第 二 章 离散型随机变量

2.1 一维随机变量及其分布 一、随机变量的概念 二、离散型随机变量概念 三、离散型随机变量的分布律 四、常见离散型随机变量的概率分布

一、随机变量的概念 定义2.1 随机变量通常用大写字母X,Y,Z,…或希腊字母, ,η, ζ,….等表示.

2.说明 (1)随机变量与普通的函数不同 　　随机变量 是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (每一个试验结果 ,都由实数 对应). (2)随机变量的取值具有一定的概率规律 　　随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.

实例 1 掷一个硬币, 观察出现的结果 , 共有两种 情况: 若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有 即 X (e) 是一个随机变量.

2.随机变量的分类 随机变量 离散型 非离散型 连续型 其它 (1)离散型 定义在样本空间 上，取值于实数R,且只取有限个或可列个值的随机变量 , 叫做一维离散型随机变量. 实例1 观察掷一个骰子出现的点数. 随机变量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6.

实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是: (2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个区间,叫做连续型随机变量. 实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”. 则 X 的取值范围为 实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的测误差”. 则 X 的取值范围为 (a, b) 内的任一值.

列成下表

二、离散型随机变量的分布律 定义 说明

离散型随机变量的分布律也可表示为 或

对于任意的实数a<b, 由概率的 可列可加性

三、常见离散型随机变量的概率分布 1.退化分布 2.两点分布 若随机变量 取常数值C的概率为1,即 则称 服从退化分布. 则称 服从退化分布. 2.两点分布 　　设随机变量 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为

则称 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为X~b(1,p) 实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况. 随机变量 服从 (0-1) 分布. 其分布律为

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布. 说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布. 两点分布随机数演示

3.二项分布 若分布律为： 称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。 记: ,其中q＝1－p 二项分布 两点分布

二项分布的图形 二项分布随机数演示

例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 p ,则击中目标的次数 X 服从 b(k;5,p) 的二项分布. 二项分布随机数演示

例2 分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.

解

图示概率分布

4. 普哇松分布(Poisson) 泊松资料

普哇松分布的图形 泊松分布随机数演示

泊松分布的背景及应用 　　二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.

在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布. 地震 火山爆发 特大洪水

在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布. 商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数

普哇松定理 证明

上面我们提到 二项分布 普哇松分布 n很大, p 很小 单击图形播放/暂停　ESC键退出

例3 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少? 设1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 解 所求概率为 可利用泊松定理计算

设该商店每月销售某种商品 件，月底的进货a件 例4：由该商店过去的销售记录知道，某种商品某月的销售数可以用参数 的普哇松分布来描述，为了以95％以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进该种商品多少？ 解 设该商店每月销售某种商品 件，月底的进货a件 则当 时不脱销，因而由题意得： 又已知 服从 的普哇松分布，上式为

由附录的普哇松分布表知 则这家商店只要在月底进货该种商品15件即可。

6. 几何分布 若随机变量 的分布律为 则称 服从几何分布. 6. 几何分布 若随机变量 的分布律为 则称 服从几何分布. 几何分布随机数演示 实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数目 X 是一个随机变量 , 求 的分布律.

解 所以 服从几何分布. 说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.

超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到。 7.超几何分布 设X的分布律为 说明： 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用到。 .

三、小结 退化分布 两点分布 两点分布 定义 均匀分布 二项分布 离散随机变量 二项分布 泊松分布 普哇松分布 几何分布 分布列 超几何分布

备份题 例 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一 件、一件地取产品.设每次抽取时, 所面对的各件 例 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一 件、一件地取产品.设每次抽取时, 所面对的各件 产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下, 分 别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律. (1)每次取出的产品经检定后又放回 这批产品中去在取下一件产品;(2)每 次取出的产品都不放回这批产品中; (3)每次取出一件产品后总以一件正 品放回这批产品中.

解 (1) X 所取的可能值是 故 X 的分布律为

(2) 若每次取出的产品都不放回这批产品中时, X 所取的可能值是 故 X 的分布律为

(3) 每次取出一件产品后总以一件正品放回这批 产品中. X 所取的可能值是 故 X 的分布律为

合理配备维修工人问题 例 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01? 解 所需解决的问题 使得

由泊松定理得 故有 即 个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01. 故至少需配备8

例6 (人寿保险问题)在保险公司里 有2500个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每个人死亡的概率为0 例6 (人寿保险问题)在保险公司里 有2500个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日付12元保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取200元.问 (1)保险公司亏本的概率是多少? (2) 保险公司获利不少于一万元的概率是多少? 解 设X表示这一年内的死亡人数,则 保险公司在1月1日的收入是 250012=30000元

保险公司这一年里付出200X元.假定 200X30000,即X 15人时公司亏本. 于是,P{公司亏本}=P{ X 15}=1-P{X< 14} 由泊松定理得 P{公司亏本} (2) 获利不少于一万元,即 30000 -200X 10000 即X10 P{获利不少于一万元}=P{X10}

伯努利资料 Jacob Bernoulli Born: 27 Dec 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland

普哇松资料 Siméon Poisson Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France