第十一章 非参数检验 （nonparametric test）

参数检验 parametric test 如 t 检验： F 检验: 这时,对总体参数m、p的假设检验称为参数检验。 (1)总体分布类型已知,如率服从二项分布、样本均数服从正态分布; (2)由样本统计量推断未知总体参数。 这时,对总体参数m、p的假设检验称为参数检验。 如 t 检验： F 检验:

非参数检验(nonparametric test)对数据的总体分布类型不作严格假定，又称任意分布检验(distribution-free test)， 它直接对总体分布的位置作假设检验。

参数检验 非参数检验 （nonparametric test） （parametric test） 已知总体分布类型，对未知参数进行统计推断 对总体的分布类型不作严格要求 不受分布类型的影响，比较的是总体分布位置 依赖于特定分布类型，比较的是参数 优点：方法简便、易学易用，易于推广使用、应用范围广；可用于参数检验难以处理的资料(如等级资料，或含数值“>50mg”等 ) 缺点：方法比较粗糙，对于符合参数检验条件者，采用非参数检验会损失部分信息，其检验效能较低；样本含量较大时，两者结论常相同

应用非参数检验的情况 1.不满足正态和方差齐性条件的小样本资料； 2.总体分布类型不明的小样本资料； 3.一端或二端是不确定数值（如＜0.002、＞65等）的资料（必选）； 4.单向有序列联表资料； 5. 各种资料的初步分析。

本章介绍的非参数统计方法 均基于秩次 秩次(rank)——将数值变量值从小到大，或等级变量值从弱到强所排列的序号。 例1 11只大鼠存活天数： 存活天数4，10，7，50，3，15，2，9，13，>60，>60 秩次 3 6 4 9 2 8 1 5 7 10 11 10.5 10.5 例2 7名 肺炎病人的治疗结果： 危险程度 治愈 治愈 死亡 无效 治愈 有效 治愈 秩次 1 2 7 6 3 5 4 平均秩次 2.5 2.5 7 6 2.5 5 2.5 秩次相同(tie)取平均秩次！！

第二节 两个独立样本检验 Wilcoxon秩和检验 Wilcoxon rank sum test 第二节 两个独立样本检验 Wilcoxon秩和检验 Wilcoxon rank sum test 1．区间（计量）数据的两样本比较 2．有序（等级）数据的两样本比较

1．区间（计量）数据的两样本比较 符合参数条件时，采用两样本均数的t检验

例11.1 表11.1 不同作业的两组工人的血铅值 例数较小者为n1、T1

检验步骤 H0：两组总体分布位置相同； H1 ：分布位置不相同；α＝0.05 求检验统计量T 值 (同一组可直接写秩号)

确定P值，作出推断下结论 1. 查表法 (样本含量较小，根据T查P值) 本书为附表11 2. 较大作正态近似性检验

data a; input y g; cards; 5 1 6 1 7 1 9 1 12 1 13 1 15 1 18 1 21 1 17 2 18 2 20 2 25 2 34 2 43 2 2 ; proc npar1way wilcoxon; class g; var y; run; SAS 程序

SAS 输出结果 The NPAR1WAY Procedure Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable y Classified by Variable g Sum of Expected Std Dev Mean g N Scores Under H0 Under H0 Score ----------------------------------------------------------------- 1 10 59.50 90.0 10.234386 5.950000 2 7 93.50 63.0 10.234386 13.357143 Average scores were used for ties. Wilcoxon Two-Sample Test Statistic 93.5000 Normal Approximation Z ＝2.9313 One-Sided Pr > Z 0.0017 Two-Sided Pr > |Z| 0.0034 t Approximation One-Sided Pr > Z 0.0049 Two-Sided Pr > |Z| 0.0098 Z includes a continuity correction of 0.5. Kruskal-Wallis Test Chi-Square 8.8813 DF 1 Pr > Chi-Square 0.0029

2．有序（等级）数据的两样本比较 常错误采用 卡方检验 名义数据的两样本比较，采用率或构成比的卡方 检验

表 吸烟与不吸烟工人的HbCO(%)含量的比较

①先确定各等级的合计人数、秩范围和平均秩，见表8-6的（4）栏、（5）栏和（6）栏，再计算两样本各等级的秩和，见（7）栏和（8）栏； ②本例T=1917；

③计算Z值

data a; input y g FREQ; cards; 1 1 1 2 1 8 3 1 16 4 1 10 5 1 4 1 2 2 2 2 23 3 2 11 4 2 4 5 2 0 ; proc npar1way wilcoxon; class g; FREQ FREQ； var y; run; SAS 程序

SAS 输出结果 The NPAR1WAY Procedure Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable y Classified by Variable g Sum of Expected Std Dev Mean g N Scores Under H0 Under H0 Score ----------------------------------------------------------------- 1 39 1917.0 1560.0 96.426663 49.153846 2 40 1243.0 1600.0 96.426663 31.075000 Average scores were used for ties. Wilcoxon Two-Sample Test Statistic 1917.0000 Normal Approximation Z ＝ 3.6971 One-Sided Pr > Z 0.0001 Two-Sided Pr > |Z| 0.0002 t Approximation One-Sided Pr > Z 0.0002 Two-Sided Pr > |Z| 0.0004 Z includes a continuity correction of 0.5. Kruskal-Wallis Test Chi-Square 13.7070 DF 1 Pr > Chi-Square 0.0002

第三节 K个独立样本检验 1．区间（计量）数据的多个样本比较 2．有序（等级）数据的多个样本比较 完全随机设计多个样本比较的 Kruskal-Wallis H检验 1．区间（计量）数据的多个样本比较 2．有序（等级）数据的多个样本比较

1.区间（计量）数据的多个样本比较 Kruskal-Wallis H检验 H0 :多个总体分布位置相同; H1 :多个总体分布位置不全相同。 如果满足参数条件，这类资料一般作完全随机设计ANOVA

data a; input y g; cards; 32.5 1 35.5 1 40.5 1 46 1 49 1 16 2 20.5 2 22.5 2 29 2 36 2 6.5 3 9 3 12.5 3 18 3 24 3 ; proc npar1way wilcoxon; class g; var y; run; SAS 程序

SAS 输出结果 The NPAR1WAY Procedure Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable y Classified by Variable g Sum of Expected Std Dev Mean g N Scores Under H0 Under H0 Score ----------------------------------------------------------------- 1 5 63.0 40.0 8.164966 12.60 2 5 38.0 40.0 8.164966 7.60 3 5 19.0 40.0 8.164966 3.80 Kruskal-Wallis Test Chi-Square 9.7400 DF 2 Pr > Chi-Square 0.0077

2．有序（等级）数据的多个样本比较 这种数据常被错误采用卡方检验

data a; input y g FREQ; cards; 1 1 0 2 1 2 3 1 9 4 1 6 1 2 3 2 2 5 3 2 5 4 2 2 1 3 5 2 3 7 3 3 3 4 3 2 1 4 3 2 4 5 3 4 3 4 4 0 ; proc npar1way wilcoxon; class g; FREQ FREQ; var y; run; SAS 程序

SAS 输出结果 The NPAR1WAY Procedure Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable y Classified by Variable g Sum of Expected Std Dev Mean g N Scores Under H0 Under H0 Score ----------------------------------------------------------------- 1 17 739.50 518.50 58.490529 43.500000 2 15 436.50 457.50 56.205491 29.100000 3 17 409.50 518.50 58.490529 24.088235 4 11 244.50 335.50 50.225150 22.227273 Average scores were used for ties. Kruskal-Wallis Test Chi-Square 15.5058 DF 3 Pr > Chi-Square 0.0014

多个独立样本作两两比较的 Nemenyi法检验

第四节 两个相关样本检验 配对样本比较的Wilcoxon符号秩检验 （Wilcoxon signed-rank test） 第四节 两个相关样本检验 配对样本比较的Wilcoxon符号秩检验 （Wilcoxon signed-rank test） 1．配对样本差值的中位数与0的比较 2．单个样本中位数和总体中位数比较

1．配对样本差值的中位数与0的比较 表 12份血清两法测血清谷-丙转氨酶（nmol· S-1/L）的比较

检验步骤 3. 确定P值，作出推断结论 1. 建立检验假设，确定检验水平 2. 求检验统计量T值 ①省略所有差值为0的对子数 ②按差值的绝对值从小到大编秩，相同秩（ties）】则取平均秩 ③任取正秩和或负秩和为T，本例取T=11.5。 3. 确定P值，作出推断结论

T 在范围之内，P> （T范围越小，P越大） (1)当n≤50时，查T界值表(附表10） 判断原则:T 在范围之外，P< ; T 在范围之内，P> （T范围越小，P越大） n=11,  =0.10 :13-53  =0.05 :10-56 T=11.5 (2)若当n＞50，超出附表9范围，可用正态近似法作z检验。

SAS 程序 data d1; input id x1 x2 ; d=x1-x2; cards; 1 60 80 2 142 152 3 195 243 4 80 82 5 242 240 6 220 220 7 190 205 8 25 38 9 212 243 10 38 44 11 236 200 12 95 100 ; proc univariate; var d; run;

Test -Statistic- -----p Value------ SAS 输出结果 Univariate Procedure Variable=D1 Tests for Location: Mu0=0 Test -Statistic- -----p Value------ Student's t t 1.60232 Pr > |t| 0.1374 Sign M 3.5 Pr >= |M| 0.0654 Signed Rank S 21.5 Pr >= |S| 0.0566

2．单个样本中位数和总体中位数比较

SAS 程序 data d1; input x ; d=x-45.3; cards; 44.21 45.30 46.39 49.47 51.05 53.16 53.26 57.37 63.16 67.37 71.05 87.37 ; proc univariate; var d; run;

Signed Rank S 31.5 Pr >= |S| 0.0029 SAS 输出结果 Univariate Procedure Variable=D1 Tests for Location: Mu0=0 Test -Statistic- -----p Value------ Student's t t 3.287539 Pr > |t| 0.0072 Sign M 4.5 Pr >= |M| 0.0117 Signed Rank S 31.5 Pr >= |S| 0.0029

第五节 K个相关样本检验 随机区组设计多个样本比较的 Friedman M检验

在每个配伍组内编秩次

SAS 程序 data a; input block group y @@; cards; 1 1 8.4 1 2 9.6 1 1 8.4 1 2 9.6 2 1 11.6 2 2 12.7 3 1 9.4 3 2 9.1 4 1 9.8 4 2 8.7 5 1 8.3 5 2 8 6 1 8.6 6 2 9.8 7 1 8.9 7 2 9 8 1 7.8 8 2 8.2 1 3 9.8 1 4 11.7 2 3 11.8 2 4 12 3 3 10.4 3 4 9.8 4 3 9.9 4 4 12 5 3 8.6 5 4 8.6 6 3 9.6 6 4 10.6 7 3 10.6 7 4 11.4 8 3 8.5 8 4 10.8 ; Proc freq; tables block*group*y / noprint cmh2 scores=rank; run; SAS 程序

SAS 输出结果 The FREQ Procedure Summary Statistics for group by y Controlling for block Cochran-Mantel-Haenszel Statistics (Based on Rank Scores) Statistic Alternative Hypothesis DF Value Prob 1 Nonzero Correlation 1 15.0722 0.0001 2 Row Mean Scores Differ 3 15.1519 0.0017 Total Sample Size = 32

两两比较的q检验 .

表11.12 不同时间产妇羊水中前列腺素含量（ng） 编号 用药前 用药后1小时 产程开始 分娩时 1 0.032 （1） 0.040（2） 4.90（3） 22.2（4） 2 0.040（1） 0.074（2） 4.80（3） 21.1（4） 3 0.070（1） 0.093（2） 1.70（3） 17.7（4） 4 0.011（1） 0.099（2） 1.04（3） 3.93（4） 5 0.078（2） 0.074（1） 2.12（3） 14.58（4） 6 0.289（1） 0.300（2） 7.04（3） 13.93（4） mi 7 11 18 24 (mi - E) - 8 -4 3 9 (mi - E)2 64 16 9 81

1. 建立检验假设，确定检验水准 2. 计算统计量M H0：不同时间羊水中前列腺素含量相同。 α= 0.05 2. 计算统计量M （1）在各区组（b）内编秩，相同数据取平均秩次 （2）求各处理组（k）秩和mi (3) 求平均秩E： b：区组数，k：处理数 本例b=6，k=4，则 (4) 计算M

3. 确定概率，判断结果 查附表12，当b=6，k=4时，M0.05=76。 因M=170>M0.05，P<0.05，故可认为不同时间羊水中前列腺素含量差异有统计学意义。 20.05(3)=7.81, 20.01(3)=11.34 2=17> 20.01(3) , P<0.01

SAS 程序 data a; input block group y @@; cards; 1 1 0.032 1 2 0.04 1 3 4.9 1 4 22.2 2 1 0.04 2 2 0.074 2 3 4.8 2 4 21.1 3 1 0.07 3 2 0.093 3 3 1.7 3 4 17.7 4 1 0.011 4 2 0.099 4 3 1.04 4 4 3.93 5 1 0.078 5 2 0.074 5 3 2.12 5 4 14.58 6 1 0.289 6 2 0.3 6 3 7.04 6 4 13.93 ; Proc freq; tables block*group*y / noprint cmh2 scores=rank; run;

SAS 输出结果 The FREQ Procedure Summary Statistics for group by y Controlling for block Cochran-Mantel-Haenszel Statistics (Based on Rank Scores) Statistic Alternative Hypothesis DF Value Prob 1 Nonzero Correlation 1 16.8200 <.0001 2 Row Mean Scores Differ 3 17.0000 0.0007 Total Sample Size = 24

第六节 等级相关 应用： 两个样本的相关分析 当两个变量不服从正态分布时，可以采用等级相关分析。

回忆： Pearson相关系数的估计和检验 1）估计相关系数ρ，估计公式： y x 80 307 75 259 90 341 70 237 80 307 75 259 90 341 70 237 75 254 105 416 70 267 85 320 88 374 78 316 其中，{xi}和{yi}是服从正态分布的两个随机变量， 分别是这两个随机变量的均值。

2、 计算估计值r 的标准误 3、 ρ的假设检验 H0: ρ=0 vs H1: ρ≠0 4、统计推断结论：查ν=n-2 的 t-分布表。

Spearman 相关系数的估计和检验 ρ的估计公式： 与计算Pearson相关系数的区别：采用秩次代替原变量 当两个随机变量{xi}和{yi}不服从正态分布或分布未知时，用下面公式估计相关系数，这就是Spearman相关系数。 其中{si}和{ti}分别是{xi}和{yi}的秩次， 分别是{si}和{ti}的均值。 与计算Pearson相关系数的区别：采用秩次代替原变量

Spearman相关系数ρ的另一计算公式： 其中，d= s-t 相同秩次较多时 TX(或TY)＝(t3－t)/12，t为X(或Y)中相同秩次的个数。

【例11. 6】 某地作肝癌病因研究，调查了10个不同地区肝癌死亡率(1/10万)与某种食物中黄曲霉素相对含量，见表15 【例11.6】 某地作肝癌病因研究，调查了10个不同地区肝癌死亡率(1/10万)与某种食物中黄曲霉素相对含量，见表15.16第(2)、(4)栏。试作等级相关分析 。

H1：不同地区肝癌死亡率与黄曲霉素相对含量相关。 1. 建立检验假设，确定检验水准 H0: 不同地区肝癌死亡率与黄曲霉素相对含量不相关。 H1：不同地区肝癌死亡率与黄曲霉素相对含量相关。 α= 0.05 2. 计算统计量rs （1）编等级 （2）求等级差d及d2 (3) 计算rs rs＝1－ 3. 确定概率，判断结果 查表得rs0.05（10）=0.648， rs0.01（10）=0.794 P<0.05, 拒绝H0，可认为黄曲霉素与肝癌死亡率间 存在正相关。

data d5; input x y ; cards; 0.7 21.5 1.0 18.9 1.7 14.4 3.7 46.5 4.0 27.3 5.1 64.6 5.5 46.3 5.7 34.2 5.9 77.6 10.0 55.1 ; proc corr nosimple spearman; var x y; run; SAS 程序

SAS 输出结果 Correlation Analysis 2 'VAR' Variables: X Y Spearman Correlation Coefficients / Prob > |r| under Ho: Rho=0 / N = 10 X Y X 1.00000 0.74545 0.0 0.0133 Y 0.74545 1.00000 0.0133 0.0 SAS 输出结果

1 3 2 2 3 1 4 7 5 4 6 9 7 6 8 5 9 10 10 8 data d5; input s t ; cards; 1 3 2 2 3 1 4 7 5 4 6 9 7 6 8 5 9 10 10 8 ; proc corr nosimple pearson; var s t; run; SAS 程序

总之： ① 分别将x与y从小到大编秩次，若遇相同值取平均秩次 Correlation Analysis 2 'VAR' Variables: X Y Pearson Correlation Coefficients / Prob > |r| under Ho: Rho=0 / N = 10 X Y X 1.00000 0.74545 0.0 0.0133 Y 0.74545 1.00000 0.0133 0.0 SAS 输出结果 总之： ① 分别将x与y从小到大编秩次，若遇相同值取平均秩次 ② 然后按前面Pearson相关系数的计算方法求解即得Spearman等级相关系数。

SUMMARY Wilcoxon符号秩检验：配对设计两样本比较 Wilcoxon秩和检验：完全随机设计两样本比较 Kruskal-Wallis秩和检验：完全随机设计设计多样本比较 (Nemenyi秩和检验：完全随机设计多样本两两比较) Friedman秩和检验：随机区组设计资料的多样本比较 Spearman 相关系数：两变量不满足直线相关分析的条件

作业：实习册—P27：2，3，4