩長3公分,   兩條繩子接起來長多少公分? 哥哥有5元,姐姐有3元,兩個人  合起來共有多少元? ◎這三個問題的難度是否相同? 為何都可以用加法算出答案?

◎面對接起來有多長與合起來有多  少元的問題,中、低年級教師不  應該立刻接受答案,教師應追問  學童解題的意義。

一些蘋果,3個一數,5個一數, 一些蘋果,平分成3堆可以分完, ◎為什麼這兩個問題都可以透過求 都可以數完,最少有幾個蘋果?  都可以數完,最少有幾個蘋果? 一些蘋果,平分成3堆可以分完,  平分成5堆也可以分完,請問最少  多少個蘋果? ◎為什麼這兩個問題都可以透過求  最小公倍數的方式得到答案?

◎☉ ☉ ☉  每堆第1個 ☉ ☉ ☉  每堆第2個 ☉ ☉ ☉  每堆第3個 ☉ ☉ ☉  每堆第n個 ◎☉ ☉ ☉  每堆第1個  ☉ ☉ ☉  每堆第2個 ☉ ☉ ☉  每堆第3個 ☉ ☉ ☉  每堆第n個 第 第 第 (合起來都是3個) 一 二 三 堆 堆 堆

三個一數可以數完(包含除)。 平分成三堆剛好分完(等分除)。 ◎解題的意義是否相同?

◎ 4.8公斤是4.8個1公斤,  4.8公斤是4.8個1000公克,  4.8公斤是1000公克的4.8倍, ◎ 4.8公斤是4.8個1公斤,  4.8公斤是4.8個1000公克,  4.8公斤是1000公克的4.8倍,  4.8公斤=1000×4.8=4800公克

◎ 4.8公斤是4.8個1公斤,  4.8公斤是4.8個2.2英磅,  4.8公斤是2.2英磅的4.8倍 ◎ 4.8公斤是4.8個1公斤,  4.8公斤是4.8個2.2英磅,  4.8公斤是2.2英磅的4.8倍  4.8公斤=2.2×4.8=10.56            (英磅)

◎除了點數,國小所有的數學題目 ,一定可以使用以前學過的方法 算出答案。 ◎一年級到四年級都有整數加、減 的教材,這些教材有那些異同?

※一盒蘋果有35個,4盒有多少個? ◎可以有那些解題策略? ◎如何幫助學童使用最有效率的策 有那些能力後可以開始解題? 哪一種解題策略最有效率? ◎如何幫助學童使用最有效率的策 略解題?

◎除非看不懂數學符號,國中所有 的數學問題,都可以使用國小學 過的策略解題,國中階段引入的 是更有效率的解題策略。

◎透過比的概念解題: ◎學童理解比的意義就可以解題, 當熟悉內項乘以內項=外項乘以 外項計算過程時,可以讓解題更有 效率。 1公斤:2.2英鎊=4.8公斤:( )英鎊 1公斤:2.2英鎊=( )公斤:4.8英鎊 ◎學童理解比的意義就可以解題, 當熟悉內項乘以內項=外項乘以 外項計算過程時,可以讓解題更有 效率。

◎透過倒數的概念解題: ◎4.8英鎊=4.8個1英鎊 1公斤=2.2英鎊 1英鎊=1/(2.2)公斤 =4.8個(1/2.2)公斤 ◎4.8英鎊=4.8個1英鎊     =4.8個(1/2.2)公斤     =(1/2.2)×4.8公斤

◎數學符號或加減乘除運算是怎樣 被發展出來的? ◎為什麼「5+3=8」?

5+3不等於8,難道答案是9嗎? 這裡有5個蘋果,那裡有3個蘋果 ◎你接受哪一種回答方式? ,合起來數數看,共有8個蘋果, 5個蘋果和3個蘋果合起來共有8個 蘋果,所以5+3=8。 ◎你接受哪一種回答方式?

先引入加法算式5+3=8,然後再 先解決合起來有幾個蘋果的問題 ◎哪一種引入方式比較合理? 向學童說明其義意。  向學童說明其義意。 先解決合起來有幾個蘋果的問題 ,再使用加法算式5+3=8記錄解  題活動。

◎一定要記成 5+3=8 嗎 ? 5 ]→ 8; 5,3 →8; 5+3=8 3 ◎那種記法最容易理解? 那種記法比較容易記錄及運算。

直接引入數學上約定俗成的記法 學童先發展出自己能掌握的記法  ,再連結數學上成人的記法。 ◎哪種引入方式比較能夠掌握算式 的意義?

◎ f(x)=50x+100 這個式子是怎麼冒出來的? 為什麼 f(7)=50×7+100? ◎日常生活中是否存在函數?

◎如何幫助學童理解函數的意義? 直接透過定義的方式引入。 布置適當情境幫助學童自己發展  出來。

※謝老板利用快遞賣粽子,肉粽一 個賣50元,菜粽一個賣40元,不 管買幾個粽子都要加收100元的快 遞費用,如何幫助伙計或顧客知 道買幾個粽子要付多少錢?

◎肉粽個數 價錢(元) 1個  150 元 2個  200 元 3個  250 元 4個  300 元 5個  350 元 …… ◎肉粽個數 價錢(元) 1個  150 元 2個  200 元 3個  250 元 4個  300 元 5個  350 元 …… 100個    5100元

◎肉粽個數 價錢(元) 1個  50+100 2個  100+100 3個  150+100 4個  200+100 ◎肉粽個數 價錢(元) 1個  50+100 2個  100+100 3個  150+100 4個  200+100 5個  250+100 …… 100個  5000+100

◎肉粽個數 價錢(元) 1個  50 × 1 +100 2個  50 × 2 +100 3個  50 × 3 +100 ◎肉粽個數 價錢(元) 1個  50 × 1 +100 2個  50 × 2 +100 3個  50 × 3 +100 4個  50 × 4 +100 5個  50 × 5 +100 …… 100個  50 × 100+100

◎可以用一個數學式子,將前面的 價目表摘要的記下來嗎? ◎那些重要的條件一定要記下來?

◎肉粽個數和價錢的對應關係: ◎適用該對應關係的肉粽的個數: (函數的對應關係): 肉粽個數 價錢(元) 肉粽個數 價錢(元) x 個  50 × x + 100 ◎適用該對應關係的肉粽的個數: (函數的定義域): x=1,2,3,4,5,6,…,100。

◎肉粽個數 總價(元) ◎這種記法很容易溝通肉粽單價、 x 個  50 × x + 100(元) x=1,2,3,4,5,6,…,100。 ◎肉粽個數 總價(元) x 個  50 × x + 100(元) x=1,2,3,4,5,6,…,100。 ◎這種記法很容易溝通肉粽單價、 個數和總價的關係,但是在運算 時,不容易記錄。 這種記法也不容易在平面座標上 使用圖形(直線)來表徵。

◎肉粽的個數:x ◎這種記法比較抽象,但是當我們 價錢:y y=50x+100 x=1,2,3,4,5,6,…,100。 在平面座標上使用圖形(直線) 來表徵函數的關係時,常使用上 面的記法。

◎f(x)=50x+100 ◎這種記法比較抽象,但是當我們 y=f(x)=50x+100 x=1,2,3,4,5,6,…,100。 要算出幾個粽子賣多少錢時,比 較容易記錄及運算。

◎f(x)=50x+100 ◎f(7) 表示什麼? x=1,2,3,4,5,6,…,100。 f(7)=50×7+100 表示什麼? 函數是否存在日常生活之中?

 x  50×x+100  y=50x+100  y=f(x)=50x+100 ◎那一種記法最具體,那一種記法 最抽象? 看到這些數學式子,你想到什麼?

※1美元兌換33元台幣 (討論錢幣個數,不討論幣值) ◎請說出5種以上的數學溝通方式

畫出台幣及美元的兌換表格。 台幣的錢數是美元的33倍。 台幣:美元=33:1。 台幣:美元=33。  x(美元)  33x(台幣) 若以 y 代表美元錢數,以x代表 台幣錢數,則x=33y。 直角坐標上過原點的直線。

◎如果美元兌換台幣是重要的數學  概念: ◎上述表徵可以一起教嗎? 上述表徵的教學順序為何?

※如果顧客同時購買肉粽與菜粽, 如何幫助伙計或顧客知道買粽子 要付多少錢(含快遞費用)? ◎如何用一個數學式子記下來?

畫出一個二維的價目表。 記成:(x,y)50x+40y+100 記成:f(x,y)=50x+40y+100 ◎那種記法最容易溝通? 那種記法運算或記錄比較方便?

◎進行「最簡分數」教學時,教學 的重點是什麼? 約分 互質 其它

◎ 6/10 = 3/5 15/25 = 3/5 等號是什麼意思? ◎學過最簡分數之後, 您看到分數「3/5」會想到什麼?

把一個蘋果平分成5份,取出其中 3個1/5合起來的簡稱。 3個蘋果平分給5個人的結果。 的3份。 3個1/5合起來的簡稱。 3個蘋果平分給5個人的結果。 {3/5、6/10、9/15、12/20、….} 的代表(等價類)。

◎如果只想到前面三個意義,最簡  分數的教學並沒有成功,因為  並沒有擴展分數的意義。 ◎教國文:解釋字面的意義。  教數學:理解來龍去脈。

◎引入最簡分數的目的是什麼? ◎教師不應該只瞭解最簡分數的定 那些情形會用到最簡分數? 義或計算算法(分子與分母互質的 分數),教師應該知道引入最簡分 數的目的。

◎進行「質數」教學時,教學的重 點是什麼? ◎如何處理「1不是質數」的問題?

◎進行「相反數」教學時,教學的 重點是什麼? ◎進行「倒數」教學時,教學的重 點是什麼?

◎ 5 8 相反數 0 +3 -3 0 倒數 1 8/5 5/8 1

◎忘掉你最熟悉有效率的解題策略 ,你才可能接近學童,才可能幫 助學童發展數學概念。

◎下列問題的教學重點為何? 異分母加減問題: 長方形面積公式: 分數除法問題: 算術平均數問題:

◎異分母加減問題: ◎為什麼異分母相加減要先通分? 通分時一定要尋找分母的最小公  倍數嗎? ◎不找分母的最小公倍數也能解決 問題嗎?

◎解題概念:等值分數。 ◎找最小公倍數是解題技巧(最有效 率的解題策略)。

◎1/4=2/8=3/12=4/16=5/20=…… ◎將注意力放在分割份數上(忽略 1/6=2/12=3/18=4/24=5/30=…… 合成的份數),可以更快速的找 到共同的單位分數。 4, 8,12,16,20,.... 6,12,18,24,30,....

◎算術平均數問題: ※全班30位同學的平均體重是40公 斤,平均40公斤的意義是什麼?

將全班同學打成肉醬,平分成30 份,每一份剛好重40公斤。 30位同學的體重不相同,以40公 斤代表這30位同學的體重比較恰 當。

◎算術平均數是代表數的概念,並 不是平分的結果。 ◎瞭解算術平均數的意義,與能算 出算術平均數,何者比較重要?

※甲、乙兩班都有31位同學,月考 ◎兩班各有31個分數,無法比較, ◎用什麼分數當做代表比較恰當? 後,如何比較兩班數學成績誰比 較好? 必需每班找出一個代表的分數, 才能比較誰的成績比較好。 ◎用什麼分數當做代表比較恰當?

 找出最高(低)分來比較。  找出排名中間那位同學的成績來  找出最多同學分數相同的成績來  算出總分來比較。 比較(中位數概念)。  找出最多同學分數相同的成績來 比較(眾數概念)。  算出總分來比較。  算出總分後再除以31來比較。 ◎那一種比較方法比較合理?

※如果甲班有31人,乙班有35人, 如何比較那一班的成績比較好? ◎代表數的概念是否會出現?

◎與成人溝通國小數學的教與學是 很辛苦的,因為成人對國小數學 問題過份的熟悉,因而喪失了反 省能力,無法思考為什麼可以這 樣快速的算出答案。

◎幫助成人理解學童為什麼不會算 數學,為什麼常使用笨方法算數 學,最好的方法是改變符號表徵 ,將問題改寫為成人不熟悉的符 號情境,面對不熟悉的解題工具 或情境,成人才能反省,學童在 解題時可能發生那些困難,要如 何幫助學童解決這些困難。

◎請使用英文字母{ㄟ,ㄅㄧ,ㄒ ◎使用英文字母「a、b、c、d..」 ㄧ,ㄉㄧ,....}的讀法來替代 印度-阿拉伯數字「ㄧ,ㄦˋ, ㄙㄢ,ㄙˋ,....」的讀法。 ◎使用英文字母「a、b、c、d..」 的符號替代印度-阿拉伯數字 「1、2、3、4..」的記法。

◎甲有f個蘋果,乙有d個蘋果, 兩個人合起來共有多少個蘋果? ◎不會加法,能夠解決加法問題嗎? 算算看,答案是多少?

◎不會加法,也能夠解決加法問題 ◎用加法f+d能算出答案嗎? ◎有那些能力之後,才能用加法算 a b c d e f a b c d           a b c d e f g h i(j) ◎用加法f+d能算出答案嗎? ◎有那些能力之後,才能用加法算 出答案?

◎透過點數算出答案(共有j個) 以後,學童有記錄解題活動的需 求嗎? ◎為什麼成人要求學童使用加法算 式f+d=j記錄解題活動?

◎「f+d=j」強調將題目中的 兩個數字直接運算(運算規則), 可以最快速的算出答案。 ◎如何定義加法運算? ◎加法運算能夠解決哪些問題?

◎能夠更快速的算出加法問題的答 案嗎? 製作表格,透過查表解決問題。 提升原來解題策略(點數)的效率 發展另一套解題工具(加法)。

◎提升原來解題策略的效率: ◎能掌握 f 兩種意義的關係時, ◎能透過手指頭掌控加數的個數 a b c d e f a b c d           a b c d e f g h i (j) ◎能掌握 f 兩種意義的關係時, 可以不必畫出被加數。 ◎能透過手指頭掌控加數的個數 時,可以不必畫出加數。

◎發展出另一套解題工具: ◎當學童尚未熟記英文字母加法時 ,只能利用點數當做工具解決問 題,並在解題成功後,使用加法 算式「f+d=j」記錄解題活 動,此時加法算式『f+d=j』 只是單純的記錄,學童不是使用加法來解決問題。

◎當學童透過經常記錄,記憶了某 些加法算式,當再遇到數量相同 的加法問題時,就可以利用記憶 中的加法算式替代點數來解決問 題,此時,加法算式f+d=j 的角色,開始由單純的記錄轉換 為解題的工具。

◎數學模型(解題活動類型) ◎在國小階段,我們算了很多的加 ◎這些使用加法解題的問題有那些 法問題,為什麼這些情境不同的 問題,都可以使用加法運算來解 決問題? ◎這些使用加法解題的問題有那些 共同特徵?

◎成人常提示,當題目中有關鍵字 ◎成人為什麼要提示關鍵字? 「共」或「合起來」的時候,就 可以使用加法來解決問題。 提示關鍵字的目的是什麼? ◎成人為什麼要提示關鍵字?    提示關鍵字的目的是什麼?    可以用其它的方式幫助學童嗎?

※甲、乙、丙、丁、戊、己六人 ※甲比乙多50元,丙比乙少30元, 共有1000元,甲和乙共有500元, 丙和丁共有300元,請問戊和己 共有多少錢? ※甲比乙多50元,丙比乙少30元, 請問甲和丙相差多少錢?

◎統計(現象)學的觀點: ◎數學模型(解題活動類型)觀點: ◎教師不應該只看到現象,教師應 該知道現象發生的來龍去脈,以 及解決問題的方法。

◎統計(現象)學的觀點: ◎找出國小所有的課本、 習作、參 ◎看到現象,只是知其然,但是不 考書以及光碟題庫,觀察這些用 加法解題文字題的文字描述有那 些共同的特徵。 ◎看到現象,只是知其然,但是不 知其所以然。

◎數學模型(解題活動類型)觀點: ◎有兩個已知個數的集合,這兩個 集合沒有共同的元素,當要確定 這兩個集合的個數合起來是多少 個時,就可以使用加法(數學模 型)來替代點數解決問題。

◎數學上給加法的定義: ◎A∩B=Φ, n(A)=a,n(B)=b, a+b=n(A∪B)。

共同的文字描述 共同的解題方式 ◎哪一個是加法教學的重點?

為什麼水的重量可以相加? 為什麼水的溫度不能相加? ※一瓶20公克重、溫度是20度的水 ,一瓶30公克重、溫度是30度的 水。將兩瓶水倒在同一個瓶中, 請問:水重多少公克? 溫度是多少度? 為什麼水的重量可以相加? 為什麼水的溫度不能相加?

※看著溫度計,現在是30度,溫度 上升20度後是多少度? ◎為什麼溫度有時可以相加,有時 又不可以相加? ◎如何幫助學童理解其意義?

◎哪一種處理方式比較合理? 背題型(共同的文字描述): 澄清數學模型的意義(共同的解 題方式):

※甲有5/11個蘋果,乙有3/11個蘋 ◎為什麼也可以使用加法算式 果,兩人合起來共有幾個蘋果? 「5/11+3/11=8/11」記錄分數 加法問題的解題活動?

◎「5+3=8」記錄5個「1」和3個 ◎「5/11+3/11=8/11」記錄5個 ◎將點數的對象由「1」擴充至任意 「1」合起來是8個「1」。 ◎「5/11+3/11=8/11」記錄5個 「1/11」和3個「1/11」合起來是 8個「1/11」。 ◎將點數的對象由「1」擴充至任意 的單位分數,就可以擴充加法數 學模型適用的範圍至分數範圍。

※全班有50位同學,第一次月考數學 ◎原來的加法模型無法解決此問題。 有25個人及格,英文有30個人及 格,其中有10個人兩科都及格,請 問數學或英文中至少有一科及格的 人數是多少? ◎原來的加法模型無法解決此問題。 為什麼?

◎若a=n(A),b=n(B) ◎ n(A∪B) ◎這兩個公式有何關係? A∩B=Φ; 則a+b=n(A∪B)。 =n(A)+n(B)-n(A∩B) ◎這兩個公式有何關係? 

◎擴充數學模型時有一個很重要的 條件,新的數學模型除了適用於 新的情境,還必須能夠解決舊模 型的問題,讓舊模型的問題變成 新模型的特例。

◎背題型與掌握數學模型,何者對 學童比較有幫助? 小範圍的考試: 大範圍的考試: 以後的發展:

※甲每天吃c個蘋果,e天共吃幾個 ◎不會乘法,能夠解決乘法問題嗎? ◎不會乘法也不會加法,能夠解決 ◎算算看,答案是多少? 蘋果?

◎用乘法「c x e」能算出答案嗎? ◎用加法「c+c+c+c+c」能算出 ◎畫圖及點數,能算出答案嗎? ◎何時才能使用加法或乘法當做工 答案嗎?            ◎畫圖及點數,能算出答案嗎? ◎何時才能使用加法或乘法當做工 具來解決問題? ◎人們為什麼要發明加法及乘法?

◎可以更快速算出乘法問題答案嗎 ◎當學童只會點數,加法運算不熟 悉時,並不適合引入乘法。

可以提升加法的解題策略,例如 可以發展出新的解題工具,例如 可以製作c的加法表或乘法表, 發展出加法算則,讓加的速度變 快。  發展出加法算則,讓加的速度變  快。 可以發展出新的解題工具,例如  透過乘法解決問題。 可以製作c的加法表或乘法表,  透過查表解決問題。

◎剛開始,加法、乘法等算式是 解題的摘要記錄,背起來,算式 可以轉變成解題的工具,當數量 變大,算式變多且不好背,人們  解題的摘要記錄,背起來,算式  可以轉變成解題的工具,當數量  變大,算式變多且不好背,人們  發展出加法或乘法算則。

◎人類一直在追求最有效率的算則 ,五十年前及五十年後的人類,  都用和我們一樣的方法或工具計  算嗎?

◎計算器使用不方便且不普遍時: ◎當計算器具使用方便且普遍時: 將學童訓練成會走路的計算機, 算的又快,又準,又狠。 遇到大數字時使用計算器具,但 是當沒有計算器具時,也能夠慢 慢的算出答案。

能判斷一個問題該使用何種計算 能快速的計算出答案 ◎那一種能力比較重要? ◎如何幫助學童判斷一個問題該使 ◎何時可以要求學童熟練算則? 方式解題 能快速的計算出答案 ◎那一種能力比較重要? ◎如何幫助學童判斷一個問題該使 用何種計算方式解題? ◎何時可以要求學童熟練算則?

學童何時可以開始記乘法表? 學童多久必須熟記乘法表? 如何幫助學童熟記乘法表? ◎需要背「九九乘法表」嗎? ◎我們以前是怎樣背乘法表? 學童多久必須熟記乘法表?   如何幫助學童熟記乘法表? ◎我們以前是怎樣背乘法表? 需要強迫學童這樣背乘法表嗎?

◎數學課程都分三階段引入數學符 號或算式,但是,不同課程對三 階段所投入的教學時間不儘相同 

◎第一階段: 引入數學符號或算式之前。 ◎教學的重點是: 理解題意。 有成功解題的經驗。 逐漸形成數學模型(解題活動類 型)。

形成數學模型(解題活動類型)。 掌握算式(摘要記錄)或算式填 ◎第二階段: ◎教學的重點是: 引入數學符號或算式。 充題(問題記錄)的意義。

◎第三階段: 引入數學符號或算式以後。 ◎教學的重點是: 將算式轉變成解題的工具。 提升解題效率。 引入算則(算的又快又準又狠)

◎64年課程,第一階段輕輕帶過, ◎82年課程,第一階段投入較多的 ◎九年一貫課程,與82年課程比 將多數教學時間放在第三階段。 時間,相對之下,第三階段投入 時間比較少。 ◎九年一貫課程,與82年課程比 較,減少第一階段的時間,增加 第三階段的時間。

◎那一個階段的教學,對掌握數學 ◎為什麼部份低年級學童不知道文 符號或算式的意義最重要? 字題該用加法或減法解決問題? 為什麼部份中年級學童不知道文 字題該用乘法或除法解決問題?

※一枝鉛筆賣3元,4枝賣多少元? ◎第一階段: ◎第二階段: ◎第三階段: 3+3=6,6+3=9,9+9=12 3×4=12 (算式不是解題工具) ◎第三階段: 3×4=12 (乘法算式是解題工具 ,也是解題記錄)。

◎題意是整數乘以分數的問題,不 ※一瓶水24公升,3/4瓶水有多少公 升? 會整數乘以分數也能夠解決問題 只要瞭解3/4瓶的意義,就可以用  整數乘除法當做工具解決問題

◎第一階段: ◎需要引入整數乘以分數的摘要記 錄「24×3/4=18」嗎? ◎如果這類問題不是經常出現,只 要能夠成功解題即可,不需要將   24÷4=6,6×3=18。 ◎需要引入整數乘以分數的摘要記 錄「24×3/4=18」嗎? ◎如果這類問題不是經常出現,只 要能夠成功解題即可,不需要將 整數乘以分數發展成解題的工具

◎如果這類問題經常出現,或是某些 ◎第二階段: 重要數學概念的先備經驗,才需 要引入摘要記錄「24×3/4=18」  24×3/4=18(只是單純的記錄)

◎第三階段: 24×3/4=18(是解題的工具,也 是解題的記錄) ◎將問題中的兩個數字直接運算, 是最有效率的解題策略。

38 38 467 467 +25 +25 x 3 x 3 63 13 1401 21 +5 18 63 +12 1401 ◎你喜歡比較摘要的記法嗎? 為什麼你喜歡簡單省略的記法?

◎解題活動的步驟可以省略嗎? 記錄活動的步驟可以省略嗎? 1 38    38 +25    +25 63    13    +5     63

◎78698668+98657699=? ◎您可以在心中掌握幾個步驟? 7869866+9865769=? 786986+986576=? 78698+98657=? 7869+9865=? 786+986=? ◎您可以在心中掌握幾個步驟?

◎ 78698668 +98657699 ◎為什麼心算很困難,但是筆算變 成很簡單?

◎47×69=( ) 47 × 69 423  + 282 有那些能力後,就可  3243  以摘要地記成一行? ◎有需要記成一行嗎?

◎人們透過背一些東西(或在心中運 算),或同時在心中掌控幾個步驟 運算的方式,省略記錄的格式。 ◎解題活動的過程是不可能省略的  ,將重要過程記錄下來對師生的  溝通有幫助,當能掌握數個細步 過程時,才可以開始省略記法。

◎數學學習態度與數學學習成就 都很重要,如何幫助學童建立良 好的「數學學習態度」?

◎剛開始要解決一個新數學問題 時,我常不知道怎麼辦 因為( ) ◎先選(是)(不是)(不確定)

◎我喜歡困難的數學問題      因為( ) ◎問題真的很困難,我就放棄    ◎數學在生活中是有用的

◎我以前比較喜歡數學 (現在比較不喜歡) 因為( ) ◎我以前比較喜歡數學     (現在比較不喜歡)      因為( ) ◎我比較喜歡每一次作業都是同一 種類型,不喜歡很多種類型混在 一起 因為( )

◎我在看完數學題目之後,通常可 ◎我會把過去學到的數學知識和現 ◎當我在算數學問題時,我會回想 以立刻找出重點。 在所學的連貫起來。  以立刻找出重點。 ◎我會把過去學到的數學知識和現  在所學的連貫起來。 ◎當我在算數學問題時,我會回想  老師或同學所提過類似的例子。

◎解決數學問題時,我常會試用各  種不同的方法來解答。 ◎學完一個數學單元後,我會把這  個單元的重點找出來。 ◎上完數學課後,我會把同學和老  師的做法再想一遍,以確定自己  是否學會。

◎我在解決數學問題時,會問自己 ◎在做數學習題時,我會多練習自 ◎當我發現數學作業中有不懂的地 ◎我會針對我經常犯錯的數學題 是否瞭解題意。  是否瞭解題意。   ◎在做數學習題時,我會多練習自  己比較不會做的題目。   ◎當我發現數學作業中有不懂的地  方,我會請教別人。   ◎我會針對我經常犯錯的數學題  目,重複學習到正確為止。 

◎數學一定要教過才會嗎? ◎如果數學一定要家長或老師教過才會,有多少比例的學生會青出於藍?如果多數學生無法青出於藍而勝於藍,臺灣學生的數學能力,會一代比一代強嗎?

◎如果學生只是用力地模仿成人的 解題活動,而無法掌握數學的意 義,國小階段數學成績好的學生  解題活動,而無法掌握數學的意  義,國小階段數學成績好的學生  是數學能力強?還是體察上意(老師、家長)的能力強?

◎國際性的數學比賽,臺灣的學生  常名列前茅,除了數學競賽以  外,臺灣學生是年齡愈大,數學  成積愈好,還是年齡愈大,數學  成積愈差?