复习 1. 注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 1. 注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值. 2. 驻点和不可导点统称为临界点. 函数的极值必在临界点取得. 第一充分条件; (注意使用条件) 3. 判别法 第二充分条件; 4. 实际问题求最值的步骤.

第六节 函数图形的描绘 平面曲线的曲率 第七节 一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径

一、 曲线的渐近线 定义: 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 则称直线 L 时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 或为“纵坐标差”

例如, 双曲线 有渐近线 无渐近线 . 但抛物线 水平渐近线 渐近线的种类： 铅直渐近线 斜渐近线 渐近线刻画函数在无穷远点的状态

1. 水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线) 若 ( b 为常数 ) 则 就是 的一条水平渐近线. 例如 有水平渐近线两条:

2. 铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线) 若 则 就是 的一条铅直渐近线. 例如 有铅直渐近线两条:

思考题： 两个坐标轴 是否都是函数 的渐近线？ 思考题解答： 是其图象的渐近线 不是其图象的渐近线

3. 斜渐近线 或 若 (a, b 为常数) 则 就是 的一条斜渐近线. 斜渐近线求法:

注意: (1) 时应考虑斜渐近线存在的可能性 (2) 如果 (a) 不存在， 或 (b) 存在，但 不存在 那么可以断定 不存在斜渐近线 (2) 如果 (a) 不存在， 或 (b) 存在，但 不存在 那么可以断定 不存在斜渐近线 P76:14

例1 讨论 的渐近线. 解 要求：首先写出定义域 为 的铅直渐近线. 没有水平渐近线.

例1(续) 讨论 的渐近线. 为 的斜渐近线.

及其渐近线

二、函数图形的描绘 随着现代计算机技术的发展， 借助于计算机和许多数学软件，可以方便地画出各种函数的图形。 但是，如何识别机器作图中的误差， 如何掌握图形上的关键点， 如何选择作图的范围等， 从而进行人工干预， 仍然需要我们有运用微分学的方法描绘函数图形的基本知识。

作图范围： 作图范围：

函数图形的描绘的步骤 1. 确定函数 的定义域, 奇偶性，周期性等性态； 并考察其对称性 2. 求 并求出 及 为 0 和不 存在的点； 2. 求 并求出 及 为 0 和不 存在的点； 3. 列表判别增减及凹凸区间, 求出极值和拐点； 4. 确定函数的渐近线及其它变化趋势； 5. 确定和补充某些点(如：与坐标轴的交点等), 描绘函数图形.

例2 作函数 的图形. 解 非奇非偶函数,且无对称性. 得到驻点 得到特殊点 水平渐近线:

列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点: 铅直渐近线: 列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点: 不存在 间断点 拐点 极值点

补充点： 作图 为了描述更准确 与x轴的交点 与渐近线的交点 拐点 极值点

例3 作函数 的图形. 解 偶函数, 图形关于y轴对称. 得到驻点 得到特殊点 水平渐近线: 无铅直和斜渐近线.

列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点与拐点 极大值 拐点

内容小结 函数图形的描绘综合运用函数性态的研究 是导数应用的综合考察. 1. 曲线渐近线的求法 水平渐近线; 垂直渐近线; 斜渐近线 1. 曲线渐近线的求法 水平渐近线; 垂直渐近线; 斜渐近线 2. 函数图形的描绘 按作图步骤进行

平面曲线的曲率 第七节 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 与切线的转角有关 曲线的 弯曲程度 与曲线的弧长有关 主要内容: 一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径

设函数 在区间 内具有连续导数. 基点： 为任意一点 规定： (1) 曲线的正向与 x 增大的方向一致; (2) 当 的方向与曲线正向一致时， s 取正号，相反时， s 取负号.

设 在(a , b)内有连续导数, 其图形为 弧长

或 几何意义: 若曲线由参数方程表示: 则弧长微分为: 表示对参数 t 的导数.

二、曲率及其计算公式 1. 曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量． 弧段弯曲程度与 有关. 转角 、弧段长度 ) ) ) 1. 曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量． 弧段弯曲程度与 有关. 转角 、弧段长度 ) ) ) 弧段弯曲程度越大 转角越大 转角相同 弧段越短弯曲程度越大

注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 对应的切线转角为 定义 弧段 上的平均曲率为 弧段 上的平均曲率为 点 M 处的曲率 注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !

例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小.

2. 曲率K 的计算公式 二阶可导, 设曲线弧 则由 (设 ) 又 故曲率计算公式为 当 时， 有曲率近似计算公式

例2 抛物线 上哪一点的曲率最大？ 解 显然, 当 时， 由于 为抛物线的顶点，因此， 抛物线在其顶点处的曲率最大.

说明: (1) 若曲线由参数方程 给出, 则 (2) 若曲线方程为 则

例3. 椭圆 上哪些点处曲率最大？ 解： 要使 最大， 必有 最小， 此时 最大，

三、曲率圆与曲率半径 设曲线 在点 处的曲率为 在点 M 处的曲线的法线上， 在凹的一侧取一点 D,使得 以 D 为圆心， 为半径作圆， 设曲线 在点 处的曲率为 在点 M 处的曲线的法线上， 在凹的一侧取一点 D,使得 以 D 为圆心， 为半径作圆， M 处的曲率圆. 称此圆为曲线在点 称 D 为曲率中心 称 为曲率半径.

曲率圆与曲线在点 M 处有以下关系： 1. 有共同的切线，即曲率圆与曲线在点 M 处相切. 2. 有相同的曲率. 3. 因此，圆和曲线在点M处具有相同的一阶和 二阶导数. 曲线弧的近似代替：曲率圆(弧).

内容小结 运用微分学的理论, 研究曲线和曲面的性质的数学分支—— 微分几何学. 基本概念: 弧微分, 曲率, 曲率半径. 1. 弧长微分 或 运用微分学的理论, 研究曲线和曲面的性质的数学分支—— 微分几何学. 基本概念: 弧微分, 曲率, 曲率半径. 1. 弧长微分 或 2. 曲率公式 3. 曲率半径

作 业 P169. 3, 4; P177. 1; P183. 15 作业提交时间：2012年11月26日上午8:00AM

思考与练习 1. 曲线 (A) 没有渐近线； (B) 仅有水平渐近线； (C) 仅有铅直渐近线； (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.

2. 求曲线 的渐近线. 解: 所以有铅直渐近线 及 又 为曲线的斜渐近线 .

3. 设 , 填表并作函数的图形. 单增区间 单减去间 最 大 值 最 小 值 极 大 值 极 小 值 渐 近 线 拐 点

备用题部分 1. 求椭圆 在何处曲率最大? 解: K 最大 最小 求驻点:

计算驻点处的函数值: 设 则当 时， 取最小值， 从而 K 取最大值 . 这说明椭圆在点 处曲率最大. K 最大 最小

2. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 2. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 由上题知, 椭圆在 处曲率最大, 即曲率半径最小, 且为 显然, 砂轮半径不超过 时， 才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题.