问题：你所理解的费米分布函数和费米面？ 张杰、黎凯强 2014.12.25 金属导带中的电子在极限情况 T →0K的状态 费米面（Fermi Surface) 张杰、黎凯强 2014.12.25
金属导带中的电子在极限情况 T →0K的状态 一般的金属问题往往主要只涉及导带中的电子，因此，下面的讨论只考虑导带中的电子 经典理论：在这个极端，若没有外界影响，所有电子速度为0； 量子理论：根据泡利原理，电子将依次从导带底向上填充各量子态； 能带理论：电子运动状态由K空间表示如下图。 图中斜线部分表示被电子填充的状态，从导带底（k=0）算起，电子能量最高达Eo，E=Eo表示这样一个等能面，其中包括的量子态正好等于电子总数。 电子填充k空间
金属导带中的电子在极限情况 T →0K的状态 对于“近自由电子” 等能面为球面，如右图 E0所包围的体积： 包含的状态数： “近自由电子” 上式又可以写成：
金属导带中的电子在极限情况 T →0K的状态 代入n0 ≈1022—1023/cm3,m﹡ ≈10-27g就得到： E0 ≈1.5-7 eV 此情况和经典理论的设想有很大区别 经典理论：电子具有动能≈kT； 量子理论：T→0k,电子速度 v≈108 cm/s ，电子有远远更为强烈的运动。 随着T自0k上升，电子将受到“热激发”，由于E0等能面以内状态已填满，电子的“热激发”只能是从E0等能面以内的状态转移到E0等能面以外的状态。
费米分布函数 能带理论是一种单电子的近似，每一个电子的运动被近似看作独立的，具有一系列确定的本征态，由不同的波数K标志。从量子力学的观点，电子是费米子（fermion)应服从Fermi-Dirac统计而不是经Maxwell统计。Fermi-Dirac统计指出，在量子态上的平均占据数。 公式 直接给出能量为E的本征态被一个电子所占据的概率 费米函数只包含一个参数 EF, EF由系统的具体情况决定，具体讲，EF可以由系统中电子总数N决定如下： EF具有能量的量纲，常常称为费米能级（它并不代表一个电子本征态的能值），它实际上等于这个系统中电子的化学势。
费米分布函数 费米分布函数f(E)具有右图所示的形式 当E=EF时，f(E)=1/2. 当E比EF高几个kT以上时, e(E- EF)/kT>>1,f(E) ≈0， （表明这样的本征态基本上是空的） 当E比EF低几个kT时, e(E- EF)/kT <<1 ,f(E) ≈1. 费米分布函数 如右图所示，f(E)在EF上下几个kT的范围内由1降为接近于0.在T →0K的极限，这个转变的区域将无限变窄； 所有E ﹤EF的本征态将完全填满，所有更高的状态都是空的。 在0K极限:EF（0k)=E0（在0K的极限EF就是电子填充的最高能级）
费米分布函数 K空间费米分布情况 如右图 左边为0K的情形；右边为温度提高到有限温度T的情况，虚线间的区域表示部分为电子填充的状态,这个区域应包括等能面E=EF上下几个kT的能量范围。 体积dk内包括2Vdk个量子态 统计平均的电子数应等于2Vf(E(k)dk.2Vf(E(k)给出电子在k空间的统计分布密度。
费米分布函数 费米分布具体给出电子“热激发”的情况。上图从0K →T费米变化表明，部分能量低于E0的电子得到了数量级为kT热激发能而转移到E0以外的能量更高状态。 在平衡状态的统计问题中，往往知道电子的能量分布状况。对于这样的问题可以不必考虑k空间中的统计分布，而更简便地应用能态密度函数N(E)的概念：在E到E+dE内的量子态数目为N(E)dE,根据费米分布函数可以直接写出统计平均电子数为 f(E)N(E)dE 所以f(E)N(E)具体概括了系统中 电子按能量的统计分布，它一方 面决定于体现费米统计分布的f(E), 另一方面决定于晶体本身的能态密 度函数N(E)。 能态密度和电子按能量分布
费米面 T=0K时，由泡利不相容原理，每个k点所代表的态上最多只能有两个自旋相反的电子占据； 形成一个球，称为费米球； 费米球的半径为费米波矢； 费米球的表面把占据态 和未占据态分开，称为费米面
费米面 在K空间，E=EF等能面为费米面。在自由电子近似中费米面是球面，而实际金属的费米面形状往往与球面有比较大的区别 很多金属的基本性质主要取决于能量在EF附近的电子，从K空间看，也就是在费米等能面附近的电子，由于这个缘故，研究费米面附近状况有重要的意义。
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