第19章 期权的风险管理与复制

目录 一个例子 Delta 与期权的套期保值 Theta 与期权的套期保值 Gamma 与期权的套期保值 2017/3/21 目录 一个例子 Delta 与期权的套期保值 Theta 与期权的套期保值 Gamma 与期权的套期保值 Vega 、rho 与期权的套期保值 交易费用与套期保值 期权复制

Example A bank has sold for $300,000 a European call option on 100,000 shares of a non-dividend paying stock S0 = 49, K = 50, r = 5%, s = 20%, T = 20 weeks, m = 13% The Black-Scholes-Merton value of the option is $240,000 How does the bank hedge its risk to lock in a $60,000 profit?

Naked & Covered Positions Naked position Take no action Covered position Buy 100,000 shares today What are the risks associated with these strategies?

Stop-Loss Strategy This involves: Buying 100,000 shares as soon as price reaches $50 Selling 100,000 shares as soon as price falls below $50

Stop-Loss Strategy continued Ignoring discounting, the cost of writing and hedging the option appears to be max(S0−K, 0). What are we overlooking?

期权价值的影响因素

19.2 Delta

欧式期权的Delta（Δ） Delta：标的资产价格变动1单位，期权价格变 多少？ Delta：Δ＝ Δ𝑐 Δ𝑆 看涨期权价格 斜率 = D 现货价格 看跌期权价格 现货价格

期权Δ的计算 无收益资产欧式看涨期权的Δ 值为 Δ = N(d1) 无收益资产欧式看跌期权的Δ 值为 Δ = -N(-d1)=N(d1)-1 支付已知红利率q 的欧式看涨期权的Δ 值为 Δ = e−q(T−t)N(d1)

期权Δ的性质 概率分布的性质： 0≤𝑁( 𝑑 1 )≤1 无收益资产看涨期权的Δ 值在0 和1 之间，无收 益资产看跌期权的Δ 值在-1和0 之间。 无收益资产看涨期权空头的Δ 值在-1和0 之间， 无收益资产看跌期权空头的Δ 值在0 和1 之间。 通过PCP平价，我们可以推导出看涨期权和看 跌期权Δ 值以及其他希腊字母之间的关系。

（无红利欧式）Delta的特征（I） 看涨期权多头： 0<Δ<1 空头符号刚好相反 看跌期权多头： －1<Δ<0 看涨期权价格 现货价格 虚值看涨 𝜟→𝟎 实值看涨 𝜟→𝟏 平价看涨 𝜟≈𝟎.𝟓 平价看跌 𝜟≈−𝟎.𝟓 虚值看跌 𝜟→𝟎 实值看跌 𝜟→−𝟏 看跌期权价格 现货价格

（无红利欧式）Delta的特征（II） 看涨期权Delta＝看跌期权Delta＋1 看涨期权 看跌期权 标的资产价格 Delta值

Delta的特征（III） 快到期时，实值、虚值和平价期权的Delta差异 较大

Delta的特征（IV） 波动率较高时，Delta差异较小 波动率较低时，Delta差异较大

看涨期权曲线的移动 波动率：0%－80% 剩余期限：0－1年

看涨期权Delta/现货价格/剩余期限三维图

看跌期权Delta/现货价格/剩余期限三维图

其他证券的Δ值 期权标的现货资产的Δ 值为1 。 远期合约的Δ 值同样为1 。 无收益资产和支付已知现金收益资产的期货合 约的Δ 值为 Δ =er(T−t) 支付已知连续收益率q 资产的期货合约的Δ 值 为 Δ = e(r−q)(T−t) 上述Δ 都是针对多头而言的，空头符号相反。

证券组合的Δ值 证券组合的Δ 值等于组合中单个资产Δ 值的总 和（标的资产相同） Δ = 1 𝑛 𝜔 𝑖 ∆ 𝑖 Δ = 1 𝑛 𝜔 𝑖 ∆ 𝑖 其中， 𝜔 𝑖 表示第i 种证券的数量， ∆ 𝑖 表示第i 种证券的Δ 值。

Δ中性状态 Δ 值为0 的证券组合被称为处于Δ 中性状态。 当证券组合处于Δ 中性状态时，组合的价值不 受标的资产价格波动的影响，从而实现相对标 的资产价格的套期保值。 除了标的资产本身和远期合约的Δ 值恒等于1 ，其他衍生产品的Δ 值可能随时不断变化。因 此证券组合处于Δ 中性状态只能维持一个很短 的时间。

Δ中性套期保值 Δ 中性保值的实现：运用同一标的资产的现货 、期权和期货等进行相互套期保值，使证券组 合的Δ 值等于0 。 Δ 中性保值的特点：动态套期保值，需要不断 调整保值头寸以使保值组合重新处于Δ 中性状 态，这种调整称为再均衡（ Rebalancing ）。

案例1 ：期权的Delta 中性保值 某金融机构在OTC 市场出售了基于100000 股 不付红利股票的欧式看涨期权，收入300 000 元。该股票的市场价格为49 元，执行价格为 50 元，无风险利率为连续复利年利率5% ，股 票价格年波动率为20% ，距离到期时间为20 周。由于该金融机构无法在市场上找到相应的 看涨期权多头对冲，这样就面临着风险管理的 问题。

案例1 ：期权的Delta 中性保值(cont.) 用标的资产（股票）多头为此期权进行套期保 值操作。 应进行动态套期保值，以维持资产组合的Δ 中 性。但在实际中，过于频繁的动态调整需要相 当的交易费用，因此我们假设保值调整每周进 行一次。 相关参数为 S = 49; X = 50; r = 0:05;𝝈= 0:20; T-t = 0.3846 Delta 对冲模拟过程参看表14.1 。

案例1 ：期权的Delta 中性保值(cont.) 周次 股价 Delta 购买的股数 成本 (千元) 累计成本 (千元) 利息（千元） 49.00 0.522 52,200 2,557.8 2.5 1 48.12 0.458 (6,400) (308.0) 2,252.3 2.2 2 47.37 0.400 (5,800) (274.7) 1,979.8 1.9 ....... 19 55.87 1.000 1,000 55.9 5,258.2 5.1 20 57.25 5263.3

案例1 ：期权的Delta 中性保值(cont.) 周次 股价 Delta 购买的股数 成本 (千元) 累计成本 (千元) 利息（千元） 49.00 0.522 52,200 2,557.8 2.5 1 49.75 0.568 4,600 228.9 2,789.2 2.7 2 52.00 0.705 13,700 712.4 3,504.3 3.4 ....... 19 46.63 0.007 (17,600) (820.7) 290.0 0.3 20 48.12 0.000 (700) (33.7) 256.6

理解期权的Delta 中性保值 期权Δ 中性套期保值的结果是：通过标的资产 构成了一个“合成的期权头寸”。 套期保值的成本主要来源于“买高卖低”的过 程，其总成本等于期权价格。

理解期权的Delta 中性保值(cont.) 在实际操作中， Δ 中性保值方法更常见的是利 用同种标的资产的期货头寸来进行保值，可以 获得杠杆作用。 以无收益资产期货合约为例，由于其Δ = er(T−t) ，这意味着e−r(T−t) 个期货单位对标的资产价格 变动的敏感性与一个标的资产对其自身价格变 化的敏感性是相同的， 因此 QF = e−r(T−t)HA/N

理解期权的Delta 中性保值(cont.) Δ 套期保值的意义： 专业的金融运营和风险运营机构的价格优势。 机构内部的风险对冲以及外部市场上的净Δ套期保 值。 高度灵活性：金融机构可以结合自身的资产状况、 市场预期和风险目标来管理Δ 指标，不同目标Δ 值 的设定可以实现不同的风险管理策略。

案例：通过∆中性投机于市场波动 Copyright © Zheng Zhenlong

通过动态调整锁定利润（适用于动荡的市场） Copyright © Zheng Zhenlong ∆ 𝑐 ＋ ∆ 𝑝 =2 ∆ 𝑐 −1

19.3 Theta

欧式期权的Theta (Θ) Theta：时间推移1单位，期权价格变多少？ Theta： Δ＝ Δ𝑐 Δ𝑡 期权的Θ 通常为负：一般来说，随着到期日的 临近，期权价值逐渐衰减 (time decay) 处于深度实值状态的无红利资产欧式看跌期权 和处于实值状态的标的资产红利很高的欧式看 涨期权， Θ 可能为正。

Theta的特征（I） 剩余期限越短，time decay速度越快，Theta负 得越多

Theta的特征（II） 与实值、虚值期权相比，平价期权的Theta负 值最大

Theta的特征（III） 快到期时，实值、虚值和平价期权的Theta差 异较大

看涨期权Theta/现货价格/剩余期限三维图

看跌期权Theta/现货价格/剩余期限三维图

Theta与套期保值 由于时间的推移是确定的，没有风险可言。因 此无需对时间进行套期保值。 Theta值与Delta及下文的Gamma值有较大关系 。 在期权交易中，尤其是在差期交易中，由于 Theta值的大小反映了期权购买者随时间推移 所损失的价值，因而无论对于避险者、套利者 还是投资者而言, Theta值都是一个重要的敏感 性指标。

18.4 Gamma

欧式期权的Gamma ( Γ) Gamma：标的资产价格变动1单位，期权Delta变多少？ 𝜟𝒄≈𝑫𝒆𝒍𝒕𝒂×𝜟𝑺+ 𝟏 𝟐 𝑮𝒂𝒎𝒎𝒂× 𝜟𝑺 𝟐 Gamma：标的资产价格变动1单位，期权Delta变多少？ Gamma ：𝛤＝ 𝜕(Δ) 𝜕𝑆 ＝ 𝜕2𝑐 𝜕𝑆2 Gamma ：期权价格曲线曲度的主要部分 S0 S1 S2 C0 C1 C2 现货价格 期权价格 ≈ 𝟏 𝟐 𝑮𝒂𝒎𝒎𝒂× 𝜟𝑺 𝟐 𝑫𝒆𝒍𝒕𝒂×𝜟𝑺 𝜟𝒄

（无红利欧式）Gamma的特征（I） 看涨期权Delta＝看跌期权Delta 期权多头Gamma>0，期权空头Gamma<0 S0 S1 S2 C0 C1 C2 现货价格 期权价格 S0 S1 S2 C0 C1 C2 现货价格 期权价格

无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Gamma值与S的关系 当S ＝𝑋 𝑒 −(𝑟+1 Copyright © Zheng Zhenlong

无收益资产看涨期权和欧式看跌期权Gamma值与T-t的关系 Copyright © Zheng Zhenlong

Copyright © Zheng Zhenlong 最高点在平价点右侧

证券组合的Γ 值 只有期权有Γ 值。 证券组合的Γ 值等于组合内各种期权Γ 值与其 数量乘积的总和： Γ = 1 𝑛 𝜔 𝑖 Γ 𝑖

证券组合的Gamma值 投资组合 头寸 Gamma值 Examples 现货多头 5单位现货多头：5×0＝0 现货空头 期货多头 期货空头 5单位现货多头：5×0＝0 现货空头 期货多头 期货空头 4单位期货空头：4×0＝0 欧式看涨期权多头（无红利） >0 4单位看涨多头，每单位Gamma为0.12： 4×0.12＝0.48 欧式看涨期权空头（无红利） <0 欧式看跌期权多头（无红利） 欧式看跌期权空头（无红利） 4单位看跌空头，每单位Gamma为－0.12： 4×(－0.12)＝－0.48 投资组合 5×0＋4×0＋4×0.12＋4×(－0.12)＝0

Γ 中性 证券组合Γ 值为零时称为处于Γ 中性状态。 Γ 中性是为了消除Δ 中性保值的误差，同样也 是动态的概念。 由于保持Γ 中性只能通过期权头寸的调整获得 ，实现Γ中性的结果往往是Δ非中性，因而常 常还需要运用标的资产或期货头寸进行调整， 才能使得证券组合 同时实现Γ中性和Δ中性。

案例3 ：Gamma 中性 假设某Delta 中性的保值组合的Γ 值等于-5000 ，该组合中标的资产的某个看涨期权多头的Δ 和Γ 值分别等于0.80 和2.0 。为使保值组合Γ 中 性，并保持Δ 中性，该组合应购买多少份该期 权，同时卖出多少份标的资产？

案例3 ：Gamma 中性(cont.) 该组合应购入的看涨期权数量等于： 5000 2.0 =2500 购入2500 份看涨期权后，新组合的Δ 值将由0 增加到2500 ×0.80 = 2000 。因此为保持Δ 中性 ，应出售2000 份标的资产。

Δ、Θ 和Γ 之间的关系(cont.) 如果Δ 中性， 对于一个Δ 中性组合，若Γ 正值并且也很大时 ，Θ 将为负值并且也很大 。 如果Δ 和Γ 同时中性， Θ = rf Δ 中性和Γ 中性组合的价值将随时间以无风险 连续复利率的速度增长。

Δ、Θ 和Γ 之间的关系(cont.) DP DS 对于一个Δ 中性组合，如果𝜎不变, DP » Q Dt + ½GDS 2 正Gamma

19.5 Vega 、Rho

n的定义 期权的Vega（ n ）是期权价格对标的资产价格波 动率𝜎的偏导数 n＝ 𝜕𝑓 𝜕𝜎 从理论上说，BSM期权定价公式假定𝜎不变，因 此不能用该公式对𝜎求偏导来求n，而应该用随机 波动率模型。但实际上用两种方法求出来的结果 很相近。通过BSM公式可以求得 n=𝑆 𝑇−𝑡 𝑁′( 𝑑 1 )

Vega Copyright © Zheng Zhenlong

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台指期 & 波动率 一分钟走势图 （2011/8/1~10） 台指期在短短五个交易日内（8/4~10）高低差达1397点，选择权波动率瞬间拉高，卖权卖方风险急遽扩大。

7700卖权 7800卖权 结算价为例 7700卖权从最低点0.6点（8/1日）冲到历史高665点（8/9日）， 涨幅达1108倍。 7700卖权 7800卖权 结算价为例 7700卖权从最低点0.6点（8/1日）冲到历史高665点（8/9日）， 涨幅达1108倍。 7800卖权从最低点1.1点（8/1日）冲到历史高750点（8/9日）， 涨幅达 681倍。

n的计算 n = 1 𝑛 𝜔 𝑖 n 𝑖 证券组合的n值等于该组合中各证券的数量 与各证券的n值乘积的总和

n中性 组合的n值等于零时，证券组合处于n中性 状态。 Γ 𝑝 + Γ 1 𝜔 1 + Γ 2 𝜔 2 =0 n 𝑝 + n 1 𝜔 1 + n 2 𝜔 2 =0 金

rho 与套期保值 rho＝ 𝜕𝑓 𝜕𝑟 证券的rho 等于证券价格对利率的偏导数: rho 衡量的是证券价格对利率变化的敏感度。

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19.6 期权复制

期权复制 若市场上不存在期权，期权复制只能使用Delta 中性复制法。在利率变动频繁时可以加上Rho 中性。复制工具既可以是现货，也可以是期货 。 若市场上已有其他期权，则可以使用Delta、 Gamma、Vega中性复制法。

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期权复制风险 从理论上说，Delta中性复制法的盈亏是固定的 ，只取决于期权隐含波动率与期权有效期实际 波动率之差。 原因： 交易成本、不连续交易、最小交易单位：离散复制 模型风险：改用更接近现实的期权定价模型 未来波动率未知：波动率互换、方差互换、波动率期货、 Gamma互换、方差期权等

波动率已知、连续复制 如果波动率是固定且已知的，则复制组合的盈 亏是固定的。 如果波动率是变动的但已知的，有趣的是复制 组合的盈亏也还是固定的。 Copyright © Zheng Zhenlong 所售期权隐含波动率－实际波动率

波动率未知、连续复制 使用预计波动率来计算Delta。如果所使用的波 动率刚好与实际波动率相等，则盈亏是确定的 。如果不相等，则盈亏金额是路径依赖的，盈 亏状态不会改变。 Copyright © Zheng Zhenlong 所售期权隐含波动率－实际波动率

波动率已知、离散复制 在波动率已知情况下且不考虑成本情况下，复 制频率提高4倍，复制误差减少一半。 所售期权隐含波动率－实际波动率 Copyright © Zheng Zhenlong 所售期权隐含波动率－实际波动率

波动率未知、离散复制 在波动率未知情况下，离散复制错误等于离散 复制误差加上未知波动率的误差。 所售期权隐含波动率－实际波动率 Copyright © Zheng Zhenlong 所售期权隐含波动率－实际波动率

波动率未知时，使用预计波动率还是隐含波动率？ 建议使用预计波动率。前提是你能较准确估计 未来的波动率。

波动率互换、方差互换、Gamma互换 Gamma互换的回报 波动率互换的回报 ( 𝜎 𝑅 – 𝜎 𝐾 ) × 名义本金 方差互换的回报 ( 𝜎 𝑅 – 𝜎 𝐾 ) × 名义本金 方差互换的回报 ( 𝑉 𝑅 – 𝑉 𝐾 ) × 名义本金 Gamma互换的回报 ( 𝑉 𝑅 × 𝑆 𝑇 𝑆 𝑡 – 𝑉 𝐾 ) × 名义本金

交易费用与期权复制 为了保持证券组合处于Δ 、Γ 、 中性状态，必须不断 调整组合。然而频繁的调整需要大量的交易费用。 在实际运用中，复制者更倾向于使用Δ 、Γ 、n 、Θ 和 rho 等参数来评估其证券组合的风险，然后根据他们对 S 、r 、𝜎 未来运动情况的估计，考虑是否有必要对证 券组合进行调整。 如果风险是可接受的，或对自己有利，就不调整；若 风险对自己不利且是不可接受的，则进行相应调整。

本讲参考资料 郑振龙和陈蓉，《金融工程》（第三版），高等教育 出版社，2012：第14章 John C. Hull, Options, Futures and other derivatives, 8th ed., Pearson, 2012: Ch18 Dan Passarelli, Trading Option Greeks: How Time, Volatility and other Pricing Factors Drive Profit,2008 Nassim Taleb, dynamic hedging, wiley,1996 http://efinance.org.cn/本科课程金融工程 http://efinance.org.cn/硕士生课程金融工程 http://reference.wolfram.com/applications/finance/Option s.html