第二节 离散型随机变量 及其分布律 一、离散型随机变量的分布律 二、常见离散型随机变量的概率分布 三、小结
P35 一、离散型随机变量的分布律 定义 说明
离散型随机变量的分布律也可表示为
例1 解 则有
二、常见离散型随机变量的概率分布 1.两点分布 设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为
实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况. 随机变量 X 服从 (0—1) 分布. 其分布律为
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定 取得不合格品, 取得合格品. 则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布. 说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布. 两点分布随机数演示
2.等可能分布 如果随机变量 X 的分布律为 实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X, 则有 均匀分布随机数演示
3.二项分布 (1) 重复独立试验 将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 (1) 重复独立试验 将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重复独立试验.
(2) n 重伯努利试验 伯努利资料
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验. 实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 是 n重伯努利试验. (3) 二项概率公式
且两两互不相容.
称这样的分布为二项分布.记为 二项分布 两点分布
容易验证： (1) (2)
二项分布的图形 二项分布随机数演示
例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0. 6 ,则击中目标的次数 X 服从 b (5,0 二项分布随机数演示
例2 分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很 大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很 小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.
解
图示概率分布
例3 解 因此
有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2的概率是多少? 例4 设 1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 解 故所求概率为 二项分布 泊松分布
4. 泊松(Poisson)分布 泊松资料
Poisson分布 (1) (2)
泊松分布的图形 泊松分布随机数演示
泊松分布的背景及应用 二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他 们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布.
在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
地震 火山爆发 特大洪水 商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
Poisson定理(P39) 二项分布 泊松分布 单击图形播放/暂停 ESC键退出
例4 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率 为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通 过,问出事故的次数不小于2的概率是多少? 设1000 辆车通过,出事故的次数为 X , 则 解 所求概率为 可利用泊松定理计算
合理配备维修工人问题 例5 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01? 解 所需解决的问题 使得
由泊松定理得 故有 即 个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01. 故至少需配备8
例6 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0. 01,且一台设备的故障能由一个人处理 例6 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 解 按第一种方法 发生故障时不能及时维修”, 而不能及时维修的概率为 则知80台中发生故障
故有 即有
按第二种方法 故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为
5. 几何分布 若随机变量 X 的分布律为 则称 X 服从几何分布. 5. 几何分布 若随机变量 X 的分布律为 则称 X 服从几何分布. 几何分布随机数演示 实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.
解 所以 X 服从几何分布. 说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.
三、小结 离散型随机变量的分布 两点分布 两点分布 均匀分布 二项分布 二项分布 泊松分布 泊松分布 几何分布
伯努利资料 Jacob Bernoulli Born: 27 Dec 1654 in Basel, Switzerland Died: 16 Aug 1705 in Basel, Switzerland
泊松资料 Siméon Poisson Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France