第二节 离散型随机变量 及其分布律 一、离散型随机变量的分布律 二、常见离散型随机变量的概率分布 三、小结.

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1 §2.2 离 散 型 随 机 变 量 §2.1 随 机 变 量 的 概 念 §2.3 超几何分布 · 二项分布 · 泊松分布 1. “0-1” 分布 ( 两点分布 ) 3. 二项分布 4. Poisson 分布 2. 超几何分布 n →∞ , N→∞ , (x = 0, 1, 2, , n) (x.
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随机变量及其概率分布 第二章 离散型随机变量及其分布律 正态分布 连续型随机变量及其分布律 随机变量函数的分布.
第五节 函数的微分 一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式与微分运算 法则 四、微分形式不变性 五、微分在近似计算中的应用 六、小结.
2.6 隐函数微分法 第二章 第二章 二、高阶导数 一、隐式定义的函数 三、可微函数的有理幂. 一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数, 由 表示的函数, 称为显函数. 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数, 但此隐函数不能显化. 函数为隐函数. 则称此 隐函数求导方法.
2.5 函数的微分 一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件 四、微分的几何意义 五、微分的求法 六、小结.
第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 随机变量的独立性
第二章 随机变量及其分布 在第一章里,我们研究了随机事件及其概率.而对于一个随机试验,我们除了对某些特定的事件发生的概率感兴趣外,往往还会关心某个与试验结果相联系的变量.由于这一变量依赖于试验结果,因而这一变量的取值具有随机性,这种变量被称为随机变量.本章将着重介绍两类随机变量——离散型随机变量和连续型随机变量及其分布.
§5.2 中心极限定理 定理3(同分布中心极限定理)设随机变量X1, X2, …, Xn, …相互独立,服从相同分布,且有有限的数学期望和方差,即: E(Xk) =,D(Xk) =2,k = 1, 2, … 则随机变量 的分布函数Fn(x)满足: 对任意的x,有.
学案5 离散型随机变量及其分布列.
量 及 变 其 机 分 随 布 第 章 二.
概率论与数理统计 2.2 离散型随机变量及其分布.
§2.2 离散型随机变量及其分布 离散型随机变量的概念 定义 若随机变量 的可能取值是有限多个或无穷可列多个,则称 为离散型随机变量.
概率论与数理统计 课件制作:应用数学系 概率统计课程组.
第2章 随机变量及其分布 2.1 随机变量及其分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布律 2.3 几种常见的离散型分布
3.1.3 概率的基本性质 事件 的关系 和运算 概率的 几个基 本性质 南海中学分校高一备课组.
3.1.3 概率的基本性质.
第三章 概率及概率分布 教学目的: (1)理解试验、事件、样本空间、概率定义 (2)学习描述和使用概率的运算法则
第四章几种重要的分布 4.1 二项分布 4.2 超几何分布 4.3 普哇松分布 4.4 指数分布 4.5 Γ-分布 4.6 正态分布.
高二数学 选修 独立重复试验与二项分布.
第 二 章 离散型随机变量.
第二章 随机变量及其分布 关键词: 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数.
一、原函数与不定积分 二、不定积分的几何意义 三、基本积分公式及积分法则 四、牛顿—莱布尼兹公式 五、小结
第二节 柯西积分定理 Cauchy积分定理 Cauchy定理的推广 复周线情形的Cauchy定理
事件的独立性与独立试验概型.
条件概率 Conditional Probability
高二数学 选修 离散型随机变量 安阳市实验中学 李志敏.
主要内容 § 3.1 多维随机变量及联合分布 联合分布函里数 联合分布律 联合概率密度 § 3.2 二维随机变量的边缘分布
随机变量及其 概率分布.
第三节 格林公式及其应用(2) 一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分的求积 四、小结.
2-7、函数的微分 教学要求 教学要点.
1.2 事件的频率与概率 一、事件的频率 二、概率的公理化体系 1.2 事件的频率与概率.
3.解:连续掷同一枚硬币4次的基本事件总数为 ,
第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 第二节 方差 第三节 协方差及相关系数 第四节 矩、协方差矩阵.
第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度.
例1 :甲击中的环数; X :乙击中的环数; Y 平较高? 试问哪一个人的射击水 : 的射击水平由下表给出 甲、乙两人射击,他们
本次课讲授:第二章第十一节,第十二节,第三章第一节, 下次课讲第三章第二节,第三节,第四节; 下次上课时交作业P29—P30
概率论 Probability.
北京师范大学珠海分校 国际特许经营学院与不动产学院 学年第二学期 欧阳顺湘
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
第二章 随机变量及其分布 §1 随机变量 §2 离散型随机变量及其分布 §3 随机变量的分布函数 §4 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度 一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结.
第七章 参数估计 7.3 参数的区间估计.
习题 一、概率论 1.已知随机事件A,B,C满足 在下列三种情况下,计算 (1)A,B,C相互独立 (2)A,B独立,A,C互不相容
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
抽样和抽样分布 基本计算 Sampling & Sampling distribution
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
应用概率统计 主讲:刘剑平.
5.2 常用统计分布 一、常见分布 二、概率分布的分位数 三、小结.
复习.
第二章 随机变量及其分布 第一节 随机变量 第二节 离散随机变量及分布律 第三节 随机变量的分布函数 第四节 连续随机变量及概率密度
第三章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions)
§6.7 子空间的直和 一、直和的定义 二、直和的判定 三、多个子空间的直和.
第三章 多元随机变量及其分布 关键词:二元随机变量 联合分布 边际分布 条件分布 随机变量的独立性 随机变量函数的分布.
第三章 随机变量的数字特征 (一)基本内容 一、一维随机变量的数学期望 定义1:设X是一离散型随机变量,其分布列为:
第二章 随机变量及其分布 关键词: 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数.
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
Ch5 一维随机变量.
第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 相互独立的随机变量
第四节 随机变量函数的概率分布 X 是分布已知的随机变量,g ( · ) 是一个已知 的连续函数,如何求随机变量 Y =g(X ) 的分布?
第一部分:概率 产生随机样本:对分布采样 均匀分布 其他分布 伪随机数 很多统计软件包中都有此工具 如在Matlab中:rand
第15讲 特征值与特征向量的性质 主要内容:特征值与特征向量的性质.
§5.2 抽样分布   确定统计量的分布——抽样分布,是数理统计的基本问题之一.采用求随机向量的函数的分布的方法可得到抽样分布.由于样本容量一般不止2或 3(甚至还可能是随机的),故计算往往很复杂,有时还需要特殊技巧或特殊工具.   由于正态总体是最常见的总体,故本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.
第 四 章 大 数 定 理 与 中 心 极 限 定 理.
第二节 函数的极限 一、函数极限的定义 二、函数极限的性质 三、小结 思考题.
第二章 随机变量及其分布 主讲教师:董庆宽 副教授 研究方向:密码学与信息安全
难点:连续变量函数分布与二维连续变量分布
第三节 函数的微分 3.1 微分的概念 3.2 微分的计算 3.3 微分的应用.
第三章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions)
§4.1数学期望.
§4.5 最大公因式的矩阵求法( Ⅱ ).
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第二节 离散型随机变量 及其分布律 一、离散型随机变量的分布律 二、常见离散型随机变量的概率分布 三、小结

P35 一、离散型随机变量的分布律 定义 说明

离散型随机变量的分布律也可表示为

例1 解 则有

二、常见离散型随机变量的概率分布 1.两点分布 设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为

实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况. 随机变量 X 服从 (0—1) 分布. 其分布律为

实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定 取得不合格品, 取得合格品. 则随机变量 X 服从(0 —1)分布.

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布. 说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布. 两点分布随机数演示

2.等可能分布 如果随机变量 X 的分布律为 实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X, 则有 均匀分布随机数演示

3.二项分布 (1) 重复独立试验 将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 (1) 重复独立试验   将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重复独立试验.

(2) n 重伯努利试验 伯努利资料

实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬    币抛 n 次,就是n重伯努利试验. 实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就    是 n重伯努利试验. (3) 二项概率公式

且两两互不相容.

称这样的分布为二项分布.记为 二项分布 两点分布

容易验证: (1) (2)

二项分布的图形 二项分布随机数演示

例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0. 6 ,则击中目标的次数 X 服从 b (5,0 二项分布随机数演示

例2 分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.

图示概率分布

例3 解 因此

有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2的概率是多少? 例4 设 1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 解 故所求概率为 二项分布 泊松分布

4. 泊松(Poisson)分布 泊松资料

Poisson分布 (1) (2)

泊松分布的图形 泊松分布随机数演示

泊松分布的背景及应用   二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他 们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布.

在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.

地震 火山爆发 特大洪水 商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数

Poisson定理(P39) 二项分布 泊松分布 单击图形播放/暂停 ESC键退出

例4 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少? 设1000 辆车通过,出事故的次数为 X , 则 解 所求概率为 可利用泊松定理计算

合理配备维修工人问题 例5 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01? 解 所需解决的问题 使得

由泊松定理得 故有 即 个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01. 故至少需配备8

例6 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0. 01,且一台设备的故障能由一个人处理 例6 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法 发生故障时不能及时维修”, 而不能及时维修的概率为 则知80台中发生故障

故有 即有

按第二种方法 故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为

5. 几何分布 若随机变量 X 的分布律为 则称 X 服从几何分布. 5. 几何分布 若随机变量 X 的分布律为 则称 X 服从几何分布. 几何分布随机数演示 实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.

解 所以 X 服从几何分布. 说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.

三、小结 离散型随机变量的分布 两点分布 两点分布 均匀分布 二项分布 二项分布 泊松分布 泊松分布 几何分布

伯努利资料 Jacob Bernoulli Born: 27 Dec 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland

泊松资料 Siméon Poisson Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France