《数学课程标准》（2011年版） 核心概念解读和教学实践例谈

从“双基”到“四基”，关注学生数学基本思想的领悟和基本活动经验的积累 1987年制定的《全日制中学数学教学大纲》明确提出基础知识和基本技能的“双基”概念。 2001年课标（实验稿）提出“学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。 2011年课标提出的课程总目标：获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。 “四基”是对“双基”的继承和超越，是与时俱进的发展，是在数学教育目标认识上的一个进步。 基本活动经验获得了与基础知识、基本技能、基本思想同等重要的地位，突出了新课程对能力性目标、过程性目标、情感性目标的重视，以及对学生应用意识、创新能力培养的目标指向。

案例：烧开水。 烧开水的一般过程是：在水壶里放水，点燃燃气灶，再把水壶放到燃气灶上。 如果有一天，在你面前放着水壶，水壶里已经装了水，那么又应当怎么做呢？ 物理学家说：点燃燃气灶，再把水壶放到燃气灶上。 可是数学家却不会这样想，他们常常说：倒出水壶里的水，然后按照一般过程烧。 数学家的思维：把后一问题转化成先前的问题。 化归思想。

案例：0的认识和加减法（一上） （图1）鸟窝里有3只小鸟→（图2）3只小鸟全飞走了→ （图3）鸟窝是空的。 列式：3－3＝0。 举例：生活中，还有哪些事情也可以用3－3＝0表示？ 交流：你还能说几个“几减几等于0”的算式吗？ 观察：你有什么发现？ 生1：我觉得排的太乱了！ 生2：我发现两个相同的数相减等于0。 3-3=0 2-2=0 1-1=0 5-5=0 4-4=0 ……

一、数学基本思想 怎样界定数学基本思想？ 数学思想是对数学知识的本质认识，是更具有普遍意义的思维模式或原则，常以内隐的形式存在于知识形成和解决问题过程之中。 数学基本思想有哪些？ 观念型思想、策略型思想、概念型思想

一、数学基本思想 观念型思想 反映的数学最本质的东西。 选择标准（史宁中）： 一是数学产生和发展所依赖的最根本思想； 二是学过数学的人和没有学过数学的人在思维上根本差异。 如归纳思想（一般化）、类比思想、演绎思想（特殊化）、符号化思想、模型化思想、公理化思想等。

类比 长方形面积的推导 长方体体积的推导

一、关于数学基本思想 策略型思想 在问题解决过程中体现出来的数学思想，常用于指导问题解决策略的选择。 如化归思想（变换思想、逼近思想）、整体思想、分类思想、数形结合思想等。

【方程的意义】

【案例1】“年、月、日”（三下） 30片 30片 奶奶每天吃一片，这样的一盒，一个月够吃吗？

表示一盒降压片有30片。 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 10 20 30

31 30 29 28

数形结合思想 华罗庚谈“数形结合” 数与形， 本是相倚依， 焉能分作两边飞。 数缺形时少直观，形缺数时难入微， 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 10 20 30 数形结合思想 华罗庚谈“数形结合” 数与形， 本是相倚依， 焉能分作两边飞。 数缺形时少直观，形缺数时难入微， 数形结合百般好，隔离分家万事休 。 切莫忘， 几何代数统一体，永远联系莫分离。 不够吃的月份： 够吃的月份：

专家观点：先记一记，再慢慢理解 学“1”的时候，说说“1个圆有1个圆心”； 学“2”的时候，说说“一条线段有两个端点。” 学“3”的时候，说说“三角形有3条边、3个顶点”； 学“4”的时候，说说“正方形有4条边、4个顶点”； 学“5”的时候，可以画个五角星； …… 学“90”的时候，说说正方形的角是90度。 可否？

TIMSS测试题 哪一个数既在正方形中又在圆中但不在三角形中？

20以内进位加法

【案例2】植树问题（四下）

化归

一、关于数学基本思想 概念型思想 在某个具体数学领域中体现出来的思想，以相关的基本概念为背景。 如函数思想、方程思想、几何思想、对应思想、极限思想、统计思想等。 圆有无数条直径吗？

二、数学基本活动经验 什么是数学基本活动经验 数学活动经验是指学习主体通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验。 它既可以是感觉、知觉的，也可以是反省思考后留下的经验。 在数学活动中产生，判断标准是看“是否有数学思维的参与”，仅是模仿、记忆的数学学习不能被称为数学活动。

试试才知道——活动经验 原来河水既不像老牛说的那样浅，也不像松鼠说的那样深。 老牛说：“水很浅，刚没小腿，能趟过去。” 松鼠说：“深的很哩！昨天，我的一个伙伴就是掉在这条河里淹死的！” 。 原来河水既不像老牛说的那样浅，也不像松鼠说的那样深。 试试才知道——活动经验

二、数学基本活动经验 为什么要提数学基本活动经验 提出数学活动经验的根本意图，是为了强调教育的“过程性目标”，而不仅仅是“结果性目标”。 思想感悟与经验积累是“悟出来的，想出来的，而不是教会的”。 思想感悟与经验积累决定人的思维方式（史宁中）。

二、数学基本活动经验 数学基本活动经验有哪些？ （行为）操作的经验：让学生亲身经历操作的过程。 探究的经验：供探索的活动都有直接的活动材料、内容（情境一般比较真实，相对具体），而不是间接的、纯粹思维层面的活动。 思考的经验：既可以产生于逻辑地思考的过程，也可以产生于归纳地思考的过程，甚至是产生于某些实验过程之中。

【案例3】“平行四边形的面积”（五上）

学生有把平行四边形剪拼成长方形的活动经验吗？

平行四边形的面积（人教五上）

你能求出下面平行四边形的面积吗？

平行四边形的面积（人教五上） 方法一：（7+5）×2 方法二：7×5 方法三：7×3

长方形面积=长×宽 拉 ？ 平行四边形面积=底×邻边 方法二：7×5

长方形面积=长×宽 剪拼 ？ 平行四边形面积=底×高 方法三：7×3

平行四边形的面积（人教五上） 方法一：（7+5）×2 方法二：7×5 方法三：7×3

三上 四上

四上

四下 教学建议：在平面图形认识教学中，开展“把一个平面图形剪、拼为另外一个平面图形”的活动，帮助学生积累数学活动经验。

数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和数学思想方法。

比较下面两个图形的面积。 ① ②

比较下面两个图形的周长。 ① ②

十个核心概念 原课标： 数感 符号感 空间观念 统计观念 应用意识 推理能力 修改后： 数感 符号意识 运算能力 原课标： 数感 符号感 空间观念 统计观念 应用意识 推理能力 修改后： 数感 符号意识 运算能力 模型思想 空间观念 几何直观 推理能力 数据分析观念 应用意识 创新意识

三、核心概念——几何直观 《标准（2011年版）》指出：“几何直观是指利用图形描述和分析问题”。 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。

核心概念——几何直观 对几何直观的认识 一是几何，在这里几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象。 综合起来几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。

… … 高斯求和问题 1+2+3+……+98+99+100=？ （1+100）×100÷2 100+99+98+……+3+2+1=？ 101 … （1+100）×100÷2 100

如何培养学生的“几何直观” 使学生养成画图习惯,鼓励用图形表达问题，让“用图思考问题成为学生的一种习惯”。 可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。

【案例4】分数的意义（五下） 涂色部分的大小是这个整体的 。 （ ） 1 1 2 3 3 8

1 3 涂色部分的大小是这个整体的 。 （ ） 3 7 1 1 3 4 3 6

1 4 我吃了一个月饼的 。 1 4 我吃了一盒月饼的 。 懒羊羊 谁吃的多一些？ 喜羊羊

把12个月饼平均分给3个人，每人分得总数的（ ），每人分得（ ）个。 4 把（ 个月饼）平均分给3个人，每人分得总数的（ ），每人分得（ ）个。

2 5 我要剪一根绳子的 。 懒羊羊 2 5 我要剪一根 分米长的绳子。 喜羊羊

【案例5】100以内数的认识（一下）

用一个圈表示一位学生，画出48个圈。 师：怎样画，可以很容易看出画的正好是48个圈？

2 1 3

【案例6】三角形的三边关系（四下） 老师给学生提供了一些长短不同的小棒，鼓励学生用它们拼三角形。 对于两边之和小于第三边的情形，学生毫无疑义地认为不能拼成三角形。 关键是两边之和等于第三边的情形，比如4，5，9，学生们却产生了分歧，一部分学生确实利用小棒“拼成”了三角形，也就是学生通过操作，认为“当两边之和等于第三边时，能拼成一个三角形”，并且很多同学都赞同。

学生为什么会出错？ 当较短两边的和等于第三边时，能围成三角形吗？ 操作 演示 想像 空间观念的发展

四、处理好“三大关系” 课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系。 传统数学教育重视知识的传授和技能的训练。 知识在本质上是一种结果，可以是经验的结果，也可以是思考的结果。 智慧并不表现在经验的结果上，也不表现在思考的结果上，而表现在经验的过程，表现在思考的过程。

[案例7] 求下面平行四边形的面积。 （单位：厘米） [案例7] 求下面平行四边形的面积。 （单位：厘米） 10 18 15 18 20 12

[案例8]——“圆的周长”（六上）

刘徽：3.14 祖冲之：3.1415926~3.1415927 《周髀算经》：3 一个近似于圆形的湖泊，湖中央一条堤坝长约2000米，沿湖有一条环湖路。环湖路长约多少米？ 神舟七号飞船绕着一个圆形轨道飞行，这个圆形轨道的直径是13441.9千米。飞船飞行一圈有多少千米？ 环湖路 = 42228.9735699(km) 13441.9×3 13441.9×3.14 13441.9×3.1415926 = 42207.566(km) = 40325. 7 (km)

[案例9]“圆的面积”（六上） 师：s= r ×r，也可以写成 r²。 师（小结并追问）：要求圆的面积，必须要知道什么？ 生：必须要知道圆的半径！

练习一：一个圆形花坛的直径是10分米。这个花坛的面积是多少？ 生：3.14×10=31.4分米。 师（开始质疑）：你是求面积吗？ 生（不回答，继续）：31.4÷2=15.7分米。 师（忍无可忍地，面向其他学生）：他是在求什么？（生齐：周长！） 师：坐下！ 生（没有讲完的）：15.7×5=78.5（平方分米）。

s=r² s=r ×r r r

r r 如下图，已知圆内正方形的面积是20平方厘米。求圆的面积。 r² =20÷4×2 =10（平方厘米） 圆的面积： 3.14×10=31.4（平方厘米）

四、处理好“三大关系” 要重视直观，处理好直观与抽象的关系。

一个数学家的女儿从幼儿园放学回家，父亲问她学了什么。女儿高兴地回答：“我们今天学了集合。” 数学家想，对于高度抽象的概念来说，女儿的年龄实在太小了，便问：“你懂了吗？”。 女儿说：“懂了，一点儿也不难。” 数学家还是放心不下，便追问：“你们老师怎么教的？” “老师先让班上所有的男生站起来，说这是男孩子的集合；再让所有的女生站起来，说这是女孩子的集合。接下来是所有白孩子的集合，所有黑孩子的集合。问我们懂了吗，我们都说懂了。就这么简单！” 看来这教学没有什么问题。 数学家于是问了下面一个问题作为检验：“那么，我们能够以世界上所有的勺子或土豆组成一个集合吗？” 女儿想一想，说：“不能，除非它们都能站起来。”

四、处理好“三大关系” 要重视直接经验，处理好直接经验和间接经验的关系。

试试才知道——活动经验 反省也知道——活动经验 原来河水既不像老牛说的那样浅，也不像松鼠说的那样深。 老牛说：“水很浅，刚没小腿，能趟过去。” 松鼠说：“深的很哩！昨天，我的一个伙伴就是掉在这条河里淹死的！” 。 原来河水既不像老牛说的那样浅，也不像松鼠说的那样深。 试试才知道——活动经验 反省也知道——活动经验

有一次，李希比到一家化工厂考察。当时工厂正在生产名叫“柏林蓝”的化学绘画颜料。工人们把溶液倒入大铁锅，然后一边加热，一边用铁棒搅拌，发出很大的响声。李希比看到工人搅拌时非常吃力，就问：“为什么要这样用力呢？”一位工长告诉他：“搅拌的响声越大，柏林蓝的质量就越高。” 李希比反复思考：搅拌的声音和颜料的质量有什么关系呢？回去以后，他就动手实验，最后查出了原因。 他写信告诉那家工厂：“用铁棒在锅里搅拌，发出响声，实际上是使铁棒和铁锅摩擦，磨下一些铁屑，铁屑与溶液化合，提高了柏林蓝的质量。如果能在溶液中加入一些含铁的物质，不必用力磨蹭铁锅，也会提高柏林蓝的质量。” 那家工厂按照李希比的话去做，果然提高了颜料的质量，还减轻了工人的劳动强度。

传说中,伽利略先进行了“思考的实验”，而后才进行实际的抛球实验。 伽利略所在的那个时代坚信“重的物体下落的速度更快一些”。 物体A、B中，A更重一些，按照当时的观点，A下落的速度应该更快一些。 如果将A、B两个物体绑在一起，成为一个新的物体C，那么，C下落的速度应该比A更快一些。 从常理上说，一个速度快的物体绑上一个速度慢的物体，这个“合成”物体的速度应该比快的慢一些，而比慢的快一些，从而，物体C的速度应该比A慢一些，而比B快一些。 而两种分析方式都是“合理”的，只有一种情况下才不会产生矛盾，这就是“将物体A、B是否绑在一起，其下落的速度不受影响”，亦即，物体的下落速度与其重量无关。

正是基于这种“思考的实验”，伽利略已经从中预测到实验的结果，而后只需要在真实的实验中验证自己思考的结果，从而进行了真实的比萨斜塔实验——在比萨斜塔上将两个重量差异较大的铁球同时自由下落，发现二者几乎同时落地。 在上面的两种实验中，前者的实验是在思维层面进行的，而没有依附实在的器材、现实的物体等，仅仅在头脑中进行的；后者的实验是在真实状态下进行的，是经过个体的直接操作而获得的。 相比之下，从真实的比萨斜塔实验中获得的更多的是体验性的经验（感性的成分更多一些），而从“思考的实验”中获得的更多的是策略性、方法性的经验（理性的成分更多一些）。 对于这个故事的听众来说，在经过自己的独立思考之后也可以获得思考的经验（即一种策略性的经验），而这种经验相对于抛球活动来说是间接经验。

与大家共同交流！谢谢！ 我们需要什么样的数学教学 史宁中教授：中国未来小学数学教育将转入更加注重内涵的改革深化阶段。 ○其一，注重思考力的培养； ○其二，注重过程性经验的积累； ○其三，注重真正意义上的“理解”。 与大家共同交流！谢谢！