第二章 随机变量及其分布 关键词: 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数.

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1 §2.2 离 散 型 随 机 变 量 §2.1 随 机 变 量 的 概 念 §2.3 超几何分布 · 二项分布 · 泊松分布 1. “0-1” 分布 ( 两点分布 ) 3. 二项分布 4. Poisson 分布 2. 超几何分布 n →∞ , N→∞ , (x = 0, 1, 2, , n) (x.
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随机变量及其概率分布 第二章 离散型随机变量及其分布律 正态分布 连续型随机变量及其分布律 随机变量函数的分布.
2.8 函数的微分 1 微分的定义 2 微分的几何意义 3 微分公式与微分运算法则 4 微分在近似计算中的应用.
第二章 导数与微分. 二、 微分的几何意义 三、微分在近似计算中的应用 一、 微分的定义 2.3 微 分.
第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 随机变量的独立性
第二章 随机变量及其分布 在第一章里,我们研究了随机事件及其概率.而对于一个随机试验,我们除了对某些特定的事件发生的概率感兴趣外,往往还会关心某个与试验结果相联系的变量.由于这一变量依赖于试验结果,因而这一变量的取值具有随机性,这种变量被称为随机变量.本章将着重介绍两类随机变量——离散型随机变量和连续型随机变量及其分布.
§5.2 中心极限定理 定理3(同分布中心极限定理)设随机变量X1, X2, …, Xn, …相互独立,服从相同分布,且有有限的数学期望和方差,即: E(Xk) =,D(Xk) =2,k = 1, 2, … 则随机变量 的分布函数Fn(x)满足: 对任意的x,有.
学案5 离散型随机变量及其分布列.
概率论与数理统计 2.2 离散型随机变量及其分布.
§2.2 离散型随机变量及其分布 离散型随机变量的概念 定义 若随机变量 的可能取值是有限多个或无穷可列多个,则称 为离散型随机变量.
概率论与数理统计 课件制作:应用数学系 概率统计课程组.
第2章 随机变量及其分布 2.1 随机变量及其分布函数 2.2 离散型随机变量及其分布律 2.3 几种常见的离散型分布
3.1.3 概率的基本性质.
第三章 函数逼近 — 最佳平方逼近.
第三章 概率及概率分布 教学目的: (1)理解试验、事件、样本空间、概率定义 (2)学习描述和使用概率的运算法则
第四章几种重要的分布 4.1 二项分布 4.2 超几何分布 4.3 普哇松分布 4.4 指数分布 4.5 Γ-分布 4.6 正态分布.
08-09冬季学期 概率论与数理统计 姜旭峰,胡玉磊.
第二节 离散型随机变量 及其分布律 一、离散型随机变量的分布律 二、常见离散型随机变量的概率分布 三、小结.
第五节 微积分基本公式 、变速直线运动中位置函数与速度 函数的联系 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式.
第5章 定积分及其应用 基本要求 5.1 定积分的概念与性质 5.2 微积分基本公式 5.3 定积分的换元积分法与分部积分法
主要内容 § 3.1 多维随机变量及联合分布 联合分布函里数 联合分布律 联合概率密度 § 3.2 二维随机变量的边缘分布
随机变量及其 概率分布.
2-7、函数的微分 教学要求 教学要点.
3.解:连续掷同一枚硬币4次的基本事件总数为 ,
第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望 第二节 方差 第三节 协方差及相关系数 第四节 矩、协方差矩阵.
第三章 多维随机变量及其分布 §2 边缘分布 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度.
例1 :甲击中的环数; X :乙击中的环数; Y 平较高? 试问哪一个人的射击水 : 的射击水平由下表给出 甲、乙两人射击,他们
全国高校数学微课程教学设计竞赛 知识点名称: 导数的定义.
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§2 求导法则 2.1 求导数的四则运算法则 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和例题 .
北京师范大学珠海分校 国际特许经营学院与不动产学院 学年第二学期 欧阳顺湘
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
第二章 随机变量及其分布 §1 随机变量 §2 离散型随机变量及其分布 §3 随机变量的分布函数 §4 连续型随机变量及其概率密度
连续型随机变量及其概率密度 一、概率密度的概念与性质 二、常见连续型随机变量的分布 三、小结.
第七章 参数估计 7.3 参数的区间估计.
第一章 函数与极限.
习题 一、概率论 1.已知随机事件A,B,C满足 在下列三种情况下,计算 (1)A,B,C相互独立 (2)A,B独立,A,C互不相容
离散型随机变量.
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
抽样和抽样分布 基本计算 Sampling & Sampling distribution
第二十二章 曲面积分 §1 第一型曲面积分 §2 第二型曲面积分 §3 高斯公式与斯托克斯公式.
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
第四章 一次函数 4. 一次函数的应用(第1课时).
应用概率统计 主讲:刘剑平.
5.2 常用统计分布 一、常见分布 二、概率分布的分位数 三、小结.
在第一章中,我们介绍了条件概率的概念 . 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 推广到随机变量
第二章 随机变量及其分布 第一节 随机变量 第二节 离散随机变量及分布律 第三节 随机变量的分布函数 第四节 连续随机变量及概率密度
第三章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions)
正切函数的图象和性质 周期函数定义: 一般地,对于函数 (x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有
第三章 多元随机变量及其分布 关键词:二元随机变量 联合分布 边际分布 条件分布 随机变量的独立性 随机变量函数的分布.
第三章 随机变量的数字特征 (一)基本内容 一、一维随机变量的数学期望 定义1:设X是一离散型随机变量,其分布列为:
一 测定气体分子速率分布的实验 实验装置 金属蒸汽 显示屏 狭缝 接抽气泵.
第二章 随机变量及其分布 关键词: 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数.
概 率 统 计 主讲教师 叶宏 山东大学数学院.
Ch5 一维随机变量.
学习任务三 偏导数 结合一元函数的导数学习二元函数的偏导数是非常有用的. 要求了解二元函数的偏导数的定义, 掌握二元函数偏导数的计算.
第三章 多维随机变量及其分布 第一节 二维随机变量 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 相互独立的随机变量
第四节 随机变量函数的概率分布 X 是分布已知的随机变量,g ( · ) 是一个已知 的连续函数,如何求随机变量 Y =g(X ) 的分布?
第一部分:概率 产生随机样本:对分布采样 均匀分布 其他分布 伪随机数 很多统计软件包中都有此工具 如在Matlab中:rand
第15讲 特征值与特征向量的性质 主要内容:特征值与特征向量的性质.
§5.2 抽样分布   确定统计量的分布——抽样分布,是数理统计的基本问题之一.采用求随机向量的函数的分布的方法可得到抽样分布.由于样本容量一般不止2或 3(甚至还可能是随机的),故计算往往很复杂,有时还需要特殊技巧或特殊工具.   由于正态总体是最常见的总体,故本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.
2019/5/20 第三节 高阶导数 1.
第二章 随机变量及其分布 主讲教师:董庆宽 副教授 研究方向:密码学与信息安全
定义 设连续型随机变量 概率密度为 分布函数是 特别地, 其概率密度为 一、正态分布的相关内容:.
难点:连续变量函数分布与二维连续变量分布
第四节 向量的乘积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积.
第三章 从概率分布函数的抽样 (Sampling from Probability Distribution Functions)
§4.1数学期望.
第3讲 概率论初步 3.1 概率 条件概率和加法公式 3.3 计数原则.
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第二章 随机变量及其分布 关键词: 随机变量 概率分布函数 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量的函数

§1 随机变量 常见的两类试验结果: 示数的——降雨量; 候车人数; 发生交通事故的次数… 示性的——明天天气(晴,云…); §1 随机变量 常见的两类试验结果: 示数的——降雨量; 候车人数; 发生交通事故的次数… 示性的——明天天气(晴,云…); 化验结果(阳性,阴性)…

X=X(e)--为S上的单值函数,X为实数 中心问题:将试验结果数量化 e s x X=X(e)--为S上的单值函数,X为实数

常见的两类随机变量 离散型的 连续型的

例:掷硬币3次,出现正面的次数记为X. X 0 1 2 3 p 1/8 3/8 3/8 1/8 样本点 TTT TTH THT HTT HHT HTH THH HHH X的值 0 1 1 1 2 2 2 3 X 0 1 2 3 p 1/8 3/8 3/8 1/8

§2 离散型随机变量及其分布 定义:取值至多可数的随机变量为离散型的随机变量。概率分布(分布律)为 …

概率分布

例:某人骑自行车从学校到火车站,一路上要经过3个独立的交通灯,设各灯工作独立,且设各灯为红灯的概率为p,0<p<1,以X表示首次停车时所通过的交通灯数,求X的概率分布律。

解:设Ai={第i个灯为红灯},则P(Ai)=p,i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。

p X 1 2 3 p(1-p) (1-p)2p (1-p)3

例:若随机变量X的概率分布律为 求常数c.

解:

几个重要的离散型随机变量 若X的分布律为: X p q 1 (p+q=1,p>0,q>0) 一、0-1分布 若X的分布律为: 随机变量只可能取0、1 两个值 X p q 1 (p+q=1,p>0,q>0) 则称X服从参数为p的0-1分布,或两点分布.

记为 它的分布律还可以写为

对于一个随机试验,如果它的样本空间只包含两个元素,即 ,我们总能在S上定义一个服从(0-1)分布的随机变量。 来描述这个随机试验的结果。

检查产品的质量是否合格,对新生婴儿的性别进行登记,检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都可以用(0-1)分布的随机变量来描述 。

一个随机试验,设A是一随机事件,且P(A)=p,(0<p<1) 一个随机试验,设A是一随机事件,且P(A)=p,(0<p<1).若仅考虑事件A发生与否, 定义一个服从参数为p的0-1分布的随机变量: 来描述这个随机试验的结果。只有两个可能结果的试验,称为Bernoulli试验。

二、二项分布 n重贝努利试验:设试验E只有两个可能的结果: ,p(A)=p,0<p<1,将E独立地重复进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重贝努利试验。 即每次试验结果 互不影响 在相同条件下 重复进行

独立重复地抛n次硬币,每次只有两个可能的结果:正面,反面, 将一颗骰子抛n次,设A={得到1点},则每次试验只有两个结果:

从52张牌中有放回地取n次,设A={取到红牌},则每次只有两个结果: 如果是不放回抽样呢?

设A在n重贝努利试验中发生X次,则 并称X服从参数为p的二项分布,记

推导:以n=3为例,设Ai={ 第i次A发生 }

例:有一大批产品,其验收方案如下:先作第一次检验,从中任取10件,经检验无次品接受这批产品,次品数大于2拒收;否则作第二次检验,从中任取5件,仅当5件中无次品便接受这批产品,设产品的次品率为p.求这批产品能被接受的概率.

解:设A={接受该批产品}。 设X为第一次抽得的次品数,Y为第2次抽得的次品数. 则X~B(10,p),Y~B(5,p),且{X=i}与{Y=j}独立。

例:设随机变量

泊松分布(Poisson分布) 若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数为λ的泊松分布,记

例:设某汽车停靠站单位时间内候车人数 求(1)随机观察1个单位时间,至少有3人候车的概率; (2)随机独立观察5个单位时间,恰有4个单位时间至少有3人候车的概率。

例:某地区一个月内每200个成年人中有1个会患上某种疾病,设各人是否患病相互独立。若该地区一社区有1000个成年人,求某月内该社区至少有3人患病的概率。

超几何分布 若随机变量X的概率分布律为 称X服从超几何分布

例:一袋中有a个白球,b个红球,a+b=N,从中不放回地取n个球,设每次取到各球的概率相等,以X表示取到的白球数,则X服从超几何分布。

几何分布 若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数p的几何分布

例:从生产线上随机抽产品进行检测,设产品的次品率为p,0<p<1,若查到一只次品就得停机检修,设停机时已检测到X只产品,则X服从参数p的几何分布。

巴斯卡分布 若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布.

例:独立重复地进行试验,每次试验的结果为成功或失败,每次试验中成功的概率均为p,0<p<1,试验进行到出现r次成功为止,以X表示试验次数,则X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布。

思考题:一盒中有2个红球4个白球, (1)从中取一球,X表示取到的红球数; (2)采用不放回抽样取3球,Y表示取到的红球数; (3)采用放回抽样取3球,Z表示取到的红球数; (4)采用放回抽样取球,直到取到红球为止,U表示取球次数; (5)采用放回抽样取球,直到取到3个红球为止,V表示取球次数。 上述随机变量X,Y,Z,U,V的分布律是什么呢?

解答:(1)X服从0-1分布,P(X=1)=1/3,P(X=0)=2/3; (2)Y服从超几何分布, (3)Z服从二项分布B(3, 1/3), (4)U服从几何分布, (5)V服从巴斯卡分布,

§3 随机变量的分布函数 任何随机变量都有相应的分布函数

p X 1 q 例: p>0,q>0,q+p=1.

解: 1 q

例:设一物体在A,B两点间移动,A,B之间距离3个单位。该物体落在A,B间任一子区间的概率与区间长度成正比。设它离A点的距离为X ,求X的分布函数。

与离散型随机变量的分布函数不同

§4 连续型随机变量及其概率密度 定义:对于随机变量X的分布函数 若存在非负的函数 使对于任意实数 有: 则称X为连续型随机变量,

与物理学中的质量线密度的定义相类似

思考题: 答:都不一定。

例:设X的概率密度为 (1)求常数c的值; (2) 写出X的概率分布函数; (3)要使 求k的值。

解:

几个重要的连续量 均匀分布定义:X具有概率密度 称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b)

例:(1)在区间(-1,2)上随机取一数X,试写出X的概率密度。并求 的值; (2)若在该区间上随机取10个数,求10个数中恰有两个数大于0的概率。

解:(1) X为在区间(-1,2)上均匀分布 (2)设10个数中有Y个数大于0, 则:

例:杭州某长途汽车站每天从早上6点(第一班车)开始,每隔30分钟有一班车开往上海。王先生在早上6:20过X分钟到达车站,设X服从(0,50)上的均匀分布, (1)求王先生候车时间不超过15分钟的概率; (2)如果王先生一月中有两次按此方式独立地去候车,求他一次候车不超过15分钟,另一次候车大于10分钟的概率。

P(一次候车时间不超过15分钟,另一次大于10分钟) 6:30 6:50 6:20 6:30 6:45 7:00 7:10

指数分布 定义:设X的概率密度为 其中λ>0为常数,则称X服从参数为λ的指数分布。记为

X具有如下的无记忆性:

正态分布 定义:设X的概率密度为 其中 为常数,称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布), 记为

可以验证:

正态概率密度函数

称μ为位置参数(决定对称轴位置) σ为尺度参数(决定曲线分散性)

X的取值呈中间多,两头少,对称的特性。 当固定μ时,σ越大,曲线的峰越低,落在μ附近的概率越小,取值就越分散,即σ是反映X的取值分散性的一个指标。 在自然现象和社会现象中,大量随机变量服从或近似服从正态分布。

正态分布下的概率计算

例:

例:用天平称一实际重量为 的物体,天平的读数为随机变量 ,设 时, (1)求读数与 的误差小于0.005的概率; (2)求读数至少比 多0.0085的概率。

例:一批钢材(线材)长度 (1)若μ=100,σ=2,求这批钢材长度小于97.8cm的概率; (2)若μ=100,要使这批钢材的长度至少 有90%落在区间(97,103)内,问σ至多取何值?

例:设一天中经过一高速公路某一入口的重型车辆数X近似服从 ,已知有25%的天数超过400辆,有33%的天数不到350辆,求

例:一银行服务需要等待,设等待时间X(分钟)的概率密度为 某人进了银行,且打算过会儿去办另一件事,于是先等待,如果超过15分钟还没有等到服务就离开,设他实际的等待时间为Y,(1)求Y的分布函数;(2)问Y是离散型随机变量吗?连续型随机变量吗?

§5 随机变量函数的分布 例如,若要测量一个圆的面积,总是测量其半径,半径的测量值可看作随机变量X,若 则Y服从什么分布? 且已知Y=g(X),求Y的概率分布。

X pi 0.2 -1 1 0.5 0.3 例:已知X具有概率分布 且设Y=X2,求Y的概率分布。

解:Y的所有可能取值为0,1 即找出(Y=0)的等价事件(X=0); (Y=1)的等价事件(X=1)与(X=-1)的和事件

例:设随机变量X具有概率密度 求 的概率密度。

解:分记X,Y的分布函数为

Y在区间(0,16)上均匀分布。

一般,若已知X的概率分布,Y=g(X),求Y的概率分布的过程为: 关键是找出等价事件。

X -1 1 例:设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。

(Z=1)的等价事件为(X=1)∪(X=-1) 解:Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1 (Y=-2)的等价事件为(X=-1)… (Z=1)的等价事件为(X=1)∪(X=-1) 故得: Y -2 2 p Z 1 p

例:

例如:X~U(-1, 2),求

例如:X~N(0, 1),求

x h(y),y y y=g(x)

例:

解:

课件待续!