第 11 章 波

11.1 波動及能量傳遞 波是一種擾動的傳播；假如波在介質中傳播，則介質中的質點在其平衡點附近振動，但是並不行進。

能量傳播 波可以傳播能量，但是並不傳遞物質；此點可以由水波及繩 (弦) 波輕易看出。其他的例子包括經由地球傳遞能量的地震波、聲波及電磁波。

圖11.1　兩種傳遞能量的方式 (a) 一棒球由投手處帶著能量至捕手處；(b) 一繩上之脈波可攜帶能量，但此時投手手握的繩子部分並沒有傳遞到捕手處。

強　度 強度是波動在單位面積所帶有的平均功率；由於波會消散及擴展到較大的面積區域，所以強度通常隨著距波源的距離增長而減弱。

圖11.2 (a) 一點聲源向各方向均勻發射出能量；(b) 在距離r2之處之波的強度小於距離r1處，因為相同之功率散布在較大的面積上。

平方反比定律 (11-1) ( 點波源向各方向均勻輻射出能量：沒有反射或吸收。)

11.2 橫波及縱波 對於橫波，其質點的運動方向垂直於波的傳播方向；對於縱波，其質點的運動方向平行於波的傳播方向。 兩種波均可以由長彈簧加以示範。 由於流體受到切應變時沒有回復力 (僅僅產生流動而已) ，所以橫波不能在流體內部；但是可以在流體表面上傳播，就如同水波。聲波是縱波，並且能在任何介質中傳播，它們是由一連串的高密度及低密度區域所組成，稱作密部及疏部。 因為地心為液體，橫波無法穿過而被反射，所以地震波 (在固態的地球內傳播) 可為縱波或橫波；在相同的介質中，縱波與橫波的傳播速率通常並不相同；地震縱波的傳播較橫波為快。

圖11.3 玩具彈簧上所產生之(a)橫波；(b)縱波

圖11.4 地震時地下物質的運動 (a) P波；(b) S波及 (c) 表面波之一；(d) 一游者當浪通過時之移動。

結合橫向及縱方向運動之波 對於一個波，有可能不是純粹的橫波或縱波；在這種情形下，質點的運動並不是垂直或平行傳播方向，而是產生類似圓周運動。這可由表面地震波及水波看出。

11.3 弦上橫波的速率 波傳播的速率是由介質的機械性質所決定；對於弦，則是與弦的張力及單位長度的質量有關。張力愈大及單位長度質量愈小的弦波波速愈大。這是因為高張力則有較大的回復力及小單位長度質量則有低慣性之故。在介質中各質點的速率並不相同 (時時改變)，而且與波的振幅有關 (振幅愈大，質點運動愈快) 。

弦上橫波的波速 (11-2) 弦上橫波波速 (11-3) 定義線密度為 波速可改寫成 (11-4)

11.1 懸掛木馬 一弦長 0.5 m，質量 125 mg。此弦一端繫在天花板上，另一端則綁著一 0.5 kg 之木馬。當一小孩搖動此木馬使得其產生一向上之橫向脈波。此脈波之波速為何？ 圖 11.5

範例 11.1 解答： 弦上橫波之速度為式 (11-4)： 此 F 弦上之張力，μ 乃線密度，而張力乃弦上之掛重； 弦上之線密為單位長度之質量 (μ = m/L)，將張力及線密度代入，我們有

範例 11.1 討論： 弦本身之重 (mg) 比起木馬的重 (Mg) 是可以忽略不計的。但並不是所有的情況下都可以忽略 ( 見練習題11.1)。 練習題11.1　另一弦波之初速 一弦長 10.0 m，且線密度為 25 g/m，此弦一端固定，另一端則下掛著質量為 0.200 kg 之物質，(a) 此弦波由底部出發時之初速為何？(b) 當弦上脈波抵達頂端時之波速為何？

11.4 週期波 週期波是隨時間而有重複波形的波。可以用週期 (當完整的波形通過某一定點所需的時間) 及頻率 (單位時間通過某一定點的波的數目) 等特徵來加以描繪；週期是頻率的倒數 (如同簡諧運動) 。在連續兩個波形上的相同對應點之間的距離稱作波長；波速即為頻率乘以波長。質點從平衡點至最大位移處的距離稱作此波的振幅。如果波形為正弦形式，則稱此波為諧波，並且每點均作簡諧運動。

圖11.7 一正弦波以波速v，沿x方向行進。振幅及波長如圖所示。 波峰 波峰 波谷 波谷

距離 稱之為波長 (11-5) (11-6) 利用週期與頻率關係

11.5 波的數學表示式 假設有一橫波在一維的弦上傳播，此弦即在 x 軸上，而弦上質點的位移是在 y 方向，質點 (也就是此波) 的位移是時間及弦上位置的函數；也就是說，y 是 x 及 t 的函數。如果波在傳播中仍保持其波形不變，則上述的變數應有 (t – x/v) 的形式；這樣的波稱作行進波。

圖11.8 一行進波，繩上之點x在 後，重複x=0 之波形。

諧波的行進波 假如有一諧波，且其波形為正弦形式；則可以證明正弦或餘弦函數中的引數為 (ωt ± kx) ，此處 k = 2π/λ，λ 為波長。

諧波的行進波方程式 (11-8) 波數 ( SI單位rad/m) (11-7)

11.2 弦上的行進波 一弦上的波可以用 y(x,t) = a sin(bt + cx) 來表示，其中 a，b，c 均為常數。(a) 此波行進時，是否保持其形狀？(b) 波行進的方向為何？(c) 波速為何？

範例 11.2 對策： 先試著看看能不能將此函數處理成如一般波 y(x,t) = a sin(bt + cx) 之 (t – x/v) 或 (t + x/v) 的形式。波速並不能直接由此函數直接看出來，但或許可表成 a,b,c 這些常數的組合。 解答： 方程式中，t 的係數應為 ω，將方程式整理可得： 此時可看出 y(x,t) 為 (t + x/v) 的函數，此處 v = b/c 因此：(a) 會，此波行進時會維持其波形；(b) 它沿負 x 方向行進，因 t 和 x/v 符號相同；(c) 波速為 b/c。

範例 11.2 討論： 我們可以檢查單位，看看答案是否正確。相加在一起的兩項 bt 及 cx 應有相同的單位。在 SI 單位制下，正弦函數的引數是以 rad 為單位，則 b 的單位必為 rad/s，c 的單位則為 rad/m。因此，b/c 的單位為 (rad/s)/(rad/m) = m/s，為正確波速的單位。 練習題11.2　弦上另一行進波 若一弦上的波方程式為 此 x, y 單位為公尺，t 之單位為秒。(a) 此波進行時，波的形狀是否保持不變？(b) 波行進方向為何？(c) 波速為何？

11.6 波的圖形 我們可以針對某一定點或在某一特定時間繪出波的圖形；若是諧波，則上述兩種圖形均為正弦形式。

圖11.9 一諧波 之圖形，(a)在固定點x=0處，垂直位移對時間圖；(b)在固定時間t=0時，垂直位移對位置之圖。

11.3 一橫向諧波 一橫向諧波以 +x 方向行進，其波速為 5.0 m/s，圖11.10 表在 x = 0 處之 y(t) 圖 (a) 波的週期為何？(b) 波長為何？(c) 振幅多少？(d) 寫下其波數；(e) 畫出 t = 0 時之 y(t) 圖。

範例 11.3 對策： 因為 t 為橫座標，因此週期可直接由圖形上讀出。而波長乃波於一週期內行進的距離；振幅圖上縱軸的最大位移。以上均是要寫出 y(x,t) 所需的常數。除此之外，還必須考慮波行進的方向，以及到底是正弦或餘弦函數。 解答： (a) 由圖上可看出，一循環的時間便是週期 T，T = 2.0 s。 (b) 波長乃波行進一週期的距離， (c) 振幅 A 乃距離平衡點的最大位移，由圖 A = 0.030 m

範例 11.3 (d) 圖11.10 為正弦函數，位置 x = 0 處之運動為 因為諧波以 ＋x 軸方向進行，所以其波函數為 此 v = 5.0 m/s，T = 2.0 s (e) 將 t = 0 及 vT = λ 代入，利用 sin(-θ) = -sinθ，我們有 此函數之圖形為一顛倒之正弦函數，振幅 A = 0.03 m，其波長 λ = vT = 5.0 m/s × 2.0 s = 1.0 × 101 m

範例 11.3 討論： 圖11.10 顯示在一開始時 (t = 0)，在 x = 0 處，y = 0，且稍後此點會向上移動，一直到 t = 0.50 s 時，到達波峰的高度。因為波向右移動，此弦波波形每次均向右位移一點點。在 x = 0 處之點到達波峰的高度時，此波總共向右移動了 2.5 m，由於波速為 5.0 m/s，因此在處之點到達波峰的高度時所經的時間 t = (2.5 m) /(5.0 m/s) = 0.50 s。 練習題11.3　另一諧波函數 一波可用 y(x,t) = (1.2 cm) sin (10.0πt + 2.50πx) 來描述，此 x 單位為公尺，t 單位為秒。(a) 畫出 x = 0 時之 y(t) 圖；(b) 畫出 t = 0 時之 y(x) 圖；(c) 此波的週期為何？(d) 波長為何？(e) 振幅多少？(f) 波速若干？(g) 波行進方向？

11.7 疊加原理 假如兩波在同一介質中傳播，而且振幅皆不會過大 (所以介質仍遵守虎克定律) ，則在任一處的淨擾動即為各個波所產生的個別擾動之和。例如，可由池塘中掉落兩個小卵石時看到這種現象。

圖11.11 (a) 兩相同之波相向行進且相互通過，(b)、(c) 兩波重疊時之合成波形，虛線及各別波之波形，實線則表合成之波形

11.4 兩波的重疊 兩相同的脈波以 0.5 m/s 之速度在一繩索上相互靠近 ( 圖11.12) ，畫出繩索在 t = 1.0、 1.5 及 2.0 s 之波形。 圖11.12

圖11.13　兩脈波在t=0, 1.0, 1.5和2.0 s之位置

範例 11.4 對策： 先畫出在不同新的時間後，每一脈波新的位置，只要其重疊之處，利用疊加原理便可將弦上之點的淨位移求出。 解答： 利用方格紙，畫出在 t = 0 時之圖 ( 圖11.13(a))，在 t = 1 秒時，兩脈波各向前靠近了 0.5 m，兩脈波前緣開始要重疊 ( 圖11.13(b)) 。 在 t = 1.5 秒，兩波又前進了 0.25 m，兩波峰完全重疊，將各別位移相加，所得之合成波成為一單一脈波，其振幅為原先波振幅的兩倍 ( 圖11.13(c))。在 t = 2.0 秒，兩脈波又各自前往移動了 0.25 m ( 圖11.13(d))。

範例 11.4 討論： 當兩波完全重疊時，弦上之點的淨位移比單一脈波來得大，這是因為兩弦上脈波的位移方向相同 (均為 y > 0)。然而，疊加原理並不見得一定產生較大的振幅 ( 見練習題11.4)。 練習題11.4　兩波形相反脈波的重疊 重複範例11.4，若其中在右邊的波波形顛倒 ( 圖11.14)。

圖 11.14

11.8 反射和折射 反射 折射

反射 假如一個波遇到兩介質間的介面時，部份或全部的波將會被反射 (也就是說，部份或全部的能量將會傳回第一個介質內)。反射能量的多寡與兩介質的性質差異大小有關 (特別是與兩介質中的波速有關) ；差異愈大，則反射愈大。如果是被低波速介質反射，則反射波將會反相；如果是被高波速介質反射，則反射波將不會反相。

圖11.15　固定端的反射，反射波波形顛倒。

折射 通常，部分的波會穿透射入第二介質；反射與透射波的頻率均與入射波相同，但是透射波的波長不同 (因為頻率相同但是波速不同)。除非入射波垂直介面，否則透射波的角度將不同於入射波的角度；這稱作折射，而透射波即稱作折射波。上述的角是由相對於介面法線來加以定義；入射角與折射角的正弦比值，與在個別介質中波速的比值相同。

折　射 (11-9) 式 (11-9) 適用任何類型的波

11.5 在水中及空氣中的波長 一岸邊的號角發出 440 Hz 的聲波 (a) 聲波在空氣中的波長為何？若空氣中的聲速為 340 m/s；(b) 在海水中聲波的波長為何？海水中之聲速為 1520 m/s。

範例 11.5 對策： 聲波在海水中與空氣中頻率皆相同，因此波長取決於介質中的聲速。聲速在固體及液體中均較氣體中來得快，故在一週期內，水中之聲波較空氣中所走的距離較遠，因此在水中之波長較長。 解答： 空氣中聲波的波長及頻率之關係為： 將數值代入 在海水中，頻率相同，但波速不同

範例 11.5 練習題11.5 在鐵軌上工作 討論： 在水中聲波的波長如預期的較長。可以檢查看看波長之比是否和波速之比相同： 練習題11.5　在鐵軌上工作 一鐵軌工人將鐵軌打上長釘，若其沒打到釘子而敲到鐵軌，所發出的聲波，一經過空氣，一經由鐵軌傳播，若空氣中之聲波波長為 0.548 m，而聲速為 340 m/s；在軌鐵之聲速為 5300 m/s。工人的同僚站在 980 公尺遠處，(a) 此波的頻率為何？(b) 聲波在鐵軌之波長？

圖11.16　(a) 一光束當通過空氣與水交界時產生偏折。法線乃垂直交界的方向。在波速較慢的介質中，波行進方向會較靠近法線 ( 在這種情況下，水中之波速較慢 )；(b) 導出折射定律的詳細圖示。

折射定律 (11-10) 式 (11-10) 中， 及 分別為入射角及折射角，注意這些角度均是波行進方向和法線之夾角。

11.6 地震時 S 波的折射 地震時所發出的震波分或兩種，一種稱之為 P 波 ( 縱波 )，另一種則為 S 波 ( 橫波 )，其在地球內行進的速度不同，一般 P 波的速度約 9 km/s，S 波則為 5 km/s；假若一 S 波通過岩石交界時，其速度由 5 km/s 變成 4 km/s，若入射角為 40.0°，折射角若干？

範例 11.6 對策： 知道 S 波在兩介質中之波速且知道入射角，利用折射定律便可將折射角求出。下標 1 表第一個介質，下標 2 表第二個介質，則 θ1 = 40.0°，v1 = 5.0 km/s ，且 v2 = 4.0 km/s；我們想要求 θ2。 解答： 折射定律為 得到 將數值代入，

範例 11.6 練習題11.6 P 波的折射 解得 討論： 在第二個介質中波速較快，因此我們預期其折射角會小於入射角，波應偏向法線。 承上題，P 波之波速為 9.0 km/s，若其在交界處之入射角為 45°，折射角為 34°，則 P 波在另一介質之波速為何？

11.9 干涉及繞射 干涉 干涉波的強度效應 繞射

干涉 假如在作疊加的兩個波，有相同的頻率及固定的相位關係，則稱此兩波為同調。在這種情形下的疊加稱作干涉 － 合成波的頻率與原來的波相同，並且其振幅是介於兩波振幅和及兩波振幅差的絕對值之間。假如兩波同相，則稱作建設性干涉；假如兩波是 180° 反相，則稱作破壞性干涉。

圖11.17　兩同調波(a)同相；(b) 反相

圖11.18 兩同調水波的俯視圖，到達P點兩波各行進d1及d2，則在點之相位差為k(d1 – d2)。

相位差 路徑差為一波長相當於相位差 ( 一循環 ) (11-11) 路徑差為一波長相當於相位差 ( 一循環 ) (11-11) 此相位差為 的偶數倍時，則P點將產生建設性干涉，而若其相位差為 的奇數倍時，點將會產生破壞性干涉。

干涉波的強度效應 假如疊加的兩個波是同調的，則其振幅相加；而通常它們的強度 (正比於振幅的平方) 並不是相加的。但是，假如疊加的兩個波是不同調的，則其強度是相加的。

兩同調波產生干涉，其中一波之強度為另一波強度之 9 倍，其兩波之合成波最大及最小可能之強度比為何？ 11.7 干涉波的強度 兩同調波產生干涉，其中一波之強度為另一波強度之 9 倍，其兩波之合成波最大及最小可能之強度比為何？ 對策： 合成波的強度並不是個別波強度的和或差，由於兩波相位差固定，疊加原理告訴我們：其合成波的最大及最小振幅為兩個別波振幅的和或差。而強度乃正比於振幅的平方，因此先求出兩波振幅之比，再求其和及差。

範例 11.7 解答： 兩個別波強度關係為 I1 = 9.0 I2，或 I1/I2 = 9.0，因為強度乃正比於振幅之平方。 因此，A1 = 3.0 A2，合成波最大之振幅為 最小之振幅產生於兩波反相時， 因此最大的及最小振幅之強度比為

範例 11.7 討論： 我們必須小心的先將個別波的振幅相加或相減以求得合成波強度最大及最小之比，而不是直接將強度做加減相比。 練習題11.7　另兩個同調波之干涉 當兩波強度比為 4.0，重複範例11.7。

繞射 假如波遇到障礙物時，則會繞著此障礙物而彎曲；彎曲的程度取決於障礙物相對於波長的大小。這種彎曲稱作繞射。

圖11.19 波遭遇障礙物之繞射 (a) 短波長之波部分被阻擋，行進方向並沒有什麼彎曲；(b) 長波長的波則容易被遊艇所偏折。 波運動的方向 波運動的方向

11.10 駐　波 當一個波被介面反射時會發生靜止不動的情形；這是波在有限長度的弦上傳播時會發生的典型狀況，就像是在樂器上。在這種情形下，弦好像整體發生振動；每一點皆在同時達到其最大振幅，而且也會同時達到最小振幅 (也就是零)。因此，在弦上的某些點不會移動，稱作節點。在節點之間的點有最大的振幅，稱作反節點 。如果弦的兩端是固定不動的，則兩端點皆為節點；如果有一端可以自由移動，則其為反節點。對於兩端固定的弦，其弦長為半波長的整數倍 ；最低的頻率發生在波長為兩倍弦長時 (所以此時的節點僅有兩端的端點) ，稱作基音。弦上其它的自然頻率則為基音的整數倍

圖11.20　弦上駐波

弦上駐波方程式 弦上駐波可能之波長: (11-12) 弦上駐波可能之頻率: (11-13)

圖11.21 兩端固定弦的駐波波形，其中N表示節點位置，A則代表反節點之位置。

11.8 駐波的波長 一弦被一振動器以頻率 1.20 × 102 Hz 所驅動，另一端則掛一重物。若重物的重量可以調整，使得弦上能產生駐波 ( 圖11.22)，則弦上駐波的波長為何？ 圖11.22

範例 11.8 練習題11.8 7個迴圈的駐波 解答： 一迴圈之長度為 而每一迴圈之長度為 λ/2，因此波長為 14 cm。 討論： 此弦並不是兩端固定，其左端連接一振動器，因此並不是節點。因此，在本題中，測量節點間距離比利用弦長來求得波長較為精確。 練習題11.8　7個迴圈的駐波 若振動器之頻率持續增加，使得 42 cm 內有 7 個迴圈，則此時弦上駐波的頻率為何？( 假設張力相同 )