布題、解題與溝通 台南大學數學教育學系 葉啟村

前言 一折漫畫笑話： 第一張圖老師問：「桌子上有５顆糖果，哥哥吃掉２顆，剩下幾顆？」 第二張圖學生回答：「沒有剩下，因為哥哥會把它吃光。」 第三張圖老師很生氣的問：「伸出你的手指頭，５根手指頭剁掉２根，會怎樣？」 第四張圖學生很緊張很謹慎的回答：「會殘廢」。

布題 範例一：(Piaget) ○　○　○　○　○　○　 　╳　╳　╳　╳　╳　╳ 　 ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ ╳ １

範例二：(Jacques Mehler & Tom Bever) ○　　　○　　　○　　　○　　　　　 　 　　 ╳　╳　╳　╳　╳　╳ 將 (1) 改以巧克力呈現，並向試測兒童說：「你可以從兩排中挑選一排吃下．」大多數兒童都能挑選較多的一排．

三個布題案例 低年級學童第一次面對問題：「一枝筆賣５元，買４枝筆要多少元？」請問，你的班上是否有學童以算式「５＋４＝（９）」作答呢？ 當第一次要從事的「十二分之一」命名教學時，採用問題：「一打鉛筆12枝，一枝是多少？」你覺得欠缺了什麼？ 你覺得問題：「圓錐體有幾個頂點？幾個邊？幾個面？」有何瑕疵？

數學問題的型式 情境模式 例如：下圖中哪種顏色的棋子比較多？多幾顆？ ●●●●● ○○○○○○○○ 語言文字模式 　　●●●●● 　　○○○○○○○○ 語言文字模式 例如：這裡有５個黑子、８個白子，誰比較多？多幾顆？ 數學符號模式（計算題） 例如：８－５＝（？）

你覺得學童解下列問題時哪一個較易出錯？ 情境模式 例如：下圖中哪種顏色的棋子比較多？多幾顆？ ●●●●● ○○○○○○○○ 語言文字模式 　你覺得學童解下列問題時哪一個較易出錯？ 情境模式 例如：下圖中哪種顏色的棋子比較多？多幾顆？ 　　●●●●● 　　○○○○○○○○ 語言文字模式 例如：這裡有５個黑子、８個白子，誰比較多？多幾顆？ 數學符號模式（計算題） 例如：８－５＝（？）

如何幫助學童解決語言文字問題 請比較下列兩個問題： 公車上原來有５個人，下去３個人，然後又上來２個人，請問公車上現在有多少人？ 游泳池內原來有５個人，下去３個人，然後又上來２個人，請問游泳池內現在有多少人？ ５－３＋２＝４ ５＋３－２＝６

公車上原來有５個人，下去３個人，然後又上來２個人，請問公車上現在有多少人？ 　公車上原來有５個人，下去３個人，然後又上來２個人，請問公車上現在有多少人？

游泳池內原來有５個人，下去３個人，然後又上來２個人，請問游泳池內現在有多少人？ 　游泳池內原來有５個人，下去３個人，然後又上來２個人，請問游泳池內現在有多少人？

語言文字模式的理想解題過程 數學符號模式 語言文字模式 情境模式

如果你的班上解問題：「一枝筆賣５元，買４枝筆要多少元？」有學童以算式「５＋４＝（９）」作答時，如何處理？

有時候既使回到情境模式，學童解題仍有障礙，應如何解決？ 　有時候既使回到情境模式，學童解題仍有障礙，應如何解決？ 其實本問題牽涉到教師專業問題，茲以兩個例子來說明：

第一個案例 Ｑ１：下面桌子上的杯子，左邊比較多還是 　　　右邊比較多？ Ａ１：平手。 左邊 右邊

第一個案例 Ｑ２：現在桌子上的杯子，左邊比較多還是 　　　右邊比較多？ Ａ２：右邊。 Ｑ３：多幾個？ Ａ３：多１個。 左邊 右邊

第一個案例 Ｑ４：現在桌子上的杯子，左邊比較多還是 　　　右邊比較多？ Ａ４：右邊。 Ｑ５：多幾個？ Ａ５：多３個。 左邊 右邊

第一個案例 Ｑ：下面桌子上的杯子，左邊比較多還是 　　右邊比較多？ 左邊 右邊

下面桌子上的杯子，左邊比較多還是右邊比較多？多幾個？ 　下面桌子上的杯子，左邊比較多還是右邊比較多？多幾個？ 左邊 右邊

第二個案例 當第一次要從事的「十二分之一」命名教學時，採用問題：「一打鉛筆12枝，一枝是多少？」你覺得欠缺了什麼？

分數的意義 均等分割活動 合成活動 部分－全體的關係

均等分割活動 連續量 把一條繩子五等份． 把一塊披薩分成五等份． 單一獨立物 把一條５公分長的繩子五等份． 一盒蘋果有５個，把它分成五等份． 　把一條繩子五等份． 　把一塊披薩分成五等份． 單一獨立物 　把一條５公分長的繩子五等份． 　一盒蘋果有５個，把它分成五等份． 多個獨立物 　一盒蘋果有２０個，把它分成五等份．

合成活動 合成幾份 一打鉛筆12枝，平分成12份。拿出3份是多少打鉛筆？ 合成幾個單位分量。 　　　一打鉛筆12枝，平分成12份。拿出3份是多少打鉛筆？ 合成幾個單位分量。 　　　一打鉛筆12枝，平分成12份。一份是1/3打鉛筆，拿出3個1/3打，是多少打？

部分－全體的關係 例如：全班有20人。 甲說：我們班上有「2/5」的人不及格 乙說：我們班上有8人不及格。 問：上述兩人說法有何不同？

使用量詞的問話來凸顯部分－全體的關係 例如： 一打鉛筆12枝，平分成12份。拿出3份是多少打鉛筆？ 一塊披薩平分成12份，拿出3份是多少塊披薩？

你覺得下列問題有何瑕疵？ 圓錐體有幾個頂點？幾個邊？幾個面？ 甲錶每天快１分１４秒，乙錶每天慢８秒。請問一週後，兩錶的時間相差多少？

解題工具 這裡有多少元？ 問題Ａ：                問題Ｂ：    　　               問題Ｂ： 　　   你覺得上述兩個問題哪一個比較簡單？

如果我們用英文字母 a,b,c,d,e,…來數錢，例如：a元就是１元；b元就是２元；e元就是５元…。這裡有多少元？ 問題Ａ： 　　               問題Ｂ： 　　   你覺得上述兩個問題哪一個比較簡單？

如果我們在第一次敎乘法問題，學生解問題：「一盒蘋果有６個，７盒蘋果有幾個？」時，直接用九九乘法表說：「因為「六、七、四十二」，所以是４２個」。 教師是否接受？ 如果不接受應如何處理？

問題Ｂ：一盒蘋果有６個，１ 盒換成假分數要說是多少盒？ 問題Ａ：把１　化成假分數？ 學生常犯錯誤類型為　　，應如何解決？ 問題Ｂ：一盒蘋果有６個，１　盒換成假分數要說是多少盒？ 問題Ｃ：一盒蘋果有６個，１　盒是多少 　個，換成假分數的說法是多少盒？ ６ 11 ６ １ ６ １ ６

２ ＋ ３ ＝ ５ ２＋３為什麼等於５？ 在一年級時都這麼處理： 第一步：先畫出２個圈圈代表２。（做數） 第二步：先畫出３個圈圈代表３。（做數） 第三步：現在數一數共有多少個圈圈。（數數） ◎ ◎ ◎ ◎ ◎ ２ ＋ ３ ＝ ５

同分母的分數加減法 有一位學童說 2/3+2/3=4/6 ，他的說法如下： 你知道他哪裡錯了嗎？ ●●○ ●●○ ＋ 2/3 ＝ 4/6 ＝ 4/6 2/3

2/3+2/3為盒4/6 第一步：一盒蘋果有３個，請你拿出2/3盒蘋果。（做數） 第二步：請你再拿出2/3盒蘋果。（做數） 第三步：現在數一數共有多少個蘋果？用分數說說看是多少盒（描述活動） ２＋３為什麼等於５？ 第一步：先畫出２個圈圈代表２。（做數） 第二步：先畫出３個圈圈代表３。（做數） 第三步：現在數一數共有多少個圈圈。（數數）

分數的描述活動 一盒蘋果１２個，１０個是多少盒？ 一盒蘋果１２個，平分成１２份，１０個是多少盒？ 一盒蘋果１２個，平分成６份，１０個是多少盒？ 一盒蘋果１２個，平分成６份，一份是２個，請問１０個是多少盒？

一盒蘋果１２個，請問 1/2 盒和 1/3 盒合起來是多少盒？ 　一盒蘋果１２個，請問 1/2 盒和 1/3 盒合起來是多少盒？ 成人解法：利用擴分解決。 學童法： 第一步：一盒蘋果１２個，請你拿出 1/2 盒蘋果，也就是６個。（做數） 第二步：一盒蘋果１２個，請你拿出 1/3盒蘋果，也就是４個。（做數） 第三步：數一數合起來有幾個，用分數說說看是多少盒？（描述活動）

結與與建議 布題時應注意學童是否聽得懂題目，尤其是語言文字布題時，更需注意學童是否知悉題目所描繪的情境。必要時，可輔以具體物操作幫助學童了解題目後，再布類似題？ 學生解題時，應注意學生的預備知識是否完備，學生的解題工具是否與教學目標有差距？必要時，可輔以分段布題的方式建立解題工具，再行布類似題。

（給家長的話）當我們對學童從事補救教學時，應盡量避免直接將成人解法注入式的敎給學童。而應先了解學童解題時的困境，必要時可與教師連絡，再進行補救教學。