第五章 矩阵与行列式 §5.4 逆矩阵 §5.5 矩阵的初等变换
§5.4 逆矩阵 设给定线性方程组 根据矩阵的乘法，以上线性方程组可表示成矩阵形式 其中
分析代数方程 的求解过程，对于求解矩阵方程会有新的启发．
逆矩阵的概念与性质 定义5.7 对于 阶矩阵 ，如果有矩阵 ,使得 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵．
的逆矩阵是唯一 . 证：设B、C都是A的逆矩阵，则有 所以A的逆矩阵是唯一的. 的逆矩阵记作 ， 即若 ，则 ．
可逆矩阵及其逆矩阵的性质 性质5.7 可逆矩阵 的逆矩阵 也是可逆矩阵，并且 性质5.8 非零数 与可逆矩阵 的乘积矩阵 也是可逆矩阵，并且
性质5.9 两个同阶可逆矩阵的乘积矩阵是可逆矩阵，并且 性质5.10 可逆矩阵的转置矩阵是可逆矩阵，并且
方阵可逆的条件 伴随矩阵 设n阶方阵 由方阵 中元素 的代数余子式 按转置方式排成的 阶方阵，称为方阵 的伴随矩阵，记作
定理5.3 阶方阵 可逆的充分必要条件是 并且当 可逆时， 的逆矩阵可表示为 其中， 是 的伴随矩阵． 上述定理不仅说明了方阵可逆的条件，而且在方阵可逆的情况下，给出了应用伴随矩阵求逆矩阵的方法．
练习5.12 求矩阵 使满足 其中 解：若 存在，则用 左乘上式， 右乘上式，有 即 可解得 ， ，故知 都可逆．且
得
所以 同样可得出 于是
§5.5 矩阵的初等变换 消元法解线性方程组 解：
只需用“回代”的方法便能求出解： （其中c为任意常数） 或者
线性方程组的同解变换与矩阵的初等变换 (1) 互换两个方程的位置； (1) 对调i,j两行 (2) 用一个非零的数乘一个方程． (3) 用一个数乘一方程加到另一方程； (3) 把j行的k倍加到i行 矩阵的 初等行变换 线性方程组的同解变换 矩阵的 初等变换 矩阵的 初等列变换
用行初等变换求逆矩阵 将n阶可逆矩阵A与n阶单位矩阵E并列， 构成一个n*2n矩阵[A E]． 初等行变换 在事先不知道方阵 是否可逆的情况下，应用上述方法可以同时判断 的可逆性． 如果经过若干次行初等变换后，发现在左边的方阵中有一行元素全为零，则意味着 不可逆，此时 不存在．
练习5.13 用行初等变换的方法判断下列方阵是否可逆，如果可逆，求其逆矩阵． 解：
于是求得 的逆矩阵为
至此，左边的方阵中最后一行元素全部为零，所以 不可逆，即 不存在．
习 题 习题1 求A,B的逆矩阵． 解：
习题2 在应用三的货物交换经济模型中, 如果交换系统由下表给出, 试确定农作物的价值x1, 农具及工具的价值x2, 织物的价值x3的比值.
解: 根据上表可得关于 的三个齐次方程如下: 对系数矩阵做行初等变换:
可见方程有非零解, x3为自由变量, 令x3=t为任意正实数, 则有x1=x2=x3=t, 即三种价值的比值为1:1:1.
自测题 1.设 A= ，求A的逆矩阵 。
2.设矩阵 A= ，求出 . 3.求A= 的秩 答案为： 答案为：2