直線運動 §1-1 位移 §1-2 速度 §1-3 加速度 §1-4 等加速度直線運動 §1-5 自由落體 §1-6 光滑斜面上的運動 §1-7 相對運動

§1-1 位移 前言： 2. 位置： 運動學：描述物體在空間的位置隨時間的變化。 動力學：探討引起物體各種運動的原因。 質點：當一物體其體積遠小於其移動的空間，或物體只有移動而無轉動時，可將物體視為質點，如此可簡化對物體運動的描述。 2. 位置： 位置：物體相對於參考點（坐標原點）的空間關係，為一向量，稱為位置向量。

位置的座標表示法：利用數學的坐標來描述，所選取的坐標，在物理學上稱參考坐標系。例如在下圖中，取 O 點為 x 坐標軸的原點，質點在 A 點的位置坐標記為 x = 3cm，在 B 點則記為 x = - 2cm。 位置函數：質點在一直線運動，其位置座標 x 與時間 t 之關係可以函數 x = x(t) 表示。例如：

x – t 圖：取橫軸代表時間坐標 t，縱軸代表位置坐標 x，將質點運動的函數 x(t) 畫成 x 對 t 的關係圖線，稱為 x - t 圖。 例如：(1) 等速度運動： x t x0 (2)加速度運動： x t x0

3. 時間坐標：用來指明事件所發生的時間。 4. 路徑長與位移： 時刻：事件發生的時候（某一時間點），如第三秒，三秒末或 四秒初。 時距：事件經歷的長短（一段時間），如三秒內、第三秒內。 第三秒或第三秒末 二秒末或三秒初 第三秒內 0s 1s 2s 3s 4s 三秒內 4. 路徑長與位移： 路徑：質點移動所經過的路線或軌跡，路徑的總長度稱為路徑長，為純量。

位移：位置坐標的變化量，以Δx 表示，為一向量。 量值：起點至終點的直線距離。 方向：由起點指向終點。 位移表示法： Δx = x2 – x1 。 X1 X2 t1 t2 x Δx 註： 位移僅與起點、終點有關，與所經路徑、所經時間與所選取的座標無關。 作直線運動的物體，其運動如無折返的情形，則路徑長等於位移的量值。

例題：作直線運動的質點，其位置座標與時間的關係為 x = - 3t2 + 6t + 2（x：公尺，t：秒），求此質點 (1) 最初之位置；(2) 3 秒內之位移；(3) 第 2 秒內之位移；(4) 3 秒內運動之路徑長；(5) 畫出 x - t 圖。 t x 5 2 0 1 2 3 (5) 解：(1) x = 2 公尺 (4) 15公尺

§1-2 速度 1. 平均速度： 定義：在某一時距內，物體單位時間內所經的位移。 公式： x x2 單位：公尺∕秒（m / s） x1 0 t1 t2 t Δx Δt 單位：公尺∕秒（m / s） 方向：平均速度為一向量，其方向同位移方向 圖形意義：x – t 圖中割線的斜率為平均速度

2. 瞬時速度： 意義：某一時刻的速度或極短時間的平均速度。 定義公式： t t + Δt x(t) x(t+Δt) x

x x2 x1 0 t1 t2 t 瞬時速度的方向：在軌跡的切線方向。 圖形意義：x – t 圖中該點的切線斜率為順時速度。 例題：作直線運動的質點，其位置對時間的關係式為 x = 5 t2（SI制），求 t = 2s 時質點的瞬時速度。 解： t = 2s ，v = 20 m/s Δt 1 0.5 0.1 0.01 0.001 Δx 25 11.25 2.05 0.2005 0.020005 Δx∕Δt 22.5 20.5 20.05 20.005

t t + Δt x(t) x(t+Δt) x

微分的公式：

3. 平均速率： 4. 瞬時速率： 意義：表示某一時段，物體運動快慢的程度 定義：物體單位時間所經的路徑長。 公式： 註：直線運動如無折返現象，則平均速率等於平均速度量值。 4. 瞬時速率： 意義：極短時間的平均速率或瞬時速度的量值。 公式：

例題：上山速率為 6 公里∕小時，下山速率為 12 公里∕小時，則往返一趟之 (1) 平均速度為何？ (2) 平均速率為何？ 解：(1) 0。 (2) 8公里∕小時

例題：作直線運動的質點，其位置座標與時間的關係為 x = - 3t2 + 6t + 2（SI 制），求此質點 (1) 三秒內的平均速度；(2) 三秒內的平均速率； (3) 2 秒時的瞬時速度。 答案：(1)－3 m∕s (2) 5 m∕s (3) －6 m∕s

5. 位移為 v - t 圖內所圍面積： 若知物體的速度隨時間變化的關係 v(t)，如何求 t 秒內位移？ 畫出 v - t 圖，如右圖所示，將時間 t 細分成許多小段 Δt，每一小時段 v 取最小值來計算位移，再把每一小時段的位移加總即為總位移。如此所得的位移與實際位移的誤差將隨著 Δt 的減小而變小。因此 v 0 t1 t2 .... tn t 微積分基本定理：微分是積分的反函數

例題：作直線運動的質點，其速度對時間的關係式為 v = 4 - 3 t（SI制），求 2 秒內質點的位移。 2 4 - 2 v t 答案：2 公尺

例題：一直線運動質點的 v - t 圖如右圖所示，已知質點的初位置為 x = -10公尺，則質點在第 8 秒的位置為 (A) +8 (B) +10 (C) +2 (D) -2 (E) -10 公尺。 答案：A

例題：右圖為某週期運動的速度 - 時間的關係：T為週期。時間等於那兩個值時，質點通過相同位置 [69.夜大] T 答案：CE

§1-3 加速度 1. 平均加速度： 定義：一段時間內物體在單位時間的速度變化量。 公式： v v1 單位：公尺∕秒 2。 v2 0 t1 t2 t Δv Δt 單位：公尺∕秒 2。 方向：平均加速度的方向為速度變化量的方向。 圖形意義：v – t 圖內割線的斜率為平均加速度。

2. 瞬時加速度： 意義：極短時間內的平均加速度 定義公式： v v2 v1 0 t1 t2 t 即加速度為速度對時間的一次微分，或位置坐標對時間的二次微分。 圖形意義：v – t 圖內切線的的斜率為該時刻的瞬時加速度。 註：加速度與速度同向，則速率增快； 加速度與速度反向，則速率減慢。

例題：作直線運動的質點，其位置座標對時間的關係為 x = - 3t2 + 6t + 2（x：公尺，t：秒），試求 (1) 第 2 秒內的平均加速度 (2) 2 秒時的瞬時加速度 答案：(1) －6 m∕s2 (2) －6 m∕s2

3. 速度變化量為 a - t 圖內所圍面積為： 與前面所述，位移為 v – t 圖內所圍面積的道理相同，物體在一段時間內的速度變化量為 a(t) 對時間做積分，或 a – t 圖內所圍面積。即

總結： 例如： 運動狀態 函數 等速度運動 等加速度運動 x (t) v (t) a (t) a = 0 a（定值）

例題：作直線運動的質點，其位置坐標 x 與時間 t 的關係圖如右圖所示，試問 (1) 哪一時段速度為正？ (2) 哪一時刻速度為零？ (3) 哪一時段速率增快？ (4) 哪一時段加速度為正？ x (t) t A B C D E 答案：(1) A～B 與 D～E (2) B 與 D (3) B～C 與 D～E (4) C～E

§1-4 等加速度直線運動 t = 0 x0 v0 t x v x 若物體以一定的加速度 a 在一直線上運動，當時間 t = 0時，位置座標在 x0 處，速度為 v0 。經時間 t 後，位置座標在 x 處，速度變為 v ，則

a t at v0 at v t

例題：某人駕車在高速公路上以 90 km∕hr 的速率，突然見到前方有交通事故，立即踩煞車。假設車子作等加速度直線運動，其加速度為 -10 m∕s2，則車子在完全停止前，共經歷多少時間？將滑行多遠？ 答案：2.5 秒；31.25 公尺

例題：甲車以10米∕秒，乙車以 4米∕秒之速率在同一車道中同向前進，若甲車之駕駛員在離乙車後方距離 d 處發現乙車，立即踩煞車而使其車獲得負 2米∕秒2 之定值加速度，為使兩車不至相撞，則 d 之值至少應大於： (A)3米 (B)9米 (C)16米 (D)20米 (E)25米。 [70日大] 答案：B

例題：火車以等加速度行駛。其前端通過車站某一點時速率為 u，後端通過時速率為 v。火車中點通過該點時速率為何？ [66.日大]

例題：物體作直線運動，先以 4 公尺∕秒2 的等加速度從靜止開始運動，接著以 -2 公尺∕秒2 的等加速度運動直到停止。若運動的總距離為 150公尺，則此物體運動所需時間為若干？ [83.日大] 答案：15 秒

§1-5 自由落體 1. 自由落體運動： 2. 重力加速度： 當物體只受到地球引力的作用，不受其它任何阻力的影響而從空中落下的運動。 自由落體的運動為等加速度運動，其加速度的量值約為9.8 m/s2，稱為重力加速度或重力場強度，簡記為 g。 因物體所受的重力與高度有關，故重力加速度與高度有關，越高處其值越小。 在地表附近的重力加速度，因地球在兩極處略扁平及地球自轉的影響而稍有差異。 國際上取北緯 45o 海平面的重力加速度量值為9.80665m/s2 為標準值。

3. 實驗： 伽立略曾將兩個不同重量的鐵球，同時從比薩斜塔自由釋放，結果兩鐵球幾乎同時著地。 1971年 8月 2日太空人大衛史考特在月球上同時釋放一把鐵鎚和一根羽毛，結果發現兩者幾乎同時落到月球表面。

4. 自由落體公式： 取鉛直方向的座標為 y 座標，向上為正。自由落體為等加速度直線運動，加速度 a = - g，因此適用等加速度直線運動的 公式 y v0 v y0 t = 0 t v0 = 0：由靜止釋放 v0 > 0：鉛直上拋 v0 < 0：鉛直下拋

5. 自由落體的性質： 由靜止釋放的物體，下降 h 的高度後，末速 v 為 以 v0 鉛直上拋的物體，上升的最大高度 h 與所需時間 t 分別為 上拋體經過某一段高度差的時間，與下降過程經過同一段高度差的時間相等。 上拋體經過某一高度的速度與下降過程經同一高度時的速度大小相等，方向相反。

例題：一熱汽球正以 20m/s 等速上升，距地面 25m之瞬間，從熱汽球底部掉落一小螺絲釘，則此釘（g＝10m/s2） (1) 經幾秒著地？ (2) 著地時速度為何？ (3) 所走過的路徑長為何？ t = 2s t = 5s 答案：(1) 5 秒 (2) －30 m∕s (3) 65 公尺

例題：一滴管管口高出地板 81cm，且每滴水滴下之時距均相同，第 1 滴滴下抵地板時，第 4 滴恰好要滴下，則此時第 3 滴距地板高若干 cm？

例題：在樓頂將一石子以某一初速鉛直上拋，經 t1 秒後落地，改將石子自樓頂同處以相同初速率鉛直拋下，經 t2 秒後落地。若使石子由樓頂同處自靜止落下，則經若干秒落地？

例題：自高處自由落下的物體，其前半程與後半程落下所需時間之比為何？ [63.日大]

例題：物體以速度 v 被垂直上拋；設重力加速度為 g，則自拋出上升到其最大高度的一半處，所需時間為何？ [87.日大]

例題：有一石頭由高 h 公尺處自由落下，同時有一石頭在同一鉛直線上以初速 v 公尺∕秒 由地面向上拋。如要兩石在空中相撞，則 v 需大於多少？ [69.夜大]

光滑斜面上的運動 物體在光滑鞋面上的運動為等加速度直線運動，斜面的傾斜角如為θ，則加速度的大小為 g sinθ。如以斜面方向為 x 座標，斜上為正，斜下為負，則公式變成 θ

例題：一物体從一長 24公尺 的光滑斜面頂端由靜止下滑，經 4秒 到達斜面底部。今將此物体從斜面底部以初速 v0 沿斜面上滑，經 6秒 後又滑回斜面底部，則 v0 的值為若干？ 答案：9 公尺∕秒

例題：如右圖，某物體自靜止沿著光滑路徑 A 或 B 滑至底部，試求 (1) 滑至底部所需的時間比 (2) 滑至底部的速率比 h 30o 60o A B ＝ 斜面長度比 (2) 1：1

§1-6 相對運動 相對運動：不同的觀察者( 坐標系)，如果他們的運動狀態 (速度) 不同，對同一個物體運動的描述會有所不同。 x 相對位移：如上圖所示，物相對於地的位移等於物相對車的位移加上車相對於地的位移。因此如 ΔxCA 代表 A 所看到的 C 的位移，或者稱為 C 相對於 A 的位移。則有 下標 A 不寫出來，則上式可改寫成

相對速度：將相對位移的關係式兩邊同除以所經時間 Δt，令 Δt 趨近於零，即得到相對速度的關係式 A 如為地面觀察者且下標不寫出來，則上式可改寫成 相對加速度：將上面相對速度的關係式兩邊對時間作微分，即得到相對加速度的關係式 或

例題：甲以 5 公尺∕秒向東運動，甲看乙正以 10 公尺∕秒向西運動，則乙的速度為何？

例題：自一等速上升，速度為 5公尺∕秒 的氣球，在距地面100公尺處自底部放下一石子，則一秒後石子與氣球底部之距離為多少米？ 答案：－4.9

例題：電梯正以 3g 之加速度垂直上升（設重力加速度 g為常數）。其天花板上懸吊一物，該物離電梯地板之高度為 h。若該物突然掉落，則歷時 ________ 秒會碰到地板。 [84.日大]

THE END