第三章 线性系统的时域分析法 系统的数序模型确定后，便可以用多种不同的方法去分析控制系统的动态性能和稳态性能。 时域分析法 在经典控制理论中 根轨迹法 频域分析法 时域分析的一般思路： 优点：直接在时间域对系统进行分析，具有直观、准确的优点，并可以提供系统时间响应的全部信息。

本章内容 3-1 系统时间响应的性能指标 3-2 一阶系统的时域分析 3-3 二阶系统的时域分析 3-4 高阶系统的时域分析 3-5 线性系统的稳定性分析 3-6 线性系统的稳态误差计算 3-7 控制系统时域设计

3-1 系统时间响应的性能指标 本节内容 1.典型输入信号 2.动态过程与稳态过程 3.动态性能与稳态性能

1. 典型输入信号 在控制系统分析和设计中常用的典型输入信号有 时域表达式 复域表达式 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位斜坡函数 单位加速度函数 正弦函数

应用时究竟采用哪一种典型输入信号，取决于系统的常见工作状态； 同时在所有的输入信号中，往往选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。 举例： 室温调节系统和水位调节系统，以及工作状态突然改变或受突然恒定输入作用的控制系统，阶跃函数适合作为典型输入信号； 跟踪通信卫星的天线控制系统，以及输入信号随时间逐渐变化的控制系统，斜坡函数比较适合典型输入； 加速度函数可用来作为宇宙飞船控制系统的典型输入； 当控制系统的输入信号是冲击输入量时，采用脉冲函数最为合适； 当系统的输入作用周期性变化时，可选择正弦函数作为典型输入。（轮船）

2. 动态过程与稳态过程 动态过程 控制系统的时间响应（两部分组成） 稳态过程

（1）动态过程（过渡过程或瞬态过程）：指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的响应过程。 动态过程可提供稳定性、快速性等信息。 稳定性是实际系统工作的前提。 （2）稳态过程（稳态响应）：稳定的系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统输出最终复现输入量（或输入量的函数）的程度。 稳态过程提供稳态误差（准确性）的信息

当系统的输入信号为阶跃信号时，系统的输出可能为： 稳定性的直观认识： 当系统的输入信号为阶跃信号时，系统的输出可能为： （共振问题） 振荡器临界稳定等

2. 动态性能与稳态性能 动态性能指标 性能指标 稳态性能指标 动态性能指标：描述稳定的系统在单位阶跃函数的作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标。 稳态性能指标：主要指系统的稳态误差，即时间趋于无穷时，系统的输出量与输入量（或输入量的确定函数）之间的差值。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。 注：性能指标是就稳定系统而言的。

动态性能指标（阶跃输入） 上升时间 ： 延迟时间 ： 峰值时间 ： 调节时间 ： 振荡——第一次上升到终值所需时间； 上升时间 ： 非振荡——从终值的10%上升到终值的90%所需的时间； 延迟时间 ： 第一次达到其终值一半所需的时间； 峰值时间 ： 超过其终值后，到达第一个峰值所需的时间； 调节时间 ： 到达并保持在终值±5%(或±2%)的误差带内所需的最短时间。

评价系统整个过渡过程的响应速度，是响应速度和阻尼程度的综合指标。 超调量 ： 显然 若 则响应无超调 实际中，常用的动态性能指标 评价系统起始段的响应速度； 评价系统整个过渡过程的响应速度，是响应速度和阻尼程度的综合指标。 评价系统的阻尼程度； 思考：稳态误差从图中怎么看？

3-2 一阶系统的时域分析 一阶系统定义：能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。 本节内容 1. 一阶系统的数学模型 2. 一阶系统的单位阶跃响应 3. 一阶系统的单位脉冲响应 4. 一阶系统的单位斜坡响应 5. 一阶系统的单位加速度响应

1.一阶系统的数学模型 举例

惯性环节 一阶系统

典型的一阶系统 工程实践中，一阶系统不乏其例。有些高阶系统的特性，常可用一阶系统的特性来近似表征。

2.一阶系统的单位阶跃响应 。（一阶系统时间常数的确定方法） 4）无超调量与峰值时间 稳态分量与瞬态分量组成 。（一阶系统时间常数的确定方法） 4）无超调量与峰值时间 5） T反映系统的惯性，也称惯性系数，惯性越小，响应越快；惯性越大，响应越慢。

3.一阶系统的单位脉冲响应 3）若定义该指数曲线衰减到其初始的5%所需的时间为脉冲响应调 节时间，则仍有

系统（闭环）传递函数与脉冲响应函数之间是拉氏变换的关系，即： 讨论： 系统（闭环）传递函数与脉冲响应函数之间是拉氏变换的关系，即： 1）在初始条件为零的情况下，一阶系统的闭环传递函数与脉冲响应函数之间，包含着相同的动态过程信息。这一特点同样适用于其他各阶线性系统，因此常以单位脉冲输入信号作用于系统，根据被测定系统的单位脉冲响应，可以求得被测系统的闭环传递函数。 2）工程上无法得到理想的单位脉冲函数，常用具有一定脉宽b和有限幅度的矩形脉动函数来代替。为了得到近似度较高的脉冲响应函数，要求实际脉动函数的宽度b远小于系统的时间常数T。一般规定b<0.1T。

4.一阶系统的单位斜坡响应 单位斜坡响应的初始速度斜率为零，即初始速度为零，这点与阶跃响应不同。在初始状态下，输出速度与输入速度误差最大。

4.一阶系统的单位加速度响应

一阶系统时域分析小结

强调： 线性定常系统的重要特性： 系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数。 该结论不适于线性时变系统与非线性系统。 用途： 研究线性定常系统的时间响应时，不必对每种输入信号形式进行测定和计算，往往只取其中一种典型形式进行研究即可。

Matlab与Simulink的初步应用 一阶系统的闭环传递函数为 Matlab文本: G=tf([1],[0.1 1]) %一阶系统时间常数T取为0.1 step(G) impulse(G) 简单介绍一下m文件的用法 Simulink 用法

课前提问

3-3 二阶系统的时域分析（非常重点、难点） 二阶系统定义：能够用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。 本节内容 0. 预备知识 1. 二阶系统的数学模型 2. 二阶系统的单位阶跃响应 3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 4. 过阻尼二阶系统的动态过程分析 5. 二阶系统的单位斜坡响应 6. 二阶系统性能的改善 7. 非零初始条件下二阶系统的响应过程

0.预备知识 1）几个容易混淆的概念 系统描述 零状态响应，即系统仅有外作用输入引起的输出响应（初始状态为零）。也称，零初始条件响应或强迫运动。 零输入响应，即系统没有外作用输入，仅靠初始状态引起的响应。也称非零初始状态响应或自由运动。 全响应：零状态响应+零输入响应

数学上，线性微分方程的解由特解和通解组成。 通解由微分方程的特征根所决定。 如果n阶微分方程的特征根是 1）运动的模态 （教材P29） 数学上，线性微分方程的解由特解和通解组成。 通解由微分方程的特征根所决定。 如果n阶微分方程的特征根是 且无重根，齐次微分方程的通解是它们的线性组合，即 称为该微分方程所描述运动的模态,也叫振型。 每一种模态代表一种类型的运动形态。 则把函数 各个模态的图像为单调增或者单调减的。

各个模态的图像为震荡衰减或者震荡发散的。 如果特征根中有多重实根 ，则模态会具有如 的函数； 如果特征根中有共轭复根 ，则其具有共轭复模态 与 ， 还可写成实函数模态的形式，即 与 各个模态的图像为震荡衰减或者震荡发散的。 讨论： 对用微分方程描述的控制系统来说，其微分方程的特征根决定了系统输出中所包含的各种运动模态。

3）传递函数的极点和零点对输出的影响 （教材P32） a. 传递函数的极点就是系统微分方程的特征根，因此传递函数极点决定了所描述系统的自由运动模态。 而在强迫运动中，也会包含这些自由运动的模态。 令 则 b. 传递函数的零点并不形成自由运动模态，但是他们却影响各模态在响应中所占的比重，因而也影响曲线的形状。

可见，模态的概念便于我们定性分析系统响应的大致曲线。 举例： 极点为-1和-2，零点为-3，自由运动的模态是 和 。当 ， 即 时，可求得系统的零初始条件响应（强迫运动）为 式中，前两项具有与输入函数相同的模态，后两项包含了由极点-1和-2形成的自由运动模态。 后两项是系统的固有成分，但系数与输入函数有关，可以认为这两项是受输入函数激发而形成的。 这意味着传递函数的极点可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态。 可见，模态的概念便于我们定性分析系统响应的大致曲线。 参照一阶系统的小结，理解一下一阶系统输出响应中的自由运动模态。

设具有相同极点但零点不同的传递函数分别为： 在零初始条件下，它们的单位阶跃响应分别是

a.系统传递函数极点决定的自由运动模态和输入函数的模态决定了系统输出的大致曲线形状。 结论 a.系统传递函数极点决定的自由运动模态和输入函数的模态决定了系统输出的大致曲线形状。 b.系统传递函数零点不形成系统输出的模态，但会影响输出模态的比例系数。 详见常微分方程的解法的相关书籍

1.二阶系统的数学模型 a） b） c） 在控制工程中，不仅二阶系统的典型应用极为普遍，而且不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系统的特性来表征。因此，着重研究二阶系统的分析和计算方法，具有较大的实际意义。

d） 注意：一般认为 e）

系统稳定， 系统临界稳定， 系统不稳定

以阶跃响应为例 稳定情况 无阻尼情况 （临界稳定） 不稳定情况：

1.共轭根是成对出现的，且响应形式是振荡的，若都出现在虚轴左侧是则是衰减振荡，若都出现在虚轴右侧是发散振荡。 S平面的虚轴是稳定与否的分界线。 2.若为纯虚根（都在虚轴上），则为等幅度振荡； 3.若为实根（都在实数轴上），则为单调增或单调减，虚轴左侧为单调减，虚轴右侧为单调增。

2.二阶系统的单位阶跃响应 (1)欠阻尼系统（ ）的单位阶跃响应

(2)临界阻尼（ ）系统的单位阶跃响应 (3)过阻尼（ ）系统的单位阶跃响应

标准二阶系统的单位阶跃响应曲线 在过阻尼和临界阻尼响应曲线中，临界阻尼响应具有最短的上升时间，响应速度最快 在欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短，通常取 ， 此时超调量适度，调节时间较短； 若二阶系统具有相同 的和不同的 ，则其振荡特性相同但响应速度不同， 越大，响应速度越快。

Matlab 实验 二阶欠阻尼系统 单位阶跃响应matlab文本：kos可调。 wn=[2]; kos=[0.6]; num=wn^2; den=[1,2*kos*wn,wn^2]; t=0: 0.02:8; figure step(num,den,t);grid hold on

3. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析

半个震荡周期

讨论 从上述各项性能指标的计算式可以看出，各指标之间是有矛盾的。 比如，上升时间和超调量的关系，即响应速度和阻尼程度的关系，不能同时达到满意的效果。（想要速度快，则超调大；想超调小，则速度慢） 因此，对于既要增强系统的阻尼程度（即超调量小），又要系统具有较高响应速度的二阶控制系统设计，需要采取合理的折中方案或者补偿方案，才能达到设计目的。

补充：

单位脉冲响应曲线与时间轴包围的代数面积为1 因为阶跃响应稳态为1，所以阴影部分面积的代数和为1

5.二阶系统的单位斜坡响应 （3）初始速率也为0

欠阻尼二阶系统单位斜坡响应的动态过程分析 响应表达式 误差响应 稳态误差 误差响应峰值时间 误差响应最大偏离量 调节时间5% 与 变化方向一致

6.二阶系统性能的改善（副标题：控制器设计初步认识） 1）二阶系统中参数选择存在的矛盾 a) 比例控制器的认识 标准形式的二阶系统结构图与传递函数 实际中常见的二阶系统的结构图（如教材P77，P85） 实际情况下，只有K值是方便调节的，可看作是比例控制器。

一定， 响应速度速度快 矛盾 阻尼小，超调大 矛盾 b) 二阶系统中参数选择存在的矛盾 标准二阶系统性能指标之间的矛盾：上升时间与超调量之间的矛盾（即响应速度与阻尼比之间的矛盾） 一定， 响应速度速度快 矛盾 阻尼小，超调大 实际中通常要求超调量不能太大，而且响应时间要快。 仅参数K可调节引起的矛盾 矛盾 实际中，通常要求 要足够大，而 要不宜太小（无论阶跃响应还是斜坡响应）； 即使能找到合适的开环增益，但系统也不一定能满足在扰动作用下的稳态误差的要求； 高精度控制系统中，开环增益要足够大，以减小非线性因素的对控制精度的影响。

基于以上原因，针对二阶系统必须研究其它的控制方式，以改善系统的动态性能和稳态性能。 比例微分控制（器） 二阶系统性能改善的常用方法 测速反馈控制（器）

a) 比例微分控制（PD控制） 数 比例控制和微分控制参数调节合理，可以有效提高二阶系统的性能。 PID控制器中的一种。PID控制器实际应用中，参数以经验调节为主。（P256)

b) 测速反馈控制 在电机控制中，测速反馈应用非常多。

7.非零初始条件下二阶系统的响应过程

3-4 高阶系统的时域分析 在控制工程中，严格讲，几乎所有的控制系统都是高阶的。 很多高阶系统可以用一、二阶系统来近似（响应曲线接近）。 对于不能用一、二阶系统来近似的高阶系统，其动态性能指标的确定比较复杂。工程上常采用闭环主导几点的概念对高阶系统进行近似分析，或者直接应用Matlab软件进行高阶系统的分析。 本节内容 1.高阶系统的数学描述 2.高阶系统的时域分析方法 3.闭环极点位置对系统性能的影响 4.高阶系统闭环主导极点

1.高阶系统的数学描述

2.高阶系统的时域分析方法 1）利用matlab软件 2）解析法 Matlab 文本 sys=tf([b0 b1 b2 b3 …bm],[a0 a1 a2…an]); %高阶系统建模 Step(sys);

解析法

例3-6 设三阶系统闭环传递函数为 解 将上式进行因式分解得 试确定其单位阶跃响应。 解析法 由于 ，所以 其部分分式为 例3-6 设三阶系统闭环传递函数为 试确定其单位阶跃响应。 解析法 解 将上式进行因式分解得 由于 ，所以 其部分分式为 式中 ， 与 共轭。 可以算出 对部分分式拉式变换得

Matlab计算： num0=5*[1 5 6];den0=[1 6 10 8]; sys0=tf(num0,den0); step(sys0) %蓝线 hold on sys1=zpk([-2 -3],[-0.5 -1-j -1+j],0.625); step(sys1) %绿线 sys2=tf([10 40 30],[1 6 10 8]); step(sys2) %红线 a. 若改变上题的闭环传递函数，使一闭环极点靠近虚轴，即令 其中，增益因子的改变是为了保持 不变。 绘制系统单位阶跃响应如图绿线所示。（结论:闭环极点负实部的绝对值越大，衰减的越迅速，反之缓慢） b. 若改变上题的闭环传递函数的零点，使 绘制系统的单位阶跃响应曲线如图红线所示。（结论：系统时间响应的类型虽然取决于闭环极点的性质和大小，然而时间响应的形状却与闭环零点有关。）

3.闭环极点位置对系统性能的影响（以三阶系统为例） 震荡特性弱于单调衰减 震荡特性强于单调衰减 时间响应的形状与闭环零点也有关系。

4.高阶系统闭环主导极点（重点知识点） 预备知识：对于稳定的高阶系统，其闭环极点分布在左半S开平面上，其零点分布也不同，但是就距离虚轴的举例来说，只有远近之别。 闭环主导极点的定义：靠近虚轴，且附近没有闭环零点，而其它闭环极点与虚轴的距离都比该极点与虚轴距离大3或5倍以上的闭环极点称为高阶系统的闭环主导极点。高阶系统的动态性能常可用主导极点构成的二阶系统动态性能来近似。 注：1）闭环主导极点可以是实数也可以是复数。 2）工程上往往将高阶系统调整到有一对共轭复数的主导极点，这时可以用二阶系统的动态性能来近似高阶系统的动态性能，便于系统分析。

用例题来验证闭环主导极点构成的二阶系统是否能有效近似高阶系统 例3-7 已知某系统的闭环传递函数为 试结合主导极点的概念分析该四阶系统的动态性能。 解：改写系统的闭环传递函数，可得 利用matlab的零极点绘图命令pzmap,可得该四阶系统的零、极点分布。如图。由图并根据主导极点的概念，可知该高阶系统具有一对共轭复数主导极点 ，且非主导极点 实部的模比主导极点实部的模大三倍以上，闭环零点 不在主导极点附近，因此该四阶系统可以近似成如下的二阶系统进行分析。 （ 不变） Matlab: sys=zpk([-2.1],[-8 -2 -0.5+0.866*j -0.5-0.866*j],8) sys1=tf([1.05],[1 1 1]); step(sys) hold on step(sys1) pzmap(sys)

绿线为近似二阶系统阶跃响应曲线

讨论： 事实上，高阶系统毕竟不是二阶系统，因而在用二阶系统进行性能分析时，还需要考虑其他非主导闭环极点和零点对系统动态性能的影响。 1）闭环零点的影响：闭环零点会减小系统阻尼，并且这种作用将随闭环零点接近虚轴而加剧。 2）闭环非主导极点的影响：闭环非主导极点可以增大系统阻尼，并且这种作用将随闭环极点接近虚轴而加剧。 3）若闭环零、极点彼此接近，则它们对系统响应速度的影响会相互抵消。 相距很近的闭环极点与闭环零点构成一对闭环偶极子。 在设计高阶系统时，常利用主导极点的概念来选择系统参数，使系统具有一对复数共轭主导极点，并利用matlab对系统进行动态性能的初步分析。

思考：偶极子的作用 当高阶系统没有明显的主导极点时，可以利用添加适当位置的极点或者零点和原来系统的零点或者极点构成偶极子，相互抵消掉之后，突出了原来系统主导极点的作用。 当可以构成闭环主导极点的极点附近有闭环零点时，可以考虑添加一个较近的闭环极点构成偶极子。这样，偶极子抵消掉之后，便可以使原来的闭环主导极点形成。 当可以构成闭环主导极点的极点附近有另外一个极点时，可以考虑添加一个较近的闭环零点构成偶极子，抵消掉较近的那个极点，便可以使原来的闭环主导极点形成。 类似约分作用，但实际上控制系统内部的某些零极点是必然存在的，只能抵消而不能约分掉。

3-5 线性系统的稳定性分析（非常重点） 稳定性问题是控制理论研究的最基本问题和重要问题。 稳定性是控制系统的重要性能，是系统能够正常运行的首要条件。如果系统不稳定，系统的动态性能就无从谈起。 如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。不稳定的系统是没有什么工程价值的。 本节内容 1.稳定性的基本概念 2.线性系统稳定的充分必要条件 3.稳定性判据 4.稳定性判据的应用

1. 稳定性的基本概念（初步认识稳定性） 稳定性的直观定义1 稳定性是指，由于扰动的作用使系统的工作状态发生变化，若经过一定的时间后能恢复到原来的平衡状态或其附近的容许邻域内，则称系统是稳定的；若随着时间的推移偏离原来的平衡状态愈来愈厉害，则称系统是不稳定的。 稳定性的直观定义2 根据李亚普诺夫稳定性理论，线性控制系统的稳定性可定义如下： 线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零（原平衡工作点），则称系统渐近稳定，简称稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。 即：自由运动趋于零。 扰动消失后，系统恢复到原来平衡状态的能力。

从数学上讲： 暂态分量=0 稳定性的概念 从实际意义上讲：受扰后仍能恢复到原平衡状态

注： 1）通常稳定与不稳定是针对某个平衡点（工作点）来说的。 2）线性系统的稳定性只取决于系统自身的固有特性，与外界条件无关。 3）不稳定的系统是没有什么工程价值的。 4）线性系统的平衡状态稳定性和运动稳定是等价的。（线性系统有且只有一个稳定的平衡点）

2. 线性系统稳定的充分必要条件 运动稳定（举例阶跃响应） 平衡状态稳定（脉冲响应）

证明 稳定性定义表明，线性系统的稳定性仅仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。 因此，设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲 ，这时系统的输出增量为脉冲响应 。这相当于系统在扰动信号作用下（任何输入均可看做是一种扰动），输出信号偏离原平衡工作点的问题。若 时，脉冲响应 即输出增量收敛于原平衡工作点，则线性系统是稳定的。 设系统的闭环传递函数为 且设 为特征方程的根，并且彼此不等。那么，由于 的拉氏变换为1，所以系统输出增量的拉氏变换为

将上式进行拉式反变换，并设初始条件为零，可得系统的脉冲响应为 将上式展成部分分式，并设 ，可得 式中， 是 在闭环实数极点 处的留数，可按下式计算： 和 是 在闭环复数极点 处的留数有关的常系数。 将上式进行拉式反变换，并设初始条件为零，可得系统的脉冲响应为

证毕 讨论： 1）上式表明，当且仅当系统的特征根全部具有负实部时，系统最后的响应值才能最终趋于零； 2）若特征根中有一个或一个以上正实部根，则系统不稳定。 3）若特征根中有一个或一个以上零实部根，而其余的特征根均具有负实部，则脉冲响应趋于常数，或趋于等幅正弦振荡，按照稳定性定义，此时系统不是渐进稳定的，在经典控制论中，通常称这种情况为不稳定。 证毕 证明过程利于理解稳定性的定义

3. 稳定性判据 利用闭环系统特征根的分布可以判断系统的稳定性，但是求系统的特征根通常计算量较大。不利于使用。 劳斯（Routh)和赫尔维茨(Hurwitz)分别于1877年和1895年独立提出了判断系统稳定性的代数判据，称为劳斯-赫尔维茨稳定判据。 代数方程根与系数的关系可以证明这两个判据。 劳斯稳定判据 赫尔维茨稳定判据

1）劳斯稳定判据（考研，考试重点） a)

b)

例3-9

例 3-10

2）赫尔维茨稳定判据（知道就行，可以不掌握）

重要

4. 稳定判据的应用 以及确定不稳定的特征根分布情况 及相对稳定性或稳定裕度 例 3-11

3-6 线性系统的稳态误差计算 控制系统的稳态误差，是系统控制准确度（控制精度）的一种度量，通常称为稳态性能。 （考试、考研重点） 控制系统的稳态误差，是系统控制准确度（控制精度）的一种度量，通常称为稳态性能。 控制系统的稳态误差是不可避免的，控制系统设计的任务之一就是减小系统的稳态误差。 前提：只有稳定的系统，研究稳态误差才有意义。 本节主要研究对象：原理性误差的计算方法，即由系统结构、输入作用形式和类型所产生的稳态误差。 非线性因素引起的系统稳态误差称为附加误差或结构性稳态误差。

本节内容： 1.误差的定义 2.系统类型 3. 典型输入作用下的稳态误差与静态误差系数 4.动态误差系数 5.控制系统在扰动作用下的稳态误差 6.减少或者消除稳态误差的措施

1. 误差的定义 1） （偏差） 2） 注：对单位反馈来说，两种定义方式虽然不一样，但具体数值是一样的，此时，不必区分误差是输入端还是输出端定义的了。

3） 分量 注： 与 均可称作稳态误差。严格讲 叫做终值误差，常简写为

解：首先该一阶系统是稳定的，故存在稳态误差。 例3-12 考试、考研重点考察。 解：首先该一阶系统是稳定的，故存在稳态误差。

在坐标原点处有唯一极点也是适用的。 考试、考研重点考察。 拉氏变换终值定理会得出错误结论

讨论： 求稳态误差的两种方法： 定义法：求出误差的时域表达式后，获得误差的稳态部分，并令时间趋于无穷大得到稳态误差。 终值定理法：满足拉式变换终值定理应用条件的情况下，直接利用拉氏变换终值定理求出稳态误差。 第二种方法计算量小，但是前提要满足。对于高阶系统，直接用第一种方法较为繁琐，工程实际中，常用第二种方法。 利用第二种方法，只能获得终值误差，不能获得误差稳态分量的完整表达式。 除以上两种方法以外，另外还有静态误差系数法和动态误差系数法，也需要掌握。 注意：无论用哪种方法做，必须先判断系统的稳定性，不判断稳定性就求取稳态误差是完全错误的。（考试、考研注意）

2. 系统类型（重点） 对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统的稳态误差取决于开环传递函数描述的系统结构。 为了更快捷的求出一些典型系统在典型输入信号作用下的稳态误差，引入系统类型的概念。 并在此系统类型的基础上，可以方便的研究典型信号作用下，系统的稳态误差。

系统类型的概念

3.典型输入作用下的稳态误差与静态误差系数（考试、考研重点） 1）

2）

3）

（必须熟练背过，灵活运用） 增大K或者系统型别虽可减小稳态误差，但可导致系统不稳定或者动态性能下降。

讨论： 表3-5仅限于表中所提的几种输入信号快速求取稳态误差，这种求取稳态误差的方法，称为静态误差系数法。静态误差系数法对于其他的信号无法应用。 此外，静态误差系数法求得的系统误差是终值误差，不能表现误差的稳态部分随时间变化的规律。因此这也是静态误差系数法名称的来由。 在用表3-5快速求取系统的稳态误差时，所求的是系统在输入端定义的稳态误差；如果系统为非单位反馈系统，其中 ，那么系统输出端定义的稳态误差为：

考试考研重要考点： （实质为叠加原理的应用） 如果系统承受的输入信号是多种典型函数的组合，例如 则根据线性叠加原理，可将每一输入分量单独作用于系统，再将各稳态误差分量叠加起来，得到

例3-14 （考试、考研重点题型。） 解： （1）首先，求出系统的传递函数，并用劳斯判据判断系统的稳定性。 (如果此题不先判断稳定性就用静态误差系数法求取，不得分） （2）

4. 动态误差系数（选学，考研可能考） 静态误差系数法的局限 静态误差系数法的实质是拉氏变换的终值定理，因此具有一定的局限性： 静态误差系数法只适用于几种典型的输入函数形式，对其他形式输入函数无法应用。 系统的稳态误差应当是时间的函数，用静态误差系数法求得的稳态误差不能表现稳态误差随时间的变换规律。 举例：导弹控制系统，其有效工作时间不长，输出量往往达不到稳态值时便已经结束工作，无法应用静态误差系数法进行误差分析。

动态误差系数法 教材P113两处笔误 1）

2） 3）

例 解：先用劳斯判据判断稳定性。

动态误差系数法，可以研究输入信号几乎为任意时间函数时的系统稳态误差，因此也称为广义误差系数法。 例 3-15（自学，正弦输入信号下，稳态误差的另一种求法，考研） 注： 动态误差系数法，可以研究输入信号几乎为任意时间函数时的系统稳态误差，因此也称为广义误差系数法。

5. 扰动作用下的稳态误差(考研） 控制系统除承受输入信号作用外，还经常处于各种扰动作用下。 在理想情况下，我们希望系统对任意形式的扰动作用，其稳态误差应该为零，但实际上这是不可能实现的，只能尽量减小。 控制系统在扰动作用下的稳态误差值反映了系统抗干扰的能力。 系统输入信号和扰动信号对系统的作用位置不同，因此，稳态误差也不同。

扰动作用下的稳态误差一般从输出端定义 注：求扰动作用下的稳态误差也应当先判断系统的稳定性。扰动作用下的误差传递函数的特征方程一般与输入作用下误差传递函数的特征方程一致。

可见，控制系统在扰动作用下的稳态误差与在输入作用下的稳态误差相比，除误差传函不同外，计算方法完全相同。可用定义求，可用终值定理求，还可用长除法求，只要把误差传函换一换即可。 需要注意的是，扰动作用下“型”的概念与输入作用下“型”的概念是不同的。不能再在开环传函上看积分环节的个数，而应从扰动作用下的误差传函上来确定扰动作用下“型”，以便判断扰动作用下的误差是0？是常数？还是∞？（见例题）

例 3-16 解： 实际系统总是同时承受输入信号和扰动信号的作用。 （考试、考研题型） 求系统的稳态误差。 首先判断系统的稳定性，得到约束三个变量的一组不等式。 扰动型的概念？ （叠加原理） 结论：提高扰动作用点之前系统的前向通道增益，可以减小扰动作用引起的稳态误差，这一点与输入作用下减小稳态误差的方法不一样。

知识点： 扰动作用下型的概念： 扰动作用点之前的前向通道积分环节数与主反馈通道积分环节数之和决定系统响应扰动作用的型别，该型别与扰动作用点之后前向通道的积分环节数无关。确定扰动作用下“型”后，可以判断扰动作用下的误差是0？是常数？还是∞？如果为常数，必须用终值定理计算。 如果在扰动作用点之前的前向通道或主反馈通道中设置个 积分环节必可消除系统在扰动信号 作用下的稳态误差。 讨论： 在反馈控制系统中，设置串联积分环节或增大开环增益可以作为消除或减小稳态误差的一种措施，但是这种措施常常使得控制系统稳定性降低，甚至变得不稳定，从而恶化系统性能。因此权衡考虑系统稳定性、稳态误差与动态性能之间的关系，便成为系统校正设计的主要内容。

例：

6. 减小或消除稳态误差的措施 ：增大系统开环增益或扰动作用点之前系统前向通道的增益。 ：在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节。 需注意以上两种措施都容易导致系统不稳定。 （P260,262） 扰动信号的误差全补偿条件 输入信号的误差全补偿条件

注意两个扰动的加入，一个为电网电压的波动，一个为负载的扰动。负载的扰动不一定是加在最尾端，应该根据具体的微分方程去画结构图来决定。 各种扰动不一定会出现在什么地方，实际问题实际分析。

串级控制（电机控制中应用较多） 两个回路，主回路和副回路。 和 分别为主调节器和副调节器，并且两个调节器以串联的方式对控制对象进行共同控制，故称为串级控制。施加于副回路中的扰动叫做二次扰动，如 ；处于副回路之外的扰动成为一次扰动。 串级控制的特点：串级控制系统在结构上比单回路控制系统多了一个副回路，对进入副回路的二次扰动具有很强抑制能力。 因为该副回路的存在，使得系统的开环增益不用过大，即可有效抑制住二次扰动；若不存在该副回路，可能会在同等大小的开环增益下，对二次扰动的抑制效果不佳，或者调大后会导致整个系统不稳定。

将副回路视为一个等效环节 ，则有 在副回路中，输出 对二次扰动 的闭环传递函数为 比较 与 可见，必有 于是，以上串级别结构图可以等效为

显然，在主回路中，系统对输入信号的闭环传递函数为 系统对二次扰动信号的闭环传递函数为 对一个理想的控制系统，总是希望多项式比值 趋于零， 而趋于1；因而 串级控制抑制二次扰动 的能力可用下式表示： 若主副调节器均采用比例调节器，其增益分别为 和 ，则上式可写为

上式表明，主、副调节器的总增益越大，则串级控制系统抑制二次扰动的能力越强。 由于在串级控制系统设计中，副回路的阶数一般都取得较低，而副调节器的增益 可以取得较大，通常满足 可见，与单回路控制系统相比，串级控制系统对二次扰动抑制能力有很大提高，一般可达10-100倍。

拉氏变换终值定理的应用条件要满足。

第二、三章 考试、考研计算题型： 一个大题考察全部内容（至少20分） ： 建模与模型化简。给你一个结构图，要求化简(可能需要用到梅森公式）得到系统的传递函数。或者给你一个物理系统求系统的微分方程或传递函数。 稳定性问题。根据求得的传递函数利用劳斯判据判断系统的稳定性及特征根分布，说出系统动态过程的特点。或者说出能使系统稳定的参数选择范围。或者相对稳定性。 求解时间响应。如果系统稳定，求系统的的响应（包括输入作用和扰动作用同时存在时） 计算稳态误差。求系统在输入作用下的稳态误差（注意正弦信号输入怎么求稳态误差）和扰动作用下的稳态误差。 定性讨论。说出减小系统稳态误差的措施(针对输入和扰动两种情况）。 注：第3点，（求系统的单位阶跃响应或者脉冲响应较多。）（如果是高阶系统可能不需要求，但有可能讨论主导极点）

3-7 控制系统时域设计 例3-19 海底隧道钻机控制系统 连接法国和英国的英吉利海峡海底隧道与1987年开工，1990年从两个国家分头开钻的隧道首次对接成功。隧道长37.82千米，位于海底面下61米。1992年完工。耗资14亿美元。每天通50辆列车，从伦敦到巴黎的火车行车时间缩短为3小时。 钻机在推进过程中，为了保证必要的隧道对接精度，施工中使用了一个激光引导系统，以保持钻机的直线方向，钻机控制系统如图所示。图中， 为钻机向前的实际角度， 为预期角度， 为负载对机器的影响。 该系统设计目的是选择增益K，使得输入角度的响应满足工程要求，并且使扰动引起的稳态误差较小。

解 该钻机控制系统采用了比例微分（PD）控制。 系统在输入和扰动同时作用下的输出为： 1）稳定性设计 显然，闭环系统特征方程为： 因此，要选择 ，闭环系统能稳定。 2）消弱扰动影响设计 系统在扰动作用下的闭环传递函数为 令 ，可得单位阶跃扰动作用下系统的稳态输出 若选 ，则 ，可以减小扰动的影响。 因而，从系统稳态性能考虑，选取 为宜。 3）K值的尝试选取（比例微分控制器的比例参数的选取）

PD控制能够有效改善二阶系统的性能。 若仅有比例控制，无微分控制时。 取 ，则 动态性能： b. 若为比例微分控制 取 ，则 动态性能： c. 若为比例微分控制 取 ，则

K=[100 20]; for i=1:1:2 sys=tf([11 K(i)],[1 12 K(i)]); sysn=tf([-1],[1 12 K(i)]); figure(i);t=0:0.002:3; step(sys,t); hold on; step(sysn,t); grid end

PD k=100 PD k=20

作业： 用simulink实现该设计，尝试从20<K<100里调出一个更好的参数。并用simulink 画出漂亮的图来。 若微分参数也变化呢？ 要求：存成word文档打印出来。包括simulink的设计图纸和生成的响应图（要求响应图是用plot画出来的）。

例3-20 磁盘驱动读取系统（续） 磁盘驱动器必须保证磁头的精确位置，并减小参数变化和外部振动对磁头定位器的影响。作用于磁盘驱动器的扰动包括物理振动、磁盘转轴轴承的磨损和摆动，以及元器件老化引起的参数变化等。设下图为磁盘驱动系统在考虑扰动作用时的结构图，讨论放大器增益 值的选取对系统在单位阶跃指令作用下的动态响应、稳态响应以及抑制扰动能力的影响。

系统为1型系统，因此当输入信号为单位阶跃响应函数时，稳态误差为零。所以，输入作用下稳态误差的大小与 取值无关。 解 1）首先判断能使系统的稳定的条件 系统的闭环传递函数为 由劳斯判据得系统稳定的条件： 2）输入信号作用下时间响应的动态过程考察 系统为1型系统，因此当输入信号为单位阶跃响应函数时，稳态误差为零。所以，输入作用下稳态误差的大小与 取值无关。 当扰动输入为零时，令 分别为10和80，利用matlab得到系统的对输入的单位阶跃响应如图，可见 时，系统对输入指令的响应速度较快，但响应出现了较大振荡。 Matlab文本 Ka=[10 80];T=[4 2]; for i=1:1:2 G1=tf([5000],[1 1000]); G2=zpk([],[0 -20],1); G=Ka(i)*series(G1,G2); sys=feedback(G,1); t=0:0.005:T(i); figure(i);step(sys,t);grid end

响应速度太慢，不可取。 响应速度还可以，但超调有些大。 如果指标要求更严格，则应当考虑怎么将增益折中，或者其它的控制方式。

3）扰动作用时间响应的动态过程考察 当输入为零时，扰动为单位阶跃响应时。系统对扰动的输出为 利用matlab可得到系统在 时的单位阶跃响应扰动响应如图 Matlab 文本 figure(3);sysn=-feedback(G2,Ka(2)*G1); step(sysn,T(2));grid To be continued

例 3-21 磁盘驱动读取系统(续） 为了使上题磁盘控制系统的性能指标满足表3-8（教材P121）所示的设计指标要求，我们在系统中加了速度传感器，构成了测速反馈控制，其结构图如下。试选择放大器增益 和速度传感器传递系数 的数值。

解：采用速度传感器设计后，系统中加入了速度反馈。此时系统的闭环传递函数为 于是，闭环系统的特征方程为 对应劳斯表为 其中， 为保证系统稳定，在 的条件下，参数对（ ）的取值应使 。当取 时，利用matlab求得系统响应如图所示。

Matlab文本 Ka=100;K1=0.05; G1=tf([5000],[1 1000]); G2=zpk([],[0 -20],1); H1=tf([K1 1],[0 1]); G=series(G1,G2);sys=feedback(Ka*G,H1); Gn=series(Ka*G1,H1);sysn=-feedback(G2,Gn); t=0:0.01:1; figure(1);step(sys,t);grid figure(2);step(sysn,t);grid

带速度反馈的磁盘驱动器系统响应（输入阶跃响应，扰动阶跃响应）

例3-22 哈勃太空望远镜指向控制 哈勃太空望远镜于1990年发射至地球611Km的太空轨道，它的发射与应用将太空技术发展推向了一个新的高度。望远镜的2.4M镜头拥有所有镜头中最光滑的表面，其指向系统能在644Km以外将视野聚集在一枚硬币上。望远镜的偏差在1993年的一次太空任务中得到了大范围的校正。哈勃太空望远镜指向系统模型（结构图）如图所示。 设计目标是选择放大器增益 和具有增益调节的测速反馈系数 ，使得指向系统满足如下性能： 1）在阶跃指令 作用下，系统输出的超调量小于或等于10%。 2）在斜坡输入作用下，稳态误差较小。 3）减小单位阶跃扰动的影响。

解：稳定性判断 系统的开环传递函数为 ，闭环传递函数为 使系统稳定，需满足 系统在输入和扰动同时作用下的输出为 误差为 1）满足系统对阶跃输入超调量的要求，令 可得

因为 解得 因而，在满足超调量指标的要求下，应选 2）满足斜坡输入作用下稳态误差的要求。 令 ，由静态误差系数法得到 由于 ，故有 上式表明， 的选取应该尽可能的大。 3) 减小单位阶跃扰动的影响。 因为扰动作用下的稳态误差 可见，增大 可以同时减小 及

在实际系统中， 的选取必须受到限制，以使系统工作在线性区。当取 时，有 ，所设计的系统对单位阶跃输入和单位阶跃扰动的影响如图所示。可以看出，扰动的影响很小，此时， 得到了一个很好的系统。 Matlab文本 Ka=100;K1=12; G1=zpk([],[0 -K1],1); sys=feedback(Ka*G1,1); sysn=feedback(G1,Ka); t=0:0.01:2; step(sys,t);hold on; step(sysn,t);grid

j σ ——闭环极点位置 的共轭 ——— 图4-15 闭环极点分布与暂态分量的运动形式