二、环同态 定义14.9：对于环[R;+,*]与环[R';+',*'],若存在映射:RR'，使得对任r1,r2R有: (r1+r2)= (r1)+'(r2), (r1*r2)=(r1)*'(r2), 则称为R到R'的同态映射;当(R)=R'称两个环同态;当为一一对应时两个环同构;当R'R时称R到R'的同态为自同态,同构为自同构。
请考虑(2)中若把一些条件去掉后,结论不成立的例子. 定理14.6：设环[R;+,*]与环[R';+',*']有同态映射, 则: (1)(0)=0',0为R之加法单位元, 0'为R'之加法单位元。 (2)如果R和R'均为有单位元环, 且e,e'分别为其单位元,则当是满同态,或者R'无零因子且不是零同态,则(e)=e'。其中零同态是指所有元素在下的象都是0'。 (3)(R)R'必为R'的子环。 请考虑(2)中若把一些条件去掉后,结论不成立的例子.
推论14.1:若两个环R与R'同构,R≌R',则R为整环时, R'也为整环；R为除环时R’也是除环；R为域时R'也为域。 推论14.1的结论不能拓广到两个环同态的情况。 例如对于整数环Z和同余类环Zm，可以构造满同态映射，使得(x)=[x]Zm。我们知道，Z是整环但不是域，而当m是素数时，Zm是域，当m不是素数时，Zm不是域，也不是整环。即两个同态的环Z和Zm性质并不相同。
定理14.7：设有整环R,char(R)=p,作映射:RR,对任aR,(a)=ap是R的一个自同态映射且ab 时(a)(b)。 证明:同态映射要求对任a,bR有:(a+b)=(a) +(b),(a*b)=(a)*(b). (a*b)=(a*b)p=ap*bp=(a)*(b). 因为在交换环中,二项式定理成立. 因此在(a+b)p的展开式中,其系数为C(p,i), 故除C(p,0)=C(p,p)=1外,C(p,i)含有因子p. 而对任意aR,有pa=0 因此(a+b)=(a+b)p=ap+bp=(a)+(b)
即证若(a)=(b),即ap=bp时,必有a=b. 同样我们有(a-b)p=(a+(-b))p=ap+(-b)p, 因为R是整环,p为特征数,因此由定理15.5,p为素数. (定理15.5：设p为有单位元环R的特征数, 则: (1)任aR,有pa=0，而且，当R是整环时，对任何a0,p是使pa=0的最小非零正整数.(2)当R为整环时,其特征数或为素数或为0) 因此除了p=2这种情况外,p是奇数. 若p=2,由定理15.5知,0=2x=x+x,因此有 (-b)2=b2=-b2, 即(a-b)2=a2-b2 若p为奇数,则(a-b)p=ap+(-b)p=ap-bp 所以0=(a)-(b)=ap-bp=(a-b)p, 又因为是整环,无零因子,故a-b=0,即a=b.
§3 多项式环 在习题14.3(5)的中，已知可以类似于在实数域上定义多项式一样，在域F上定义多项式 F[x]关于多项式的乘法与加法构成整环, 且称F[x]为域上的多项式环。 所谓关于多项式的乘法与加法:系数按域F上的第一个运算(加法)和第二个运算(乘法)进行相应运算
下面我们将证明有关多项式环的一些性质。为此引进记号degf(x),它表示F[x]中的多项式 f(x)的次数。 定理14.8：对f(x)F[x],g(x)F[x], g(x)0,存在唯一的q(x),r(x)F[x], degr(x)<degg(x)或r(x)=0,使得: f(x)=g(x)q(x)+r(x)。 证明：(1)存在性 关键是找r(x)和q(x). 必须考虑的是f(x)和g(x)的次数.
当degf(x)<degg(x)时, 取q(x)=0,r(x)=f(x)即可. 当degf(x)degg(x)时, 对degf(x)作归纳证明. (2)唯一性 假设还有q'(x),r'(x)F[x], 其中0degr'(x)<degg(x) 由此导出q(x)=q'(x),r(x)=r'(x)
当f(x)=g(x)q(x)+r(x)中的r(x)=0时, 称f(x)可被g(x)整除,记为g(x)|f(x),称g(x)为f(x)的一个因子,q(x)为商;r(x)0时,称q(x)为不完全商,而r(x)为余式。 推论14.2:f(x), (x-a)F[x],则f(x)被(x-a)除的余式为f(a)。 证明:由定理14.8知,存在q(x),r(x)F[x], degr(x)<deg(x-a)=1或r(x)=0,使得: f(x)=g(x)(x-a)+r(x)
作业:P191 15,16, 20 补充: 1.请举例说明定理14.6(2)中,若不是满射,即使不是零同态，结论不一定成立。 2.请举例说明定理15.6(2)中,若不是满射,即使R无零因子，结论不一定成立.