第四节 重积分的应用 一、平面区域的面积 二、立体体积 三、曲面的面积 四、物体的质量 五、物体的质心 六、物体的转动惯量 七、物体的引力 第十章 重积分的应用 一、平面区域的面积 二、立体体积 三、曲面的面积 四、物体的质量 五、物体的质心 六、物体的转动惯量 七、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1. 能用重积分解决的实际问题的特点 分布在有界闭域上的整体量 所求量是 对区域具有可加性 2. 用重积分解决问题的方法 用微元分析法 (元素法) 从重积分定义出发 建立积分式 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 机动 目录 上页 下页 返回 结束

一、平面区域的面积 设 D 是 xy 平面上的有界区域，则其面积 对直角坐标，若D是 x 型区域：y1(x) ≤y≤ y2(x) , a ≤ x ≤ b , 则有 若在极坐标下D表示为：

二、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域  的立体的体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1. 求曲面 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积 V . 解: 曲面 在点 的切平面方程为 它与曲面 的交线在 xoy 面上的投影为 (记所围域为D ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积. 解: 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、曲面的面积 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , 则 (称为面积元素) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

故有曲面面积公式 即 若光滑曲面方程为 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若光滑曲面方程为 则有 若光滑曲面方程为隐式 且 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3. 计算双曲抛物面 被柱面 所截 出的面积 A . 解: 曲面在 xoy 面上投影为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4. 计算半径为 a 的球的表面积. （P137—例4） 解: 方法1 利用球坐标方程. 设球面方程为 球面面积元素为 方法1 利用球坐标方程. 设球面方程为 球面面积元素为 方法2 利用直角坐标方程. (见书 P138) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

四、物体的质量 的平面薄板的总质量 M 为 具有面密度 类似地，若一立体 V 的密度为 则其总质量 M 可表示为

例5. 设 V 是曲面 所围 区域， V 中任一点的密度等于该点到 z 轴的距离， 求其质量 M 。 （ P 139—例6 ） 解: 由题设知密度函数为 在柱面坐标下，V的边界曲面为 z = r 与 z = 6 – r2 , r = 6 – r2 解出r = 2 ，于是有

五、物体的质心 设空间有n个质点, 分别位于 其质量分别 为 由力学知, 该质点系的质心坐标 为 设物体占有空间域  , 有连续密度函数 则 采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 公式 , 即: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

将  分成 n 小块, 在第 k 块上任取一点 将第 k 块看作质量集中于点 的质点, 此质点 系的质心坐标就近似该物体的质心坐标. 例如, 令各小区域的最大直径 即得 机动 目录 上页 下页 返回 结束

同理可得 则得形心坐标： 机动 目录 上页 下页 返回 结束

若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, 其面密度 则它的质心坐标为 — 对 x 轴的 静矩 — 对 y 轴的 静矩 (A 为 D 的面积) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6. 求位于两圆 和 之间均匀薄片 的质心. 解: 利用对称性可知 而 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例7. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线 的方程为 若炉 内储有高为 h 的均质钢液, 不计炉体的 自重, 求它的质心. 解: 利用对称性可知质心在 z 轴上， 故 其坐标为 采用柱坐标, 则炉壁方程为 因此 机动 目录 上页 下页 返回 结束

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四、物体的转动惯量 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 设物体占有空间区域  , 有连续分布的密度函数 该物体位于(x , y , z) 处的微元 对 z 轴的转动惯量为 因此物体 对 z 轴 的转动惯量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

类似可得: 对 x 轴的转动惯量 对 y 轴的转动惯量 对原点的转动惯量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

如果物体是平面薄片, 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例8.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 的转动惯量. 解: 建立坐标系如图, 半圆薄片的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例9.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量. 解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴, 设球 所占域为 则 (用球坐标) 球体的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

五、物体的引力 设物体占有空间区域 , 其密度函数 物体对位于原点的单位质量质点的引力 利用元素法, 引力元素在三坐标轴上的投影分别为 G 为引力常数 在上积分即得各引力分量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

对 xoy 面上的平面薄片D , 它对原点处的单位质量质点 的引力分量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

更一般地，设立体的密度 一质量为m 的质点位于点 P0( x0 , y0 , z0 ), 则立体对质点的引力为

例10. 设面密度为μ ,半径为R的圆形薄片 求它对位于点 。 处的单位质量质点的引力. 解: 由对称性知引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例11. 求半径 R 的均匀球 对位于 点 的单位质量质点的引力. 解: 利用对称性知引力分量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

为球的质量 机动 目录 上页 下页 返回 结束

备用题 设有一高度为 ( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其 侧面满足方程 设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 已知体积减少的速率与侧面积成正比 (比例系数 0.9 ), 问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

提示: 记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则 (用极坐标) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100 由题意知 令 得 (小时) 因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100 小时. 机动 目录 上页 下页 返回 结束