第九章 多元函数微分法 及其应用 一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同

第一节 多元函数的基本概念 一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性

一、 区域 1. 邻域 称为点 P0 的 邻域. 点集 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 点 P0 的去心邻域记为

在讨论实际问题中也常使用方邻域, 方邻域与圆 邻域可以互相包含. 。 平面上的方邻域为

2. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P :  若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 则称 P 为 E 的内点；  若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E =  , 则称 P 为 E 的外点 ;  若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点. 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .

(2) 聚点 若对任意给定的, 点P 的去心 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 所有聚点所成的点集称为 E 的导集 . 内点一定是聚点； 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 )

例 (0,0)是边界点也是聚点,但不属于集合． 都是边界点也是聚点，也都属于集合．

(3) 开区域及闭区域  若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；  E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;  若点集 E E , 则称 E 为闭集；  若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 则称 D 是连通的 ; D  连通的开集称为开区域 ,简称区域; 。 。  开区域连同它的边界一起称为闭区域.

例如，在平面上  开区域   闭区域 

 整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ;  点集 是开集， 但非区域 .  对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点 A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 界域 .

*3. n 维空间 n 元有序数组 的全体所构成的集合记作 即 中的每一个元素用单个粗体字母 x 表示, 即 如：

定义: 线性运算 称为 n 维空间, 定义了线性运算的 其元素称为点或 n 维向量. xi 称为 x 的第 i 个坐标 或 第 i 个分量. 中的坐标原点或零向量. 中两点 的距离定义为 记作

与零元 0 的距离为 特别地，点 当 时， 通常记作 若 中的变元 与定元 满足 则称 x 趋于a , 记作 显然 设 中点 a 的  邻域为

二、多元函数的概念  圆柱体的体积  定量理想气体的压强 (R 为常数)，  三角形面积的海伦公式

定义1. 设非空点集 映射 称为定义 在 D 上的 n 元函数 , 记作 点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数

例如, 二元函数 定义域为 圆域 图形为中心在原点的上半球面. 说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y)  D 的图形一般为空间曲面  . 三元函数 定义域为 单位闭球 图形为 空间中的超曲面.

二元函数 的图形 的定义域为 （如下页图） 对应的函数值为 当(x,y) 取遍 对于任意取定 设函数 的 二元函数 的图形 的定义域为 （如下页图） 对应的函数值为 当(x,y) 取遍 对于任意取定 设函数 的 这样，以 x 为横坐标、y 为纵坐标、z 为竖坐标在 空间就确定一点 上一切点 时，得一个空间点集 这个点集称为二元函数的图形.

二元函数的图形通常是一张曲面.

三、多元函数的极限 定义2. 设 n 元函数 点 , 则称 A 为函数 P0 是 D 的聚 若存在常数 A , 对一 记作 都有 对任意正数  , 总存在正数 , 切 在 时的极限， (也称为 n 重极限) 当 n =2 时, 记 二元函数的极限可写作： 或

例1.求 解: 原式

例2. 设 求证: 要证 证: 时总有 当 故

求证： 例3. 设 证： 要证 时 当 总有 故

例4 求极限 解： 其中

 若当点 趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定函数 以不同方式趋于 极限不存在 . 时, 函数 在点 (0, 0) 的极限. 例5. 讨论函数 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有 k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 .

例6 讨论极限 的存在性.

练习 证明 不存在． 证 问题：极限存在吗？ 取 其值随k的不同而变化， 故极限不存在．

不存在. 观察 播放

该函数的定义域 不包括 x , y 轴 例7. 求 因 解: 则 而 故

注. 二重极限 与累次极限 不同. 如果它们都存在, 则三者相等. 仅知其中一个存在, 推不出其他二者存在. 例如, 显然 但由例4 知它在(0,0)点二重极限不存在 .

确定极限不存在的方法： (1) 令 沿 方向趋近 若极限 值与 有关，则可断言极限不存在; 问题：若极限值与k无关，可否断言极限存在？ 令 沿 方向趋近 若极限 (1) 值与 有关，则可断言极限不存在; 问题：若极限值与k无关，可否断言极限存在？ 答：否. (2) (3)

四、 多元函数的连续性 如果 定义3 . 设 n 元函数 定义在 D 上, 聚点 则称 n 元函数 在点 连续. 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 连续.

例如, 函数 在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点. 又如, 函数 上间断. 在圆周

例8 讨论函数 在(0,0)处的连续性． 解 取 当 时 故函数在(0,0)处连续.

多元初等函数：由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子表示的多元函数叫多元初等函数. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．

闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 (有界性定理) 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ; (最值定理) (3) 对任意 (介值定理) * (4) f (P) 必在D 上一致连续 . (一致连续性定理) (证明略)

例9. 求函数 的连续域. 解:

P63 题 5(3). 求函数 的定义域 定义域 P63 题 5(5). 求函数 的定义域

P62 题 8. 函数 在何处是间断的？ 间断点集 P130 题 3. 求函数 的定义域， 并求

内容小结 1. 区域 邻域 : 区域 连通的开集 空间 2. 多元函数概念 n 元函数 二元函数 (图形一般为空间曲面) 常用 三元函数

3. 多元函数的极限 当 时， 有 4. 多元函数的连续性 1) 函数 连续 2) 闭域上的多元连续函数的性质: 有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续

思考题 若点 沿着无数多条平面曲线趋向于点 时，函数 都趋向于 A ，能否断定

思考题解答： 不能. 例 取 但是 不存在. 原因为若取

备用题 1. 设 求 解：令

2. 是否存在？ 解: 利用 所以极限不存在.

3. 证明 在全平面连续. 证: 处， 为初等函数 , 故连续. 又 由夹逼准则得 故函数在全平面连续 .

作 业 P63. 5(2, 4, 6), 6, 7, 9, 10 提交时间：2012年3月5日上午8:00

不存在. 观察

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