第四章 頻率域上的濾波 4.1 背 景 4.2 初步的概念 4.3 取樣與經取樣函數的傅立葉轉換 4.4 一個變數的離散傅立葉轉換 第四章　頻率域上的濾波 4.1 背　景 4.2 初步的概念 4.3 取樣與經取樣函數的傅立葉轉換 4.4 一個變數的離散傅立葉轉換 4.5 延伸到兩個變數的函數 4.6 二維離散傅立葉轉換的一些性質 4.7 頻率域上濾波的基礎 4.8 用頻率域濾波器進行影像平滑 4.9 用頻率域濾波器進行影像銳化 4.10 選擇性的濾波 4.11 實　現 摘　　要 參考文獻與進階讀物 習　　題

4.1　背　景 4.1.1 傅立葉級數和轉換的簡史 傅立葉在此領域上的貢獻是說任何週期性重複的函數都可以表示成不同頻率的sin及 / 或cos的和，且每一個乘上不同的係數 [ 我們現在稱這種和為傅立葉級數 (Fourier series)]。 不是週期的函數 ( 但其曲線下的面積是有限的 ) 也可以藉由一個加權函數來表達成sine及 / 或cosine相乘的積分和。在這種情況下形成的一個結果就是傅立葉轉換 (Fourier transform) 第4章 頻率域上的濾波 P.194

圖4.1在底部的函數是它上面四個函數的和。 第4章 頻率域上的濾波 P.195

4.2 初步的概念 4.2.1 複 數 一個複數C定義成 C = R + jI 複數C的共軛 (conjugate)，表示成 ，定義成 4.2　初步的概念 4.2.1 複　數 　　一個複數C定義成 C = R + jI 複數C的共軛 (conjugate)，表示成 ，定義成 複數以極式座標表示很有用： C = |C|(cos + jsin) 第4章 頻率域上的濾波 P.196

4.2.2 傅立葉級數 一連續變數t且有週期T之函數f(t) 可表達成正弦和餘弦乘上適當係數的和。此稱為傅立葉級數 4.2.2 傅立葉級數 一連續變數t且有週期T之函數f(t) 可表達成正弦和餘弦乘上適當係數的和。此稱為傅立葉級數 (Fourier series) 第4章 頻率域上的濾波 P.197

4.2.4 單一變數之函數的傅立葉轉換 一連續變數t之連續函數f(t) 的傅立葉轉換 (Fourier transform) 4.2.4 單一變數之函數的傅立葉轉換 一連續變數t之連續函數f(t) 的傅立葉轉換 (Fourier transform) 反傅立葉轉換 (inverse Fourier transform) 第4章 頻率域上的濾波 P.199

4.2.5 迴旋積 單一連續變數t之函數f(t) 和h(t) 定義成 f(t)  h(t) 4.2.5 迴旋積 單一連續變數t之函數f(t) 和h(t) 定義成 f(t)  h(t) 迴旋積定理 (convolution theorem) f(t)  h(t)  H()F() 　依循類似的發展會產生迴旋積定理的另外一半： f(t)h(t) H()  F() 第4章 頻率域上的濾波 P.203

4.3 取樣與經取樣函數的傅立葉轉換 一連續函數f(t)，我們想將其以在自變數t之等區間 (T) 處來取樣。 4.3　取樣與經取樣函數的傅立葉轉換 一連續函數f(t)，我們想將其以在自變數t之等區間 (T) 處來取樣。 第4章 頻率域上的濾波 P.205

圖4.5 (a) 一個連續函數；(b) 用於對取樣程序模式化的脈衝串；(c) 以 (a) 和 (b) 的乘積所形成的經取樣函數；(d) 以積分和用脈衝的過濾性質所得的取樣值。 第4章 頻率域上的濾波 P.206

圖4.6(a) 一個限頻函數的傅立葉轉換；(b)~(d) 分別在過度取樣、臨界取樣和不足取樣下，對應取樣 第4章 頻率域上的濾波 P.207

圖4.7(a) 一個限頻函數的轉換；(b) 由對相同函數臨界取樣 第4章 頻率域上的濾波 P.208

4.3.4 混 疊 對一函數不足取樣所造成的效應稱為頻率混疊 (frequency aliasing) 或只是混疊 (aliasing)。 4.3.4 混　疊 對一函數不足取樣所造成的效應稱為頻率混疊 (frequency aliasing) 或只是混疊 (aliasing)。 圖4.10 混疊的展示。不足取樣之函數 ( 黑點 ) 看起來像一個頻率遠低於連續信號之頻率的弦式波。此弦式波的週期是2秒，所以水平軸的越零每秒都會發生。T是取樣的間隔。 第4章 頻率域上的濾波 P.210

4.4 一個變數的離散傅立葉轉換 (DFT) 4.4.1 從經取樣的函數的連續轉換得到DFT m = 0, 1, 2, …, M - 1 這個表示式就是我們要找尋的離散傅立葉轉換。 反離散傅立葉轉換 (inverse discrete Fourier transform, IDFT) n = 0, 1, 2, …, M - 1 第4章 頻率域上的濾波 P.214

圖4.11 (a) 一個函數以及 (b) x定義域中的取樣點。在 (a) 中，t是一個連續變數；在 (b) 中，x代表整 第4章 頻率域上的濾波 P.218

4.5.2 二維連續傅立葉轉換對 令f(t, z) 為兩個變數t和z的連續函數。二維連續傅立葉轉換對表示成 和 4.5.2 二維連續傅立葉轉換對 令f(t, z) 為兩個變數t和z的連續函數。二維連續傅立葉轉換對表示成 和 第4章 頻率域上的濾波 P.219

圖4.16 影像中的混疊。在 (a) 和 (b) 中，方形邊長分別為16和6像素，且混疊在視覺上幾乎可忽略。在 (c) 和 (d) 中，方形的邊分別為0.9174和0.4798像素，且結果顯示顯著的混疊。注意到 (d) 偽裝成一個「正常」影像。 第4章 頻率域上的濾波 P.223

 影像內插與再取樣 當數位影像的大小縮減時，混疊的效應一般而言會變嚴重。 第4章 頻率域上的濾波 P.225  影像內插與再取樣 當數位影像的大小縮減時，混疊的效應一般而言會變嚴重。 圖4.17 混疊在再取樣影像上的展示。(a) 一張具有可忽略視覺上混疊的數位影像；(b) 以像素刪除將影像從其原大小改成50% 大小的結果，混疊清晰可見；(c) 在改變大小之前以一個3  3平均濾波器使在 (a) 中的影像模糊，影像比 (b) 略為模糊，但混疊已不再令人討厭了。 第4章 頻率域上的濾波 P.225

 Moiré圖案 Moiré圖案是指在兩個間距約略相等的光柵之間所產生的節拍圖案。 報紙和其他印刷品利用所謂的半色調圓點 (halftone dots)，這些是黑色的 圓點或橢圓，它們的大小和各種連接方式被用來模擬灰色色調。 第4章 頻率域上的濾波 P.226

圖4.20 Moiré效應的例子。這些是墨水畫的圖形，不是數位化的圖樣。將一個圖樣重疊在另一個圖樣上在數學上相 第4章 頻率域上的濾波 P.227

圖4.22 一張報紙影像及一個放大部分，此部分顯示半色調圓點如何安排來給 第4章 頻率域上的濾波 P.228

4.5.5 二維離散傅立葉轉換及其反轉換 二維離散傅立葉轉換(discrete Fourier transform, DFT)： 4.5.5 二維離散傅立葉轉換及其反轉換 二維離散傅立葉轉換(discrete Fourier transform, DFT)： 範圍是u = 0, 1, 2, …, M - 1和 = 0, 1, 2, …, N - 1 反離散傅立葉轉換 (inverse discrete Fourier transform, IDFT) x = 0, 1, 2, …, M - 1以及y = 0, 1, 2, …, N - 1。 第4章 頻率域上的濾波 P.229

x = r cos  y = r sin  u =  cos   =  sin  4.6.2 平移與旋轉 和 x = r cos 　　y = r sin 　　u =  cos 　　 =  sin  將f(x, y) 旋轉一個角度 會使F(u, ) 旋轉同樣的角度。 第4章 頻率域上的濾波 P.230

4.6.3 週期性 和 第4章 頻率域上的濾波 P.230

第4章 頻率域上的濾波 P.235

4.6.5 傅立葉頻譜與相位角 二維DFT一般而言是複數，所以它可以表示成極式： 4.6.5 傅立葉頻譜與相位角 二維DFT一般而言是複數，所以它可以表示成極式： 傅立葉頻譜 (Fourier spectrum) 或頻率光譜(frequency spectrum) 第4章 頻率域上的濾波 P.237

圖4.24 (a) 影像；(b) 在四個角落顯示亮點的頻譜；(c) 置中的頻譜；(d) 在一個log轉換之後顯示出增加之細節的結果。在垂直方向上頻譜的越零點比較靠近，因為 (a) 中的矩形在該方向上比較長。整本書所 第4章 頻率域上的濾波 P.239

圖4.25 (a) 經平移之圖4.24(a) 中的矩形以及 (b) 對應的頻譜；(c) 旋轉的矩形以及 (d) 對應的頻譜。對應於平移矩形之頻譜與對應於圖 第4章 頻率域上的濾波 P.240

圖4. 26 對應於以下各情況的相位角陣列：(a) 圖4. 24(a) 置中矩形的影像；(b) 圖4 圖4.26 對應於以下各情況的相位角陣列：(a) 圖4.24(a) 置中矩形的影像；(b) 圖4.25(a) 中平移的影像，以及 (c) 圖4.25(c) 中經旋轉的影像。 第4章 頻率域上的濾波 P.241

4.6.6 二維迴旋積定理 二維環形迴旋積 (circular convo­lution)： f(x, y)  h(x, y) 4.6.6 二維迴旋積定理 二維環形迴旋積 (circular convo­lution)： f(x, y)  h(x, y) 二維迴旋積定理表達成 f(x, y)  h(x, y)  F(u, )H(u, ) f(x, y)h(x, y)  F(u, )  H(u, ) 反之 第4章 頻率域上的濾波 P.241

4.7 頻率域上濾波的基礎 4.7.2 頻率域濾波的基本原理 大小為M  N的數位影像f(x, y)，我們感興趣的基本濾波運算 4.7　頻率域上濾波的基礎 4.7.2 頻率域濾波的基本原理 大小為M  N的數位影像f(x, y)，我們感興趣的基本濾波運算 是IDFT，F(u, ) 是輸入影像f(x, y) 的DFT，H(u, ) 是一個濾波器函數 (filter function) g(x, y) 為經濾波的 ( 輸出 ) 影像。 第4章 頻率域上的濾波 P.249

圖4. 31 上列：頻率域濾波器。下列：用 (4. 7-1) 式所得的對應濾波影像。我們在 (c) 中用a = 0 圖4.31 上列：頻率域濾波器。下列：用 (4.7-1) 式所得的對應濾波影像。我們在 (c) 中用a = 0.85以得到 (f) ( 濾波器本身的高度為1)。比較 (f) 與圖4.29(a)。 第4章 頻率域上的濾波 P.251

4.7.4 空間與頻率域中濾波之間的對應關係 一維頻率域高斯濾波器： 空間域上所對應的濾波器 4.7.4 空間與頻率域中濾波之間的對應關係 一維頻率域高斯濾波器： 空間域上所對應的濾波器 圖4.37(a) 和 (b) 顯示在頻率域上的高斯低通濾波器以及在空間域上對應之低通濾波器的圖。 第4章 頻率域上的濾波 P.257

圖4.37 (a) 頻率域中的一維高斯低通濾波器；(b) 對應於 (a) 的空間低通濾波器；(c) 頻率域中的高斯高通濾波器；(d) 對應於 (c) 的空間高通濾波器。所顯示的小二維遮罩是 第4章 頻率域上的濾波 P.258

4.8 用頻率域濾波器進行影像平滑 4.8.1 理想低通濾波器 4.8　用頻率域濾波器進行影像平滑 4.8.1 理想低通濾波器 這樣一個濾波器稱為理想低通濾波器 (ideal lowpass filter, ILPF)；它由以下函數指明： 是一個正值常數，而D(u, ) 是從頻率域中的一點 (u, ) 到頻率矩形中心的距離；亦即 第4章 頻率域上的濾波 P.261

一種建立一組標準截止頻率軌跡的方法是計算出包含整體影像功率 圖4.40 (a) 理想低通濾波器轉移函數的透視圖；(b) 濾波器顯示成一影像；(c) 濾波器的徑向剖面。 第4章 頻率域上的濾波 P.262

其中P(u, ) 列於 (4.6-18) 式中。如果DFT已被置中，則圓點在頻率矩形中心且半徑為 的圓包括百分比的功率 圖4.41 (a) 大小為688  688像素的測試圖樣，以及 (b) 它的傅立葉頻譜。由於填補，頻譜是影像大小的兩倍，但以一半的大小顯示，使其適合本頁的大小。相對於全尺寸的頻譜影像，重疊的圓有等於10, 30, 60, 160以及460的半徑，這些半徑分別涵蓋87.0, 93.1, 95.7, 97.8以及99.2% 的填補影像功率。 第4章 頻率域上的濾波 P.263

ILPF的模糊和振鈴性質可用迴旋積定理來解釋。 圖4.43 (a) 半徑為5且大小為1000  1000之ILPF在空間域中的表示結果；(b) 通過影像中心的一條水平線 第4章 頻率域上的濾波 P.265

4.8.2 巴特沃斯低通濾波器 n階巴特沃斯低通濾波器 (BLPF) 的轉移函數定義為 第4章 頻率域上的濾波 P.265 4.8.2 巴特沃斯低通濾波器 n階巴特沃斯低通濾波器 (BLPF) 的轉移函數定義為 圖4.44 (a) 巴特沃斯低通濾波轉移函數的透視圖；(b) 濾波器顯示成一個影像；(c) 階數從1到4的濾波器徑向剖面圖。 第4章 頻率域上的濾波 P.265

圖4.46 (a) 到 (d) 階數為1, 2, 5以及20的BLPF的空間表示法，以及經過濾波器中心所對應的強度剖面 ( 所有情況中的大小均為1000  1000且截止頻率都為5)。注意到振鈴隨著濾波器階數的函數增加。 第4章 頻率域上的濾波 P.268

4.8.3 高斯低通濾波器 高斯低通濾波器 (GLPF) 在4.7.4節中曾介紹成是在探討空間域和頻率域之間重要關係的輔助工具。這些濾波器的二維形式為 令 此濾波器： 第4章 頻率域上的濾波 P.266

第4章 頻率域上的濾波 P.268 圖4.47 (a) GLPF轉移函數的透視圖；(b) 濾波器顯示成一張影像；(c) 各種 值的濾波器徑向剖面圖。 第4章 頻率域上的濾波 P.268

4.9 用頻率域濾波器進行影像銳化 影像銳化可在頻率域中以一個高通濾波處理來達成，它衰減傅立葉轉換中的低頻成分而沒有干擾到高頻資訊。 表4.4 低通濾波器。 是截止頻率，而n是巴特沃斯濾波器的階數。 4.9　用頻率域濾波器進行影像銳化 影像銳化可在頻率域中以一個高通濾波處理來達成，它衰減傅立葉轉換中的低頻成分而沒有干擾到高頻資訊。 使用下式獲得高通濾波器： 是低通濾波器的轉移函數。 第4章 頻率域上的濾波 P.269

4.9.1 理想高通濾波器 一個二維的理想高通濾波器 (ideal highpass filter, IHPF) 定義成 其中 是截止頻率 4.9.1 理想高通濾波器 一個二維的理想高通濾波器 (ideal highpass filter, IHPF) 定義成 其中 是截止頻率 第4章 頻率域上的濾波 P.273

第4章 頻率域上的濾波 P.275 圖4.54 圖4.41(a) 中的影像經過高通濾波的結果，其中分別使用 , 60以及160的一個IHPF。 第4章 頻率域上的濾波 P.275

4.9.2 巴特沃斯高通濾波器 截止頻率 之n階二維巴特沃斯高通濾波器 4.9.2 巴特沃斯高通濾波器 截止頻率 之n階二維巴特沃斯高通濾波器 (Butterworth highpass filter, BHPF) 定義成 第4章 頻率域上的濾波 P.275

第4章 頻率域上的濾波 P.276 圖4.55 圖4.41(a) 中的影像經過高通濾波的結果，其中分別使用 , 60以及160 ( 對應於圖4.41(b) 中的圓 ) 之二階BHPF。這些結果比起用IHPF所獲得的 結果更平滑。 第4章 頻率域上的濾波 P.276

4.9.3 高斯高通濾波器 高斯高通濾波器 (GHPF) 的轉移函數為 第4章 頻率域上的濾波 P.276 4.9.3 高斯高通濾波器 高斯高通濾波器 (GHPF) 的轉移函數為 圖4.56 圖4.41(a) 中的影像經過高通濾波的結果，其中分別使用 , 60以及160 ( 對應於圖4.41(b) 中的圓 ) 之二階GHPF。與圖4.54和4.55比較。 第4章 頻率域上的濾波 P.276

表4.5 高通濾波器。 是截止頻率，而n是巴特沃斯濾波器的階數。 第4章 頻率域上的濾波 P.277

同態濾波器可以獲得對照明和反射成分的理想控制。這個控制需要一個濾波函數H(u, ) 的規格，使它能以不同且可控制的方式影響傅立葉轉換的低頻和高頻成分。 第4章 頻率域上的濾波 P.283

圖4.61 圓對稱同態濾波器函數的徑向剖面，其中垂直軸是在頻率矩形的中心且D(u, ) 是從中心起算的 第4章 頻率域上的濾波 P.283

圖4.62 (a) 全身PET掃描；(b) 用同態濾波所增強的影像。

第4章 頻率域上的濾波 P.285 表4.6 帶拒濾波器。W是頻帶寬度，D是從濾波器的中心起算的距離D(u, )， 是截止頻率，而n是巴特沃斯濾波器的階數。我們用D而不是D(u, ) 以簡化表中的符號標示。 第4章 頻率域上的濾波 P.285