[S;*]是一个代数系统,*为定义在S上的二元运算,若满足: (1)对任意的a,b,cS有a*(b*c)=(a*b)*c(结合律); (2)存在eS,使a*e=e*a=a(单位元); (3)对任意的aS,存在a-1S,使得 a*a-1=a-1*a=e 则称 [S;*]为群。

第十五章 环 环的英文为Ring，用Ring的起始字母R表示环,即今后出现的R表示环,除非特别说明，R不再表示实数集。

§1 环的定义与性质 一、环的定义 代数系统[R;+,*],其中+和*为定义在R上的二元运算,满足下述条件, (1)[R;+]为Abel群 (3)*满足分配律: a*(b+c)=(a*b)+(a*c), (b+c)*a=(b*a)+(c*a) 则称[R;+,*]为环。

(1)[R;+]中的运算+是一般的运算记号，而不是普通的加法运算。 (3) [R;+]中a逆元通常用-a表示，同样也是记号。 (4) 0是+的单位元 (5) -a是a关于+的逆元。 (6)a关于+运算n次a+a++a通常记为na

例：S,[P(S);,∩] 满足结合律 的单位元是, 对任意AS, 关于的逆元就是A. 满足交换律 ∩满足结合律 ∩满足分配律 并且∩满足交换律. 关于环的第二个运算满足交换律, 称为交换环。

定义：[R;+,*]为环,当第二个运算*满足交换律时, 称为交换环。 对于[M;+,],因为一般ABBA,故不是交换环 而[P(S);,∩], [Z;+, ]则是交换环. 定义：[R;+,*]为环,当第二个运算*有单位元时(一般表示为1)时称该环为有单位元环 关于环的修饰都是对第二个运算而言

二、环的性质 1.环的单位元与零元 关于第1个运算的单位元通常用0表示 如果环是有单位元的环，通常将关于第2个运算的单位元用1表示。 0和1都是记号,并不是数字

定理15.1：[R;+,*]为环,则对任a,bR,有: (1)a*0=0*a=0 (2)a*(-b)=(-a)*b=-(a*b) (3)(-a)*(-b)=a*b (4)如果环有单位元，则(-1)*a=-a, (5)如果环有单位元，则(-1)*(-1)=1

关于第1个运算的单位元0在第2个运算*下，对任意aR,有a*0=0*a=0。即0为*的零元。 称关于第1个运算的单位元为环的零元。 如果环是有单位元的环，则将关于第2个运算的单位元称为环的单位元。 说明：关于环的修饰都是对第二个运算而言。

[M2,2(Z);+,]是有单位元的环。 环的零元是(0)2,2, 环的单位元是

定义：[R;+,*]为环,a,bR,a0,b0,但a*b=0，则称a为R的一个左零因子,b为R的一个右零因子,统称a,b为R的零因子。 (1)*满足交换律。 (2)R中没有零因子, 即如果a*b=0,则a=0或b=0, 就称R为整环。 [P(S);,∩]和[M;+,]都不是整环 [Z;+,]是整环

定义：对于环[R;+,*]，对任意a,b,cR,a0,当a*b=a*c,必有b=c，则称环满足消去律。 定理：[R;+,*]是无零因子环当且仅当[R;+,*]满足消去律。 证明:1.[R;+,*]是无零因子环,要导出[R;+,*]满足消去律.即对任意a,b,cR,a0,当a*b=a*c,必有b=c. 因为0=(a*b)+(-(a*b))=(a*b)+(-(a*c)) =(a*b)+(a*(-c))=a*(b+(-c)) 这里利用了定理15.1(2)a*(-b)=(-a)*b=-(a*b) 因为是无零因子环,且a0,所以有b+(-c)=0,因此b=c. 2.[R;+,*]满足消去律,导出[R;+,*]是无零因子环. 若存在a,bR,a0,b0,而a*b=0,则a*b=a*0, 因为a0,所以由消去律得b=0,矛盾.

推论:[R;+,*]为整环,则其乘法满足消去律。 定理：环[Zm;+,*]是整环当且仅当m是素数。 对于只含有一个元素的环R={0},称为零环, 此时0也是它的单位元。但当|R|2时,如果环R有单位元1,则10。 Why? |R|2时,如果环R有单位元1,则 环单位元环零元 只有一个元素的环是平凡环，其他的则为非平凡环。

定义15.5：一个环[R;+,*],|R| 2,如果满足如下条件 (1)关于*有单位元; (2)每个非零元关于*有逆元。 称为除环。

如果一个除环又是可交换时, 称为域。 [Z;+,*]是整环,不是域 对于实数集R,[R;+,]是域,[Q;+,*],[C;+,*]域 实数域,有理数域,复数域

域的定义: (1)[F;+]是Abel群 (2)[F-{0};*]是Abel群 (3)对任意的a,b,cF,有 a*(b+c)=(a*b)+(a*c) [Z;+,]是整环,但不是除环,也不是域. [Q;+,], [R;+,](这里R表示实数集), [C;+,]都是域

[Z;+,]是整环，但不是域。但若是有限整环则结论成立。 定理：域[F;+,*]满足消去律。 推论：域[F;+,*]一定是整环。 证明：无零因子环当且仅当环满足消去律。而整环的定义是:单位元,无零因子,可交换。根据定理可知域[F;+,*]满足消去律，因此域[F;+,*]满足消去律是无零因子环，所以域[F;+,*]一定是整环。 无零因子环当且仅当满足消去律。 整环:单位元,无零因子,可交换 该结论的逆不一定成立。 [Z;+,]是整环，但不是域。但若是有限整环则结论成立。

定理：若[F;+.*]是有限整环,则一定是域 整环:有单位元交换环, 且无零因子 域:有单位元交换环,且每个非零元关于*运算有逆元 因此关键要证明每个非零元关于*运算有逆元. 证明:设F={a1,a2,an}.对任意cF-{0}, Fc={a1*c,a2*c, ,an*c} 因为整环满足消去律,因此ai*caj*c(aiaj) 所以有|Fc|=|F|,并且FcF 因为F是有限集,所以有Fc=F. 所以存在ai*c=1(为环的单位元) 即c有逆元.

推论：[Zm;+,*]是域当且仅当m是素数。 有限整环,由上面结论即得。

§2 子环与环同态 一、子环 定义15.6：[R;+,·]为环,SR,S,当[S;+,·]是环时, 称它为R的子环。特别在S=R或S={0} 时称它为R的平凡子环,否则称为R的真子环。 [Z;+,]是[Q;+,]和[C;+,]的真子环，[Q;+,]是[C;+,]的真子环。

[G;·]为群,HG,H是G的子群,当且仅当 (2)任一hH必有h-1H 定理15.3：[R;+,·]为环, SR,S,[S;+,·]是[R;+,·]的子环, 当且仅当, 对任a, bS有： (1)a+bS (2)-aS (3)a·bS

定义15.7：设[R;+,·]为环, C={x|xR,对任意aR, a·x=x·a}。称C为环R的中心。 定理15.4：环R的中心C是R的子环。 分析:对任意x,yC,要证明x+y,-xC, x·yC. 即证对任意aR,有a·(x+y)=(x+y)·a, a·(-x)=(-x)·a, a·(x·y)=(x·y)·a

例：设[R;+,*]是有单位元e的环，E={ne|nZ},则E是R的子环。 这里要说明的是这里的ne表示的是n个e按第一种运算+运算n次，即ne=e+e+…+e (-k)e表示ke=e+e+…+e关于第一个运算的逆元 [E;+]是[R;+]的子群，E是由e生成的，E=(e) 当|E|<+时，元素e关于第一种运算+的阶=|E| |E|e=0。设|E|=n E={0,e,2e,…,(n-1)e} 称|E|为环R的特征数。 当第2个运算的单位元在第1个运算中的阶有限时,这个阶就是环的特征数

定义15.8：[R;+,*]为有单位元e环,则E={ne|nZ}称为R的单位子环。当|E|<+,必有m,nZ,mn,使me=ne,(m-n)e=0。使ke=0之最小正整数称为环R的特征数,一般表示为p;如果不存在这样的整数, 则称该环的特征数为0。用charR表示环R的特征数。

定理15.5：设p为有单位元环R的特征数, 则: (1)任aR,有pa=0，而且，当R是整环时，对任何a0,p是使pa=0的最小正整数 (2)当R为整环时,其特征数或为素数或为0 证明:(1)pa=p(e*a)=e*a+e*a+…+e*a =(e+e+…+e)*a=(pe)*a=0*a=0. R为整环,若存在lZ,0< l <p,使得la=0(a0), 则0=la=l(e*a)=e*a+e*a+…+e*a =(e+e+…+e)*a=(le)*a 因为R是整环,所以le=0,与p为特征数矛盾

(2)若R的特征数为0,则已成立. 若R的特征数p0,假定p=p1p2,p11,p21, 类似(1)的证明,可以得到对任aR,由pa=0可得(p1a)(p2e)=0

作业:P316 2,3,4,12,13