~~~~書報討論~~~~ 國小數學教材分析 --比與線段圖 指導教授：葉啟村老師 研 究 生：王月秋 學 號：9117215

前 言 ◎ 比在課程修訂中的地位： *64年部編本：比、比值、成正反比例 *82年課程標準：「比、比值、比例的初 前 言 ◎ 比在課程修訂中的地位： *64年部編本：比、比值、成正反比例 *82年課程標準：「比、比值、比例的初 步認 識 」,「理解數量的簡易變化關係 」 *九年一貫： 能力指標N-3-15----能在情境 中理解比、比例〈包含正反比〉、比值 、率〈百分率、ppm〉的意義

壹、相關名詞的意義 【比的定義】 64年版：兩量倍數關係的另一種說法 或記法 82年版：並置的兩對應關係量的紀錄

【對等關係與比】 兩數量A 、B之間，由於某種原因，而產生一種配對關係，就稱此兩數量有對等關係。 記錄方式：1序數對〈A，B〉 *82年部編版採用比的符號「：」來記錄對 等關係

【對等關係的種類：組合、母子、交 換、 密度】 【對等關係的種類：組合、母子、交 換、 密度】 （一）組合：A、B為同類量，且都是 同一全體量中的部分時， 可稱為一種組合的對等 關係。 例：一種親子遊戲中，3個小孩 需要2個大人來協助。

【對等關係的種類：組合、母子、交 換、 密度】 【對等關係的種類：組合、母子、交 換、 密度】 （二）母子的對等關係：若兩數量為同類量，且一數量是全體量，另一數量是全體量的部分量時，可稱為一種母子對等關係。 例：一打襯衫有12件，其中有4件是藍色 的。

【對等關係的種類：組合、母子、交 換、 密度】 【對等關係的種類：組合、母子、交 換、 密度】 （三）交換的對等關係： A、B分別描述兩種不同的物件，於某種因素（性質），使這兩物件具有相同的價值，可以交換，而形成A、B的對等關係。 例：小華拿了135本雜誌到圖書館換了9本小說

【對等關係的種類：組合、母子、交 換、 密度】 【對等關係的種類：組合、母子、交 換、 密度】 （四）密度的對等關係：A、B不為同類量，且此兩數量是描述同一物件的不同性質，A、B的比值是作為密度的描述時，A、B間的關係，可稱為一種密度對等關係。 例：30立方公分的水重30公克

【比的等價與相等】 ◎比的等價即比的相等 64年版：先引入比值後，用比值的相等來 82年版：先引入比的相等，再引入比值。 定義兩個比相等。 （關心比的相等在量情境中的實際意義） 例：張三的鐵線長10公尺重10公斤，李四 的鐵線15公尺重15公斤，兩人的鐵線都 是1公尺重1公斤，因此等價關係記作 10：10＝15：15

【比、最簡整數比與比值 】 82年版：在多個相等的對等關係中，透過活動經驗，嘗試對各個給定的對等關係，列出與它們相等的比，而且由各個相等的比產生最簡整數比皆相同，這個最簡整數比是各個對等關係的共同特性，用「每多少個對多少個」來描述。如：當最簡整數比是A：B時，具有每A個對B個的意義，進一步詢問學童「每A個對B個時，多少個對1個」，即對於一個比「A：B」找一個後項為「1」而且和「A：B」相等的比，如「A：B=X：1」，此時叫「X」為「A：B」的比值

【比例問題與對等問題】 比例問題：已知一比較量對基準量的比，而且已知一個比較量 （或基準量），求另一量的問題。如「六年級參加夏令營男生和女生人數的比是4：3，女生有63人，男生有多少人？」 對等問題：兩等價的對等關係「A：B=C：D」中有一項是未知數的情境文字題。依情境分為四類型。 1、組合問題：一種親子遊戲3個小孩需要2個大人來協助， 有15個小孩參加遊戲，需要多少大人來參加？ 2、母子問題：每1打中有4件藍襯衫，要包裝6打需要幾件 藍襯衫？ 3、交換問題：小明拿了14部舊小汽車換到了6個布偶，算 算看用幾部舊小汽車可以換到3個布偶？ 4、密度問題：3公升的水重3公斤，幾公升的水重10公斤？

【比例式及比例式填充題】 ◎ 82年版把「8：100=2：25」稱作比例算式簡稱比例式，而把「 8：100 =（）：25」稱作比例式填充題。 ※比例式的建議：讓兒童形成（1）使用比的符號來記錄對等關係（2）使用「=」來記錄兩個等價的對等關係的兩項共識後，才進行問題與解題結果的摘要紀錄。 ※比例式填充題的建議：比例式填充題它是某類情境文字題的問題紀錄，應讓學童掌握對等問題之解題活動之後，教師可在重新布題的情況下，要求學童先用比例式填充題把問題記下來，再進行解題活動。不可佈置純數學的比例式填充題給予學童解題，因太過抽象。

【數量關係與函數】 ◎數量關係是指具有某一對應關係的兩組數量（如粽子的個數和價錢的關係），對於具有對應關係的兩組數量（x1、x2、x3..）（y1、y2、y3….），希望找到某一個特定的函數y=f（x），來描述這兩組數量的對應關係，以進一步來預測另一個不在觀察資料裡的x，它的對應項y會是什麼。

◎正比例與反比例：是比較簡單且日常生活中常使用到的兩種數量關係，82年版透過對應項的比的比值關係引入「正比例」與「反比例」。 ◎正比例與反比例的定義 正比例：當所有對應項的比的比值都相同 時， 稱這兩兩組數量成「正比例」 例： 天數（天） 1 2 3 4 5 6 總數（元） 20 40 60 80 100 120

◎正比例與反比例的定義 反比例：把其中一組數量先取倒數，再 求這組倒數和另一組數量的對 應項的比的比值，如果這些項 的比值都相同時，稱這兩組數 量成「反比例」。 如果甲組數 量的倒數與乙組數量的倒數成 正比例，那麼甲組數量和乙組 數量成反比例。

【百分率、命中率、打擊率】 在母子對等關係中，其比的比值根據不同情境的文化術語會給不同的「率」之名稱。 例如：「小華投籃球，共投了40球，投進了10球」我們說小華的命中率是0.25，如果把這個對等關係（比）的後項看成是100，那與原比等價而後項是100的對等關係之前項即為百分比（或百分數），所以小華投100次應該可以進25次，用百分數25﹪表示小華的命中率。

【成比例線段圖的意義及重要性】 ◎82年版的成比例線段圖指的是用數條成比例的線段，來表徵問題中所描述的數量。必須滿足兩個條件： （1）圖中應標示每一條線段所代表的是什麼？ （2）這些線段的長度應成比例的表現問題中的數量 關係。 ◎線段圖是數學問題（尤其是對等關係及分數問題）的多重關係示意圖，是圖象表徵的一種，使用線段圖來表現文字描述的問題，常能使問題中數量間的關係具體化，因此是一個解題的表徵工具，而製作成比例的線段圖對學童而言，需透過活動的討論與澄清才能做到。

【等差數列與等比數列】 ◎等差數列：是一組依序排列的數，其每一後項減前項的差為一定值者。如：「2,4,6,8,10,12」為有限等差數列，「1,3,5,7,9------」為無窮等差數列。在國小階段盡量只給予有限的數列，並且只給予等差數列的名稱。 ◎等比數列：是一組依序排列的數，其每一後項除以前項的商為一定值者，如：「2,4,8,16,32」 ◎建議：在數學上雖然使用英文字母來表示等差或等比數列，例：＜an an=3n+5，n=1,2,3---100＞但過於抽象請勿使用。

貳、教材處理理念 一、比例教材與GODS數學課程中數學 內容之主張 ＊GODS數學課程對比例概念的主張 教學者應了解的問題 （1）教學者應確定比例概念是什麼？ 比例概念是指「一個一個的對等問題、比例問題或其他大人用比例成人算則來解決的情境文字題之解題活動」的共同特性即是。 （2）教學者透過什麼手段來幫助學童形成與發展比例概念？ 學童的解題表現源自於多方面的數學概念發展，教學者應多肯定與鼓勵這些學童的不同解題策略，不可比較不同解題策略之間的優劣。

一、比例教材與GODS數學課程中數學內容之主張 教學者應了解的問題 GODS數學課程的主張 （3）教學者應了解對等問題的問題類型（數學問題中大人用比例算則來解決的）有哪些？ 教學者應了解什麼是對等問題、比例問題及是否尚有其他情境文字題，這些問題大人們都是使用比例成人算則來解題的。其中對等問題是國小數學科重要的數學問題，有哪些類型老師應了解。 （4）教學者也應了解學童在面對這些問題時，將會有怎樣的解題策略？或者在哪裡可以查得到？為何學童會有不同的表現？面對這些不同表現教學者的立場應如何？ 透過學童用自己的方法來解決不同類型的對等問題、比例問題或其他大人用比例成人算則來解決的情境文字提示形成與發展比例概念的最好手段。

二、比例教材與其數學語言之主張 GODS數學課程認為，當學童的某一數學概念，例如比例概念，發展至某一雛形之後，應進一步引入相關的數學語言，例如比例式、比例填充題，一來可用以表徵比例概念及其解題活動，二來待其熟悉後，可以作為學習其他數學概念的解題工具。

三、比例成人算則 ◎在學童可以理解，及上課時間夠用兩條件下，可引入「成人算則」的學習活動。 ◎比例成人算則指的是大人們在面對對等問題或比例問題時，所採用的解題策略。 例如：小英買8枝鉛筆花了100元，用同樣的買法，小華買多少枝鉛筆要付25元？ 解題：先用8：100=（）：25 的比例式填充題記 下來後，大人會用下列三種方式解題： （1）用同乘或同除以一不為0的數，可得 到一個相等比的觀點來解題， 8：100=8÷4：100÷4＝2：25 （）＝2

三、比例成人算則 （2）使用比例內項的乘積等於比例外項的乘積的觀點來解題，即100×（）＝8×25 （）＝2 （2）使用比例內項的乘積等於比例外項的乘積的觀點來解題，即100×（）＝8×25 （）＝2 （3）把比看成分數，再使用交叉相乘相等的方法解題，8/100＝（）/25 100×（）＝8×25 （）＝2 ◎其中後兩者對國小學童都過於抽象而不易理解，故82年版部編本建議在國小階段不要引入。

四、依GODS數學課程的解題工具發展模型來設計比例教材 ＊解題工具發展模型—幫助國小學童使「某一算式」成為「解題工具」的新架構 引入數學語言用來表徵左列的具體活動 流程3 流程1 要求學童不斷的使用算式來記錄左列具體活動內的解題活動 教師布題 學童自行解題活動 結果 引入算式摘要紀錄 此時算式只是用來記錄左列的具體活動 由於不斷的使用算式，學童會對算式的使用逐漸自動化 同類問題重複若干次後 流程2 自動化的算式紀錄可成為解題工具

四、依GODS數學課程的解題工具發展模型來設計比例教材 ◎教學困難所在：對等問題的問題類型很多，要形成解題活動類型不易，因此比例式自動化不易，比例概念也不易發展。 ◎82年版花大部分的時間處理流程（1）部分的具體活動，即佈置各種類型的對等問題給於學童解題，也引入比例式來摘要紀錄這些具體活動，但難以進行使學童比例式自動化成為解題工具部分的活動（建議國中教材處理之）

五、對等問題相關理念 （一）對等問題的重要性： ＊GODS數學課程主張，學童的比例概念是指學童 在經驗「一個一個對等問題和比例問題的解題活動」後，從中抽離之共同性質。據此觀點，強調學童的比例概念來自於學童的解題經驗，而非比例的數學定義，因此突顯對等問題在比例概念發展上的重要性。 ＊對等問題多為生活上常遇到的實際問題，例如交易問題、飲料果汁的濃度等，而國高中的理化亦經常碰到，若能讓學童發展不同類型的對等問題之解題策略，一方面可使學童易於處理國高中的理化問題，也可進而促使學童比例概念的成熟發展。

五、對等問題相關理念 （二）對等問題的解題關鍵 --以前比例項轉換成後比例項的倍數來看，分別有整數倍、單位分數倍、真分數倍、帶分數倍轉換四種類型的對等問題。舉例如下： （1）「3枚郵票賣20元，12枚郵票可賣多少元？」學童可佈置實際情境，操作情境即可得到答案，把前比例項的兩數量同時累加4次，即可得12枚郵票要付80元。

（二）對等問題的解題關鍵 （2）「小英買8枝鉛筆花了100元，用同樣的買法，小華買多少枝鉛筆要付25元？」為例，學童必須把前比例項的兩數量同時分割成4份，可得小華買2枝筆要付25元。 （3）「小英買8枝鉛筆花了100元，用同樣的買法，小華買5枝要付多少錢？」，學童必須把前比例的兩數量同時等分割成8份再合成其中的5份，才可得小華買5枝筆要付62.5元 （4）「如上題的買法，小華買29枝鉛筆要付多少元？」學童必須把前比例項的兩數量同時累加3次，及再加上把前比例項的兩數量同時等分割成8份再合成其中的5份，才可得到小華買29枝鉛筆要付662.5元。

（二）對等問題的解題關鍵 注意 ：教學者不可直接給於學童比例的成人算則，而剝奪了學童具體操作這些累加、等分割活動的機會，換言之，學童能具體操作是解決對等問題的關鍵，也是重要的數學方法。

（三）對等問題的難易因素 ◎未知數的位置 「正向活動」：對等問題的未知數在後比例項中時，由於作為推論基礎的對等關係是已知，所以它是正向的對等關係轉換活動。例：8個蘋果100元，多少個蘋果會賣25元？ 「逆溯活動」：當對等問題的未知數在前比例項中時，作為推論基礎的對等關係中，有部分未知，須由轉換後獲得的對等關係（已知），反向的推論轉換前的對等關係。例：多少個蘋果賣25元時？8個蘋果賣100元。 發展的順序：先累積正向活動的經驗，對正向活動已有預期時，才有可能發展逆溯活動。

（三）對等問題的難易因素 ◎轉換的方式：在進行對等關係的轉換活動時，其轉換方式影響問題的難度。筆者認為有必要區分整數倍、單位分數倍、真分數倍（包含假分數倍）即帶分數倍等轉換問題 ◎前比例項的數值範圍：依其難度區分為 （1）整數對整數，例5：3＝1/3：（） （2）分數對整數，例1/2：3＝（）：6 （3）分數對分數，例1/2：1/3＝（）：1/6

（四）對等問題的難易分類 ◎四個難易向度 （1）依問題情境來看，交換問題較易，其次是組合和母子對等問題，而密度對等問題最難。 （2）依未知數的位置，正向活動易於逆溯活動。 （3）依轉換方式，由易而難是整數倍、單位分數倍、真（假）分數倍。 （4）依前比例項的數值範圍，由易而難是整數對整數、分數對整數、分數對分數。

（四）對等問題的難易分類 ◎對等問題分類如下 （1）整數對整數的整數倍轉換之正向活動問題 （2）整數對整數的整數倍轉換之逆溯活動問題 （3）整數對整數的單位分數倍轉換之正向活動問題 （4）整數對整數的單位分數倍轉換之逆溯活動問題 （5）整數對整數的真分數倍轉換之正向活動問題 （6）整數對整數的真分數倍轉換之逆溯活動問題 （7）分數對整數的整數倍轉換之正向活動問題 （8）分數對整數的整數倍轉換之逆溯活動問題 （9）分數對整數的單位分數倍轉換之正向活動問題 （10）分數對整數的單位分數倍轉換之逆溯活動問題

（四）對等問題的難易分類 ◎對等問題分類如下 ※（13）--（18）82年版未進行 （11）分數對整數的真分數倍轉換之正向活動問題 （12）分數對整數的真分數倍轉換之逆溯活動問題 （13）分數對分數的整數倍轉換之正向活動問題 （14）分數對分數的整數倍轉換之逆溯活動問題 （15）分數對分數的單位分數倍轉換之正向活動問題 （16）分數對分數的單位分數倍轉換之逆溯活動問題 （17）分數對分數的真分數倍轉換之正向活動問題 （18）分數對分數的真分數倍轉換之逆溯活動問題 ※（13）--（18）82年版未進行

（五）交換問題的問題類型 ◎交換問題區分為：（1）一對多（2）二對多（3）多對多等不同類型 ◎ 問題類型 問題實例 第一類一對多交換問題相當容易，學童用累加或累乘即可解題，故建議直接放入習作裡，不刻意在課堂教學活動中進行。其他二對多、多對多的交換問題類型也是如此分類。 問題類型 問題實例 1：b＝c：x 1袋包子有4個，6袋包子有多少個 1：b＝x：d 1個蘋果賣9元，賣多少個蘋果可收到27元？ 1：x＝c：d 1包口香糖有幾片時，4包口香糖合起來才會是20片？ x：b＝c：d 幾袋花生可換3公斤的鹽時，5袋花生可以換15公斤的鹽？

（六）成比例線段圖 ◎成比例線段圖的功能：82年版引入成比例線段圖來表徵分數問題及對等問題，用此特殊圖象表徵的理由，在於它可以進行多次的具體等分割及再合其數份的活動，並保留這些活動的痕跡。一來，這些具體操作活動是數學抽象思考的基礎，二來，保留具體活動痕跡能幫助檢查解題過程及反思解題過程。

（六）成比例線段圖 ◎指導學童作成比例線段圖的建議： （1）作線段圖是將文字敘述的理解，用圖像再呈現出來，所以建議教師先協助學童產生心像，當能產生心像，再把心像實際的畫下來，就比較容易。 （2）在成比例的作圖要求下，以重複較短的線段來作較長的線段，是比較容易操作的。

（七）比教材的處理流程 ◎本書建議重新安排與比有關之教材的處理流程 （1）先進行「對等問題類型中，整數對整數之整數倍正向與逆溯活動」之解題活動 （2）在多個對等關係的情境下，討論用比的符號來記錄對等關係 （3）在多個同類對等關係並置下，討論哪些換法是相同的換法，再把相同的換法記錄成「5：3＝10：6」，而把不同的換法記為「5：3＝7：4」 （4）最後，在面對對等問題時，再使用比的記錄符號「：」及等號來摘要記錄此問題的問題、解題活動方式及結果。

（八）成正比、成反比教材 的理念 ◎成正比教材的理念：由於成正比是數量關係的一種，筆者建議在教學活動中直接要求學童求出對應項的比的比值，在所有比的比值都相等的情境下，約定這兩組數量是成「正比例」。 ◎倒數的引入：建議教師先透過解決一些「被乘數是整數或真分數，乘數未知，積數是1」的算式填充題，填入答案後，將各個計算完的算式並置於教室黑板上，介紹倒數的意義。

（八）成正比、成反比教材 的理念 ◎成反比教材的理念：認識了倒數的意義之後，建議教師在給定兩組數量的共變對應記錄表，要求學童先判斷這兩組數量是否成正比例，在得到否定的答案之後，再要求學童把這兩組數量中的一組數量的倒數全部求出並填入記錄表中，仿造成正比進行的方式，要求學童算出這一組倒數和另一組數的比的比值，在確定所有對應項比的比值都相同的情況下，知道這一組數的倒數和另一組數量是成正比例，最後再介紹原來的這一組數量和另一數量是成「反比例」。

（九）等差數列和等比數列的教材理念 ◎透過記錄數數活動，幫助學童經驗等差或等比數列。 ◎給定一個遞增或遞減的等差或等比數列，幫助學童察覺此數列的規律。 ◎國小階段最好不要求學童找出等差或等比數列一般項的公式，也不要求學童預測等差或等比數列的某項是多少。

報 告 完 畢 多 多 指 教