*線性代數* Chapter.4 特徵值與特徵向量.

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*線性代數* Chapter.4 特徵值與特徵向量

Chapter.4 特徵值與特徵向量 4.0 介紹:圖形的一個動態系統 4.1 介紹特徵值與特徵向量 4.2 行列式 探索 4.3 nxn矩陣的特徵與特徵向量 4.4 相似與對角化 4.5 計算特徵值的迭代法 4.6 Perron-Frobenius 定理的應用 運動團隊排名及網路搜尋 章節複習

4.1 介紹特徵值與特徵向量 線性代數,Ch.4,第279頁

例4.1 驗證 為 的一個特徵向量,並找出 對應的特徵值。 解: 我們計算得出 x即為A對應到特徵值4的特徵向量。 驗證 為 的一個特徵向量,並找出 對應的特徵值。 解: 我們計算得出 x即為A對應到特徵值4的特徵向量。 線性代數,Ch.4,第280頁

例4.2 驗證5 為 的一個特徵值,並確定對應到 此特徵值的特徵向量。 解: 我們須驗證存在一個非零向量x,滿足Ax=5x 。 驗證5 為 的一個特徵值,並確定對應到 此特徵值的特徵向量。 解: 我們須驗證存在一個非零向量x,滿足Ax=5x 。 但因方程等價於(A-5I )x=0,所以我們需要算出 矩陣A-5I 的零秩空間。 線性代數,Ch.4,第280頁

例4.2 既然此矩陣的行向量明顯為線性相依,可逆矩陣 基本定理顯示其零秩空間非零。意即,Ax=5x有 可以找到對應的特徵向量: 所以,若 為對應到特徵值5的一個特徵向 量,其便滿足 ,或 線性代數,Ch.4,第280頁

例4.2 所以這些特徵向量的形式如下 也就是說 ,其為 的非零倍數(或等價的說,是 的 非零倍數)。 線性代數,Ch.4,第280頁

4.1 介紹特徵值與特徵向量 線性代數,Ch.4,第281頁

例4.3 驗證λ=6 為 的一個特徵值,並找 出其特徵空間的一組基底。 解: 如同例4.2,我們計算A-6I 的零空間。列運算後 得到 驗證λ=6 為 的一個特徵值,並找 出其特徵空間的一組基底。 解: 如同例4.2,我們計算A-6I 的零空間。列運算後 得到 線性代數,Ch.4,第281頁

例4.3 A-6I的零空間不為零。因此6是矩陣A的一個特徵 值,而對應到此特徵值的特徵向量滿足x1+x2- 2x3=0,或x1=-x2+2x3。接著有 線性代數,Ch.4,第281頁

例4.4 用幾何方法找出 的特徵向量與特徵值 解: 我們確認A為x軸上一個反射F的矩陣(見例3.56) ,唯一被F變換完仍平行自己的,只有平行於y 軸的向量及平行於x軸的向量,也就是及的倍。 前者經變換完會改變方向,所以特徵值為-1;後 者經變換仍是自己,所以特徵值為1。 線性代數,Ch.4,第281頁

例4.4 (見圖4.5) 由以上知λ=1,-1 為A的特徵值,對 應到的特徵空間為 與 線性代數,Ch.4,第281-282頁

例4.5 找出例4.1中,矩陣 的所有特徵值及對 應的特徵向量。 解: 前述附註顯示我們要找方程式det (A-λI)=0 的所 有解。因為 找出例4.1中,矩陣 的所有特徵值及對 應的特徵向量。 解: 前述附註顯示我們要找方程式det (A-λI)=0 的所 有解。因為 我們需要解二次式λ2-6λ+8=0。很容易知道此 方程的解為λ=4 及λ=2,也就是A的特徵值。 線性代數,Ch.4,第283頁

例4.5 為找出對應到特徵值λ=4 的特徵向量,我們計算A-4I的零空間。我們發現 因此,得到 是對應到λ=4 的特徵向量若且 因此,得到 是對應到λ=4 的特徵向量若且 唯若x1-x2=0,或x1=x2。因此特徵空間 線性代數,Ch.4,第284頁 線性代數,Ch.4,第284頁

例4.5 因此, 是對應到λ=2 的特徵向量若且唯 若y1+y2=0,或y1=-y2。因此特徵空間 同樣的,對λ=2,我們得到 因此, 是對應到λ=2 的特徵向量若且唯 若y1+y2=0,或y1=-y2。因此特徵空間 線性代數,Ch.4,第284頁

例4.5 圖4.8 用幾何來表示A的特徵向量乘上A之後是如何被變換:在E4特徵空間中的特徵向量x被變換成4x,在E2特徵空間中的特徵向量y被變換成2y。如圖4.7(a)顯示,只有A的特徵向量是R2上的向量,而因乘上A,被轉換成自己的係數積。 線性代數,Ch.4,第284頁

例4.5 線性代數,Ch.4,第284頁

例4.6 將例4.5 中的矩陣解釋為Z3上的矩陣,並據此找 出其特徵值。 解: 解的過程同前,只是我們必須以modulo 3來計 算。因此,二次式λ2-6λ+8=0 便變成λ2+2 =0。此方程式與λ2=-2=1 相同,因此得到x= 1 及λ=-1=2 為Z3中的特徵值。(驗證若先將A 以module 3 簡化後得到 ,然後再運算之也 會得到同樣的結果。) 線性代數,Ch.4,第285頁

例4.7 找出 在(a)R及(b)複數C上的特徵值。 解: 我們必須解以下方程式 (a) 在R中,無解。所以A 無特徵值。 (b) 在C中,解為λ=i 與λ=-i (見附錄C)。

4.2 行列式 線性代數,Ch.4,第289頁

例4.8 計算 的行列式值。 解: 計算 稍微練習一下,就可以用心算處理2×2 矩陣的行列式,因此上式中的第二行是不需要的。 計算 的行列式值。 解: 計算 稍微練習一下,就可以用心算處理2×2 矩陣的行列式,因此上式中的第二行是不需要的。 線性代數,Ch.4,第289頁

例4.9 運用(2) 式的方法,計算例4.8 中矩陣的行列式 值。 解: 我們鄰接A 的前兩行 得到 同前述。 線性代數,Ch.4,第290頁

4.2 行列式 線性代數,Ch.4,第290頁

4.2 行列式 定理4.1 線性代數,Ch.4,第291頁

例4.10 分別運用(a)沿第三列的共因子展式及(c)沿第二 行的共因子展式計算矩陣 的行列式 值。 解 (a)計算 行的共因子展式計算矩陣 的行列式 值。 解 (a)計算 線性代數,Ch.4,第292頁

例4.11 計算 的行列式值。 解: 首先注意第三行只有一個非零元,所以我們對此 行展開。接下來要注意的是加減號的規則,知道 計算 的行列式值。 解: 首先注意第三行只有一個非零元,所以我們對此 行展開。接下來要注意的是加減號的規則,知道 要將減號給元a23=2。 線性代數,Ch.4,第292頁

例4.11 所以,我們得到 我們現在持續對第三列展開 線性代數,Ch.4,第293頁

例4.11 (注意左3×3 區塊中的加減號規則,看的不是原本 的矩陣,只要看現在處理的3×3 矩陣就好。) 線性代數,Ch.4,第293頁

例4.12 計算 的行列式值。 解: 我們沿著第一行展開得到 線性代數,Ch.4,第293頁

例4.12 (我們刪除所有對應到零元的共因子。) 再對第一 行展開 持續沿第一行展開,我們便完成計算: # 線性代數,Ch.4,第293-294頁

4.2行列式 定理4.2 線性代數,Ch.4,第294頁

4.2行列式 定理4.3 線性代數,Ch.4,第294-295頁

例4.13 若 計算detA。 線性代數,Ch.4,第295-296頁

例4.13 (a)運用性質(f),然後是性質(a),我們可得到 (b)我們將A化簡成如下列階式: 線性代數,Ch.4,第296頁

4.2 行列式 定理4.4 線性代數,Ch.4,第297頁

4.2 行列式 定理4.5 線性代數,Ch.4,第297頁

4.2 行列式 定理4.6 線性代數,Ch.4,第297頁

4.2 行列式 *證明* 令A為一個n×n的矩陣,並令R為A的一個化簡列 階式。我們先證明det A≠0 的充要條件是 detR≠0。令E1、E2、…、Er是對應到將A化簡 成R所做的列運算的基本矩陣。則 等式兩邊取行列式值,並重複引理4.5,我們得 到 線性代數,Ch.4,第297頁

4.2 行列式 依據定理4.4,所有的基本矩陣之行列式值皆不 為零。我們得到det A≠0 的充要條件是det R≠0。現在假定A 為可逆。則根據可逆矩陣基本 定理,R=In,所以detR=1≠0,因此det A≠0。 同樣的,若det A≠0 則det R≠0,所以R沒有一 列全零,根據定理4.3(a),就有R 必為In (為 何?)。因此,再次根據基本定理知A 為可逆。 線性代數,Ch.4,第297頁

4.2 行列式 定理4.7 線性代數,Ch.4,第298頁

4.2 行列式 定理4.8 線性代數,Ch.4,第298頁

4.2 行列式 *證明* 我們將考慮兩情形:A為可逆,以及A不可 逆。若A 為可逆,則根據可逆矩陣基本定理,A 可以寫成基本矩陣的乘積,設 則AB=E1E2…EkB,所以應用引理4.5 k次後得到 線性代數,Ch.4,第298頁

4.2 行列式 再繼續應用定理4.5,我們得到 另一方面,若A不可逆,則AB也不可逆。再由定理4.6知,detA=0 且det (AB)=0,也就有det(AB)=(det A) (det B),因為兩邊皆為零 線性代數,Ch.4,第298-299頁

例4.14 對 與 應用定理4.8,我們發現 且det A=4,det B=3,det(AB)=12=4‧3=(detA)(det B) 即為所求。(驗證之。) 線性代數,Ch.4,第299頁

4.2行列式 定理4.9 線性代數,Ch.4,第299頁

例4.15 驗證例4.14 中的矩陣符合定理4.9 性質。 解: 計算 所以 線性代數,Ch.4,第299頁

4.2 行列式 定理4.10 線性代數,Ch.4,第300頁

4.2 行列式 定理4.11 線性代數,Ch.4,第300頁

4.2 行列式 *證明* 基本矩陣I=In的行為標準單位向量。若Ax=b, 則 所以,依據定理4.8, 線性代數,Ch.4,第300頁

4.2 行列式 現在對第i 列展開,就有: 所以(det A)xi=det(Ai(b)),又因A為可逆,再同 除以不為零的det A。 線性代數,Ch.4,第300-301頁

例4.16 運用Cramer 規則解方程組 解: 計算   與 依據Cramer 規則, 且 線性代數,Ch.4,第301頁

4.2 行列式 此節最後的成果是一個用行列式來表示矩陣的反 矩陣的公式。在此節最初就有對3×3矩陣的反矩 陣給出式子,只是當時沒有加以證明,因此,現 在我們就要讓它變得圓滿。 若A 為一個可逆的n×n矩陣,令A的(唯一的) 反矩 陣為X,滿足AX=I。我們要一次把X的一行解出 來。令X的第j行為xj,也就是 線性代數,Ch.4,第301頁

4.2 行列式 所以,Axj=ej,且依據Cramer 規則, 然而 線性代數,Ch.4,第302頁

4.2 行列式 其為A 的第(j, i)個共因子。由此可得xij=(1/det A)Cji,所以A-1=X=(1/det A)[Cji]=(1/det A)[Cji]T。 矩陣 便稱作A 的伴隨(adjoint 或adjugate)。記為adjA。 線性代數,Ch.4,第302頁

4.2 行列式 定理4.12 線性代數,Ch.4,第302頁

例4.17 運用伴隨法來計算以下的逆矩陣。 解: 我們計算出det A=-2,且九個共因子為 線性代數,Ch.4,第299頁

例4.17 鄰接為共因子構成之矩陣的轉置,也就是 則 即為我們在例3.30 之所求。

4.2 行列式 引理4.13 線性代數,Ch.4,第303頁

*線性代數* 探索

探索 回憶第一章的「探索:外積」中, 與 的外積為向量u×v,定義如下 回憶第一章的「探索:外積」中, 與 的外積為向量u×v,定義如下 若我們將此外積寫成(u2v3-u3v2)e1-(u1v3-u3v1)e2 +(u1v2-u2v1)e3,其中e1,e2及e3為標準基底向量,則我們可發現此公式事實上為將 線性代數,Ch.4,第311頁

探索 1. 運用外積的行列式方法來計算第一章習題做過的 u×v。 線性代數,Ch.4,第311頁

探索 2.若 , 且 驗證 3. 運用行列式的特質(若有需要的話,還可運用上 述問題(2),證明以下的外積性質。 2.若 , 且 驗證 3. 運用行列式的特質(若有需要的話,還可運用上 述問題(2),證明以下的外積性質。 (a) v×u=-(u×v) (b)u×0=0 (c) u×u=0 (d) u×kv=k(u×v) (e) u×(v+w=u×v+u×w 線性代數,Ch.4,第311頁

探索 (f)u‧(u×v)=0 及v‧(u×v)=0 (g)u‧(v×w)=(u×v)‧w (三重數量積恆等式) 形面積為 (提示:將u與v寫成 與 。) 線性代數,Ch.4,第312頁

探索 5.依據圖4.9的提示,以幾何方式導出問題4的面積 公式。(提示:自大矩形減去平行四邊形周邊的 面積。) 此例中何處應加上絕對值記號? 6.找出由u與v所決定的平行四邊形面積 線性代數,Ch.4,第312頁

探索 11.運用以上描述的方法找出通過以下各點的直線 方程式。 (a) (2, 3) 與(-1, 0) (b) (1, 2) 與(4, 3) 12. 證明(x1,y1), (x2,y2) 及(x3,y3)三點共線(都在同 一條線上) 的充要條件是 線性代數,Ch.4,第314頁

探索 13.證明通過三不共線點(x1,y1,z1) , (x2,y2,z2) 及(x3, y3,z3) 的平面方程式為若三點共線時,情形又會 如何?(提示:用列運算計算行列式值,從而解 釋發生的結果。) 14. 證明四點(x1, y1, z1) , (x2, y2, z2) , (x3, y3, z3) 及(x4, y4, z4) 共面(都在同一平面上) 的充要條件是 曲線 線性代數,Ch.4,第314頁

探索 15.由圖4.12 我們可以找到一個拋物線通過點A(-1, 10), B(0,5) 及C(3,2)。拋物線方程式的一般式 為y=a+bx+cx2。將給定的三個點代入方程式, 就建立了三個線性方程式、未知數為a、b、c 的方程組。不要真的去解方程組,而用定理4.6 來說明此方程有唯一解。 線性代數,Ch.4,第315頁

探索 16.運用問題15的方法,找出通過以下各點集合的多項式(多項式次數最多為2次)。 (a)A(1,-1),B(2,4),C(3,3) (b)A(-1,-3),B(1,-1),C(3,1) 17. 將問題15與問題16 一般化,設a1、a2、a3為相異實數,對任意實數b1、b2、b3,證明有唯一的二次方程式y=a+bx+cx2通過三點(a1,b1)、(a2,b2) 及(a3,b3),可以先證明此線性方程組的係數矩陣的行列式 必需不為零。(為什麼?) 線性代數,Ch.4,第315頁

探索 18.令a1, a2, a3及a4為相異實數。驗證 對任意實數b1, b2, b3及b4運用此結果證明存在唯 一三次方程式y=a+bx+cx2+dx3通過四點(a1,b1) , (a2,b2),(a3,b3)及(a4,b4)(不需真正解出a,b,c與d。) 線性代數,Ch.4,第315頁

探索 19.令 為n個實數,證明 線性代數,Ch.4,第315頁

4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 當我們展開det (A-λI ),我們得到一個λ的多項 式,稱作A的特徵多項式(characteristicpolyno- mial)。方程式det (A-λI )=0 則稱作A的特徵方程 式(characteristic equation)。例如,若 ,其特徵多項式即為 線性代數,Ch.4,第317頁

4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 若A為n×n,其特徵多項式將為n次多項式。根據 代數基本定理,一個n次實係數或是複數係數的 徵值。 線性代數,Ch.4,第317頁

4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 線性代數,Ch.4,第317頁

例4.18 找出 的特徵值與相應的特徵向量。 解: 根據上述的過程摘要,特徵多項式為 線性代數,Ch.4,第318頁

例4.18 為找出特徵值,我們需要解出特徵方程式det (A-λI)=0 中之λ。特徵多項式可被因式分解為-(λ-1)2(λ-2)。(因式定理在此處將有用處) 所以,特徵方程式為-(λ-1)2(λ-2)=0, 很清楚其解為λ=1 與λ=2。因為λ=1為重根,因此我們令λ1=λ2=1, λ3=2。 為了找出對應到特徵值λ1=λ2=1的特徵向量, 我們得找 的零映空間。 線性代數,Ch.4,第318頁

例4.18 列運算得到 (進一步我們知道,我們必然會得到。) 所以, 特徵空間E1的充要條件為x1-x3=0與x2- x3=0。 線性代數,Ch.4,第318頁

例4.18 為找到對應到λ3=2 的特徵向量,我們經由列運 算找出A-2I的零映空間: 所以 在特徵空間E2的充要條件為 與 線性代數,Ch.4,第319頁

例4.18 令自變數x3=t 得 其中我們已為了消掉分母而同乘上分母的最小公 倍數。 線性代數,Ch.4,第319頁

例4.19 找出 的特徵值與相應的特徵向量。 解: 特徵多項式為 線性代數,Ch.4,第319-320頁

例4.19 因此,特徵值為λ1=λ2=0 且λ3=-2。就是特 徵值0的代數重根數為2,而特徵值-2的代數重 根數為1。 當λ1=λ2=0,計算 可得到E0中滿足x1=x3的一個特徵向量。 線性代數,Ch.4,第320頁

例4.19 所以,x2與x3都是自變數,令x2=s 且x3=t,就有 當λ3=-2, 所以x3=t 為自變數且x1=-x3=-t, x2=3x3=3t。

例4.19 結果 可得λ1=λ2=0 為的幾何重根數為2,而λ3=-2 的幾何重根數為1。(在此例中,每一個特徵值的 代數重根數等於幾何重根數。)

4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 定理4.15 線性代數,Ch.4,第321頁

例4.20 依據定理4.15, 的特徵值為λ1=2,λ2=1,λ3=3,λ4=-2。(事實上,特徵多項式為(2-λ)(1-λ)(3-λ)(-2-λ)。)

4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 定理4.16 線性代數,Ch.4,第321頁

4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 定理4.17 線性代數,Ch.4,第321頁

4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 定理4.17(續) 線性代數,Ch.4,第322頁

4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 定理4.18 線性代數,Ch.4,第322頁

4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 解:假定Ax=λx。 (a)我們要對n做歸納法。當n=1,就是一開始所給的條件。假定對某正整數n=k 成立,即Akx=λkx。現在我們必須證明對n=k+1也成立。但依據歸納法假設, 運用定理3.3 之性質(d) , 我們得到 線性代數,Ch.4,第322頁

4.3nxn矩陣的特徵值與特徵向量 所以Ak+1x=λk+1x 即為所求,根據歸納法得證,對 任意整數n ≥ 1 皆成立。 (b) 證明留待在習題13。 (c) 證明留待在習題14。 線性代數,Ch.4,第322頁

例4.21 計算 。 解: 令 且 則我們要得出A10x。A 的特 徵值為λ1=-1 與λ2=2,而對應的特徵向量分別 為 與 。 計算 。 解: 令 且 則我們要得出A10x。A 的特 徵值為λ1=-1 與λ2=2,而對應的特徵向量分別 為 與 。 也就是 且 線性代數,Ch.4,第322頁

例4.21 (驗算此。) 由於{v1,v2} 構成了 的一組基底(為什麼?),我們可將x寫成v1與v2的一個線性組合。 所以,運用定理4.18 (a) , 我們得到 此首先的確比計算A10簡單得多;事實上,其根 本不必進行矩陣的乘法運算! 線性代數,Ch.4,第323頁

4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 定理4.19 線性代數,Ch.4,第323頁

4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 定理4.20 線性代數,Ch.4,第323頁

4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 *證明* 我們將間接接證明。假定 為線性相依, 然後驗證假定與結果矛盾。 我們將間接接證明。假定 為線性相依, 然後驗證假定與結果矛盾。 假設 線性相依,則其中有一個向量可以 寫成它之前的向量的線性組合。令vk+1是滿足此 性質的第一個向量。換句話說, 為線性 獨立,但存在實數使得 (1) 線性代數,Ch.4,第323-324頁

4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 在(1)式兩邊乘上A,從左至右並運用對每一個i, Avi=λivi的事實,可得到 (2) 現在,在(1) 式兩邊乘上λk+1可得到 (3) 線性代數,Ch.4,第324頁

4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 將(2)式減(3)式,可得到 由之線性獨立可推得 由於特徵值λi 皆相異,括號中的項(λi-λk+1), i=1, . . . , k 皆不為零。因此,c1=c2=…=ck= 0。由此可得 線性代數,Ch.4,第324頁

4.3 nxn矩陣的特徵值與特徵向量 這是有可能的,因為特徵向量vk+1 不可為零,所 以,產生了一個矛盾。也就是說, 為線 以,產生了一個矛盾。也就是說, 為線 性相依的假設有誤,因此 必為線性獨立。 線性代數,Ch.4,第323頁

4.4 相似與對角化 [相似矩陣] 線性代數,Ch.4,第328頁

例4.22 令 且 ,則A∼B,因為 所以AP=PB,其中 。 線性代數,Ch.4,第328頁

4.4 相似與對角化 定理4.21 線性代數,Ch.4,第328頁

4.4 相似與對角化 *證明* (a) 由I-1AI=A 可得證。 (b)若A∼B,則對某可逆矩陣P, P-1AB=B,令Q 4.4 相似與對角化 *證明* (a) 由I-1AI=A 可得證。 (b)若A∼B,則對某可逆矩陣P, P-1AB=B,令Q =P-1 我們得到Q-1BQ=(P-1)-1BP-1=PBP-1=A。 (c) 此證明留待在習題30。 線性代數,Ch.4,第328頁

4.4相似與對角化 定理4.22 線性代數,Ch.4,第329頁

4.4 相似與對角化 *證明* 我們證明(a) 與(d),並將其餘的性質留待在習題 中。設A~B,則對某個可逆矩陣P 有P-1AP=B。 4.4 相似與對角化 *證明* 我們證明(a) 與(d),並將其餘的性質留待在習題 中。設A~B,則對某個可逆矩陣P 有P-1AP=B。 (a)取兩邊的行列式值,我們得到 線性代數,Ch.4,第329頁

4.4 相似與對角化 (d)B的特徵多項式為 最後一步與(a)作法一致,所以,det(B-λI)= 4.4 相似與對角化 (d)B的特徵多項式為 最後一步與(a)作法一致,所以,det(B-λI)= det(A-λI)。也就是說, B 與A 的特徵多項式相 同。 線性代數,Ch.4,第329頁

例4.23 (a) 與 不相似,因為det A=-3而detB=3。 (b) 與 不相似,因為A的特徵 λ2-4。(檢查!) 注意到,A和B還是有相通的 秩。 線性代數,Ch.4,第330頁

4.4 相似與對角化 [對角化] 線性代數,Ch.4,第330頁

例4.24 為可對角化的,因為當 且 ,則P-1AP=D 可容易被驗算。事實 上,驗算AP=PD 快多了,因為不用再計算P-1。

4.4 相似與對角化 定理4.23 線性代數,Ch.4,第329頁

4.4 相似與對角化 *證明* 首先假定A 與一個對角矩陣D 相似(經由P -1AP=D),或等價地說,AP=PD。令P 的行向量為 ,且令D 的對角位元為 。則 (1) 線性代數,Ch.4,第330頁

4.4 相似與對角化 或 (2) 其中等式右邊為乘積PD的行列表示式。對每行取 等式,就有 其可證明P的行向量為A對應到D對角位元(特徵值) 4.4 相似與對角化 或 (2) 其中等式右邊為乘積PD的行列表示式。對每行取 等式,就有 其可證明P的行向量為A對應到D對角位元(特徵值) 的特徵向量。因為P可逆,根據可逆矩陣基本定 理,可知P的各行為線性獨立。 線性代數,Ch.4,第331頁

4.4 相似與對角化 另一方面,若A有n個線性獨立的特徵向量p1、 p2 、…、pn,其對應到的特徵值分別為λ1、λ2… 、 4.4 相似與對角化 另一方面,若A有n個線性獨立的特徵向量p1、 p2 、…、pn,其對應到的特徵值分別為λ1、λ2… 、 λn,則此可推得如上方程式(2)與(1)式等價。因 此,令n×n矩陣P個各行為p1、p2、…、pn,則式(1) 變成AP=PD。又因P的各行為線性獨立,故P為可 逆,就有P-1AP=D,也就是A 可對角化。 線性代數,Ch.4,第331頁

例4.25 若可能的話,找出能將A對角化的矩陣P。其中 解: 我們在例4.18中探究過此矩陣。當時我們發現, 其有特徵值λ1=λ2=1且λ3=2,其特徵空間則 有以下基底: 當λ1=λ2=1,E1有基底 。 線性代數,Ch.4,第331頁

例4.25 由於所有其它的特徵向量即為此二基底向量的倍 數,所以不可能出現三個線性獨立的特徵向量。 因此,依據定理4.23,A無法被對角化。 當λ3=2,E2有基底 。 由於所有其它的特徵向量即為此二基底向量的倍 數,所以不可能出現三個線性獨立的特徵向量。 因此,依據定理4.23,A無法被對角化。 線性代數,Ch.4,第331頁

例4.26 若可能的話,找出能將A角化的矩陣P。其中 解: 此為例4.19的矩陣。所以,我們發現A的特徵值 為λ1=λ2=0,λ3=-2,而特徵空間的基底則如下 當λ1=λ2=0,E0的基底為 且 線性代數,Ch.4,第332頁

例4.26 當λ3=-2,E-2的基底為 。 可直接驗證這三個向量為線性獨立。所以,若我 們取 則P 為可逆。 線性代數,Ch.4,第332頁

例4.26 此外,可容易驗證 (若用筆算的話,驗證等價的式子AP=PD會更 容易。) 線性代數,Ch.4,第332頁

4.4 相似與對角化 定理4.24 線性代數,Ch.4,第333頁

4.4 相似與對角化 *證明* 令 其中 ,我們得到 為線性獨立。假定這些向量的某個有意義的線性組 合為零向量,即 (3) 4.4 相似與對角化 *證明* 令 其中 ,我們得到 為線性獨立。假定這些向量的某個有意義的線性組 合為零向量,即 (3) 將括號中的和記作 我們可將方程式(3)寫 成 (4) 線性代數,Ch.4,第333頁

4.4 相似與對角化 現在每一個xi 落在 中(為什麼?)。所以xi若不是 零向量就是對應到λi的特徵向量。但因為特徵值 4.4 相似與對角化 現在每一個xi 落在 中(為什麼?)。所以xi若不是 零向量就是對應到λi的特徵向量。但因為特徵值 皆相異,所以如果每一個xi都是特徵向量,那根據 定理4.20,這些向量就必線性獨立。而等式(4)是一 個線性相依的關係式,產生矛盾。就得到等式(3) 只有無聊解,也就是所有的係數階為零。所以B是 線性獨立。 線性代數,Ch.4,第333頁

4.4 相似與對角化 定理4.25 線性代數,Ch.4,第333頁

例4.27 矩陣 依據定理4.15,其有特徵值λ1=2,λ2=5,λ3=-1。既然此為3×3矩陣的三個相異特徵值,依據定理4.25,A可被對角化。(若我們確實要求一個矩陣P,使得 P-1AP為對角矩陣,我們將同上述例4.19與例4.26的算法來計算特徵空間中的基底。) 線性代數,Ch.4,第334頁

4.4 相似與對角化 引理4.26 線性代數,Ch.4,第334頁

4.4 相似與對角化 *證明* 假定λ1為A的一個特徵值,且其幾何重根數為p, 即dim 。現特別令 的基底為 4.4 相似與對角化 *證明* 假定λ1為A的一個特徵值,且其幾何重根數為p, 即dim 。現特別令 的基底為 ,令Q 為以 為作為其首p個行向量的任 意可逆n×n矩陣,即 或,如同一個分割矩陣 線性代數,Ch.4,第334頁

4.4 相似與對角化 令 其中C為p×n。 由於U的行向量為對應到λ1的特徵向量,AU= λ1U,我們也得到 線性代數,Ch.4,第334頁

4.4 相似與對角化 其中我們得到CU=IP, CV=O, DU=O 與DV=In-p 。 所以依據第4.2節的習題69,得到 (5) 4.4 相似與對角化 其中我們得到CU=IP, CV=O, DU=O 與DV=In-p 。 所以依據第4.2節的習題69,得到 (5) 但det(Q-1AQ-λI) 為Q-1AQ 的特徵多項式,依據定理4.22 (d),其與A的特徵多項式相同。所以,由方程式(5)可推得λ1的代數重根數至少為p,也就是其幾何重根數。 線性代數,Ch.4,第334頁

4.4 相似與對角化 定理4.27 線性代數,Ch.4,第335頁

4.4 相似與對角化 *證明* (a) (b) 若A可被對角化,則依據定理4.23,其 有n個線性獨立的特徵向量。(b) (c) 令λi的幾 4.4 相似與對角化 *證明* (a) (b) 若A可被對角化,則依據定理4.23,其 有n個線性獨立的特徵向量。(b) (c) 令λi的幾 何重根數為di=dim 並令λi的代數重根數為mi。由引理4.26,di ≤ mi,其中 ,現在 假定(b)成立,則我們也可得到 線性代數,Ch.4,第335頁

4.4 相似與對角化 但m1+m2+…+mk=n,因為A 之特徵值的代數 重根數之和即為A之特徵多項式的階數:n由此得 4.4 相似與對角化 但m1+m2+…+mk=n,因為A 之特徵值的代數 重根數之和即為A之特徵多項式的階數:n由此得 到d1+d2+…+dk=m1+m2+…+mk, 再得到 (6) 再一次運用引理4.26,我們得知mi-di ≥ 0,其 中 ,由此可推得方程式(6) 中的每一個和為 零。也就是說,mi=di,其中 。 線性代數,Ch.4,第335頁

例4.28 (a)例4.18 中的矩陣 有兩個相異特徵 值λ1=λ2=1與λ3=2。由於特徵值λ1=λ2=1 有代數重根數2,但其幾何重根數卻為1。因 此,依據對角化定理(參見例4.25),A無法被對 角化。 (b)例4.19 中的矩陣 有兩個相異特徵 值λ1=λ2=0與λ3=-2。 線性代數,Ch.4,第335頁

例4.28 其中特徵值0 的代數重根數與幾何重根數皆為2, 而特徵值-2的代數重根數與幾何重根數皆為1。因 此,依據對角化定理(此與例4.26 結果相符),A可 被對角化。 線性代數,Ch.4,第336頁

例4.29 若 ,計算A10。 解: 在例4.21中,我們發現此矩陣有兩個特徵值 λ1=-1與λ2=2,分別對應到特徵向量 與 λ1=-1與λ2=2,分別對應到特徵向量 與 。由此得到(從本節任一個定理)A可被對 角化,且P-1AP=D,其中 及 線性代數,Ch.4,第336頁

例4.29 解A,我們得到A=PDP-1,由此可容易求得A 之 冪次,計算如下 且一般冪次An=PDnP-1,其中n ≥ 1。(讀者可用 歸納法驗證此,由此觀察到其對任何可對角化之矩 陣都成立,非僅本例。) 由於 線性代數,Ch.4,第336頁

例4.29 我們得到 由於本題只要求A10,此結果已遠超過我們所需。 但現在我們可將10代入n而得到 線性代數,Ch.4,第336頁

4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.28 線性代數,Ch.4,第339頁

4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 我們可假定A 的特徵值被標記,使得 令 為對應的特徵向量。由於 4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 我們可假定A 的特徵值被標記,使得 令 為對應的特徵向量。由於 為線性獨立(為什麼?),它們構成了 中的一個基 底。結果,我們可將x0寫成這些特徵向量的一個 線性組合,也就是 線性代數,Ch.4,第339頁

4.5 計算特徵值的迭代法 現在 且一般式為 其中 如我們在例4.21中所見者, (1) 其中我們運用了λ1≠0 的事實。 4.5 計算特徵值的迭代法 現在 且一般式為 其中 如我們在例4.21中所見者, (1) 其中我們運用了λ1≠0 的事實。 線性代數,Ch.4,第340頁

4.5 計算特徵值的迭代法 λ1為顯性特徵值以及每一個分數 的絕對值皆小於1。所以 當k→ 時便趨近於零。由此得到 當 (2) 4.5 計算特徵值的迭代法 λ1為顯性特徵值以及每一個分數 的絕對值皆小於1。所以 當k→ 時便趨近於零。由此得到 當 (2) 線性代數,Ch.4,第340頁

例4.30 運用定理4.28之方法,估計矩陣 的顯性 特徵量。 解: 我們將取 作為初始向量。則 線性代數,Ch.4,第340頁

例4.30 我們持續用此方法來得到xk之值,如表4.1. 線性代數,Ch.4,第340頁

例4.30 線性代數,Ch.4,第341頁

例4.30 圖4.13 是在幾何上顯示整個過程。我們知道顯性特徵值的特徵空間的維度必為1 (何故?見習題46)。因此其必為一條過原點的直線。不斷迭代產生的xk 似乎會收斂到以 為方向向量的直線。 為了確定這就是顯性特徵向量我們只需要觀察向量xk 兩分量的比值rk是否隨著k 的遞加而趨近於1。表4.1 的第二列顯示出這些數值,也可以看到它們真的是趨近於1。我們得到顯性特徵向量真的是 。 線性代數,Ch.4,第341頁

例4.30 現在已經找到顯性特徵向量,如何找到對應的顯性 特徵值呢?一個步驟是觀察到,如果xk 是趨近於顯 性特徵值λ1 對應的特徵顯性特徵向量,則 由此得到xk+1 與xk 的第一個分量的比值lk 在k 增加 時,會趨近λ1 。表4.1 顯示出lk 趨近於2,也是矩 陣的顯性特徵值。 線性代數,Ch.4,第341頁

4.5 計算特徵值的迭代法 此方法稱作冪法(power method),摘要如下。 線性代數,Ch.4,第342頁

例4.31 運用冪法,估計矩陣的顯性特徵值及一個顯性 特徵向量。 解: 取 線性代數,Ch.4,第343頁

例4.31 作為我們的初始向量。我們計算出內元如表4.3。 讀者可看到向量yk 趨近 ,而係數mk 則趨近16。 此意味它們分別為A 的一個顯性特徵向量及顯性特徵 值。 線性代數,Ch.4,第343頁

4.5 計算特徵值的迭代法 飄移冪法(shifted power method) 利用到以下觀察: 4.5 計算特徵值的迭代法 [飄移冪法與逆冪法] 飄移冪法(shifted power method) 利用到以下觀察: 如果λ是A的特徵值,則對任意係數α,λ-α是A-αI的特徵值(見4.3 習題22)。也就是,如果λ1是A 的顯性特徵值,則A-λ1I 的特徵值為0,λ2-λ1,λ3-λ1,…,λn-λ1。接著我們可以用冪法來求出λ2-λ1。重複以上步驟,我們就可以求出所有的特徵值。 線性代數,Ch.4,第344頁

例4.32 運用飄移冪法來計算例4.30中矩陣 的第二 個特徵值。 解: 在例4.30中,我們發現λ1=2。為找出λ2,我們 將冪法應用在 運用飄移冪法來計算例4.30中矩陣 的第二 個特徵值。 解: 在例4.30中,我們發現λ1=2。為找出λ2,我們 將冪法應用在 線性代數,Ch.4,第344頁

例4.32 取 但其它的選擇仍是可作用的。計算概 要在表4.4 中。 線性代數,Ch.4,第344頁

例4.32 我們對x0的選擇在兩次迭代後,可產生特徵值- 3。所以,λ2-λ1=-3, λ2=λ1-3=2-3=-1為A的 第二個特徵值。 線性代數,Ch.4,第345頁

例4.33 運用逆冪法來計算例4.30 中矩陣 的第 二個特徵值。 解: 同例4.30,取 。為解Ax1=y0,我們 運用列運算: 運用逆冪法來計算例4.30 中矩陣 的第 二個特徵值。 解: 同例4.30,取 。為解Ax1=y0,我們 運用列運算: 線性代數,Ch.4,第345頁

例4.33 因此, 所以 。因此則由Ax2=y1, 我們得到x2: 所以, ,經由scaling,我們得到 。持續此動作,我們可得到表4.5中的值,其中mk 收斂至-1。所以,A的最小特徵值為-1的倒數(也是 -1)。此與例4.32 的結果相符。 線性代數,Ch.4,第345頁

例4.33 線性代數,Ch.4,第345頁

4.5 計算特徵值的迭代法 [飄移冪法] 如果給定一個係數α,那飄移逆冪法(shifted 4.5 計算特徵值的迭代法 [飄移冪法] 如果給定一個係數α,那飄移逆冪法(shifted Inverse power method) 就可以找到一個特徵值近 似於α。 如果λ是A的特徵值,若α不是A的一個特徵值,則A-αI 可逆,且1/(λ-α) 是(A-λI)-1的一個特徵值(見習題45)。若α很接近λ,則1/(λ-α) 將是(A-λI) -1的顯性特徵值。事實上,如果α 很接近λ,則1/(λ-α) 會比其它特徵值大得多,因此收斂速度將很快。 線性代數,Ch.4,第346頁

例4.34 運用飄移逆冪法來估計 最接近5的特徵值。 解: 經由飄移,我們得到 線性代數,Ch.4,第346頁

例4.34 現在我們應用逆冪法,並令 解x1 中之(A-5I) x1=y0: 線性代數,Ch.4,第346頁

例4.34 得到 與 我們持續此方式得到表4.6中的值。由此我們可推 論出A最靠近5 的特徵值約為5+1/m7 ≈ 5+1/(-1) =4,恰為所求。 線性代數,Ch.4,第346頁

例4.34 線性代數,Ch.4,第347頁

4.5 計算特徵值的迭代法 線性代數,Ch.4,第347頁

例4.35 畫出以下矩陣的Gerschgorin 圓盤與特徵值。 (a) (b) 解: (a) 兩個Gerschgorin 圓盤之圓心分別在2 與-3,半徑分別為1與2。A 的特徵多項式為λ2+λ-8,所以特徵值為 線性代數,Ch.4,第348頁

例4.35 圖4.14 顯示特徵值被包含在兩個Gerschgorin 圓盤 中。 (b) 兩個Gerschgorin 圓盤之圓心分別在1 與3, 半徑 分別為 =3與2。A 的特徵多項式為λ2-4λ +9,所以特徵值為 線性代數,Ch.4,第348頁

例4.35 圖4.15畫出與Gerschgorin 圓盤相關之特徵值位置 線性代數,Ch.4,第348頁

4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.29 線性代數,Ch.4,第349頁

4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 令λ為A的一個對應到特徵向量x的特徵值。令xi 為x的位元中絕對值最大者,且因此不為零。(為什麼?) 則Ax=λx,第i 列為 或 經由重排,我們得到 線性代數,Ch.4,第349頁

4.5 計算特徵值的迭代法 因為xi≠0,取絕對值並運用絕對值的性質,我們得到 因為對j≠i, 4.5 計算特徵值的迭代法 因為xi≠0,取絕對值並運用絕對值的性質,我們得到 因為對j≠i, 由此得到特徵值λ 被包含在圓心aii,半徑ri 的 Gerschgorin 圓盤中。 線性代數,Ch.4,第349頁

例4.36 考慮矩陣 。Gerschgorin定理告訴 我們,A的特徵值分別被包含在圓心2,6與8,且半徑1,1與2的Gerschgorin圓盤中。見圖4.16 (a)。因為第一個圓盤跟別的圓盤互斥,根據定理4.29的第二個附註,因此它恰包含一個特徵值。又因A為實係數矩陣,因此A若有複數特徵值必為共軛(見附錄D),因此有一個實根落在1跟3之間,而有兩根(可能是複數) 的實部界於5到10之間。 線性代數,Ch.4,第350頁

例4.36 另一方面,4.29的第一個附註告訴我們同樣的 三個A的特徵值落在三個圓心分別為2、6、8, 半徑分別為2.5、1、0.5的圓盤,見圖4.16(b)。 圓盤都兩兩互斥,因此每一個圓盤都恰包含一 個特徵值(因此為實根)。將這兩個結果合起來 看,可以推得A有三個實特徵根,分別落在以下 的每一個區間[1,3]、[5,7] 和[7.5, 8.5] (實際求出 A的特徵值來驗證)。 線性代數,Ch.4,第350頁

4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.29 線性代數,Ch.4,第353頁

4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 回憶每一個推移矩陣皆為隨機,因此,其每一個行向量之和皆為1。所以,若j 為由n 個1 組成的一個列向量,則jP=j (見第3.7 節的習題13)。取其轉置,我們得到 可推得jT 為PT 對應到特徵值1的一個特徵向量。由第4.3節的習題19,P與PT有相同的特徵值,所以1也為P的一個特徵值。 線性代數,Ch.4,第353頁

4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.30 線性代數,Ch.4,第354頁

4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 如同在定理4.30中,證明此定理的技巧便是運用PT 有相同特徵值P 的事實。 4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 如同在定理4.30中,證明此定理的技巧便是運用PT 有相同特徵值P 的事實。 (a)令x 為PT 對應到λ的一個特徵向量,並令xk為x的分量,且其最大絕對值為m。則 ,其中i=1,2, …, n。比較方程式PTx=λx 的第k 個分量,我們得到 線性代數,Ch.4,第354頁

4.5 計算特徵值的迭代法 (記得PT 的列向量為P 的行向量。) 取絕對值,我們得到 (1) 4.5 計算特徵值的迭代法 (記得PT 的列向量為P 的行向量。) 取絕對值,我們得到 (1) 第一個不等式來自 中的三角不等式,而最後一個不等式則來自PT各列之和為1的事實。所以 。在除以m之後,我們得到 ,即為所求。 線性代數,Ch.4,第354頁

4.5 計算特徵值的迭代法 (b) 我們將證明等價命題:若則 =1則λ=1。我們先證明此P(PT 亦同) 是一個正定矩陣時為。若 =1,(1) 式中的不等式中等號都會成立。特別就有 等價地說, (2) 線性代數,Ch.4,第354頁

4.5 計算特徵值的迭代法 現在,因為P 為正,pik>0,其中i=1, 2,…, n。同 4.5 計算特徵值的迭代法 現在,因為P 為正,pik>0,其中i=1, 2,…, n。同 時, ,其中i=1, 2,…, n。所以(2) 式中的每 一項為0,且只 =m 成立,i=1,2,3,…,n。更進 一步,為使三角不等式的等號成立的充要條件是各 項同時為正或同時為負,也就是pikxi 皆同號。這 表示 或 線性代數,Ch.4,第354頁

4.5 計算特徵值的迭代法 其中j為n個1構成的一個列向量,如定理4.30。因 此,在該情形下,PT 對應到λ的特徵空間為 4.5 計算特徵值的迭代法 其中j為n個1構成的一個列向量,如定理4.30。因 此,在該情形下,PT 對應到λ的特徵空間為 Eλ=span(jT)。 但是,利用定理4.30的證明,我們可以看到jT= PTjT=λjT,再比較各分量,可以發現λ=1。 若P為正規則P的某個冪次為正定,設為Pk,則 Pk+1 也必為正定。(為何?) 根據定理4.18,λk 及λk+1,分別為Pk 及Pk+1 的特徵值,我們剛 才證過λk=λk+1=1,因此λ=1。 線性代數,Ch.4,第355頁

例4.37 推移矩陣 有特徵方程式 所以其特徵值為λ1=1 與λ2=0.5。(注意,拜定理4.30 與4.31 之賜,我們進一步知道1 為其中一個特徵值,而其餘的特徵值之絕對值皆小於1。然而,我們仍需要計算出λ2。) 特徵空間為 與 線性代數,Ch.4,第355頁

例4.37 所以,取 ,我們知道, 從第4.4節例4.29中運用的方法,我們得到 現在, 當 ,所以 且 線性代數,Ch.4,第355頁

例4.37 (觀察此「有限矩陣」的行向量為相同,且皆為P 的穩定態。) 現在令 為任意的初始機率向 量(即a+b=1)。則 的穩定態。) 現在令 為任意的初始機率向 量(即a+b=1)。則 此不僅可解釋我們在例3.64中所見,也可告訴我 們,不管如何選擇x0,狀態向量 將收斂至 穩定態向量xk! 線性代數,Ch.4,第356頁

4.5 計算特徵值的迭代法 引理4.32 線性代數,Ch.4,第356頁

4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* P與PT的特徵值相同。由定理4.31(b)證明了PT的顯 4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* P與PT的特徵值相同。由定理4.31(b)證明了PT的顯 性特徵值λ1=1 的幾何重數為1。因為P 可對角 化,PT 亦可。再由對角化定理知特徵值λ1=1的 代數重數為1。 線性代數,Ch.4,第356頁

4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.33 線性代數,Ch.4,第356頁

4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 為簡化證明,我們將只考慮P 為對角化的例子。然 而若無此假定,此定理仍會成立。 4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 為簡化證明,我們將只考慮P 為對角化的例子。然 而若無此假定,此定理仍會成立。 我們運用Q-1PQ=D 將P 對角化,或等價來說, P=QDQ-1 其中 線性代數,Ch.4,第356頁

4.5 計算特徵值的迭代法 從定理4.30 與4.31 我們知道,每一個特徵值λi 若 非1 便是滿足 。然而,當k→ , 趨近1 4.5 計算特徵值的迭代法 從定理4.30 與4.31 我們知道,每一個特徵值λi 若 非1 便是滿足 。然而,當k→ , 趨近1 或0,當i=1, …, n。由此得到Dk 趨近一個對角矩 陣就稱之為D* 每一個對角位元不是0 就1。 所以,Pk=QDkQ-1 趨近於L=QD*Q-1,我們 將之寫成 線性代數,Ch.4,第356頁

4.5 計算特徵值的迭代法 觀察 所以,L 的每一行皆為P 對應到λ1=1 的特徵向 量。 4.5 計算特徵值的迭代法 觀察 所以,L 的每一行皆為P 對應到λ1=1 的特徵向 量。 由於依據第3.7 節習題14,Pk 為一個stochastic 矩 陣。現在由第3.7 節習題13 可得到L為stochastic。 線性代數,Ch.4,第357頁

4.5 計算特徵值的迭代法 我們只需證明L 的各行為全同。L 的第i 行為Lei, 其中ei 是第i個標準基底向量。令v1、v2、…、vn 4.5 計算特徵值的迭代法 我們只需證明L 的各行為全同。L 的第i 行為Lei, 其中ei 是第i個標準基底向量。令v1、v2、…、vn 為P 的特徵向量並且為Rn的一基底,其中v1 對應到 λ1=1。寫出 其中c1, c2,… , cn為係數。則,依據接下來例4.21 的評論方塊, 線性代數,Ch.4,第357頁

4.5 計算特徵值的迭代法 依據定理4.32,λj≠1,其中j≠1。所以,依據定 理4.31 (b), ,其中j≠1。 4.5 計算特徵值的迭代法 依據定理4.32,λj≠1,其中j≠1。所以,依據定 理4.31 (b), ,其中j≠1。 因此,當 , ,其中j≠1。得到 換句話說,L 的行向量i 為對應到λ1=1 的一個特 徵向量。 線性代數,Ch.4,第357頁

例4.38 回憶例3.65 的盒中之鼠。轉換矩陣為 我們決定穩定態機率向量為 線性代數,Ch.4,第357頁

例4.38 因此,P 的次數趨近 由此我們可看到,該隻老鼠最終將花費其25%的 時間在隔間1,並花費其37.5%的時間在其餘兩個 隔間。# 線性代數,Ch.4,第358頁

4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.34 線性代數,Ch.4,第358頁

4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 令 其中x1+x2+…+xn=1,由於xk=Pkx0,我們必須 驗證 。 4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 令 其中x1+x2+…+xn=1,由於xk=Pkx0,我們必須 驗證 。 現在,依據定理4.33,長值域轉換矩陣為 L=[xx … x] 且 。 線性代數,Ch.4,第358頁

4.5 計算特徵值的迭代法 所以 線性代數,Ch.4,第358頁

例4.39 找出穩定態的成長率與對應的年齡類別比率, 其中Leslie 矩陣同前。 解: 我們需要找出L 所有的正特徵值與對應的特徵向 線性代數,Ch.4,第359頁

例4.39 所以我們必須解出-λ3+2λ+0.375=0,或是 8λ3-16λ-3=0。因式分解後,得到 第二個因式只有根 與 ,此方程式唯一的正根為λ=3/2=1.5。我們運用列運算可得出,在L-1.5I 的零空間中對應的特徵向量 線性代數,Ch.4,第359頁

例4.39 因此,若 為對應到λ=1.5的一個特徵向量 ,其滿足x1=18x3與x2=6x3。也就是 因此,若 為對應到λ=1.5的一個特徵向量 ,其滿足x1=18x3與x2=6x3。也就是 因此,穩定態成長率為1.5,且當達到此比率,年 齡類別的比例為18:6:1,與前面結果相符。

4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.35 線性代數,Ch.4,第360頁

4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 令L 同方程式(3),L 的特徵多項式為 的特徵值為f (λ) 的根。因為至少一個出生率bi 4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 令L 同方程式(3),L 的特徵多項式為 (讀者將在習題16中被要求證明此。) 所以,L 的特徵值為f (λ) 的根。因為至少一個出生率bi 是正的,而所有的存活率sj 全是正的,而f (λ) 的係數只改變過一次正負號,根據Descarte’s 規則(附錄D),f (λ)恰只有一個正根λ1。 線性代數,Ch.4,第360頁

4.5 計算特徵值的迭代法 透過直接計算我們可以驗證,對應到λ1的特徵 向量為 (讀者將在習題18 中被要求證明此。) 顯然,x1 4.5 計算特徵值的迭代法 透過直接計算我們可以驗證,對應到λ1的特徵 向量為 (讀者將在習題18 中被要求證明此。) 顯然,x1 所有的分量皆為正。 線性代數,Ch.4,第360-361頁

4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.36 線性代數,Ch.4,第361頁

4.5 計算特徵值的迭代法 直觀而言,我們可看到前兩個性質成立的理 由。考慮在2×2正定矩陣A,對應的矩陣變換將 4.5 計算特徵值的迭代法 直觀而言,我們可看到前兩個性質成立的理 由。考慮在2×2正定矩陣A,對應的矩陣變換將 第一象限完全映到自己,因為所有的分量都為 正。如果我們重複讓A作用在產生的像上,它們 就會收斂到第一象限的某一條射線。(圖4.17) 此射線的方向向量會被映到自己的某個正倍數 λ1,因為在變換A下射線沒有變動,也就是Ax =λ1x,其中x與λ1都是正的。 線性代數,Ch.4,第361頁

4.5 計算特徵值的迭代法 線性代數,Ch.4,第361頁

4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 對某個非零向量x,Ax ≥ λx,其中λ 為一係 4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 對某個非零向量x,Ax ≥ λx,其中λ 為一係 數。此時對所有k>0,A(kx) ≥ λ(kx)。因此我 們只需要考慮單位向量x。在第七章我們將看到 A會把n中所有單位向量(單位球) 映到「橢球 體」,所以當x跑遍所有非負單位向量,將有一 個最大值λ滿足Ax ≥ λx。(圖4.18)將此數定為 λ1,對應到的單位向量為x1。 線性代數,Ch.4,第362頁

4.5 計算特徵值的迭代法 線性代數,Ch.4,第362頁

4.5 計算特徵值的迭代法 我們現在要驗證Ax1=λ1x1 若非如此,則Ax1 >λ1x1,且再次應用A,我們得到 4.5 計算特徵值的迭代法 我們現在要驗證Ax1=λ1x1 若非如此,則Ax1 >λ1x1,且再次應用A,我們得到 其中不等式被保持,因為A 為正(見習題40)。 但 為一個滿足Ay>λ1y 的單位向量。所以存在某個λ2 > λ1,使得Ay ≥λ2y。此 與λ1在此性質中為最大值的事實矛盾。結果,其必為Ax1=λ1x1,意即,λ1為A的一個特徵值。 線性代數,Ch.4,第362頁

4.5 計算特徵值的迭代法 現在A為正且x1為正,所以λ1x1=Ax1 > 0。此 4.5 計算特徵值的迭代法 現在A為正且x1為正,所以λ1x1=Ax1 > 0。此 意味著λ1> 0 且x1>0,完成了(a)與(b)的證明。 為證明(c),假定λ為A其它對應到特徵向量z的 任意(實數或複數) 特徵值。則Az=λz,取絕對 值可得到 (4) 其中中間的不等式來自三角不等式(見習題40) 線性代數,Ch.4,第362頁

4.5 計算特徵值的迭代法 由於 ,在 方向的單位向量u也為正,且符 合 。依據λ來自此證明第一部分的最大 值性質,我們必得到 。 4.5 計算特徵值的迭代法 由於 ,在 方向的單位向量u也為正,且符 合 。依據λ來自此證明第一部分的最大 值性質,我們必得到 。 線性代數,Ch.4,第362頁

4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.37 線性代數,Ch.4,第363-364頁

4.5 計算特徵值的迭代法 線性代數,Ch.4,第364頁

例4.40 考慮由初始條件x1=1,x2=5及遞迴關係式xn= 5xn-1-6xn-2,其中n≥ 2,所定義的數列(xn)。 寫出此數列的前五項。 解: 題目已給定數列的前兩項。我們運用遞迴關係式 來算出後面三項,得到 所以數列為1, 5, 19, 65, 211, …。 線性代數,Ch.4,第365頁

例4.41 解費波那奇數f0=0, f1=1,與fn=fn-1+fn-2, 其中n ≥ 2。 解 方程式為λ2-λ-1=0,所以特徵值為 與 線性代數,Ch.4,第367頁

例4.41 由上述討論可知遞迴式之解形式如下 其中c1與c2為係數。 運用初始條件,我們得到 線性代數,Ch.4,第367頁

例4.40 且 解c1與c2,我們得到 與 。因 此,第n 項費波那奇數的確切公式為 線性代數,Ch.4,第367頁

4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.38 線性代數,Ch.4,第367頁

4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* (a)將我們上述的討論予以一般化,將遞迴關係式 寫成xn=Axn-1,其中 且 4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* (a)將我們上述的討論予以一般化,將遞迴關係式 寫成xn=Axn-1,其中 且 由於A有相異特徵值,其可被對角化。其餘細節 留待在習題51中練習。 線性代數,Ch.4,第368頁

4.5 計算特徵值的迭代法 (b)我們將驗證xn=c1λn+c2nλn滿足遞迴關係式xn =axn-1+bxn-2,或等價地說, (6) 4.5 計算特徵值的迭代法 (b)我們將驗證xn=c1λn+c2nλn滿足遞迴關係式xn =axn-1+bxn-2,或等價地說, (6) 若λ2-aλ-b=0。由於 且 線性代數,Ch.4,第368頁

4.5 計算特徵值的迭代法 代入(6)式可得 線性代數,Ch.4,第368頁

4.5 計算特徵值的迭代法 但由於λ為λ2-aλ-b=0 的重根,運用二次 式,我們必得到a2+4b=0 且λ=a/2。結果, 4.5 計算特徵值的迭代法 但由於λ為λ2-aλ-b=0 的重根,運用二次 式,我們必得到a2+4b=0 且λ=a/2。結果, aλ+2b=a2/2+2b=-4b/2+2b=0,所以 假定初始值為x0=r 與x1=s,則,不是(a)就是 (b)會有c1與c2的唯一解(見習題52)。 線性代數,Ch.4,第368頁

例4.42 解: 特徵方程式為λ2-6λ+9=0,其中λ=3 為一 重根。依據定理4.38 (b),我們必得到xn=c13n+ 解遞迴關係式x0=1, x1=6,且xn=6xn-1- 9xn-2,其中n ≥ 2。 解: 特徵方程式為λ2-6λ+9=0,其中λ=3 為一 重根。依據定理4.38 (b),我們必得到xn=c13n+ c2n3n=(c1+c2n)3n。由於1=x0=c1, 6=x1=(c1 +c2)3,我們發現c2=1,所以 線性代數,Ch.4,第368頁

4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.39 線性代數,Ch.4,第369頁

例4.43 解以下的微分方程組 解: 此處的係數矩陣為 且我們找到特徵值 為λ1=4 與λ2=-1,分別對應到特徵向量 此處的係數矩陣為 且我們找到特徵值 為λ1=4 與λ2=-1,分別對應到特徵向量 及 ,所以,A可被對角化,且可 作用的矩陣P為 線性代數,Ch.4,第369頁

例4.43 我們知道 令x=Py (所以x’=Py’ ) 且將這些結果代入原 先的方程式x’ =Ax,得到Py’ =APy,或等價 的 線性代數,Ch.4,第369頁

例4.43 此即為方程組 且其一般解為 或 為找出x,我們便計算 線性代數,Ch.4,第369頁

例4.43 所以x1=2C1e4t-C2e-t 且x2=3C1e4t+C2e- t 。(驗證這些值滿足所給定的方程組。) 線性代數,Ch.4,第370頁

4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.40 線性代數,Ch.4,第371頁

例4.44 浣熊與松鼠生活在同一個生態系,且彼此競爭食物、水與勢力範圍。令浣熊與松鼠在時間為t時的數量分別為r(t)及s(t)。如果沒有松鼠,浣熊的增加率r’ (t)=2.5r(t),但如果松鼠存在,因為競爭就會減少增加率,增加率就變為r’(t)=2.5r(t) -s(t)。松鼠的數量受到浣熊的影響也相似,如果沒有浣熊,松鼠的增加率s’(t)=2.5s(t),若有浣熊存在,其增加率s’ (t)=-2.5r(t)+2.5s(t)。 假設一開始有浣熊與松鼠各60隻。試著確定兩 種物種的發展。 線性代數,Ch.4,第371頁

例4.44 (7) 解: 我們的方程組為x’=Ax,其中 與 A的特徵值為λ1=3 與λ2=2,分別對應到特徵 向量 與 。依據定理4.40,我們的 方程組一般解為 (7) 線性代數,Ch.4,第372頁

例4.44 初始的數量向量為 所以令(7)式的t=0,我們得到 解此方程式,我們得到C1=15 與C2=45。因 此, 線性代數,Ch.4,第372頁

例4.44 因此我們發現r(t)=-30e3t+90e2t 且s(t)=15e3t+45e2t。圖4.19 顯示了此二函數之圖形,且我們可明顯看到浣熊數量在一年剛過後便銳減。(讀者能否找到其數量銳減的確實時間?) 線性代數,Ch.4,第372頁

例4.45 知更鳥與毛毛蟲生活在同一個生態系,且毛毛蟲 為知更鳥唯一的食物來源。知更鳥與毛毛蟲在時 間點t年時的數量分別為r(t)及w(t),而它們數量增 長率為 (8) 若該生態系最初有6隻知更鳥及20隻毛毛蟲,確 定此二物種隨著時間的數量變化。 線性代數,Ch.4,第373頁

例4.45 解: 此例中我們要注意的第一件事便是額外常數的出 現:兩方程式中的-12 與10。 (9) 可更容易進行解題。方程式(9)形式為x’ =Ax, 其中A= 。 我們新的初始條件為 與 線性代數,Ch.4,第373頁

例4.45 所以 。 從上一個例子可知,我們要求出A的特徵值及特徵向量。A的特徵多項式為λ2+1,沒有實根,因此我們只好使用複數根,令λ1=i,λ2=-i,所對應的特徵向量也是佈於複數體,其中, 與 。依據定理4.40,我們的解之形式如下 線性代數,Ch.4,第373頁

例4.45 由 我們得到 其中解為C1=-2-4i 與C2=-2+4i。所以方程 組(9)中的解為 線性代數,Ch.4,第373頁

例4.45 線性代數,Ch.4,第374頁

例4.45 我們對此解瞭解多少?知更鳥與毛蟲生活在一個 真實的世界,但我們的解卻牽涉到複數!但別 怕,我們運用尤拉公式(附錄C) 得到e-it=cos(-t)+i sin(-t)=cos t-i sin t 代 入,可得到 線性代數,Ch.4,第374頁

例4.45 由此可得x(t)=-4 cos t+8 sin t 與y(t)=8 cos t+4sin t。依據我們原始的變數來設定一切,便 得 與 線性代數,Ch.4,第374頁

例4.45

例4.45 所以我們的解確實為真!圖4.20 為r(t)與w(t)的 圖,顯示出兩物種的數量是呈現週期性震盪。當 知更鳥變多時,毛毛蟲數量就減少,但唯一的食 物幾乎滅絕,知更鳥也開始減少。當補食者快消 失,毛毛蟲數量就開始增加。當食物充足,知更 鳥數量也會增加,如此不斷循環。這樣的震盪是 特徵值為複數的典型例子。 線性代數,Ch.4,第375頁

例4.46 令 ,計算eDt。 解: 由定義,我們得到 線性代數,Ch.4,第375頁

例4.47 令 ,計算eA。 解: 在例4.43中,我們發現A的特徵值為λ1=4 與λ2 =-1,且分別對應到特徵向量 與 =-1,且分別對應到特徵向量 與 因此,由P=[v1 v2]= ,我們得到 P-1AP= 線性代數,Ch.4,第376頁

例4.47 由於A=PDP-1,我們得到Ak=PDkP-1,所以 線性代數,Ch.4,第376頁

4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.41 線性代數,Ch.4,第376頁

4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 令P可對角化A,則A=PDP-1,如同例4.47, 因此,我們需要驗證x=PeDtP-1c 滿足x’= 4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 令P可對角化A,則A=PDP-1,如同例4.47, 因此,我們需要驗證x=PeDtP-1c 滿足x’= Ax。現在除了eDt 外,其餘皆為常數,所以 (10) 線性代數,Ch.4,第376頁

4.5 計算特徵值的迭代法 若 則 線性代數,Ch.4,第376頁

4.5 計算特徵值的迭代法 取其導數,我們得到 線性代數,Ch.4,第377頁

4.5 計算特徵值的迭代法 將此結果代入(10)式 即為所求。 定理的最後一句可容易由x=x(t)=eAtc 得到, 因此 4.5 計算特徵值的迭代法 將此結果代入(10)式 即為所求。 定理的最後一句可容易由x=x(t)=eAtc 得到, 因此 因為eO=I。(為什麼?) 線性代數,Ch.4,第377頁

4.5 計算特徵值的迭代法 事實上,就算A不能對角化,定理4.41仍然成 立,不過我們並不加以證明。要計算指數為不 4.5 計算特徵值的迭代法 事實上,就算A不能對角化,定理4.41仍然成 立,不過我們並不加以證明。要計算指數為不 可對角化矩陣需要將矩陣化成喬丹標準形式 (Jordan normal form),此主題可參考高等線性 代數教科書。指數為矩陣之後會是線性代數 中,不管是理論上或應用上都很重要的工具。 線性代數,Ch.4,第377頁

例4.48 令 。對動態系統xk+1=Axk,畫出以下 初始向量軌跡之前五個點: (a) (b) (c) (d) 解: (a)我們計算x1=Ax0= x2=Ax1= x3= Ax2= ,x4=Ax3= 這些都被畫在圖  4.22,且點被連接到軌跡的輪廓。 線性代數,Ch.4,第378頁

例4.48 (b), (c) 與(d) 也是用相似的計算來產生軌跡,同 樣被畫在圖4.22。 線性代數,Ch.4,第378頁

例4.49 討論動態系統xk+1=Axk 對應到矩陣 之行為。 解: A的特徵值為分別對應到特徵向量 與     之行為。 解: A的特徵值為分別對應到特徵向量 與 的0.5 與0.8。(驗算此。) 因此,對一個初始向量 我們得到 線性代數,Ch.4,第379頁

例4.49 又一次看到原點是吸子,因為不管x0所選為何, xk都趨近於0。若c2≠0,軌道將會趨近過原點並 以 為方向向量的直線。圖4.23 顯示不同的軌 道,可以看到如果x0 的c2=0,就是落在過原點 且方向向量為 的直線上,其軌道也落在此直 線上。 線性代數,Ch.4,第379頁

例4.49 線性代數,Ch.4,第380頁

例4.50 討論動態系統xk+1=Axk 對應到以下矩陣 (a) (b) 之行為。 解: (a)A的特徵值為分別對應到特徵向量 與 的5與3。因此,對一個初始向量 ,我們得到 線性代數,Ch.4,第380頁

例4.50 隨著k變大,5k與3k也同樣增加,因此xk會越來 越遠離原點。因為顯性特徵值所對應的特徵向 量為 ,c1≠0 的軌道將落在第一象限及第三 象限。C1=0 的軌道就是y=-x的直線,見圖 4.24(a)。 且這樣的軌跡漸進式的趨近直線y=x。見圖 4.24 (b)。 線性代數,Ch.4,第380-381頁

例4.50 線性代數,Ch.4,第381頁

例4.51 畫出對應到以下矩陣之動態系統xk+1=Axk 從 出發的軌跡。 (a) (b) 解: 軌跡分別被顯示在圖4.25 (a)與(b)。注意(a)為 螺旋進入原點之軌跡;而(b)則為一橢圓形的軌 道。

例4.51 線性代數,Ch.4,第382頁

4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.42 線性代數,Ch.4,第382頁

4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 依據第4.1節習題35 (b) , A的特徵值為 圖4.26 展示了a+bi, r 與θ。其得到 4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 依據第4.1節習題35 (b) , A的特徵值為 圖4.26 展示了a+bi, r 與θ。其得到 線性代數,Ch.4,第382頁

4.5 計算特徵值的迭代法 線性代數,Ch.4,第382頁

4.5 計算特徵值的迭代法 定理4.43 線性代數,Ch.4,第383頁

4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 令x=u+vi使得Re x=u 且Im x=v。從Ax=λx, 我們得到 令實部與虛部相等,得到 及 4.5 計算特徵值的迭代法 *證明* 令x=u+vi使得Re x=u 且Im x=v。從Ax=λx, 我們得到 令實部與虛部相等,得到 及 現在 ,所以 線性代數,Ch.4,第382頁

4.5 計算特徵值的迭代法 為驗證P為可逆,只需證明u與v為線性獨立。 若u與v不是線性獨立,因為u、v 都不是零向 4.5 計算特徵值的迭代法 為驗證P為可逆,只需證明u與v為線性獨立。 若u與v不是線性獨立,因為u、v 都不是零向 量,則有v=ku,其中k為非零的常數。也就是 線性代數,Ch.4,第384頁

4.5 計算特徵值的迭代法 現在,因為A為實數,Ax=λx 可得到 所以 為對應到其它特徵值的一個特徵向量,但 4.5 計算特徵值的迭代法 現在,因為A為實數,Ax=λx 可得到 所以 為對應到其它特徵值的一個特徵向量,但 因為u 為一個實數向量。因此,A的特徵向量x與 皆為u 的非零倍數,也因此彼此互為倍數。而這是不可能發生的,因為根據定理4.20,對應到不同特徵值的特徵向量一定互相線性獨立。 線性代數,Ch.4,第384頁

4.5 計算特徵值的迭代法 由反證法知道u與v為線性獨立,因此P為可逆。 就得到 線性代數,Ch.4,第384頁

*線性代數* 運動團隊排名及網路搜尋

運動團隊排名及網路搜尋 為了建立基本概念,回想例3.68中五位網球選 手進行了一次單循環競賽,勝負關係被記錄成 有向圖,選手i 勝了選手j 就記成一個從i 到j 的 有向邊。所對應的相鄰矩陣A 將有aij=1,若選 手i 勝選手j,不然aij=0。 線性代數,Ch.4,第386頁

運動團隊排名及網路搜尋 我們將指定一個等級ri>rj 代表選手i 是強過選手 j 的。為了達成此目的,我們令ri 為一個機率, 也就是0 ≤ ri ≤ 1,且r1+r2+r3+r4+r5=1,再 令排名向量為 線性代數,Ch.4,第386頁

運動團隊排名及網路搜尋 此外,我們認為,選手i 的排名機率ri 應該與那 些他贏過的選手的排名機率總和成比例。例如 選手1 勝過2 號、4 號和5 號選手,則 其中α為常數。將其它選手類似的方程式也寫 出來 線性代數,Ch.4,第387頁

運動團隊排名及網路搜尋 觀察我們所要寫的這個系統的矩陣形式為 或 等價地,我們看到評價向量r必滿足 。換 句話說,r 是矩陣A的一個特徵向量 。此外,A 是一個原始非負矩陣,因此Perron Frobinus 定 理跟我們保證恰有唯一的向量r。 線性代數,Ch.4,第387頁

運動團隊排名及網路搜尋 在此例中,排名向量為 所以我們球員排名的順序為選手1、選手2、選 手3、選手4、選手5。以上是最簡單的例子,隨 著不同情況,我們只需要修正相鄰矩陣A 就可 以。 線性代數,Ch.4,第387頁